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Giovanni Maria Carlomagno » 19.Fanno - parte seconda


Rapporti caratteristici per il moto alla Fanno

Proseguendo nello studio del moto alla Fanno è opportuno, a questo punto, ricercare le relazioni che permettono di valutare, per il modello di gas più che perfetto, i rapporti caratteristici di tutte le diverse grandezze termofluido-dinamiche in funzione del numero di Mach della corrente fluida.
Particolare importanza riveste la quantità 4fL/De perché, come si vede dalla:

I_2-I_1=-4\tau_p\frac L{D_e}=-4 f \frac 1 2 \rho V^2 \frac L{D_e}

a questo raggruppamento è legata la variazione delle condizioni del fluido lungo il condotto e quindi, come è stato già accennato in precedenza, questa quantità rappresenta la cosiddetta forza spingente.
Dal bilancio della quantità di moto

dI=dp+\rho VdV=-4f\frac 1 2 \rho V^2\frac{dx}{D_e}

si ricava:

\frac{dp}{\rho V^2/2}+\frac {2dV}V=-4f \frac {dx}{D_e}

Rapporti caratteristici per il moto alla Fanno (segue)

Dalla VdV=-dh=-c_pdT ricordando che  c_p=\gamma R/(\gamma-1), si ricava: \frac{dT}T=-\frac{V^2}{c_pT}\frac{dV}V=-(\gamma-1)M^2\frac {dV}V

Sostituendo questa relazione insieme alla:

\frac{dG}G=\frac {d\rho}{\rho}+\frac {dV}V=0

nella:

\frac{dp}{\rho V^2/2}+\frac {2dV}V =-4f \frac {dx}{D_e}

si ottiene:

\frac p{\rho V^2/2}\frac {dp}p+\frac{2dV}V=\frac{2a^2}{\gamma V^2}\Biggl(\frac {d\rho}\rho+ \frac{dT}T\Biggr)+\frac {2dV}V=

=\frac 2 {\gamma M^2}\Biggl(-\frac {dV}V-(\gamma -1)M^2 \frac{dV}V\Biggr)+\frac{2dV}V=

=\Biggl(2-\frac2{\gamma M^2}-2\frac{\gamma -1}\gamma\Biggr)\frac{dV}V=\frac 2 \gamma \biggl(1-\frac 1 {M^2}\biggr)\frac {dV} V

Rapporti caratteristici per il moto alla Fanno (segue)

Che, inserita nella

\frac{dp}{\rho V^2/2}+\frac {2dV}V=-4f\frac{dx}{D_e}

dà luogo a

\frac 2 \gamma \Biggl( \frac{M^2-1}{M^2}\Biggr)\frac {dV}V=-4f \frac {dx}{D_e}

e, tenendo conto della

\frac{dV}V=\Biggl(1+\frac{\gamma-1}2M^2\Biggr)^{-1}\frac{dM}M

valida per moti omoenergetici, si ottiene infine

\frac{M^2-1}{\gamma M^2\Biggl(1+\frac{\gamma-1}2 M^2\Biggr)}\frac {dM^2}{M^2}=-4f\frac {dx}{D_e}

Questa è un’equazione differenziale che, integrata fra due diverse sezioni del condotto 1 e 2, fornisce la lunghezza adimensionale 4fL12/De che il fluido deve percorrere per portarsi da M1 a M2, dove L12 è la distanza tra le due sezioni.
Un approccio del genere non è molto pratico, perché sarebbe necessario integrare la precedente equazione tra tutte le coppie di stati possibili M1 ed M2, purché essi siano entrambi subsonici, o entrambi supersonici.

Rapporti caratteristici per il moto alla Fanno (segue)

Un approccio più conveniente consiste nel far coincidere uno dei due stati, in particolare lo stato 2, con quello critico (M = 1). Ciò comporta che la quantità L12 = L* assume il significato di lunghezza del condotto necessaria a raggiungere le condizioni soniche a partire da un particolare numero di Mach M (lunghezza critica). Infatti, per ogni curva di Fanno (in pratica, per ogni coppia di valori G e H), il punto critico è univocamente determinato.
Come mostrato in figura, nel caso più generale, per il quale L12 ≠ L*, la grandezza L12 può essere facilmente determinata dalla:

4f\frac {L_{12}}{D_e}=4f \frac{L_1^*}{D_e}-4f\frac{L_2^*}{D_e}

nella quale le lunghezze L1* e L2* rappresentano le lunghezze critiche a partire dai numeri di Mach M1 ed M2, rispettivamente.


