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Giovanni Maria Carlomagno » 8.Espansione - parte prima

Onde di espansione

Si è visto in precedenza che, quando una corrente supersonica che fluisce su una parete devia per la presenza di un angolo concavo della superficie, tale deviazione è resa possibile da un’onda d’urto obliqua. Nel seguito si analizzerà il comportamento di una corrente supersonica nel caso in cui l’angolo formato dalla parete è convesso anziché concavo.

Si supponga ancora, inizialmente, che la parete formi un angolo concavo ma di valore infinitesimo dδ (angolo di deviazione della corrente). Ricordando che per δ→ 0 sono possibili due soluzioni: un’onda d’urto normale (ε→ 90°) ed un’onda di Mach (ε→μ= arcsin 1/M₁). Poiché in precedenza è stato affermato che, in una situazione del tipo descritto la soluzione più realistica è quella debole, si può concludere che la deviazione infinitesima della corrente è prodotta da un’onda di Mach.
L’onda di Mach, come già detto, non produce alcuna compressione finita della corrente; infatti per M₁sin ε = 1, si ha:

$M_2=M_1;~~ \delta=0;~~\frac{T_2}{T_1}=\frac{\rho_2}{\rho_1}=\frac{p_2}{p_1}=\frac{p_02}{p_01}=1$

le quali confermano quanto già anticipato.

Onde di espansione (segue)

$\frac{p_{02}}{p_{01}}=1 \rightarrow s_2-s_1 = - Rln \frac{p_{02}}{p_{01}}=0$

Le precedenti relazioni mostrano anche che l’onda di Mach è isoentropica e, quindi, reversibile. L’onda di Mach, dunque, può produrre al più variazioni infinitesime dello stato termofluidodinamico.
Al fine di calcolarle si consideri la situazione rappresentata in figura in cui una corrente supersonica (avente velocità V e numero di Mach M e supposta per semplicità inizialmente orizzontale) è deviata verso l’alto di un angolo dδ, supposto infinitesimo e positivo, attraverso un’onda di Mach (quindi inclinata dell’angolo μ rispetto alla corrente stessa) che accelera la corrente di dV.

Onde di espansione (segue)

Essendo per definizione $M_n= M sin \mu = 1$ , dalla figura si ha:

$\tan\mu = \frac{V_n}{V_t}=\frac {M_n}{M_t}= \frac 1 {\sqrt {M^2 - 1}}$

Inoltre con riferimento alla stessa figura, poiché per quanto detto in precedenza la componente tangenziale delle velocità prima e dopo l’onda deve rimanere la stessa, si ha:

$V-t= V cos \mu= (V+dV) cos (\mu + d\delta)$

Ricordando che dδ è infinitesimo (quindi sin dδ≅ dδ e cos dδ≅ 1) si può scrivere:

$cos(\mu - d\delta) = cos \mu cos d\delta + sin \mu sin d \delta = cos \mu + d \delta sin \mu$

per cui, trascurando infinitesimi di ordine superiore, si ha:

$\frac {dV}V=-tan \mu d \delta$

Onde di espansione (segue)

Ed infine, tenendo conto della:

$tan \mu = \frac{V_n}{V_t}=\frac{M_n}{M_t}\frac 1 {\sqrt{M^2 - 1}}$

si ottiene:

$d\delta=- \sqrt{M^2 - 1}\frac{dV}V$

La precedente rappresenta l’equazione differenziale che governa il moto cosiddetto alla Prandtl e Meyer. Essa mostra che, per angoli dδ positivi (parete concava del tipo indicato in figura), la corrente subisce una diminuzione (infinitesima) della sua velocità (dV < 0) e quindi del suo numero di Mach; si veda in proposito la:

$\frac{dV}V= \Biggl( 1 + \frac{\gamma -1}2 M^2\Biggr)^{-1}\frac{dM}M$

Viceversa, per angoli dδ negativi (parete convessa), la corrente supersonica accelera (dV > 0) e il suo numero di Mach aumenta. Nel primo caso (decelerazione), la corrente è soggetta ad una compressione (infinitesima), mentre nel secondo caso (accelerazione) ad un’espansione.

