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Massimo Martorelli » 7.Curve Spline

Argomenti della lezione

Curve Spline
Curve interpolanti
Curve Spline cubiche
Vettore dei nodi

Curve Spline

Sono particolari curve polinomiali composte da archi di curva che si succedono uno dietro l’altro, assicurando condizioni di continuità nel passaggio da un tratto all’altro.

L’espressione analitica si ottiene imponendo una serie di condizioni numeriche:

Passaggio della curva per un insieme di punti
Condizioni di continuità tra una polinomiale e la successiva

Fonte: Math.Emich

Curve Spline cubiche

Unione di tratti di curva p.c. che interpolano un insieme di punti noti, ed aventi continuità C² nei punti intermedi

p_o, p₁,…, p_n-1, p_n = (n + 1) punti noti da interpolare
p₁(u), p₂(u),…, p_n(u) = n tratti di curva p.c
$u\epsilon\left[U_{i-1},U_{i}\right]$ = parametro locale di ogni i-esimo tratto

Curve Spline cubiche

Nell’i-esimo tratto la curva polinomiale cubica p(u) è definita dalla sua espressione parametrica:
$p_{i}(u)=a_{i0}+a_{i1}u+a_{i2}u^{2}+a_{i3}u^{3}$

$\left\{ \begin{array}{c}p_{1}(u)=a_{10}+a_{11}u+a_{12}u^{2}+a_{13}u^{3}\\p_{2}(u)=a_{20}+a_{21}u+a_{22}u^{2}+a_{23}u^{3}\\\ldots\\p_{n}(u)=a_{n0}+a_{n1}u+a_{n2}u^{2}+a_{n3}u^{3}\end{array}$

Per la risoluzione del sistema sono necessarie 4n condizioni.

Curve Spline cubiche

Il sistema non può essere univocamente risolto, sono necessarie altre due condizioni, infatti:
$\left\{ \begin{array}{c}p_{i}(U_{i-1})=p_{i-1}\\p_{i}(U_{i})=p_{i}\end{array}$ → 2n equazioni
$\left\{ \begin{array}{c}p_{i}^{u}(U_{i})=p_{i+1}^{u}(U_{i})\\p_{i}^{uu}(U_{i})=p_{i+1}^{uu}(U_{i})\end{array}$ → 2(n-1) equazioni
Le due condizioni possono essere ottenute imponendo ulteriori condizioni negli estremi:

$4n-[2n+2(n-1)]=2$

Componenti fisse: il tratto di curva in un intorno dell’estremo coincide con una direzione tangente a una linea o curva selezionata oppure specificata immettendo le componenti X, Y e Z
A curvatura nulla: il tratto di curva in un intorno dell’estremo coincide con la tangente alla spline nell’estremo stesso
Circolare: il tratto di curva in un intorno dell’estremo coincide con una circonferenza passante per i tre punti di definizione più prossimi all’estremo

Vettore dei nodi

La curva Spline, in quanto unione di curve polinomiali cubiche, non può utilizzare un unico intervallo $u\epsilon\left[0,1\right], ma u\epsilon\left[U_{0},U_{1},\ldots,U_{n}\right]$ “vettore dei nodi”.

Scelta dei valori dei nodi

Il metodo più semplice è imporre una uniforme spaziatura tra i nodi: U₀=0, U₁=1 ovvero U_i=i ⇒ U_i-U_i-1=1 (in modo che il loro valore venga incrementato di 1).

Svantaggio: non è detto che i punti sulla curva siano uniformemente spaziali; possono innescarsi oscillazioni non volute.
Il metodo ideale è assegnare all’intervallo tra un nodo e l’altro la lunghezza dell’arco di curva corrispondente: U₀=0, U₁=U₀+L₁ ovvero U_i=U_i-1+L_i con L_i distanza lungo la curva tra p_i e p_i+1.
Svantaggio: la lunghezza della curva dovrebbe essere calcolata precedentemente alla assegnazione dei valori ai nodi: non è possibile.

Scelta dei valori dei nodi

Un metodo pratico è assegnare all’intervallo tra un nodo e l’altro la distanza fra gli estremi dell’arco corrispondente:
U₀=0, U₁=U₀+d₁ ovvero U_i=U_i-1+d_i.

Limiti delle curve Spline e di Bézier

Sia le curve di Bézier che le Spline non permettono modifiche locali della curva; inoltre, per le curve di Bézier, il grado della curva è legato al numero dei punti di controllo.

Tali limiti sono superati dalle curve B-spline.