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Giovanni Maria Carlomagno » 21.Fanno - parte quarta


Condotto con attrito collegato a un serbatoio mediante un ugello convergente divergente

Consideriamo ora il sistema costituito da un ugello convergente divergente collegato ad un condotto adiabatico a sezione costante, in presenza d’attrito, così come rappresentato in figura.
Occorre osservare che, per le condizioni 4fL/De = 0, il sistema viene a coincidere con quello costituito dal solo ugello convergente divergente, già esaminato in precedenza.
Come nel caso illustrato nel paragrafo precedente, per semplicità di ragionamento si può continuare a supporre che il serbatoio contenga un gas ad una pressione costante po = 1ata e che il condotto scarichi in un ambiente in cui sia possibile far variare la pressione pa da 1ata in giù.
Per le figure riportate di seguito, occorre notare che, per motivi grafici, le dimensioni dell’ugello non sono state rappresentate nelle stesse scale.


Condotto con attrito collegato a un serbatoio mediante un ugello convergente divergente (segue)

In figura sono mostrate alcune curve caratteristiche relative al sistema ugello-condotto alla Fanno supponendo ancora, inizialmente, che la pressione ambiente è nulla.
Nei due diagrammi riportati sono indicate alcune possibili modalità di funzionamento nei piani M-4fL/De e p/po-4fL/De. In particolare, i suddetti diagrammi, nella loro parte riguardante il solo ugello, sono, chiaramente, del tutto simili a quelli già rappresentati in precedenza (in riferimento alle condizioni di funzionamento degli ugelli convergenti divergenti) e sono riconoscibili in essi i tre rapporti critici di pressione r1 (punto C), r2 (punto Y) e r3 (punto X), di cui si è già discusso.


Condotto con attrito collegato a un serbatoio mediante un ugello convergente divergente (segue)

Le curve caratteristiche del tipo a sono relative ad un regime interamente subsonico tranne che allo sbocco del condotto dove si raggiunge M = 1.
Esse si riscontrano per bassi valori della pressione ambiente ed elevati valori del rapporto 4fL/De, che richiedono bassi valori del numero di Mach nella sezione d’ingresso del condotto. Quindi, queste curve presentano le stesse condizioni di funzionamento descritte nel caso di ugello solo convergente.
Si ricordi che un ugello convergente divergente con regime alla Venturi, si comporta come un ugello solo convergente con la stessa area d’uscita.


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Ad esempio, per 4fL/De = 8 e pR/p0 < pa/po < 1, al diminuire della pressione pa all’uscita del condotto, il flusso di massa aumenta (perché aumenta il numero di Mach subsonico nella gola dell’ugello) e, al limite, si raggiungono le condizioni soniche nella sezione d’uscita del condotto (punto R).
Per successive diminuzioni della pressione all’uscita, non si riscontra alcuna variazione del flusso di massa, né della pressione lungo il sistema, che risulta, pertanto, strozzato con un ventaglio d’espansione all’uscita del condotto.
Il comportamento complessivo del sistema è, quindi, del tutto simile al caso in cui a monte del condotto esiste un ugello semplicemente convergente.


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Diminuendo la lunghezza del condotto, si può verificare la situazione per cui, per bassi valori della pressione ambiente, si raggiunge per la prima volta M = 1 anche nella gola dell’ugello (curve b che passano per il punto sonico B e per il punto caratteristico C corrispondente al rapporto r1), oltre che, beninteso, all’uscita del condotto (punto Q).
Due delle rimanenti curve caratteristiche diagrammate in figura riguardano gli altri due punti caratteristici di funzionamento dell’ugello convergente divergente e sono le curve d, relative al funzionamento con onda d’urto nella sezione d’uscita dell’ugello (punto Y corrispondente a r2), e le curve g, relative al funzionamento corretto dell’ugello (punto X corrispondente a r3).


Condotto con attrito collegato a un serbatoio mediante un ugello convergente divergente (segue)

Le altre curve caratteristiche mostrate in figura sono quelle di tipo c, che riguardano il funzionamento del sistema con un’onda d’urto normale nel divergente, e quelle di tipo e, che riguardano il funzionamento con un’onda d’urto normale nel condotto a sezione costante in cui si ha il moto alla Fanno.
Da quanto detto è possibile dedurre che esistono tre valori peculiari della lunghezza critica del condotto (in effetti, tre valori del rapporto 4fL*/De) corrispondenti ai punti Q, A e O, che derivano da funzionamenti con rapporti nella sezione d’uscita dell’ugello pari nell’ordine a r1, r2 e r3 e M = 1 allo sbocco del condotto.
Questi tre valori sono nel seguito rispettivamente indicati con L1*, L2* e L3*.


