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Giovanni Maria Carlomagno » 18.Fanno - parte prima


Moti compressibili con attrito

Le ipotesi alla base del moto alla Fanno sono le seguenti:

  • il moto è quasi-unidimensionale e quasi-stazionario;
  • l’area della sezione di passaggio del condotto è costante;
  • il fluido non scambia né lavoro né calore con l’ambiente, cioè il moto è considerato omoenergetico;
  • gli effetti delle forze gravitazionali sono trascurabili;
  • le condizioni termofluidodinamiche del fluido cambiano per effetto degli sforzi viscosi alla parete (che costituiscono la forza spingente).

L’assenza di flussi di lavoro assume l’assenza di lavoro d’elica.
L’ipotesi di adiabaticità, assume che il condotto sia termicamente isolato dall’ambiente o, più semplicemente, che gli scambi di energia alla parete nel modo calore siano, di fatto, trascurabili rispetto all’energia totale convetta.
La trascurabilità degli effetti gravitazionali è certamente verificata se il valore del numero di Froude è, in ogni caso, sufficientemente grande.
L’ultima ipotesi prevede che il raggruppamento adimensionale Lf/De sia almeno di ordine di grandezza unitario pur essendo il numero di Reynolds elevato per poter mantenere l’assunto di quasi-unidimensionalità.
Attenzione: Gli sforzi viscosi alla parete, in effetti, non lavorano perché sulla parete, per l’ipotesi del continuo, risulta sempre nulla la velocità del fluido.

Moti compressibili con attrito (segue)

Per un moto quasi-unidimensionale e quasi-stazionario, l’ipotesi di costanza dell’area della sezione attraverso la quale passa il fluido, applicata all’equazione di conservazione della massa, comporta che il modulo del flusso di massa G deve essere costante lungo il condotto:

G=\rho V= cost

Scelto un sistema costituito dalla parte di condotto tra le due sezioni 1 e 2, la proiezione dell’equazione del bilancio della quantità di moto lungo l’asse del condotto, nelle ipotesi fatte, cioè assumendo che la spinta sia dovuta al solo sforzo tangenziale alla parete, esprime il fatto che l’impulso specifico I diminuisce continuamente lungo il condotto:

I_2-I_1=-4\tau_p \frac L{D_e}=-4f \frac 1 2 \rho V^2 \frac L {D_e}

La quantità positiva, adimensionale f, detta coefficiente di attrito di Fanning, è definita come:

f=\frac {\tau _p}{\rho V^2/2}

e rappresenta l’importanza relativa della diffusione della parte irreversibile della quantità di moto alla parete (sforzo di attrito), rispetto alla convezione della quantità di moto stessa.

Moti compressibili con attrito (segue)

Lo sforzo tangenziale è stato supposto costante sulla parete del condotto, ma, in generale, esso può variare (sul perimetro, o lungo l’asse del condotto) sicché, nella pratica, occorre valutarne sempre il valor medio.
Per un moto incompressibile (ρ = cost), poiché dall’equazione di continuità deriva che anche la velocità V è costante, la variazione dell’impulso specifico risulta uguale alla variazione della sola pressione, ottenendosi quindi:

I_2-I_1=p_2-p_1=-\Delta p

dove la quantità è intrinsecamente positiva. Per questo, il coefficiente di Darcy in idraulica (disciplina che assume proprio ρ = cost) è definito dalla:

f'=\frac {\Delta p}{\rho V^2/2}\frac{D_e}L

E’ facile verificare che f’ = 4f.
Il coefficiente d’attrito è in generale funzione del numero di Reynolds Re, della rugosità della superficie interna del condotto e e del numero di Mach.
Tuttavia, l’influenza del numero di Mach, in particolare nel caso di moto supersonico, per le sue scarse applicazioni pratiche, non è stata analizzata rigorosamente nella letteratura e, nel prosieguo, si supporrà comunque trascurabile la variazione di f con il numero di Mach stesso.

Moti compressibili con attrito (segue)

In regime turbolento e incompressibile, la relazione universalmente accettata che permette di calcolare il coefficiente d’attrito f è la cosiddetta formula di Colebrook e White:

\frac 1 {\sqrt{4f}}=-2log_{10}\Biggl(\frac \epsilon {3.7D_e}+ \frac {2.51}{Re\sqrt{4f}}\Biggr)

Questa espressione, implicita in f, è rappresentata graficamente insieme con quella valida in regime laminare (f’ = 64 / De, di scarso interesse in questo contesto) nel cosiddetto abaco di Moody.


