Massimo Martorelli » 3.Le forme parametriche: le curve polinomiali cubiche

Argomenti della lezione

Le curve parametriche
Curve interpolanti e curve approssimanti
Le curve polinomiali cubiche:
- Rappresentazione algebrica (metodo di Lagrange)

Curve parametriche

Le curve parametriche free-form più utilizzate in ambito industriale sono le seguenti:

Curve di Hermite
Curve di Bézier
Curve Spline
Curve B-Spline
Curve Nurbs

Curve interpolanti e curve approssimanti

Curva interpolante: si impone il passaggio della curva attraverso i punti dati.

Curva approssimante: la condizione è solo di vicinanza.

Curva interpolante

Curva approssimante

Formulazione polinomiale

$x(u)=a_{x0}+a_{x1}u+a_{x2}u^{2}+\ldots+a_{xn}u^{n}$

$p(u)=\sum_{i=0}^{n}a_{i}u^{i}$

$a_{i}=\left[\begin{array}{c} a_{xi}\\a_{yi}\\ a_{zi}\end{array}\right]$

Il grado o ordine di un polinomio è il grado del suo monomio di grado più alto: ad esempio: $a^{2}b^{3}+4a^{4}b^{3}$ ha grado 7.

Unione di tratti di curve

Si possono utilizzare polinomi di basso ordine (ad esempio cubici) per ciascun tratto di curva.

Connessione nei punti di collegamento

Curve polinomiali cubiche (p.c.)

$x(u)=a_{x0}+a_{x1}u+a_{x2}u^{2}+a_{x3}u^{3}$
$p(u)=\sum_{i=0}^{3}a_{i}u^{i}$

$a_{i}=\left[\begin{array}{c} a_{xi}\\ a_{yi}\\ a_{zi}\end{array}\right]$
Vengono utilizzati polinomi di grado 3.
Le forme parametriche CUBICHE rappresentano il grado più basso per poter descrivere curve non planari nello spazio ( $n=3; 3(n+1)=12$ coefficienti).

Forma parametrica di una curva p.c.

$\left\{ \begin{array}{c} x(u)=a_{x0}+a_{x1}u+a_{x2}u^{2}+a_{x3}u^{3}\\ y(u)=a_{y0}+a_{y1}u+a_{y2}u^{2}+a_{y3}u^{3}\\ z(u)=a_{z0}+a_{z1}u+a_{z2}u^{2}+a_{z3}u^{3}\end{array}$

Con $u\epsilon\left[0,1\right]$

Curva interpolante
Ci sono 12 coefficienti incogniti, chiamati, coefficienti algebrici che determinano univocamente la curva con la sua grandezza, forma e posizione nello spazio.
p(u)=a₀+a₁u+a₂u²+a₃u³

Forma vettoriale parametrica di una curva polinomiale cubica
Dove ci sono i 4 coefficienti vettoriali (12 coefficienti scalari).

Risoluzione di Lagrange

Il sistema può essere risolto se sono note le coordinate spaziali di 4 punti della curva (4×3=12 condizioni) ed il corrispondente valore del parametro u.