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Gianmaria De Tommasi » 14.Controllo di Supervisione - Parte Terza

Sommario della lezione

Realizzazione del supervisore;
Basic Supervisory Control Problem (BSCP);
Dual Basic Supervisory Control Problem (DuBSCP);
Teorema di Controllabilità e Non-bloccaggio.

Realizzazione del supervisore 1/3

Processo e specifica dinamica

Si consideri un processo $G$ e una specifica dinamica modellata dal linguaggio $K$ regolare controllabile. Sia

$R=\bigl(Y\,,E\,,g\,,\Gamma_R\,,y_0\,,Y\bigr)$

Un automa tale che $\mathcal{L}_m\bigl(R\bigr)=\mathcal{L}\bigl(R\bigr)=\overline{K}$ .

Nota: $\mathcal{L}_m\bigl(R\bigr)=\mathcal{L}\bigl(R\bigr)$ perché $Y_m=Y$ .

Realizzazione del supervisore 2/3

Linguaggi del sistema a “ciclo chiuso”

Se realiziamo $R\times G$ , per definizione si ottiene

$\mathcal{L}\bigl(R\times G\bigr)=\mathcal{L}\bigl(R\bigr)\cap\mathcal{L}\bigl(G\bigr)=\overline{K}\cap\mathcal{L}\bigl(G\bigr)=\overline{K}=\mathcal{L}\bigl(S/G\bigr)\,,$
perché $K\subseteq\mathcal{L}\bigl(G\bigr)$ .

Inoltre

$\mathcal{L}_m\bigl(R\times G\bigr)=\mathcal{L}_m\bigl(R\bigr)\cap\mathcal{L}_m\bigl(G\bigr)=\overline{K}\cap\mathcal{L}_m\bigl(G\bigr)=\mathcal{L}\bigl(S/G\bigr)\cap\mathcal{L}_m\bigl(G\bigr)=\mathcal{L}_m\bigl(S/G\bigr)\,.$

Realizzazione del supervisore 3/3

Supervisore

L’azione di controllo del supervisore $S(\sigma)$ dopo l’occorrenza della sequenza $\sigma$ si ottiene considerando gli eventi attivi nello stato raggiunto da $R\times G$ dopo l’esecuzione di $\sigma$ , cioè

$S(\sigma)=\Gamma_{R\times G}\Bigl(g\times f\bigl((y_0\,,x_0)\,,\sigma\bigr)\Bigr)\,.$

Nota: Avendo considerato lo stesso insieme di eventi $E$ sia per $R$ che per $G$ segue che $R\times G=R\| G$ .

Specifiche non controllabili

Consideriamo il caso di specifica dinamica NON CONTROLLABILE, cioè

$\overline{K}E_{nc}\cap M\nsubseteq\overline{K}\,,$

con $M=\overline{M}$ .

In generale $K\subseteq M$ non è chiuso rispetto ai prefissi, cioè $K\neq\overline{K}$ .

Supremal Controllable Sublanguage

Dato un linguaggio $K$ NON CONTROLLABILE è possibile considerare il seguente sottolinguaggio di $K$

$K^{\uparrow C}$ – il più grande linguaggio controllabile contenuto in $K$ (SUPREMAL CONTROLLABLE SUBLANGUAGE)

Infimal prefix-closed and controllable superlanguage

Dato un linguaggio $K$ NON CONTROLLABILE è possibile considerare il seguente linguaggio che contiene $K$

$K^{\downarrow C}$ – il più piccolo linguaggio controllabile chiuso rispetto ai prefissi che contiene $K$ (INFIMAL PREFIX-CLOSED AND CONTROLLABLE SUPERLANGUAGE)

Osservazione

$K^{\uparrow C}$ e $K^{\downarrow C}$

In generale vale

$\emptyset\subseteq K^{\uparrow C}\subseteq K\subseteq\overline{K}\subseteq K^{\downarrow C}\subseteq M$

Proprietà dei linguaggi controllabili

Proposizione

È possibile dimostrare i seguenti risultati. Siano $K_1$ e $K_2$ due linguaggi CONTROLLABILI, allora:

$K_1\cup K_2$ è controllabile
$K_1\cap K_2$ NON È NECESSARIAMENTE CONTROLLABILE;
Se $\overline{K_1}\cap\overline{K_2}=\overline{K_1\cap K_2}$ (cioè $K_1$ e $K_2$ sono NON IN CONFLITTO), allora $K_1\cap K_2$ è controllabile;
Se $K_1=\overline{K_1}$ e $K_2=\overline{K_2}$ , allora $K_1\cap K_2$ è controllabile e risulta $K_1\cap K_2=\overline{K_1\cap K_2}$

Sottolinguaggi controllabili di K

Si definisca il seguente insieme di linguaggi:

$C_{in}\bigl(K\bigr):=\bigl\{L\subseteq K\ |\ \overline{L}E_{nc}\cap M\subseteq \overline{L}\bigr\}\,.$

$C_{in}\bigl(K\bigr)$ è l’insieme di tutti i sottolinguaggi controllabili contenuti in $K$ .

Sicuramente vale $\emptyset\in C_{in}\bigl(K\bigr)$ .

Linguaggio controllabili chiusi rispetto ai prefissi che contengono K

Si definisca il seguente insieme di linguaggi:

$CC_{out}\bigl(K\bigr):=\Bigl\{L\subseteq E^\ast\ |\ \bigl[K\subseteq L\subseteq M\bigr] e \bigl[\overline{L}=L\bigr] e \bigl[\overline{L}E_{nc}\cap M\subseteq\overline{L}\bigr] \Bigr\}\,.$

$CC_{out}\bigl(K\bigr)$ è l’insieme di tutti i linguaggi controllabili e chiusi rispetto ai prefissi che contengono $K$ .

