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Giovanni Maria Carlomagno » 9.Espansione - parte seconda


Riflessione di onde su superfici libere

Nel seguito si intenderà per superficie libera, quella superficie che separa due correnti aventi velocità diverse. Una superficie di questo tipo è necessariamente vorticosa. Per semplicità si supporrà che una delle due correnti sia supersonica e che l’altra sia subsonica (o al limite a velocità nulla). Anche quì si trascureranno gli effetti viscosi.

Come rappresentato in figura, si consideri la regione 1 costituita da una corrente supersonica e separata dalla regione 4 (nella quale M4 < 1) dalla superficie libera indicata con la linea tratteggiata. Poiché le linee di corrente nelle due regioni (a cavallo della superficie libera) sono rettilinee e parallele, le rispettive pressioni statiche debbono essere tra di loro uguali.


Riflessione di onde su superfici libere (segue)

Si supponga ora che nella regione 1 esista un’onda d’urto obliqua, del tipo rappresentato in figura, che dia luogo ad una deviazione δ1 della corrente nella regione 2 ed un numero di Mach M2 > 1.
Poiché l’onda d’urto obliqua darà luogo ad una compressione p2 > p1 e poiché sulla superficie libera i valori della pressione nelle due regioni ad essa adiacenti devono necessariamente essere uguali tra loro, ne consegue che dal punto di intersezione tra l’onda d’urto e la superficie libera deve partire un ventaglio di espansione che riporti la pressione al valore p1= p3= p4.
Questo ventaglio di espansione ovviamente darà luogo ad una ulteriore deviazione della corrente δ2 nello stesso verso della deviazione δ1.


Riflessione di onde su superfici libere (segue)

Nel caso in cui l’onda che separa le regioni 1 e 2 non sia un’onda d’urto ma un’onda di Mach di compressione (onda d’urto isoentropica), è chiaro che essa si riflette come una sola onda di Mach di espansione (nel caso precedente invece l’onda d’urto si rifletteva come una infinità di onde di Mach di espansione cioè come un ventaglio di espansione).
In questo caso, le due deviazioni dδ1 e dδ2 sono ovviamente infinitesime anche se nello stesso verso, come rappresentato in figura.


Riflessione di onde su superfici libere (segue)

Qualora, invece, l’onda incidente sulla superficie libera è un’onda di Mach di espansione, essa si riflette come un’onda di Mach di compressione così come rappresentato nella figura. Anche in questo caso le due deviazioni dδ1 e dδ2 sono infinitesime, ma entrambe nel verso opposto a quello dei due casi precedenti.
Cioè, le onde di Mach si riflettono su una superficie libera come onde di tipo opposto (compressione → espansione, espansione →compressione).


Il metodo urto-espansione

Una interessante applicazione delle teorie dell’onda d’urto obliqua e dell’espansione alla Prandtl e Meyer è quella relativa alla determinazione della portanza e della resistenza di profili alari bidimensionali supersonici con il metodo cosiddetto urto-espansione.

Questo metodo consente di calcolare queste due quantità ma non permette di valutare la resistenza viscosa del profilo che non è qui considerata. Va comunque osservato che la conoscenza della distribuzione di pressione sul profilo, cui il metodo conduce, è il primo passo per la determinazione della resistenza viscosa.
Si consideri il profilo alare bidimensionale rappresentato in figura. Il punto A del profilo è chiamato bordo d’attacco, mentre il punto B bordo di uscita.


Il metodo urto-espansione (segue)

Il segmento AB rappresenta la corda c del profilo e l’angolo α che esso forma con la corrente indisturbata avente velocità V, si chiama angolo di attacco del profilo rispetto alla corrente, che, nel caso rappresentato in figura, risulta positivo per convenzione.
La superficie superiore del profilo da A a B si chiama dorso, mentre quella inferiore ventre del profilo.
È anche convenzione scomporre la forza F che la corrente esercita sul profilo nelle sue due componenti R, la resistenza nella direzione di V, e P, la portanza in direzione normale a V∞. Portanza e resistenza sono considerate positive quando hanno il verso indicato in figura.
La resistenza è di per sè sempre positiva mentre la portanza può risultare anche negativa, cioè diretta verso il basso (profilo deportante).