Onde di espansione (segue)

Infatti ricordando che la trasformazione è isoentropica, vale la:

$\frac{p_0}p= \Biggl(1+ \frac{\gamma -1}2 M^2\Biggr)^{\frac \gamma {\gamma -1}}$

che, se differenziata logaritmicamente, dà luogo a:

$\frac{dp}p=- \Biggl(1+\frac{\gamma -1}2 M^2\Biggr)^{-1}\gamma MdM$

La relazione precedente mostra che i segni di dp e di dM sono tra loro opposti e, avendo dM e dV lo stesso segno, che ad una decelerazione corrisponde una compressione e viceversa. Allo stesso risultato si può giungere più facilmente mediante la:

$dp + \rho VdV+ \rho gdz = 0$

che è valida anche nel caso in cui il modello di gas non sia più che perfetto, nella quale si trascuri il termine gravitazionale ρ gdz, ovviamente ignorato in questa trattazione.

Onde di espansione (segue)

Si consideri ora la parete concava con curvatura continua che dia luogo ad una deviazione finita δ come quella indicata in fig.(a). La curvatura continua si può approssimare con un numero n molto grande di piccoli tratti rettilinei, ciascuno inclinato rispetto al precedente di un piccolo angolo Δδ, per cui l’effetto sulla corrente è quello che, da ciascun punto angoloso, partirà un’onda di Mach di compressione, Fig. (b). Ovviamente si ha: $n\Delta \delta=\delta$
È facile convincersi che, in questo caso, le onde di Mach di compressione tendono a coalescere, sia perché la parete ruota verso il fluido, sia perché l’angolo μ che esse formano localmente con la parete stessa tende ad aumentare a causa della progressiva diminuzione del numero di Mach della corrente $M_n=M sin \mu = 1$ .
Si ricordi, infatti, che una compressione dà luogo ad una decelerazione, e quindi ad una diminuzione del numero di Mach della corrente (aumento di μ), e che, dopo ogni rotazione della corrente susseguente ad un’onda, l’angolo μ è misurato rispetto alla nuova direzione della velocità della corrente stessa.

Onde di espansione (segue)

In effetti, nel caso della concavità con curvatura continua (raccordata), ad ogni rotazione infinitesima dδ della parete corrisponde un’onda di Mach e, poiché sono necessarie infinite rotazioni infinitesime per dare luogo ad una deviazione finita δ, le onde di Mach che si generano sono anch’esse infinite.
Ad una certa distanza dalla parete, come rappresentato schematicamente nella figura (b), la coalescenza delle onde di Mach dà luogo ad un’onda d’urto. Ovviamente nel caso in cui la parete risulti concava per un solo punto angoloso, le onde di Mach non saranno più presenti e la configurazione sarà piuttosto quella già descritta in precedenza, con la sola onda d’urto obliqua.

Onde di espansione (segue)

E’ importante notare che il fluido, che attraversa le (infinite) onde di Mach (ciascuna delle quali devia la corrente di un angolo infinitesimo dδ), è soggetto ad una trasformazione isoentropica (perché ciascuna onda di Mach è isoentropica) mentre ciò non è vero per il fluido che attraversa l’onda d’urto nella quale vi è produzione di entropia.
La superficie di contatto, curva tratteggiata in figura, indica la superficie di separazione tra questi due flussi.

Onde di espansione (segue)

Onde di Mach e onda d'urto su una parete curva. Numero di Mach a monte: M = 2.75

Onde di espansione (segue)

Se ora, viceversa, si considera una parete convessa avente una curvatura continua, la rappresentazione approssimata delle onde di Mach viste in precedenza si modifica come quella di figura. Le onde di Mach sono onde di espansione poiché i piccoli angoli Δδ sono negativi e quindi, in base alla:

$d\delta=-\sqrt{M^2-1}\frac{dV}V$

la corrente tende ad accelerare.