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E’ interessante notare che per pressione di ristagno costante e valori del rapporto di pressione nella sezione d’uscita dell’ugello inferiori, o uguali, al rapporto r1, la portata, cioè il flusso di massa G, all’uscita dell’ugello è costante, perché il fluido passa sempre per lo stato sonico indicate dal punto B.
Poiché anche l’entalpia totale H è costante, tutti i possibili punti di funzionamento compresi fra i punti C e X (compresi quelli che seguono a valle sulle curve che da essi si dipartono) si devono trovare sulla stessa curva di Fanno e anche la pressione che si raggiunge per M = 1 (critica, relativa ai punti O, L, A, P, e Q) deve restare la stessa.


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Per meglio comprendere questa situazione, si può utilizzare il piano T-s.
Come appena detto, in particolare i punti C, Y, X, rispettivamente coincidenti con i rapporti caratteristici r1, r2, r3, si trovano tutti sulla stessa curva di Fanno e, più specificamente, i punti C e Y sono entrambi sul ramo subsonico, mentre il punto X si trova su quello supersonico.
Poiché l’entropia del punto Y è maggiore di quella relativa al punto C, lo spazio percorribile, partendo da Y fino a raggiungere le condizioni critiche, è inferiore rispetto a quello percorribile a partire dal punto C stesso.


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Infatti, seguendo una curva tutta subsonica partendo dal punto C, dopo aver percorso un tratto di condotto, il fluido passa per lo stato indicato dal punto Y.
Questo spiega la maggiore lunghezza del tratto L1* (punto Q) rispetto a quello L2* (punto A). Come già detto in precedenza, in regime supersonico, ovvero a partire dal punto X, la lunghezza che porta alle condizioni critiche è ancora inferiore in virtù della maggiore rilevanza delle perdite di carico.
Ciò è facilmente riscontrabile nella Fig. 12.6, dove i due punti corrispondenti a X e Y sono due punti aventi lo stesso impulso specifico e due diversi numeri di Mach, supersonico e subsonico rispettivamente.


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Questa circostanza è, infatti, facilmente riscontrabile nella figura a lato, dove i due punti corrispondenti a X e Y sono due punti che hanno lo stesso impulso specifico e due diversi numeri di Mach, supersonico e subsonico rispettivamente.

Dalla figura si nota che a parità d’impulso specifico, il punto relativo al numero di Mach subsonico ha un valore di 4fL*/De maggiore.


Condotto con attrito collegato a un serbatoio mediante un ugello convergente divergente (segue)

Il funzionamento con onda d’urto nel divergente è leggermente più complesso sul piano T-s. Il punto D a monte dell’onda si trova alla stessa entropia dei punti C e X, ma a una pressione maggiore di quella del punto X (in particolare, ad un’area della sezione minore e ad un numero di Mach minore).
Evidentemente per questo punto passa una curva di Fanno relativa ad un flusso di massa maggiore (la portata che attraversa il sistema è la stessa, mentre l’area della sezione in cui avviene l’onda d’urto è minore di quella della sezione d’uscita).
Su questa stessa curva deve trovarsi, oltre che il punto D, anche il punto E a valle dell’onda.


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La produzione di entropia dovuta a quest’onda, per il minore valore del numero di Mach a monte, è minore di quella dovuta all’onda d’urto posizionata all’uscita dell’ugello, cioè l’entropia del punto E deve essere minore di quella del punto Y.
La trasformazione che segue nell’ugello è isoentropica, e il punto F deve avere la stessa entropia del punto E a una pressione più elevata perché le condizioni del punto E sono subsoniche e, a valle, la sezione aumenta.
Anche il punto F deve trovarsi sulla curva di Fanno che passa per i punti C e X, poiché sia la portata di massa che l’entalpia totale sono le stesse di quelle di C e X e la sezione di passaggio del fluido è ancora quella all’uscita dell’ugello.


Condotto con attrito collegato a un serbatoio mediante un ugello convergente divergente (segue)

L’ultima tipologia di curva, non ancora esaminata, prevede un’onda d’urto nel condotto alla Fanno (curva e). In questo caso la trasformazione del fluido segue un primo tratto sul ramo supersonico della curva di Fanno sino al punto J e, successivamente, un’onda d’urto ne provoca il passaggio al ramo subsonico (punto N).
Poiché il punto N si trova ad un’entropia maggiore di quella del punto Y (MJ < MX e quindi si ha MN > MY), la lunghezza che porta alle condizioni critiche sarà inferiore rispetto a quella relativa al punto Y.