Il metodo urto-espansione (segue)

È poi convenzione porre portanza e resistenza nella forma:

P=\frac 1 2 \rho_\infty V_\infty^2cC_p~~~~~~~R=\frac 1 2 \rho_\infty V_\infty^2cC_r

in cui l’area in pianta dell’ala è rappresentata dal prodotto c · 1 (cioè essa è riferita all’unità di apertura alare del profilo, nella direzione normale al foglio) e le quantità Cp e Cr sono rispettivamente dette coefficiente di portanza e coefficiente di resistenza del profilo.
Si ricordi quindi che, sia P che R, sono riferite all’unità di apertura alare.


Il metodo urto-espansione (segue)

Poiché nel caso di gas più che perfetto è possibile scrivere:

\rho _\infty V_ \infty^2= \rho_\infty a_\infty^2 M_\infty^2=\gamma ~p_\infty M_\infty^2

le definizioni dei coefficienti di portanza e di resistenza risultano essere rispettivamente:

P=\frac 1 2 \rho_\infty V_\infty^2 cC_p \rightarrow C_p= \frac{2P}{\rho_\infty V_\infty^2 c}=\frac{2P}{\gamma ~p_\infty M_\infty^ c}

R=\frac 1 2 \rho_\infty V_\infty^2 c C_r \rightarrow C_r= \frac{2R}{\rho_\infty V_\infty^2 c}=\frac{2R}{\gamma~ p_\infty M_\infty^2 c}

Il motivo per cui si introducono i coefficienti di portanza e di resistenza risiede fondamentalmente nella necessità di poter confrontare le prestazioni di profili alari aventi dimensioni e quota di volo (pressione ambiente) diverse tra loro.
Infatti, profili aventi geometrie simili, anche se di dimensioni diverse, e uguale angolo di attacco e allo stesso numero di Mach, trascurando gli effetti viscosi, hanno gli stessi Cp e Cr, ma diversa portanza e resistenza.
Cp e Cr, difatti, non dipendono dalla corda né tanto meno dalla quota di volo, ma, per un angolo di incidenza α, solo dai numeri di Mach e Reynolds.

Il metodo urto-espansione (segue)

Si consideri come profilo alare una lastra piana, di spessore infinitamente sottile, posta ad un angolo di attacco positivo α rispetto ad una corrente supersonica avente numero di Mach pari a M. Si supponga inoltre che α sia minore del δmax corrispondente a M e si trascurino gli effetti viscosi.
Poiché sul bordo di attacco A del profilo la corrente supersonica trova una convessità nella parte superiore ed una concavità in quella inferiore, è chiaro che dal bordo d’attacco partiranno una espansione di Prandtl e Meyer verso l’alto ed un’onda d’urto obliqua debole verso il basso. Il risultato di tutto ciò sarà una diminuzione della pressione sul dorso del profilo (regione 2) ed un aumento della stessa sul ventre (regione 3); quindi il profilo avrà una portanza positiva, oltre che una resistenza anch’essa ovviamente positiva.


Il metodo urto-espansione (segue)

Le due correnti supersoniche nelle regioni 2 e 3 hanno, pertanto, la stessa direzione ma due diverse pressioni (p3 > p2). Risulta quindi necessario che dal bordo di uscita B del profilo partano un’onda d’urto verso l’alto (che faccia aumentare la pressione) ed un ventaglio di espansione verso il basso (che la faccia diminuire), in modo che le due correnti che abbandonano il profilo, ancorché con velocità tra loro diverse in modulo ma uguali in direzione, possano raggiungere la stessa pressione (p4 = p5).
Anche in questo caso esisterà una linea di slip e per risolvere completamente il problema (determinazione dell’inclinazione dell’onda d’urto obliqua tra le regioni 2 e 4, dell’ampiezza del ventaglio di espansione tra le regioni 3 e 5 e quindi dell’inclinazione della linea di slip) si deve procedere per tentativi.