Moti compressibili con attrito (segue)

Dalla figura si notano i tre diversi comportamenti elencati di seguito.

In moto laminare (che in generale si verifica per Re < 2300), il coefficiente di attrito è solo funzione del numero di Reynolds.


Moti compressibili con attrito (segue)

Ad alti valori del numero di Reynolds e della scabrezza relativa ε/De, il coefficiente f risulta funzione solo di ε/De (moto completamente turbolento, a destra della linea tratteggiata); la relazione, diventa come indicato nella figura 1 a lato.

Nella quale il secondo termine in parentesi tonda diventa trascurabile, viene allora detta formula di von Karman, esplicita in f.


Moti compressibili con attrito (segue)

A relativamente bassi valori di ε/De, e/o di Re, il coefficiente di attrito risulta funzione di entrambe queste quantità.
Per ε/De = 0, la formula diventa come riportato in figura 1 a lato.

Diventa la formula di von Karman-Nikuradse (da altri anche chiamata formula di Prandtl), implicita, valida per i cosiddetti tubi lisci e rappresentata dalla curva in basso nell’abaco.


Moti compressibili con attrito (segue)

Nelle ipotesi fatte, l’equazione di conservazione dell’energia si riduce alla costanza dell’entalpia di ristagno:

H=h+V^2/2=cost

La validità della di questa relazione rende applicabili anche a questo moto sia le considerazioni fatte sul piano (h,s) per le onde d’urto, che l’ellisse delle velocità di cui si è già discusso.

È facile intuire che ciascuna coppia di valori G ed H (le due quantità che restano costanti durante il moto) individua un particolare moto alla Fanno.


Moti compressibili con attrito (segue)

In termini differenziali le equazioni di bilancio già considerate diventano:

\frac{dG}G=\frac{d\rho}\rho+\frac{dV}V=0

dI=dp+\rho VdV=-4f \frac 1 2 \rho V^2 \frac {dx}{D_e}

dH=dh+VdV=0

dove la x è la coordinata lungo l’asse del condotto, orientata nel senso del moto del fluido, da cui il segno meno che appare nella seconda equazione.
La prima e la terza equazione mostrano che le variazioni di velocità sono di segno opposto a quelle di densità e di entalpia (cioè di temperatura).
Per la positività del coefficiente di attrito f, le variazioni dell’impulso specifico I sono, ovviamente, sempre negative.
Attenzione: Anche trascurando la variazione di f con M, non è detto che in un moto compressibile il coefficiente d’attrito rimanga costante lungo il condotto. Infatti, il numero di Reynolds, che può essere anche espresso come Re = GDe/μ(T, p), può variare a causa delle variazioni di temperatura lungo il condotto (normalmente, per i gas, la variazione della viscosità con la pressione è molto debole). Per questo motivo, di seguito, si supporrà sempre che f indichi il valore medio del coefficiente d’attrito nel condotto.

La curva di Fanno

Per meglio comprendere le peculiarità del moto alla Fanno è utile rappresentare la curva che descrive gli stati termodinamici del fluido sul piano di Gibbs T - s. Quest’ultima, per quanto già detto, rappresenta il luogo dei punti per due prefissati valori di G e H ed è denominata curva di Fanno.
La curva può essere agevolmente diagrammata a partire dall’espressione della sua tangente locale.
In particolare, per il modello di gas perfetto, dalle:

h=c_pT

e:

dH=dh+VdV=0

si ha in particolare:

VdV=-dh=-c_pdT

che si può anche scrivere nella forma:

V^2dV/V=-\ganna c_v dT

La curva di Fanno (segue)

Tenendo conto delle:

a_L^2=-\nu^2\Biggl(\frac{\partial p}{\partial \nu}=\gamma RT\Biggr)……………………….\frac{dG}G=\frac {d\rho}\rho+\frac{dV}V=0

la:

V^2dV/V=-\gamma c_\nu dT

diventa:

c_\nu \frac{dT}T=M^2R \frac{d\rho}\rho

L’equazione di Gibbs per un gas più che perfetto si può scrivere nella forma:

ds=c_\nu\frac{dT}T - R\frac {d\rho}\rho

per cui, sostituendo la precedente equazione si ottengono le relazioni:

ds=(M;^2-1)Rd \rho / \rho=(1-M^2)RdV/V

Per la positività della quantità ds tali relazioni legano le variazioni della densità e della velocità al numero di Mach. Ad esempio, per M < 1, si ottiene dV / V > 0 e dρ / ρ < 0.