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Per determinare i diversi punti caratteristici si possono usare le tabelle del moto alla Fanno. Ad esempio, noto lo stato del punto C, si entra nelle tabelle con il numero di Mach MC e si individuano i rapporti 4fLC*/De, pC/p*, TC/T*, ρC/ρ* e poC/po* che permettono di determinare le proprietà termofluidodinamiche del punto critico, il quale, nel caso in esame, è rappresentato dal punto Q.
Lo stesso procedimento si può applicare per determinare i punti P, A e O, partendo dai valori di MF, MY e MX rispettivamente, anche se hanno lo stesso stato del punto Q. Per questi punti, cambia la sola quantità 4fL*/De. La determinazione dei due punti J e N è un pò più complessa e sarà affrontata poi.


Condotto con attrito collegato a un serbatoio mediante un ugello convergente divergente (segue)

Si supponga, ora, che il condotto abbia una lunghezza minore di quella critica supersonica L3*, per cui il condotto appare molto corto per quanto già detto. Poi si supponga che la pressione ambiente possa variare dal valore nullo fino a quello di ristagno. Per pa< pT, il fluido segue la curva supersonica g fino al punto T e, all’uscita del condotto, un ventaglio d’espansione fa adattare la pressione nella sezione d’uscita del condotto a quella ambiente.
Questo tipo di funzionamento (sottoespanso) si realizza fino a che la pressione ambiente non raggiunge proprio quella relativa al punto T, cui corrisponde, invece, un funzionamento che si potrebbe definire, in pratica, corretto in analogia a quanto affermato per un ugello convergente divergente.


Condotto con attrito collegato a un serbatoio mediante un ugello convergente divergente (segue)

Se la pressione ambiente è compresa fra quella relativa al punto T e quella del punto S (punto corrispondente alle condizioni a valle di un’onda d’urto normale posta nella sezione d’uscita del condotto), si genera un’onda d’urto obliqua all’uscita del condotto (funzionamento sovraespanso), così come avviene all’uscita di ugelli supersonici e con le modalità già descritte dettagliatamente.
Quando la pressione ambiente coincide proprio con quella del punto S, l’onda d’urto nella sezione d’uscita del condotto diventa normale e, per successivi aumenti di pa, entra nel condotto a sezione costante (ad esempio curva e che passa per i punti X, J, N e U).


Condotto con attrito collegato a un serbatoio mediante un ugello convergente divergente (segue)

Se la pressione ambiente è uguale a quella del punto V, l’onda si dispone all’ingresso del condotto (ovvero, all’uscita dell’ugello, curva XYV) e per pressioni ambiente ancora crescenti risale il tratto divergente dell’ugello (ad esempio curva c che passa per i punti D, E, F e W). Quando, poi, la pa raggiunge il valore relativo al punto Z, l’onda si porta nella sezione di gola dell’ugello dove degenera in un’onda di Mach.
Successivi aumenti della pressione ambiente danno moto subsonico in tutto il sistema, e il comportamento è simile a quello descritto nel caso in cui il condotto a sezione costante è collegato ad un ugello solo convergente per il quale non è mai raggiunta la condizione M = 1, né nell’ugello, né all’uscita del condotto.


Condotto con attrito collegato a un serbatoio mediante un ugello convergente divergente (segue)

Per pressioni ambiente inferiori a quella del punto S, pa < pS, il moto all’uscita del condotto è supersonico, e non si rispetta la condizione di Kutta (salvo che per pa= pT) mentre, per valori di pa > pS, il moto è subsonico e si rispetta la condizione di Kutta. Nel primo caso, determinare il funzionamento è diretto.
Noto MX, si determinano i rapporti 4fLX*/De, pX/p*, TX/T*, ρX/ρ* e p0X/p0* e, conoscendo il rapporto 4fLX*/De, si calcola per differenza il valore di 4fLT*/De.
Saputo questo rapporto, dalle tabelle del moto alla Fanno, si calcolano i rapporti caratteristici e il numero di Mach del punto T.
Valutate le condizioni del punto T, è poi facile stabilire la tipologia delle eventuali onde (d’espansione, o d’urto oblique) all’uscita del condotto.


Condotto con attrito collegato a un serbatoio mediante un ugello convergente divergente (segue)

Se la pressione ambiente è compresa fra i punti S e V si deve determinare la posizione dell’onda d’urto all’interno del condotto procedendo per tentativi.
Si assegna una posizione dell’onda d’urto nel condotto di Fanno (ad esempio quella indicata dalla curva XJNU. Dal valore del numero di Mach nella sezione X si determinano i rapporti 4fLX*/De, pX/p* e pX/po.
Una volta valutata la quantità 4fLXJ/De, si può ricavare il nuovo rapporto 4fLJ*/De.
Con questo valore, entrando nelle tabelle del moto alla Fanno, si determina MJ.
Noto il numero di Mach prima dell’onda e utilizzando le tabelle dell’onda d’urto, si determina MN e, quindi dalle tabelle del moto alla Fanno, pN/p* e 4fLN*/De.