Il metodo urto-espansione (segue)

Al fine, però, di determinare la portanza e la resistenza sul profilo, detta risoluzione non è necessaria perché condiziona solo ed unicamente gli stati termofluidodinamici nelle regioni 4 e 5 poste a valle del profilo stesso.
Nel caso semplice di lastra piana, la portanza e la resistenza per unità di apertura alare sono date da:

P=(p_3-p_2)c~cos\alpha~~;~~~R=(p_3-p_2)c~sin~\alpha

in cui le quantità (c cosα) e (c sinα) rappresentano le due proiezioni della superficie alare in direzione normale alla portanza e normale alla resistenza rispettivamente.


Il metodo urto-espansione (segue)

P=(p_3-p_2)c~cos\alpha~~;~~~R=(p_3-p_2)c~sin~\alpha

Sostituendo nelle:

C_p=\frac{2P}{p_\infty V\infty^2 c}= \frac{2P}{\gamma ~ p_\infty M_\infty^2 c}~~;~~~~~ C_r=\frac{2}{\rho_\infty V_\infty^2 c}=\frac{2R}{\gamma~p_\infty M_\infty^2 c}

 

si ottengono i coefficienti di portanza e resistenza del profilo:

C_p=\frac 2 {\gamma ~M_\infty^2}\Biggl(\frac{p_3}{p_\infty}-\frac{p_2}{p_\infty}\Biggr)cos~\alpha~~;~~~~C_r=\frac 2 {\gamma ~ M_\infty^2}\Biggl(\frac {p_3}{p_\infty}-\frac{p_2}{p_\infty}\Biggr)sin~\alpha=C_p~tan~\alpha

che si annullano entrambi per α= 0 poiché in questo caso p2 = p3 = p.

In generale, le quantità p2 /p e p3 /p dipenderanno, invece, da γ, α e M.

Come detto in precedenza, e come si può notare dalle precedenti relazioni, Cp e Cr risultano indipendenti dalla corda c e dalla pressione ambiente p.

Il metodo urto-espansione (segue)

Di seguito si considera il caso di un profilo alare a sezione quadrilatera (del quale si suppongono note le caratteristiche geometriche) posto in una corrente supersonica (caratterizzata da γ e M) ad un angolo di attacco α.
Gli angoli sono considerati positivi nei versi mostrati in figura. L’onda d’urto in basso a destra potrebbe essere, in alcuni casi, sostituita da un ventaglio di espansione. Il teorema dei seni, applicato ai due triangoli in cui è possibile scomporre il quadrilatero diviso dalla corda, conduce a:

l_1= \frac{sin~ \varphi_2}{sin(\varphi_1+\varphi_2)}c~~;~~~~~l_2=\frac{sin~\varphi_1}{sin(\varphi_1+\varphi_2)}c

l_3=\frac{sin~\varphi_4}{sin(\varphi_3+\varphi_4)}c~~;~~~~~l_4=\frac{sin~\varphi3}{sin(\varphi_3+\varphi_4)}c


Il metodo urto-espansione (segue)

La configurazione fluidodinamica per α<Φ1 è quella rappresentata in figura in cui le due onde d’urto oblique che partono dal bordo di attacco A del profilo sono dovute alla deviazione della corrente verso l’alto della quantità (Φ1 – α) ed a quella verso il basso di (θ3).
I due ventagli di espansione che partono dai punti C e D sono dovuti alle due convessità ivi presenti e le due onde d’urto che partono dal bordo di uscita B sono dovute ad una situazione analoga a quella già vista con riferimento alle onde d’urto oblique.
La portanza e la resistenza della sola superficie 1 sono date da:

P_1=-p_1l_1cos(\varphi_1-\alpha)~~;~~~~~R_1=p_1l_1sin(\varphi_1 - \alpha)


Il metodo urto-espansione (segue)

P_1=-p_1l_1cos(\varphi_1-\alpha)~~;~~~~~R_1=p_1l_1sin(\varphi_1 - \alpha)

e analogamente per le altre superfici:

P_2=-p_2l_2cos(\varphi_2-\alpha)~~;~~~~~R_2=p_2l_2sin(\varphi_2 - \alpha)

P_3=-p_3l_3cos(\varphi_3-\alpha)~~;~~~~~R_3=p_3l_3sin(\varphi_3 - \alpha)

P_4=-p_4l_4cos(\varphi_4-\alpha)~~;~~~~~R_4=p_4l_4sin(\varphi_4 - \alpha)


Il metodo urto-espansione (segue)

Sostituendo le relazioni precedenti nelle:

C_p=\frac{2P}{\rho_\infty V_\infty^2c}=\frac{2P}{\gamma~p_\infty M_\infty^2c}~;~~~C_r=\frac{2R}{\rho_\infty V_\infty^2 c}=\frac{2R}{\gamma ~ p_\infty M_\infty^2 c}

e tenendo conto delle espressioni di l1, l2, l3 e l4, si ottiene infine:

C_p=\frac 2 {\gamma~ M_\infty^2}\Biggl\{ - \frac1 {sin(\varphi_1+\varphi_2)}\Biggl[sin\varphi_2cos(\varphi_1- \alpha)\frac{p_1}{p_\infty}+sin\varphi_1cos(\varphi_2+\alpha)\frac{p_2}{p_\infty}\Biggr]

+\frac 1{sin(\varphi_3+\varphi_4)}\Biggl[sin \varphi_4cos(\varphi_3 + \alpha)\frac{p_3}{p_\infty}+sin \varphi_3cos(\varphi_4-\alpha)\frac{p_4}{p_\infty}\Biggr]\Biggr\}

C_r=\frac 2 {\gamma ~M_\infty^2}\Biggl\{\frac 1 {sin(\varphi_1+\varphi_2)}\Biggl[sin\varphi_2sin(\varphi_1-\alpha)\frac{p_1}{p_\infty}+sin\varphi_1sin(\varphi_2 + \alpha)\frac{p_2}{p_\infty}\Biggr]

+\frac 1 {sin(\varphi_3+\varphi_4)}\Biggl[sin\varphi_4sin(\varphi_3+\alpha)\frac{p_3}{p_\infty}-sin\varphi_3sin(\varphi_4-\alpha)\frac{p_4}{p_\infty}\Biggr]\Biggr\}

Il metodo urto-espansione (segue)

C_p=\frac 2 {\gamma ~M_\infty^2}\Biggl\{-\frac 1 {sin(\varphi_1+\varphi_2)}\Biggl[sin\varphi_2cos(\varphi_1-\alpha)\frac{p_1}{p_\infty}+sin\varphi_1cos(\varphi_2+\alpha)\frac{p_2}{p_\infty}\Biggr]

+\frac 1{sin(\varphi_3+\varphi_4)}\Biggl[sin\varphi_4cos(\varphi_+\alpha)\frac{p_3}{p_\infty}+sin\varphi_1sin(\varphi_2+\alpha)\frac{p_4}{p_\infty}\Biggr]\Biggr\}

C_r=2 {\gamma~ M_\infty^2}\Biggl\{\frac 1 {sin(\varphi_1+\varphi_2)}\Biggl[sin\varphi_2sin(\varphi_1-\alpha)\frac{p_1}{p_\infty}+sin(\varphi_2+\alpha)\frac{p_2}{p_\infty}\Biggr]

\frac 1 {sin(\varphi_3+\varphi_4)}\Biggl[sin\varphi_4sin(\varphi_3+\alpha)\frac{p_3}{p_\infty}-sin\varphi_3sin(\varphi_4-\alpha)\frac{p_4}{p_\infty}\Biggr]\Biggr\}

Ancora una volta si può notare che Cp e Cr non dipendono dalla corda né da p.

Ovviamente, nel caso in cui α > θ1 , l’onda d’urto obliqua che parte dal bordo di attacco A del profilo verso l’alto deve essere sostituita da un ventaglio di espansione perché la concavità, che la corrente ivi incontra per α < θ1, viene rimpiazzata da una convessità.

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