Onde di espansione (segue)

E’ facile convincersi che, in questo caso, le onde di Mach di espansione sono divergenti tra loro sia perché la parete ruota allontanandosi dal fluido, sia perché l’angolo μ che esse formano localmente con la parete stessa tende a diminuire a causa del progressivo aumento del numero di Mach conseguente all’espansione.
L’insieme delle onde di espansione, che per una deviazione finita – |δ| sono ovviamente infinite (in quanto ogni onda di Mach dà luogo ad una deviazione infinitesima) si chiama ventaglio di espansione. La relativa evoluzione del fluido, che è isoentropica perché ciascuna onda di Mach è isoentropica, viene denominata espansione alla Prandtl e Meyer.

Onde di espansione (segue)

Nel caso rappresentato in figura in cui la parete è convessa per la presenza di un solo punto angoloso, le infinite onde di espansione hanno tutte origine in detto punto angoloso.
Inoltre, nel caso in cui sia M = 1, la prima onda di Mach che incontra la corrente deve necessariamente essere ortogonale alla corrente stessa, ciò perché il numero di Mach normale a questa prima onda deve essere unitario.

Onde di espansione (segue)

Infine, occorre osservare che dalla:

$d\delta=-\sqrt{M^2-1}\frac{dV}V$

si ottiene che un’onda di Mach di espansione (dV > 0) dà luogo ad un dδ negativo per cui la corrente tende (sia pure con una rotazione infinitesima) ad allontanarsi dall’onda. Viceversa, per un’onda di Mach di compressione (dV < 0), il dδ è positivo e la corrente tende ad adagiarsi sull’onda così come avviene nel caso più particolare di un’onda d’urto obliqua.

È facile verificare che l’allontanamento della corrente a valle di un’onda di Mach di espansione giustifica l’asserzione fatta in precedenza cioè che le onde di Mach di espansione si riflettono su una superficie piana come tali.

Espansione alla Prandtl e Meyer in un gas più che perfetto

Per un gas più che perfetto si può scrivere la relazione:

$V^2=M^2a^2=M^2\gamma RT$

che differenziata logaritmicamente dà luogo a:

$2 \frac{dV}V=2 \frac{dM}M + \frac{dT}T$

Differenziando logaritmicamente la:

$T_0= T\Biggl(1+ \frac{\gamma -1}2 M^2\Biggr)$

anche essa valida per una trasformazione omoenergetica di un gas più che perfetto, si ottiene:

$\frac{dT}T+ (\gamma -1)MdM\Biggl(1+\frac{\gamma -1}2M^2\Biggr)^{-1}=0$

per cui sostituendo si ha, infine, per un moto omoenergetico:

$\frac{dV}V=\Biggl(1+\frac{\gamma-1}2M^2\Biggr)^{-1}\frac{dM}M$

Espansione alla Prandtl e Meyer in un gas più che perfetto (segue)

La formula precedente rappresenta (per un moto ad H = cost) il legame tra il dM ed il dV nel caso di un gas più che perfetto. Si noti che dM e dV hanno lo stesso segno per cui ad un aumento del numero di Mach corrisponde un aumento della velocità e viceversa.
Questo è stato visto anche con riferimento alle onde d’urto, quando si rappresentano i punti a monte ed a valle di un’onda d’urto sul piano h-s (o, T-s).
Dalla precedente relazione si rileva anche che, per M ≠ 0, la quantità dM/M è sempre maggiore di dV/V.
La relazione precedente sostituita nella:

$d\delta=-\sqrt{M^2-1}\frac{dV}V$

conduce all’equazione differenziale del moto alla Prandtl e Meyer per un gas più che perfetto nelle due sole variabili δ e M:

$d\delta=-\sqrt{M^2-1}\biggl(1+\frac{\gamma-1}2 M^2\biggr)^{-1}\frac{dM}M$

Espansione alla Prandtl e Meyer in un gas più che perfetto (segue)