Condotto con attrito collegato a un serbatoio mediante un ugello convergente divergente (segue)

Si determina quindi il rapporto 4fLU*/De, che permette di conoscere le condizioni del moto all’uscita del condotto ed, in particolare, il rapporto pU/p* = p’a/p*. Con una catena di rapporti si può calcolare la pressione all’uscita:

p'_a=\frac{p'_a}{p^*}\frac{p^*}{p_X}\frac{p_X}{p_0}p_0

che confrontata con la pa permette di scegliere un nuovo valore di tentativo per la posizione dell’onda d’urto e di iterare il procedimento.


Condotto con attrito collegato a un serbatoio mediante un ugello convergente divergente (segue)

Se la pressione è compresa fra quelle dei punti V e Z, si deve determinare prima la pressione critica p* che, come già affermato, non varia in questo intervallo (i punti all’uscita del condotto appartengono tutti alla stessa curva di Fanno) e che può essere calcolata, ad es., a partire dal punto C.
Una volta noto il rapporto pa/p*, dalle tabelle del moto alla Fanno si ricavano il numero di Mach all’uscita del condotto ed il relativo rapporto 4fL*/De.
Quindi, il problema è, di fatto, risolto perché si può risalire mediante la:

4f\frac{L_{12}}{D_e}=4f\frac{L_1^*}{D_e}-4f\frac{L_2^*}{D_e}

al numero di Mach all’uscita dell’ugello e così via.


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Dal grafico a destra si identificano cinque diversi regimi di funzionamento:

  • Per pZ< pa< po, il funzionamento del sistema è tutto subsonico.
  • Per pV< pa< pZ, si verifica un’onda d’urto normale nel divergente.
  • Per pS< pa< pV, si ha un’onda d’urto normale nel condotto a sezione costante.
  • Per pT< pa< pS, si genera un’onda d’urto obliqua allo sbocco del condotto.
  • Infine, per 0 < pa< pT, si ha un ventaglio d’espansione allo sbocco del condotto.

Condotto con attrito collegato a un serbatoio mediante un ugello convergente divergente (segue)

Si supponga un condotto con una lunghezza maggiore di quella critica superso-nica e minore di quella critica con onda d’urto all’uscita dell’ugello (L3*< L < L2*).
Diversamente da quanto avveniva prima, in questo caso non si può più avere un efflusso supersonico nella sezione d’uscita del condotto e, quindi, la presenza, ivi, di onde d’urto oblique.
Infatti, se la pressione ambiente è inferiore a quella critica, il fluido segue la curva supersonica BDXJNL con un’onda d’urto nel condotto (da J a N) e il tratto subsonico che, partendo da N, conduce alle condizioni critiche (punto L).
Infine, un ventaglio d’espansione adatta la pressione al di fuori del condotto.


Condotto con attrito collegato a un serbatoio mediante un ugello convergente divergente (segue)

Per pressione ambiente crescente, l’onda d’urto prima risale il condotto portan-dosi fino alla sezione d’uscita dell’ugello (per pa= pV) e, in seguito, risale il diver-gente dell’ugello. Quando la pa è uguale al valore della pressione nel punto Z, l’onda si porta nella gola dell’ugello dove degenera in un’onda di Mach.
Un successivo aumento della pressione ambiente provoca, come nel caso precedente, un moto subsonico in tutto il sistema.


Condotto con attrito collegato a un serbatoio mediante un ugello convergente divergente (segue)

Analogamente, se la lunghezza del condotto è compresa fra quella critica con onda d’urto nella sezione d’uscita dell’ugello e quella critica relativa a moto tutto subsonico ma strozzato nella gola dell’ugello (L2*< L < L1*), rispetto al caso precedente, non si può più avere un’onda d’urto nel condotto.
Infatti, se la pressione ambiente è inferiore a quella critica, il moto si strozza anche all’uscita del condotto e nel funzionamento si genera un’onda d’urto nel divergente dell’ugello (seguendo, ad esempio, la curva BDEFP).
All’aumentare della pressione ambiente, l’onda d’urto prima risale nel divergente dell’ugello sino alla gola e un ulteriore aumento della pressione provoca moto subsonico in tutto il sistema.


Condotto con attrito collegato a un serbatoio mediante un ugello convergente divergente (segue)

Infine, se la lunghezza del condotto è maggiore di quella critica relativa a un moto tutto subsonico ma strozzato nella gola dell’ugello (L > L1*), come già detto in precedenza, il comportamento è analogo a quello che si ha nel sistema descritto nel caso di un condotto con attrito collegato ad un serbatoio mediante un ugello solamente convergente.


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