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Massimo Martorelli » 5.Le curve di Bézier – Parte Prima

Argomenti della lezione

Le curve di Bézier (curve approssimanti)
Funzioni di Bernstein
Curva di Bézier di terzo grado

Curve di Bézier

Curve approssimanti

Principio fondamentale
I punti noti (n+1) formano un poligono detto poligono di controllo che la curva dovrà approssimare.

Il grado della curva è n (numero di punti di controllo-1).

Pierre Bézier. Fonte: Nonifier

Esempi di curve di Bézier di terzo grado

Algoritmo di De Casteljau – 1959 Citroen

Algoritmo di De Casteljau

Curve di Bézier

Si definisce Curva di Bézier la combinazione lineare tra i punti di controllo pi e le funzioni di miscelamento $Bi,n(u)$ :

$p(u)=\sum_{i=0}^{n}p_{i}B_{i,n}(u)$
Con $u\epsilon\left[0,1\right]$

$n$ = grado del polinomio
$pi = (n+1)$ punti noti detti punti di controllo
$Bi,n(u)$ = funzioni di miscelamento date dai polinomi di Bernstein

Funzioni di Miscelamento

Proprietà delle funzioni di miscelamento

Devono permettere l’interpolazione del primo e dell’ultimo punto
Il vettore tangente in p0 deve essere parallelo al vettore (p1- p0)
Il vettore tangente in pn deve essere parallelo al vettore (pn- pn-1)
Devono essere simmetriche rispetto ad u ed (1-u)

Tali condizioni sono soddisfatte dalle funzioni di Bernstein.

Coefficiente binomiale

$\left(\begin{array}{c} n\\ i\end{array}\right)=\frac{n!}{i!\centerdot(n-i)!}$
Per esempio:

$\left(\begin{array}{c}5\\3\end{array}\right)=\frac{5!}{3!\centerdot(5-3)!}=\frac{120}{12}=10$

È il numero di combinazioni di 5 elementi presi 3 alla volta.

Funzioni di Bernstein

$p(u)=\sum_{i=0}^{n}p_{i}B_{i,n}(u)$

Con $u\epsilon\left[0,1\right]$

$B_{i,n}(u)=\left(\begin{array}{c} n\\ i\end{array}\right)u^{i}(1-u)^{n-i}$

Dove:

$\left(\begin{array}{c} n\\i\end{array}\right)$ Coefficiente binomiale

$(0)^0=1 \ e \ 0!=1$

Con (n+1) punti di controllo la funzione $B_{i,n}(u)$ è un polinomio di grado n.

Curva di Bézier di terzo grado

$p(u)=\sum_{i=0}^{3}\frac{3!}{i!(3-i)!}u^{i}(1-u)^{3-i}p_{i}$

Per n = 3

Sviluppando la somma dei quattro termini si ottiene la seguente espressione:

$p(u)=(1-u)^{3}p_{0}+3u(1-u)^{2}p_{1}+3u^{2}(1-u)p_{2}+u^{3}p_{3}$

Con $u\epsilon\left[0,1\right]$

Polinomi di Bernstein per n=3

I polinomi di Bernstein di grado 3:

$B_{0,3}(u)=(1-u)^{3}B_{1,3}(u)=3u(1-u)^{2}B_{2,3}(u)=3u^{2}(1-u)B_{3,3}(u)=u^{3}$

Polinomi di Bernstein di grado 3

Le lezioni del Corso

1. Introduzione alla modellazione geometrica

2. Rappresentazione matematica delle curve

3. Le forme parametriche: le curve polinomiali cubiche

4. Le curve polinomiali cubiche: metodo di Hermite

5. Le curve di Bézier – Parte Prima

6. Le curve di Bézier – Parte Seconda

7. Curve Spline

8. Curve B-Spline

9. Reverse Engineering

10. Rilievo e ricostruzione di forme d'interesse navale mediante tecniche di Reverse Engineering

Il Podcast della lezione

Le altre lezioni del corso con podcast

1. Introduzione alla modellazione geometrica

2. Rappresentazione matematica delle curve

3. Le forme parametriche: le curve polinomiali cubiche

4. Le curve polinomiali cubiche: metodo di Hermite

5. Le curve di Bézier – Parte Prima

6. Le curve di Bézier – Parte Seconda

7. Curve Spline

8. Curve B-Spline

9. Reverse Engineering

10. Rilievo e ricostruzione di forme d'interesse navale mediante tecniche di Reverse Engineering

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