Rapporti caratteristici per il moto alla Fanno (segue)

Integrando, quindi, l’equazione ricavata in precedenza:

\frac{M^2-1}{\gamma M^2\biggl(1+\frac{\gamma-1}2 M^2\biggr)}\frac{dM^2}{M^2}=-4f\frac{dx}{D_e}

fra il generico valore di M e quello critico (M = 1), si ottiene la relazione che dà il valore del rapporto adimensionale 4fL*/De in funzione del numero di Mach:

\frac{4fL^*}{D_e}=\frac{1-m^2}{\gamma M^2}+\frac{\gamma+1}{2\gamma}ln\Biggl(\frac{\frac{\gamma+1}2 M^2}{1+\frac {\gamma-1}2M^2}}\Biggr)

Attenzione: Nella relazione precedente anche se l’asterisco è stato apposto al solo simbolo L, esso deve intendersi riferito a tutto il rapporto 4fL/De in cui esso appare, rapporto che viene talvolta indicato come numero di Fanno.
Lo stesso ragionamento effettuato per la lunghezza adimensionale può essere applicato anche a tutti gli altri rapporti caratteristici.
Pertanto, è conveniente esprimere tutte le grandezze termofluidodinamiche adimensionalizzandole rispetto ai corrispondenti valori nella condizione critica (M = 1), i quali sono, al solito, indicati con l’apice asterisco.

Rapporti caratteristici per il moto alla Fanno (segue)

In particolare, dalla:

T_0=T\biggl(1+\frac{\gamma-1}2 M^2\biggr)

e tenendo conto della:

\frac{T^*}{T_0}=\frac{a^{*2}}{a_0^2}=\frac 2 {\gamma + 1}

si ha il rapporto caratteristico tra le temperature statiche:

\frac T {T^*}=\frac T {T_0}=\frac{\gamma+1}2 \biggl(1+\frac{\gamma-1}2 M^2\biggr)^{-1}

Dall’equazione di conservazione della massa si ottiene invece:

G=\rho V=\frac{\gamma p \rho V}{\gamma p}=\gamma p \frac M {\sqrt{\gamma RT}}

che, per la costanza di G ed utilizzando la relazione appena ottenuta, dà luogo al rapporto caratteristico tra le pressioni statiche:

\frac p {p^*}=\sqrt{\frac T {T^*}}\frac 1 M \sqrt{\frac{\gamma+1}2 \biggl(1+\frac{\gamma-1}2 M^2\biggr)^{-1}}

Rapporti caratteristici per il moto alla Fanno (segue)

Dall’equazione di stato dei gas e dalle relazioni appena ottenute si ottengono i rapporti caratteristici per le velocità e le densità:

\frac{V^*}V=\frac \rho {\rho^*}=\frac p {p^*}\frac{T^*}T=\sqrt{\frac{T^*}T}\frac 1 M \sqrt{\frac 2 {\gamma +1}\biggl(1+\frac{\gamma-1}2 M^2\biggr)}

Ricordando la:

p_0=p\biggl(1+\frac{\gamma-1}2 M^2\biggr)^{\frac \gamma {\gamma - 1}}

si ottiene il rapporto tra le pressioni di ristagno:

\frac{p_0}{p_0^*}=\frac{p_0}p\frac p {p^*}\frac{p^*}{p_0^*}=\frac 1 M \sqrt{\frac{\gamma +1}2 \biggl(1+\frac{\gamma-1}2 M^2\biggr)^{-1}}\Biggl[\frac 2 {\gamma+1}\biggl(1+\frac{\gamma-1}2 M^2\biggr)\Biggr]^{\frac \gamma {\gamma-1}}=\frac 1 M \Biggl[\frac 2 {\gamma+1}\biggl(1+\frac{\gamma-1}2 M^2\biggr)\Biggr]^{\frac{\gamma+1}{2(\gamma-1)}}

 

Ricordando che il moto è omoenergetico e, quindi, To/To* = 1, la sostituzione di questa relazione nella:

s_2-s_1=-Rln\frac{p_02}{p_01}

si calcola la variazione di entropia rispetto alle condizioni critiche Δs = s – s*.

Rapporti caratteristici per il moto alla Fanno (segue)

\frac{\Delta s}{c_p}=\frac{\gamma-1}\gamma ln\Biggl\{M\biggl[\frac 2 {\gamma+1}\biggl(1+\frac{\gamma-1}2 M^2\biggr)\biggr]^{\frac{\gamma+1}{2(1+\gamma)}} \Biggr\}

In ogni caso, sostituendo in questa relazione l’espressione per il numero di Mach M ricavata dalla:

T_0=T\biggl(1+\frac{\gamma-1}2 M^2\biggr)

si ottiene la relazione che descrive la curva di Fanno sul piano di Gibbs (con la condizione Δs*= 0):

\frac{\Delta s}{c_p}=\frac {\gamma-1}{2\gamma}ln\Biggl[\frac 2 {\gamma-1}\biggl(\frac{2T_0}{(\gamma+1)T}\biggr)^{\frac{\gamma+1}{1-\gamma}}\Biggr]

la quale mostra come, nelle variabili Δs/cp e T/To, la curva di Fanno risulta essere unica per ciascun valore di γ.

