Massimo Martorelli » 6.Le curve di Bézier – Parte Seconda

Argomenti della lezione

Forma matriciale delle curve di Bézier
Conversione Hermite-Bézier
Curva razionale di Bézier

Curve di Bézier: Forma matriciale

Per n=3
$p(u)=(1-u)^{3}p_{0}+3u(1-u)^{2}p_{1}+3u^{2}(1-u)p_{2}+u^{3}p_{3}$

In forma matriciale:
$p(u) = F_mP = UMBP$

dove
$F_{m}=\left[\begin{array}{cccc}\left(1-u\right)^{3} & 3u(1-u)^{2} & 3u^{2}(1-u) & u^{3}\end{array}\right]$ Funzioni di miscelamento

$P=\left[\begin{array}{cccc}p_{0} & p_{1} & p_{2} & p_{3}\end{array}\right]^{T}$ Matrice dei punti di controllo

M_B= Matrice di trasformazione universale

$p(u)=\left[\begin{array}{cccc}u^{3} & u^{2} & u & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}-1 & 3 & -3 & 1\\3 & -6 & 3 & 0\\-3 & 3 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}p_{0}\\p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\end{array}\right]$

Conversione Hermite-Bézier

$p(u)=F\left[\begin{array}{cccc}p_{0} & p_{3} & p_{0}^{u} & p_{3}^{u}\end{array}\right]^{T}=F_{m}\left[\begin{array}{cccc}p_{0} & p_{1} & p_{2} & p_{3}\end{array}\right]^{T}$

$\begin{cases}\begin{array}{c}p_{0}^{u}=k(p_{1}-p_{0})\\p_{3}^{u}=k(p_{3}-p_{2})\end{array}\end{cases}$

Proprietà delle curve di Bézier

La curva è contenuta all’interno del poligono di controllo (convesso)
Passa solo per il primo e l’ultimo punto
Il grado è uguale al numero dei punti di controllo -1
Controllo della forma della curva mediante lo spostamento dei punti di controllo

Esempi di curve di Bézier

Modifica dei punti di controllo

Se si sposta un punto di controllo p_i in una nuova posizione p_i* l’intera curva di Bézier si sposta in direzione parallela a p_i -p_i*.

Curva razionale di Bézier

Con $u\epsilon\left[0,1\right]$
$p(u)=\frac{\sum_{i=0}^{n}\beta_{i}p_{i}B_{i,n}(u)}{\sum_{i=0}^{n}\beta_{i}B_{i,n}(u)}$
Dove β_i sono dei valori non negativi detti “pesi” ed associati ai punti di controllo.

Pesi

All’aumentare del valore di β_i, la curva tende verso pi mentre al diminuire di β_i, la curva si allontana da p_i.

Limiti della rappresentazione di Bézier

Le curve di Bézier interpolano solamente il primo e l’ultimo punto di controllo
In alcuni casi è necessario che la curva passi esattamente per i punti dati. In tal caso le curve di Bézier non sono adeguate
Curve complesse richiedono molti punti di controllo che aumentano il grado e rendono la curva instabile