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Massimo Martorelli » 5.Le curve di Bézier – Parte Prima


Argomenti della lezione

  • Le curve di Bézier (curve approssimanti)
  • Funzioni di Bernstein
  • Curva di Bézier di terzo grado

Curve di Bézier

Curve approssimanti

Principio fondamentale
I punti noti (n+1) formano un poligono detto poligono di controllo che la curva dovrà approssimare.

Il grado della curva è n (numero di punti di controllo-1).

Pierre Bézier. Fonte: Nonifier

Pierre Bézier. Fonte: Nonifier

Esempi di curve di Bézier di terzo grado

Esempi di curve di Bézier di terzo grado


Algoritmo di De Casteljau – 1959 Citroen

Algoritmo di De Casteljau

Algoritmo di De Casteljau


Curve di Bézier

Si definisce Curva di Bézier la combinazione lineare tra i punti di controllo pi e le funzioni di miscelamento Bi,n(u):

p(u)=\sum_{i=0}^{n}p_{i}B_{i,n}(u)
Con u\epsilon\left[0,1\right]

  • n = grado del polinomio
  • pi = (n+1) punti noti detti punti di controllo
  • Bi,n(u) = funzioni di miscelamento date dai polinomi di Bernstein

Funzioni di Miscelamento

Proprietà delle funzioni di miscelamento

  • Devono permettere l’interpolazione del primo e dell’ultimo punto
  • Il vettore tangente in p0 deve essere parallelo al vettore (p1- p0)
  • Il vettore tangente in pn deve essere parallelo al vettore (pn- pn-1)
  • Devono essere simmetriche rispetto ad u ed (1-u)

Tali condizioni sono soddisfatte dalle funzioni di Bernstein.


Coefficiente binomiale

\left(\begin{array}{c} n\\ i\end{array}\right)=\frac{n!}{i!\centerdot(n-i)!}
Per esempio:

\left(\begin{array}{c}5\\3\end{array}\right)=\frac{5!}{3!\centerdot(5-3)!}=\frac{120}{12}=10

È il numero di combinazioni di 5 elementi presi 3 alla volta.

Funzioni di Bernstein

p(u)=\sum_{i=0}^{n}p_{i}B_{i,n}(u)

Con u\epsilon\left[0,1\right]

B_{i,n}(u)=\left(\begin{array}{c} n\\ i\end{array}\right)u^{i}(1-u)^{n-i}

Dove:

\left(\begin{array}{c} n\\i\end{array}\right) Coefficiente binomiale

(0)^0=1 \ e \ 0!=1

Con (n+1) punti di controllo la funzione B_{i,n}(u) è un polinomio di grado n.

Curva di Bézier di terzo grado

p(u)=\sum_{i=0}^{3}\frac{3!}{i!(3-i)!}u^{i}(1-u)^{3-i}p_{i}

Per n = 3

Sviluppando la somma dei quattro termini si ottiene la seguente espressione:

p(u)=(1-u)^{3}p_{0}+3u(1-u)^{2}p_{1}+3u^{2}(1-u)p_{2}+u^{3}p_{3}

Con u\epsilon\left[0,1\right]

Polinomi di Bernstein per n=3

I polinomi di Bernstein di grado 3:

B_{0,3}(u)=(1-u)^{3}B_{1,3}(u)=3u(1-u)^{2}B_{2,3}(u)=3u^{2}(1-u)B_{3,3}(u)=u^{3}

Polinomi di Bernstein di grado 3

Polinomi di Bernstein di grado 3


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