Posto:

$k=(\gamma+1)/(\gamma-1) >1$

(perché per la stabilità termodinamica è γ>1), l’integrale indefinito della:

$d \delta=-\sqrt{M^2-1}\Biggl(1+\frac{\gamma-1}2M^2\Biggr)^{-1}\frac{dM}M$

è il seguente:

$\delta = - \sqrt k~~ artan \sqrt{(M^2-1)/k}+ artan \sqrt{M^2-1}+cost$

in cui la costante di integrazione può essere determinata assegnando un valore di δ per un determinato valore di M.

Occorre ora osservare che le onde di Mach sono presenti in una corrente solo in condizioni non subsoniche e cioè per M ≥ 1; solo in tal caso, infatti, può accadere che la componente del numero di Mach, normale all’onda, sia pari ad 1.

Oltretutto, la precedente relazione, per valori di M < 1, non dà luogo a soluzioni nel campo dei numeri reali cosicché essa è valida solo per M ≥ 1.

Risulta allora conveniente porre δ = 0 per M = 1 da cui si ottiene cost = 0.

Espansione alla Prandtl e Meyer in un gas più che perfetto (segue)

Con tale posizione, l’espansione in serie arrestata al II termine della:

$\delta = -\sqrt k ~~artan \sqrt{(M^2-1)/k}+ artan\sqrt{M^2-1}$

per M² →1 conduce a:

$\delta \cong - (M^2-1)^{3/2}(k-1)/3k$

e cioè a valori negativi di δ (in quanto k è maggiore dell’unità).
Inoltre, per M² → ∞ si ottiene:

$\delta_{\lim}=-\frac \pi 2 (\sqrt k -1)<0$

anch’esso valore negativo (per γ = 1.4 si ha δ_lim = -130.45°). In effetti, con la posizione cost = 0, si hanno valori di δ sempre negativi.

Poiché, in questo contesto, le situazioni di interesse sono quelle con valori negativi di δ, è conveniente porre ν = – δ trattando, quindi, solo valori positivi di ν:

$\nu = \sqrt k~~artan \sqrt{(M^2-1)/k}-artan\sqrt{M^2-1}$

Espansione alla Prandtl e Meyer in un gas più che perfetto (segue)

L'angolo ν è chiamato angolo di Prandtl e Meyer ed è diagrammato nella figura che segue per tre diversi valori di γ e quindi di k.

Espansione alla Prandtl e Meyer in un gas più che perfetto (segue)

Per come è stato ricavato (ν = 0 per M = 1), l’angolo di Prandtl e Meyer ha il seguente significato fisico che è anche rappresentato in figura.

Si supponga di avere una corrente sonica che fluisca parallelamente ad una parete AB.
L’angolo ν è quello di cui bisogna ruotare la parete (formando una convessità) perché la corrente passi dal numero di Mach sonico che aveva sulla parete AB al numero di Mach supersonico M sulla parete BC.

Espansione alla Prandtl e Meyer in un gas più che perfetto (segue)

Alternativamente, se una corrente sonica fluisce su di una parete e questa parete ruota (formando una convessità) di un angolo ν < – δ_lim, la corrente raggiungerà un numero di Mach M ricavabile dalla:

$\nu=\sqrt k ~~artan \sqrt{(M^2-1)/k}-artan \sqrt{M^2-1}$

Logicamente tutto ciò accade se nella zona a valle del ventaglio di espansione esistono le condizioni adatte di pressione date dalla:

$p_0=p\Biggl(1+\frac{\gamma -1}2M^2\Biggr)^{\frac \gamma {\gamma - 1}}$

dettate dall’adiabatica isoentropica.
Nella figura, la prima onda di Mach BD del ventaglio di espansione è ortogonale alla corrente (sonica); l’ultima onda di Mach BE è inclinata rispetto alla direzione locale della corrente dell’angolo μ = arcsin (1/M).