Sicuramente vale $M\in CC_{out}\bigl(K\bigr)$ .

Supremal Controllable Sublanguage

Se $K$ NON È CONTROLLABILE, allora il più grande sottolinguaggio controllabile contenuto in $K$ è dato da:

$K^{\uparrow C}:=\bigcup_{L\in C_{in}\bigl(K\bigr)}L$

Supremal Controllable Sublanguage – Proprietà 1/2

È possibile dimostrare i seguenti risultati:

Se $K_1\subseteq K_2$ allora $K_1^{\uparrow C}\subseteq K_2^{\uparrow C}$
Se $K=\overline{K}$ allora $K^{\uparrow C}=\overline{K^{\uparrow C}}$
$\bigl(K_1\cap K_2\bigr)^{\uparrow C}\subseteq K_1^{\uparrow C}\cap K_2^{\uparrow C}$
$\bigl(K_1\cap K_2\bigr)^{\uparrow C}=\bigl(K_1^{\uparrow C}\cap K_2^{\uparrow C}\bigr)^{\uparrow C}$

Supremal Controllable Sublanguage – Proprietà 2/2

È possibile dimostrare i seguenti risultati:

5. Se $K_1^{\uparrow C}$ e $K_2^{\uparrow C}$ sono NON IN CONFLITTO, allora $\bigl(K_1\cap K_2\bigr)^{\uparrow C}=K_1^{\uparrow C}\cap K_2^{\uparrow C}$
6. $\bigl(K_1\cup K_2\bigr)^{\uparrow C}\supseteq K_1^{\uparrow C}\cup K_2^{\uparrow C}$

Nel caso in cui il linguaggio $K$ è REGOLARE l’operazione $^{\uparrow C}$ può essere effettuata mediante operazioni su automi a stati finiti.

Infimal Prefix-closed and Controllable Superlanguage

Tenendo conto che dati due linguaggi CONTROLLABILI $L_1=\overline{L_1}$ e $L_2=\overline{L_2}$ anche $L_1\cap L_2=\overline{L_1\cap L_2}$ è controllabile, il più piccolo linguaggio controllabile chiuso rispetto ai prefissi che contiene $K$ è dato da:

$K^{\downarrow C}:=\bigcap_{L\in CC_{out}\bigl(K\bigr)}L$

Infimal Prefix-closed and Controllable Superlanguage – Proprietà

È possibile dimostrare i seguenti risultati:

Se $K_1\subseteq K_2$ allora $K_1^{\downarrow C}\subseteq K_2^{\downarrow C}$
$\bigl(K_1\cap K_2\bigr)^{\downarrow C}\subseteq K_1^{\downarrow C}\cap K_2^{\downarrow C}$
Se $K_1$ e $K_2$ sono NON IN CONFLITTO allora $\bigl(K_1\cap K_2\bigr)^{\downarrow C}=K_1^{\downarrow C}\cap K_2^{\downarrow C}$
$\bigl(K_1\cup K_2\bigr)^{\downarrow C}=K_1^{\downarrow C}\cup K_2^{\downarrow C}$

Nel caso in cui il linguaggio $K$ è REGOLARE l’operazione $^{\downarrow C}$ può essere effettuata mediante operazioni su automi a stati finiti

Basic Supervisory Control Problem (BSCP)

Dato un SED $G$ definito sull’insieme di eventi $E$ , con $E_{nc}\subseteq E$ ,
sia $L_a=\overline{L_a}\subseteq\mathcal{L}\bigl(G\bigr)$ il linguaggio AMMISSIBILE (LEGALE)

Si progetti un supervisore $S(\cdot)$ tale che:

$\mathcal{L}\bigl(S/G\bigr)\subseteq L_a$
$\mathcal{L}\bigl(S/G\bigr)$ sia MASSIMAMENTE PERMISSIVO, cioè $\forall\ S'$ tale che $\mathcal{L}\bigl(S'/G)\bigr)\subseteq L_a$ sia

$\mathcal{L}\bigl(S'/G\bigr)\subseteq\mathcal{L}\bigl(S/G\bigr)$

BSCP – Soluzione

La soluzione al BSCP è:

$\mathcal{L}\bigl(S/G\bigr)=L_a^{\uparrow C}$

Dual BSCP

Dual Basic Supervisory Control Problem

Dato un SED $G$ definito sull’insieme di eventi $E$ , con $E_{nc}\subseteq E$ ,
sia $L_r=\subseteq\mathcal{L}\bigl(G\bigr)$ il linguaggio MINIMO LINGUAGGIO RICHIESTO

Si progetti un supervisore $S(\cdot)$ tale che:

$\mathcal{L}\bigl(S/G\bigr)\supseteq L_r$
$\mathcal{L}\bigl(S/G\bigr)$ sia IL PIÙ PICCOLO POSSIBILE, cioè $\forall\ S'$ tale che $\mathcal{L}\bigl(S'/G)\bigr)\supseteq L_r$ sia

$\mathcal{L}\bigl(S'/G\bigr)\supseteq\mathcal{L}\bigl(S/G\bigr)$

DuBSCP – Soluzione

La soluzione al DuBSCP è:

$\mathcal{L}\bigl(S/G\bigr)=L_r^{\downarrow C}$

Teorema di Controllabilità e Non-bloccaggio

Si consideri un SED $G=\bigl(X\,,E\,,f\,,\Gamma\,,x_0\,,X_m\bigr)$ con $E_{nc}\subseteq E$ insieme degli eventi non controllabili.
Sia $K\subseteq \mathcal{L}\bigl(G\bigr)$ e $K\neq\emptyset$ .