La curva di Fanno (segue)

Eliminando, poi, la quantità dρ /ρ tra le:

c_\nu \frac{dT}T=M^2R\frac {d\rho} \rho~~~ \text{e}~~~~ ds=c_\nu \frac {dT}T-R\frac {d\rho}\rho

si ricava, infine, la pendenza della curva che descrive il moto alla Fanno sul piano T - s (curva di Fanno):

\frac{c_\nu}T=\Biggl(\frac{\partial T}{\partial s}\Biggr)_{G,H}=\frac {M^2}{M^2-1}

che rappresenta un’equazione differenziale nella funzione incognita T = T(s) ed è risolvibile una volta espresso il numero di Mach in funzione della temperatura statica T mediante la:

T_0=T\Biggl(1+\frac{\gamma-1}2 M^2\Biggr)

La soluzione di quest’equazione, per il caso di γ = 1.4, è riportata sul piano T-s nel diagramma riportato di seguito, il quale mostra l’andamento della curva di Fanno.

La curva di Fanno (segue)

Per moto iposonico (M → 0), la tangente è orizzontale e la curva tende, quindi, all’isoterma che rappresenta la temperatura di ristagno.
Per moto subsonico (M < 1), la pendenza della curva risulta sempre negativa.

Per M →1, si ha: \frac {c_\nu}T\Biggl(\frac {\partial T}{\partial s}\Biggr)_{G,H}\rightarrow \pm \infty e cioè nelle condizioni soniche (che si vedrà essere critiche), la curva presenta tangente verticale e l’entropia raggiunge un massimo.

Per moto supersonico (M > 1), la pendenza della curva risulta sempre positiva.
Per moto ipersonico (M→∞), si ha:

\frac{c_\nu}T\Biggl(\frac{\partial T}{\partial s}\Biggr)_{G,H} \rightarrow 1

che, ricordando la definizione di cν, comporta che la curva di Fanno deve tendere ad una isocora (ρ = cost).

\frac{c_\nu}T=\Biggl(\frac{\partial T}{\partial s}\Biggr)_{G,H}=\frac {M^2}{M^2-1}


La curva di Fanno (segue)

Occorre notare che, per un determinato valore di γ , utilizzando le coordinate adimensionali di figura e la posizione Δs* = 0, la curva di Fanno è unica. In coordinate dimensionali, invece, ad ogni coppia di valori G e H corrisponde una particolare curva di Fanno. Ad esempio, è chiaro che, fissare l’entalpia totale H, significa fissare un determinato valore di To.

Poiché il moto alla Fanno è adiabatico, le variazioni d’entropia possono essere causate solo da produzioni interne al fluido (quindi, positive) e, in particolare, da quelle associate alla presenza degli sforzi viscosi alla parete.
Per il secondo principio della termodinamica sono, quindi, possibili, così come mostrato dalle frecce di figura, solo spostamenti lungo la curva di Fanno verso entropie crescenti, cioè verso destra, sia per moto subsonico (ramo superiore della curva), che supersonico (ramo inferiore della curva).


La curva di Fanno (segue)

Occorre poi osservare che, nel diagramma, l’asse delle ordinate posto a destra ed orientato verso il basso indica l’energia cinetica posseduta dal fluido adimensionalizzata rispetto all’entalpia di ristagno.

Questa quantità è funzione del numero di Mach in quanto si può ricavare:

\frac {V^2}{2c_pT_o}=\frac{(\gamma-1)M^2}{2+(\gamma-1)M^2}

che, per M→∞, dà luogo a V = Vl e, per M = 1, recupera la V*.


La curva di Fanno (segue)

Nel diagramma in basso è stato riportato, in funzione del livello entropico, l’andamento del numero di Mach M = M(Δs), ponendolo in corrispondenza della curva di Fanno del diagramma in alto.

