Proseguendo nello studio del moto alla Fanno è opportuno, a questo punto, ricercare le relazioni che permettono di valutare, per il modello di gas più che perfetto, i rapporti caratteristici di tutte le diverse grandezze termofluido-dinamiche in funzione del numero di Mach della corrente fluida.
Particolare importanza riveste la quantità 4fL/De perché, come si vede dalla:
a questo raggruppamento è legata la variazione delle condizioni del fluido lungo il condotto e quindi, come è stato già accennato in precedenza, questa quantità rappresenta la cosiddetta forza spingente.
Dal bilancio della quantità di moto
si ricava:
Dalla ricordando che , si ricava:
Sostituendo questa relazione insieme alla:
nella:
si ottiene:
Che, inserita nella
dà luogo a
e, tenendo conto della
valida per moti omoenergetici, si ottiene infine
Questa è un’equazione differenziale che, integrata fra due diverse sezioni del condotto 1 e 2, fornisce la lunghezza adimensionale 4fL12/De che il fluido deve percorrere per portarsi da M1 a M2, dove L12 è la distanza tra le due sezioni.
Un approccio del genere non è molto pratico, perché sarebbe necessario integrare la precedente equazione tra tutte le coppie di stati possibili M1 ed M2, purché essi siano entrambi subsonici, o entrambi supersonici.
Un approccio più conveniente consiste nel far coincidere uno dei due stati, in particolare lo stato 2, con quello critico (M = 1). Ciò comporta che la quantità L12 = L* assume il significato di lunghezza del condotto necessaria a raggiungere le condizioni soniche a partire da un particolare numero di Mach M (lunghezza critica). Infatti, per ogni curva di Fanno (in pratica, per ogni coppia di valori G e H), il punto critico è univocamente determinato.
Come mostrato in figura, nel caso più generale, per il quale L12 ≠ L*, la grandezza L12 può essere facilmente determinata dalla:
nella quale le lunghezze L1* e L2* rappresentano le lunghezze critiche a partire dai numeri di Mach M1 ed M2, rispettivamente.
Integrando, quindi, l’equazione ricavata in precedenza:
fra il generico valore di M e quello critico (M = 1), si ottiene la relazione che dà il valore del rapporto adimensionale 4fL*/De in funzione del numero di Mach:
Attenzione: Nella relazione precedente anche se l’asterisco è stato apposto al solo simbolo L, esso deve intendersi riferito a tutto il rapporto 4fL/De in cui esso appare, rapporto che viene talvolta indicato come numero di Fanno.
Lo stesso ragionamento effettuato per la lunghezza adimensionale può essere applicato anche a tutti gli altri rapporti caratteristici.
Pertanto, è conveniente esprimere tutte le grandezze termofluidodinamiche adimensionalizzandole rispetto ai corrispondenti valori nella condizione critica (M = 1), i quali sono, al solito, indicati con l’apice asterisco.
In particolare, dalla:
e tenendo conto della:
si ha il rapporto caratteristico tra le temperature statiche:
Dall’equazione di conservazione della massa si ottiene invece:
che, per la costanza di G ed utilizzando la relazione appena ottenuta, dà luogo al rapporto caratteristico tra le pressioni statiche:
Dall’equazione di stato dei gas e dalle relazioni appena ottenute si ottengono i rapporti caratteristici per le velocità e le densità:
Ricordando la:
si ottiene il rapporto tra le pressioni di ristagno:
Ricordando che il moto è omoenergetico e, quindi, To/To* = 1, la sostituzione di questa relazione nella:
si calcola la variazione di entropia rispetto alle condizioni critiche Δs = s – s*.
In ogni caso, sostituendo in questa relazione l’espressione per il numero di Mach M ricavata dalla:
si ottiene la relazione che descrive la curva di Fanno sul piano di Gibbs (con la condizione Δs*= 0):
la quale mostra come, nelle variabili Δs/cp e T/To, la curva di Fanno risulta essere unica per ciascun valore di γ.
Infine, per l’impulso specifico definito come:
tenendo sempre conto della
si ottiene:
I diversi rapporti caratteristici per il moto alla Fanno dianzi ricavati sono stati diagrammati nella figura seguente per il valore particolare di γ = 1.4.
Dall’esame della figura si nota che la quantità 4fL*/De tende ad infinito al tendere del numero Mach a zero, mentre, per M→∞, raggiunge il valore limite:
Le perdite d’impulso sono all’in-circa proporzionali al quadrato della velocità e sono, quindi, molto elevate in regime supersonico.
Per questo motivo, nelle applicazioni pratiche, è sempre sconsigliabile avere un moto supersonico in presenza di sforzi tangenziali alla parete in condotti a sezione costante qualora ciò non sia strettamente necessario, come ad esempio nella sezione di prova di gallerie supersoniche.
I rapporti p/p*, ρ/ρ* = V*/V e T/T* sono tutti funzioni decrescenti del numero di Mach ma, per M → 0, mentre i primi due sono illimitati, il rapporto T/T* tende a (γ +1)/2 (si ricordi che la curva di Fanno tende ad un’isoterma).
Al tendere di Mach all’infinito, sia p/p* che T/T* tendono a zero, mentre ρ/ρ* tende a:
(pari a 0.4082 per γ = 1.4).
Si ricordi che, per M→∞, la curva di Fanno tende ad un’isocora. Il tendere ad un’isocora della curva è, in effetti, conse-guenza del tendere della velocità alla velocità limite data dalla:
Il rapporto tra le pressioni di ristagno po/po* ha, invece, un comportamento diverso presentando un minimo assoluto per M = 1, mentre tende all’infinito sia per M → 0, che per M →∞.
Ricordando che la portata è pari a:
dove si sono indicate con il pedice 1 le condizioni nella generica sezione. Evidentemente la A* è l’area della sezione retta del condotto, mentre si può valutare A1* utilizzando la:
si ha quindi:
Come la pressione di ristagno, l’impulso specifico ha un minimo assoluto per M = 1 ed è illimitato per M → 0; esso tende, invece, ad un limite finito per M→∞ raggiungendo il valore:
Due punti del diagramma di I/I* allineati in orizzontale rappresentano i valori del numero di Mach a monte M1 ed a valle M2 di un’onda d’urto normale.
Dal diagramma si può notare anche che, per M1→∞, il numero di Mach a valle dell’onda d’urto tende al valore limite Ml.
E’ importante rilevare che, di due punti aventi lo stesso valore di I/I*, quello subsonico ha un valore di 4fL*/De maggiore.