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Gianmaria De Tommasi » 14.Controllo di Supervisione - Parte Terza


Sommario della lezione

  • Realizzazione del supervisore;
  • Basic Supervisory Control Problem (BSCP);
  • Dual Basic Supervisory Control Problem (DuBSCP);
  • Teorema di Controllabilità e Non-bloccaggio.

Realizzazione del supervisore 1/3

Processo e specifica dinamica

Si consideri un processo G e una specifica dinamica modellata dal linguaggio K regolare controllabile. Sia

R=\bigl(Y\,,E\,,g\,,\Gamma_R\,,y_0\,,Y\bigr)

Un automa tale che \mathcal{L}_m\bigl(R\bigr)=\mathcal{L}\bigl(R\bigr)=\overline{K}.

Nota: \mathcal{L}_m\bigl(R\bigr)=\mathcal{L}\bigl(R\bigr) perché Y_m=Y.

Realizzazione del supervisore 2/3

Linguaggi del sistema a “ciclo chiuso”

Se realiziamo R\times G, per definizione si ottiene

\mathcal{L}\bigl(R\times G\bigr)=\mathcal{L}\bigl(R\bigr)\cap\mathcal{L}\bigl(G\bigr)=\overline{K}\cap\mathcal{L}\bigl(G\bigr)=\overline{K}=\mathcal{L}\bigl(S/G\bigr)\,,
perché K\subseteq\mathcal{L}\bigl(G\bigr).

Inoltre

\mathcal{L}_m\bigl(R\times G\bigr)=\mathcal{L}_m\bigl(R\bigr)\cap\mathcal{L}_m\bigl(G\bigr)=\overline{K}\cap\mathcal{L}_m\bigl(G\bigr)=\mathcal{L}\bigl(S/G\bigr)\cap\mathcal{L}_m\bigl(G\bigr)=\mathcal{L}_m\bigl(S/G\bigr)\,.

Realizzazione del supervisore 3/3

Supervisore

L’azione di controllo del supervisore S(\sigma) dopo l’occorrenza della sequenza \sigma si ottiene considerando gli eventi attivi nello stato raggiunto da R\times G dopo l’esecuzione di \sigma, cioè

S(\sigma)=\Gamma_{R\times G}\Bigl(g\times f\bigl((y_0\,,x_0)\,,\sigma\bigr)\Bigr)\,.

Nota: Avendo considerato lo stesso insieme di eventi E sia per R che per G segue che R\times G=R\| G.

Specifiche non controllabili

Consideriamo il caso di specifica dinamica NON CONTROLLABILE, cioè

\overline{K}E_{nc}\cap M\nsubseteq\overline{K}\,,

con M=\overline{M}.

In generale K\subseteq M non è chiuso rispetto ai prefissi, cioè K\neq\overline{K}.

Supremal Controllable Sublanguage

Dato un linguaggio K NON CONTROLLABILE è possibile considerare il seguente sottolinguaggio di K

K^{\uparrow C} – il più grande linguaggio controllabile contenuto in K (SUPREMAL CONTROLLABLE SUBLANGUAGE)

Infimal prefix-closed and controllable superlanguage

Dato un linguaggio K NON CONTROLLABILE è possibile considerare il seguente linguaggio che contiene K

K^{\downarrow C} – il più piccolo linguaggio controllabile chiuso rispetto ai prefissi che contiene K (INFIMAL PREFIX-CLOSED AND CONTROLLABLE SUPERLANGUAGE)

Osservazione

K^{\uparrow C} e K^{\downarrow C}

In generale vale

\emptyset\subseteq K^{\uparrow C}\subseteq K\subseteq\overline{K}\subseteq K^{\downarrow C}\subseteq M

Proprietà dei linguaggi controllabili

Proposizione

È possibile dimostrare i seguenti risultati. Siano K_1 e K_2 due linguaggi CONTROLLABILI, allora:

  1. K_1\cup K_2 è controllabile
  2. K_1\cap K_2 NON È NECESSARIAMENTE CONTROLLABILE;
  3. Se \overline{K_1}\cap\overline{K_2}=\overline{K_1\cap K_2} (cioè K_1 e K_2 sono NON IN CONFLITTO), allora K_1\cap K_2 è controllabile;
  4. Se K_1=\overline{K_1} e K_2=\overline{K_2}, allora K_1\cap K_2 è controllabile e risulta K_1\cap K_2=\overline{K_1\cap K_2}

Sottolinguaggi controllabili di K

Si definisca il seguente insieme di linguaggi:

C_{in}\bigl(K\bigr):=\bigl\{L\subseteq K\ |\ \overline{L}E_{nc}\cap M\subseteq \overline{L}\bigr\}\,.

C_{in}\bigl(K\bigr) è l’insieme di tutti i sottolinguaggi controllabili contenuti in K.

Sicuramente vale \emptyset\in C_{in}\bigl(K\bigr).

Linguaggio controllabili chiusi rispetto ai prefissi che contengono K

Si definisca il seguente insieme di linguaggi:

CC_{out}\bigl(K\bigr):=\Bigl\{L\subseteq E^\ast\ |\ \bigl[K\subseteq L\subseteq M\bigr] e \bigl[\overline{L}=L\bigr] e \bigl[\overline{L}E_{nc}\cap M\subseteq\overline{L}\bigr] \Bigr\}\,.

CC_{out}\bigl(K\bigr) è l’insieme di tutti i linguaggi controllabili e chiusi rispetto ai prefissi che contengono K.

Sicuramente vale M\in CC_{out}\bigl(K\bigr).