Tale andamento mostra come sia per moto subsonico, che supersonico, il fluido muove sempre verso M = 1 perché l’entropia del fluido può solo aumentare.

Il ramo in alto della curva di Fanno T = T(s) corrisponde a quello in basso del grafico di M e viceversa.


La curva di Fanno (segue)

Per condizioni d’ingresso subsoniche, lungo il condotto si realizza sia un aumento del numero di Mach e della velocità, che una diminuzione della temperatura, della pressione e della densità. L’azione degli sforzi viscosi provoca, quindi, un’accelerazione del fluido e, a prima vista, questo comportamento può sembrare quantomeno anomalo. Occorre peraltro osservare che la:

dI=dp+\rhoVdV=-4f \frac 1 2 \rho V^2 \frac{dx}{D_e}

riscritta tenendo conto della:

G=\rho V=\text{cost}

diventa:

dI=dp+GdV=-4f \frac 1 2 \rho V^2 \frac {dx}{D_e}<0

in cui le quantità dp e dρ hanno sempre segni opposti. Evidentemente, la diminuzione dell’impulso può essere associata ad una prevalente diminuzione della pressione, ovvero ad una prevalente diminuzione della velocità. In regime subsonico il fenomeno è, invero, governato dalla forte diminuzione della pressione e il conseguente abbassamento della densità del fluido, provoca un aumento della velocità. Dunque, l’effetto causato dalla diminuzione di pressione prevale su quello dovuto all’aumento della velocità.


La curva di Fanno (segue)

Sempre in regime subsonico, durante il moto del fluido, poiché l’entropia è generata dagli sforzi d’attrito alla parete, essa deve aumentare al crescere della lunghezza del condotto. Ciò è vero anche in supersonico.
Evidentemente, con un condotto sufficientemente lungo, si può raggiungere il punto di massima entropia, e cioè la condizione sonica.
In tal caso, il moto si strozza perché non si può più produrre entropia e, quindi, percorrere ulteriori tratti di condotto.
La situazione è relativamente simile a quella che si realizza in un ugello convergente per pressione ambiente più bassa di quella critica.
Come si vedrà in seguito, un ulteriore allungamento del condotto dà luogo ad una diminuzione di G, cioè della portata di massa che lo attraversa.
Per un moto alla Fanno, le condizioni soniche (M = 1) possono essere, quindi, considerate come condizioni limiti del moto e, pertanto, sono anch’esse denominate condizioni critiche.
Per quanto detto, in un condotto nel quale si realizzi un moto alla Fanno, poiché le condizioni soniche corrispondono alla massima produzione di entropia possibile, se il numero di Mach all’ingresso del condotto è subsonico, esso non potrà mai diventare supersonico ma, al più, sonico, e solo allo sbocco del condotto.

La curva di Fanno (segue)

Per moto supersonico, il comportamento del fluido è esattamente opposto a quello in moto subsonico.
Infatti, lungo il condotto si ha sia diminuzione del numero di Mach e della velocità, che aumento della temperatura, della pressione e della densità.
Si ricordi l’equazione del bilancio della quantità di moto:

dI=dp+\rho VdV=-4f \frac 1 2 \rho V^2\frac{dx}{D_e}

Nel moto supersonico, l’effetto dovuto alla diminuzione di velocità prevale, quindi, su quello dovuto all’aumento di pressione.
Anche in questo caso si possono raggiungere le condizioni soniche solo all’uscita del condotto, in altre parole il moto rimane supersonico lungo tutto il condotto diventando, al meno, sonico nella sezione di uscita.
E’ importante osservare che quanto detto accade purché, come si vedrà in seguito, non sia presente un’onda d’urto all’interno del condotto stesso.


La curva di Fanno (segue)

Oltre che da considerazioni grafiche sulla figura, il fatto che la pressione di ristagno deve sempre diminuire si può dedurre anche dalla:

dH=T_0ds+dp_0/\rho_0=0

scritta ricordando che le condizioni statiche hanno la stessa entropia di quelle di ristagno.

Dalla relazione precedente risulta chiaro che, essendo sempre ds > 0 deve necessariamente verificarsi dpo < 0, poiché sia la densità che la temperatura sono positive.