Rapporti caratteristici per il moto alla Fanno (segue)

Infine, per l’impulso specifico definito come:

I=p+\rho V^2=p(1+\gamma M^2)

tenendo sempre conto della

\frac p {p^*}=\sqrt{\frac T{T^*}}\frac 1 M \sqrt{\frac{\gamma+1}2\biggl(1+\frac{\gamma-1}2 M^2\biggr)^{-1}}

si ottiene:

\frac I {I^*}=\frac p {p^*}\frac{1+\gamma M^2}{\gamma+1}=\frac{1+\gamma M^2}M \Biggl[2(\gamma + 1 )\biggl(1+\frac{\gamma-1}2 M^2\biggr)\Biggr]^{-1/2}

I diversi rapporti caratteristici per il moto alla Fanno dianzi ricavati sono stati diagrammati nella figura seguente per il valore particolare di γ = 1.4.

Rapporti caratteristici per il moto alla Fanno (segue)

Dall’esame della figura si nota che la quantità 4fL*/De tende ad infinito al tendere del numero Mach a zero, mentre, per M→∞, raggiunge il valore limite:

\frac {\gamma+1}{2\gamma}ln\biggl(\frac{\gamma+1}{\gamma-1}\biggr)-\frac 1 \gamma

Le perdite d’impulso sono all’in-circa proporzionali al quadrato della velocità e sono, quindi, molto elevate in regime supersonico.
Per questo motivo, nelle applicazioni pratiche, è sempre sconsigliabile avere un moto supersonico in presenza di sforzi tangenziali alla parete in condotti a sezione costante qualora ciò non sia strettamente necessario, come ad esempio nella sezione di prova di gallerie supersoniche.


Rapporti caratteristici per il moto alla Fanno (segue)

I rapporti p/p*, ρ/ρ* = V*/V e T/T* sono tutti funzioni decrescenti del numero di Mach ma, per M → 0, mentre i primi due sono illimitati, il rapporto T/T* tende a (γ +1)/2 (si ricordi che la curva di Fanno tende ad un’isoterma).
Al tendere di Mach all’infinito, sia p/p* che T/T* tendono a zero, mentre ρ/ρ* tende a:

\sqrt{(\gamma-1)/(\gamma+1)}

(pari a 0.4082 per γ = 1.4).
Si ricordi che, per M→∞, la curva di Fanno tende ad un’isocora. Il tendere ad un’isocora della curva è, in effetti, conse-guenza del tendere della velocità alla velocità limite data dalla:

V_l=\sqrt{2H}


Rapporti caratteristici per il moto alla Fanno (segue)

Il rapporto tra le pressioni di ristagno po/po* ha, invece, un comportamento diverso presentando un minimo assoluto per M = 1, mentre tende all’infinito sia per M → 0, che per M →∞.
Ricordando che la portata è pari a:

\dot m = \frac{p_0^*A^*}{a_o}\psi^*=\frac{p_{01}A_1}{a_0}\psi^*

dove si sono indicate con il pedice 1 le condizioni nella generica sezione. Evidentemente la A* è l’area della sezione retta del condotto, mentre si può valutare A1* utilizzando la:

\frac A{A^*}=\frac 1  M \biggl[\frac 2 {\gamma+1}\biggl(1+\frac{\gamma-1}2 M^2\biggr)\biggr]^{\frac{\gamma+1}{2(\gamma-1)}}

si ha quindi:

\frac{p_{01*}}{p_0^*}=\frac {A^*}{A^*_1}=\frac{A_1}{a^*_1}


Rapporti caratteristici per il moto alla Fanno (segue)

Come la pressione di ristagno, l’impulso specifico ha un minimo assoluto per M = 1 ed è illimitato per M → 0; esso tende, invece, ad un limite finito per M→∞ raggiungendo il valore:

\gamma/\sqrt{(\gamma^2-1)}

Due punti del diagramma di I/I* allineati in orizzontale rappresentano i valori del numero di Mach a monte M1 ed a valle M2 di un’onda d’urto normale.
Dal diagramma si può notare anche che, per M1→∞, il numero di Mach a valle dell’onda d’urto tende al valore limite Ml.
E’ importante rilevare che, di due punti aventi lo stesso valore di I/I*, quello subsonico ha un valore di 4fL*/De maggiore.


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