Espansione alla Prandtl e Meyer in un gas più che perfetto (segue)

La condizione innanzi posta ν< -δ_lim= ν_lim deriva dal fatto che per ν = ν_lim si ha M → ∞ e di conseguenza p → ∞ ; la corrente non può, quindi, espandere ulteriormente al di là di ν_lim (per γ = 1.4 si ha ν_lim= 130.45°).
Se la geometria della discontinuità è tale che, come rappresentato in figura, l’angolo di convessità della parete è maggiore di ν_lim la corrente si separa dalla parete a valle dello spigolo e l’ultima onda di Mach ha la stessa direzione della corrente poiché per M → ∞ si ha M(sinμ) = 1 e quindi μ→ 0.
La figura è solo indicativa poiché il rapporto tra l’area di passaggio del flusso a M → ∞ e quella a M → 1, risulterebbe pari ad infinito dalla:

$\frac A {A^*}=\frac 1 M \Biggl[\frac 2 {\gamma +1}\Biggl ( 1+ \frac{(\gamma -1)}2M^2\Biggr)\Biggl]^{\frac{(\gamma +1)}{2(\gamma -1)}}$

Espansione alla Prandtl e Meyer in un gas più che perfetto (segue)

Si consideri ora una corrente supersonica (M₁) soggetta a una deviazione pari a Δ (di convessità). Per determinare il numero di Mach M₂ a valle della deviazione, occorre sommare al valore dell’angolo di Prandtl e Meyer ν₁, corrispondente a M₁, l’angolo Δ. Si avrà così il valore ν₂ e il valore M₂ sarà facilmente calcolabile in funzione di ν₂. Ciò è schematicamente rappresentato in figura.
Partendo da M = 1, si può arrivare a M₂ sia con l’unica espansione derivante da una rotazione della parete pari a ν₂, sia con una prima espansione per una rotazione pari a ν₁ (che porta la corrente a M₁) seguita da una successiva espansione per una rotazione pari a Δ = ν₂ – ν₁ (che porta la corrente a M₁).
È chiaro che ciò è possibile poiché, essendo l’espansione di Prandtl e Meyer isoentropica, si può applicare alle diverse espansioni il principio di sovrapposizione degli effetti.

Espansione alla Prandtl e Meyer in un gas più che perfetto (segue)

In base a quanto suesposto occorre precisare meglio quanto detto sui campi di moto derivanti dalle geometrie delle figure già viste. Essendo le rotazioni Δδ finite e non infinitesime, le onde di compressione della Fig. (a) sono in effetti deboli (per la piccolezza di Δδ ) onde d’urto oblique quasi-isoentropiche.

Invece, le onde di espansione della Fig. (b) sono di fatto tanti piccoli ventagli di espansione, comunque ciascuno costituito da una infinità di onde di Mach.

Espansione alla Prandtl e Meyer in un gas più che perfetto (segue)

Inoltre, con riferimento al campo di moto in prossimità della parete (quindi solo attraverso le onde di Mach) di Fig. (c), esso può ancora essere calcolato mediante le relazioni viste, sottraendo al valore di ν, corrispondente al numero di Mach a monte della prima onda, i valori delle rotazioni (di concavità) della parete.

Infine deve essere rimarcato che le situazioni del tipo prima viste, e cioè corrente a valle del ventaglio di espansione parallela alla parete, sono possibili solo se ivi esistono le condizioni di pressione p dettate dalla:

$p_0=p\Biggl(1+\frac{\gamma -1}2 M^2\Biggr)^\frac{\gamma}{\gamma -1}$

Qualora ciò non fosse vero, e cioè la pressione fosse maggiore di quella consentita, l’espansione si arresterebbe a detto valore di pressione e la corrente di conseguenza si separerebbe dalla parete.
Chi comanda è la pressione a valle e ciò sarà esplicitamente esaminato nel caso di efflusso da un ugello nel prossimo capitolo.
(c)