La curva di Fanno (segue)

Mantenendo costante l’entalpia totale H e variando il flusso di massa G si ottiene un’infinità di curve di Fanno, tre delle quali sono mostrate in figura, da considerare, di fatto, tutte asintotiche alla stessa temperatura di ristagno.
Esistono vari modi per dimostrare che, più interna è la curva (vale a dire più spostata verso sinistra), più elevato è il flusso di massa G. Poiché la temperatura di ristagno (e quindi la ao) è la stessa per le tre curve, dalla:

\dot m =\frac{p_oA^*}{a_o}\psi ^*

si ha che, in condizioni critiche, il flusso di massa è funzione della sola pressione di ristagno.
Confrontando la pressione di ristagno del punto A con quelle dei punti B e C (tutti caratterizzati da M = 1), si verifica rapidamente che il flusso di massa relativo alla curva a è maggiore di quello relativo alla curva b, che a sua volta è maggiore di quello della c.


La curva di Fanno (segue)

Nella dimostrazione precedente si è implicitamente fissata una temperatura di riferimento pari a quella critica (cui corrisponde M = 1), ma, evidentemente, lo stesso ragionamento si può fare per una qualunque diversa temperatura di riferimento (M ≠ 1).

Infatti, ricordando che tre punti aventi la stessa temperatura (cioè allineati in orizzontale), per la:

H=h+V^2/2=\text{cost}

hanno anche la stessa velocità (si veda l’ordinata a destra) e che, muovendosi sul piano T-s verso destra, le isocore identificano valori della densità che sono man mano decrescenti, il flusso di massa deve anch’esso decrescere.


La curva di Fanno (segue)

Un ragionamento analogo può anche essere fatto con riferimento ad una fissata entropia (ad esempio Δs/cp ) e individuando così i sei punti intersezione con le tre diverse curve di Fanno (A’, B’ e C’ in regime subsonico e A”, B” e C” in quello supersonico).
In questo caso i sei punti sono tutti relativi alla stessa pressione di ristagno ma a sei diversi numeri di Mach e, per la costanza di s e H, possono essere assunti a rappresentare le condizioni termofluidodinamiche del fluido in un ugello convergente divergente.
In regime subsonico (risp. supersonico) al punto più in basso A’ (risp. più in alto A”) corrisponde un numero di Mach subsonico più (risp. supersonico meno) elevato e, quindi, un fattore di efflusso maggiore.


La curva di Fanno (segue)

Attraverso le onde d’urto normali adiabatiche, le tre grandezze G, I e H restano costanti.
Poiché la curva di Fanno è caratterizzata da G e H costanti, se un qualunque punto del suo ramo supersonico rappresenta le condizioni a monte di un’onda d’urto normale, il punto che fornisce le condizioni a valle dell’onda d’urto deve trovarsi sulla stessa curva di Fanno, sul ramo subsonico e ad un livello entropico maggiore.
Nel diagramma in basso di figura sono mostrati sul piano di Gibbs i due punti a monte X, e a valle Y, di un onda d’urto normale, che appartengono alla stessa curva di Fanno.
Invece, nella parte superiore della figura sono rappresentate le due curve che mostrano l’andamento dell’impulso specifico I, una relativa al ramo subsonico e l’altra a quello supersonico, in corrispondenza del diagramma in basso. Per la:

dI=dp+\rho VdV=-4f\frac 1 2 \rho V^2 \frac {dx}{D_e}

le due curve devono decrescere, oltre che coincidere nel punto critico (M = 1).


La curva di Fanno (segue)

Per la:

p_1+\rho_1V_1^2=p_2+\rho_2V_2^2=I=\text{cost}

i punti X e Y devono anche avere lo stesso valore dell’impulso specifico I in quanto rappresentativi delle condizioni a monte e a valle dell’onda d’urto.
Quindi, la curva che descrive l’andamento di I per il moto subsonico deve trovarsi tutta al di sopra di quella relativa al moto supersonico.
Man mano che il numero di Mach a monte dell’onda d’urto si avvicina al valore unitario (cioè verso il valore massimo dell’entropia dove le due curve di I/I* risultano tangenti), l’onda stessa tende a risultare isoentropica e per la:

s_2-s_1=-Rln\frac{p_{02}}{p_{01}}

la pressione di ristagno attraverso l’onda stessa non varia.


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