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Massimo Martorelli » 6.Le curve di Bézier – Parte Seconda


Argomenti della lezione

  • Forma matriciale delle curve di Bézier
  • Conversione Hermite-Bézier
  • Curva razionale di Bézier

Curve di Bézier: Forma matriciale

Per n=3
p(u)=(1-u)^{3}p_{0}+3u(1-u)^{2}p_{1}+3u^{2}(1-u)p_{2}+u^{3}p_{3}

In forma matriciale:
p(u) = F_mP = UMBP

dove
F_{m}=\left[\begin{array}{cccc}\left(1-u\right)^{3} & 3u(1-u)^{2} & 3u^{2}(1-u) & u^{3}\end{array}\right] Funzioni di miscelamento

P=\left[\begin{array}{cccc}p_{0} & p_{1} & p_{2} & p_{3}\end{array}\right]^{T} Matrice dei punti di controllo

MB= Matrice di trasformazione universale

p(u)=\left[\begin{array}{cccc}u^{3} & u^{2} & u & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}-1 & 3 & -3 & 1\\3 & -6 & 3 & 0\\-3 & 3 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}p_{0}\\p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\end{array}\right]

Conversione Hermite-Bézier

p(u)=F\left[\begin{array}{cccc}p_{0} & p_{3} & p_{0}^{u} & p_{3}^{u}\end{array}\right]^{T}=F_{m}\left[\begin{array}{cccc}p_{0} & p_{1} & p_{2} & p_{3}\end{array}\right]^{T}

\begin{cases}\begin{array}{c}p_{0}^{u}=k(p_{1}-p_{0})\\p_{3}^{u}=k(p_{3}-p_{2})\end{array}\end{cases}


Proprietà delle curve di Bézier

  • La curva è contenuta all’interno del poligono di controllo (convesso)
  • Passa solo per il primo e l’ultimo punto
  • Il grado è uguale al numero dei punti di controllo -1
  • Controllo della forma della curva mediante lo spostamento dei punti di controllo

Esempi di curve di Bézier

Esempi di curve di Bézier

Esempi di curve di Bézier


Modifica dei punti di controllo

Se si sposta un punto di controllo pi in una nuova posizione pi* l’intera curva di Bézier si sposta in direzione parallela a pi -pi*.


Curva razionale di Bézier

Conu\epsilon\left[0,1\right]
p(u)=\frac{\sum_{i=0}^{n}\beta_{i}p_{i}B_{i,n}(u)}{\sum_{i=0}^{n}\beta_{i}B_{i,n}(u)}
Dove βi sono dei valori non negativi detti “pesi” ed associati ai punti di controllo.

Pesi

All’aumentare del valore di βi, la curva tende verso pi mentre al diminuire di βi, la curva si allontana da pi.


Limiti della rappresentazione di Bézier

  • Le curve di Bézier interpolano solamente il primo e l’ultimo punto di controllo
  • In alcuni casi è necessario che la curva passi esattamente per i punti dati. In tal caso le curve di Bézier non sono adeguate
  • Curve complesse richiedono molti punti di controllo che aumentano il grado e rendono la curva instabile
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