Supremal Controllable Sublanguage

Se K NON È CONTROLLABILE, allora il più grande sottolinguaggio controllabile contenuto in K è dato da:

K^{\uparrow C}:=\bigcup_{L\in C_{in}\bigl(K\bigr)}L

Supremal Controllable Sublanguage – Proprietà 1/2

È possibile dimostrare i seguenti risultati:

  1. Se K_1\subseteq K_2 allora K_1^{\uparrow C}\subseteq K_2^{\uparrow C}
  2. Se K=\overline{K} allora K^{\uparrow C}=\overline{K^{\uparrow C}}
  3. \bigl(K_1\cap K_2\bigr)^{\uparrow C}\subseteq K_1^{\uparrow C}\cap K_2^{\uparrow C}
  4. \bigl(K_1\cap K_2\bigr)^{\uparrow C}=\bigl(K_1^{\uparrow C}\cap K_2^{\uparrow C}\bigr)^{\uparrow C}

Supremal Controllable Sublanguage – Proprietà 2/2

È possibile dimostrare i seguenti risultati:

5. Se K_1^{\uparrow C} e K_2^{\uparrow C} sono NON IN CONFLITTO, allora \bigl(K_1\cap K_2\bigr)^{\uparrow C}=K_1^{\uparrow C}\cap K_2^{\uparrow C}
6. \bigl(K_1\cup K_2\bigr)^{\uparrow C}\supseteq K_1^{\uparrow C}\cup K_2^{\uparrow C}

Nel caso in cui il linguaggio K è REGOLARE l’operazione ^{\uparrow C} può essere effettuata mediante operazioni su automi a stati finiti.

Infimal Prefix-closed and Controllable Superlanguage

Tenendo conto che dati due linguaggi CONTROLLABILI L_1=\overline{L_1} e L_2=\overline{L_2} anche L_1\cap L_2=\overline{L_1\cap L_2} è controllabile, il più piccolo linguaggio controllabile chiuso rispetto ai prefissi che contiene K è dato da:

K^{\downarrow C}:=\bigcap_{L\in CC_{out}\bigl(K\bigr)}L

Infimal Prefix-closed and Controllable Superlanguage – Proprietà

È possibile dimostrare i seguenti risultati:

  1. Se K_1\subseteq K_2 allora K_1^{\downarrow C}\subseteq K_2^{\downarrow C}
  2. \bigl(K_1\cap K_2\bigr)^{\downarrow C}\subseteq K_1^{\downarrow C}\cap K_2^{\downarrow C}
  3. Se K_1 e K_2 sono NON IN CONFLITTO allora \bigl(K_1\cap K_2\bigr)^{\downarrow C}=K_1^{\downarrow C}\cap K_2^{\downarrow C}
  4. \bigl(K_1\cup K_2\bigr)^{\downarrow C}=K_1^{\downarrow C}\cup K_2^{\downarrow C}

Nel caso in cui il linguaggio K è REGOLARE l’operazione ^{\downarrow C} può essere effettuata mediante operazioni su automi a stati finiti

Basic Supervisory Control Problem (BSCP)

Dato un SED G definito sull’insieme di eventi E, con E_{nc}\subseteq E,
sia L_a=\overline{L_a}\subseteq\mathcal{L}\bigl(G\bigr) il linguaggio AMMISSIBILE (LEGALE)

Si progetti un supervisore S(\cdot) tale che:

  1. \mathcal{L}\bigl(S/G\bigr)\subseteq L_a
  2. \mathcal{L}\bigl(S/G\bigr) sia MASSIMAMENTE PERMISSIVO, cioè \forall\ S' tale che \mathcal{L}\bigl(S'/G)\bigr)\subseteq L_a sia

\mathcal{L}\bigl(S'/G\bigr)\subseteq\mathcal{L}\bigl(S/G\bigr)

BSCP – Soluzione

La soluzione al BSCP è:

\mathcal{L}\bigl(S/G\bigr)=L_a^{\uparrow C}

Dual BSCP

Dual Basic Supervisory Control Problem

Dato un SED G definito sull’insieme di eventi E, con E_{nc}\subseteq E,
sia L_r=\subseteq\mathcal{L}\bigl(G\bigr) il linguaggio MINIMO LINGUAGGIO RICHIESTO

Si progetti un supervisore S(\cdot) tale che:

  1. \mathcal{L}\bigl(S/G\bigr)\supseteq L_r
  2. \mathcal{L}\bigl(S/G\bigr) sia IL PIÙ PICCOLO POSSIBILE, cioè \forall\ S' tale che \mathcal{L}\bigl(S'/G)\bigr)\supseteq L_r sia

\mathcal{L}\bigl(S'/G\bigr)\supseteq\mathcal{L}\bigl(S/G\bigr)

DuBSCP – Soluzione

La soluzione al DuBSCP è:

\mathcal{L}\bigl(S/G\bigr)=L_r^{\downarrow C}

Teorema di Controllabilità e Non-bloccaggio

Si consideri un SED G=\bigl(X\,,E\,,f\,,\Gamma\,,x_0\,,X_m\bigr) con E_{nc}\subseteq E insieme degli eventi non controllabili.
Sia K\subseteq \mathcal{L}\bigl(G\bigr) e K\neq\emptyset.

Esiste un supervisore S(\cdot) tale che \mathcal{L}_m\bigl(S/G\bigr)=K e \mathcal{L}\bigl(S/G\bigr)=\overline {K}

SE E SOLO SE

  1. \overline{K}E_{nc}\cap\mathcal{L}\bigl(G\bigr)\subseteq\overline{K}
  2. K=\overline{K}\cap\mathcal{L}_m\bigl(G\bigr)
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