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Giovanni Maria Carlomagno » 20.Fanno - parte terza


Condotto con attrito collegato ad un serbatoio mediante un ugello convergente

Si vuole ora esaminare il sistema, mostrato in basso, composto da un ugello convergente al quale è collegato un condotto adiabatico, a sezione costante e con attrito, in cui il moto del fluido è schematizzabile con il modello di Fanno.
Sull’asse delle ascisse è riportato il rapporto adimensionale 4fL/De misurato a partire dalla sezione di uscita dell’ugello e, su quello delle ordinate, il rapporto tra l’area della sezione locale e quella della stessa sezione d’uscita.
L’ugello è collegato a monte ad un serbatoio, per cui il moto nell’ugello risulta senz’altro subsonico e si può considerare adiabatico isoentropico.
Si deve esplicitamente notare che, generalmente, la lunghezza di un ugello convergente divergente è dello stesso ordine di grandezza del suo diametro d’uscita, così come rappresentato in figura. Invece, poiché la quantità 4f è un numero abbastanza piccolo (dell’ordine di 10-2), nella scala adottata, il condotto a sezione costante, rappresentato nella stessa figura, risulta notevolmente accorciato rispetto alla sua lunghezza reale.


Condotto con attrito collegato ad un serbatoio mediante un ugello convergente (segue)

Per 4fL/De = 0, la configurazione coincide con il sistema serbatoio-ugello convergente già considerato. Quindi, la sostanziale differenza nel problema trattato di seguito viene ad essere rappresentata dall’aggiunta del condotto che ha un valore 4fL/De > 0.
Come nel caso dell’ugello convergente, per semplicità, si può supporre che il serbatoio contenga un gas ad una pressione costante po = 1ata e che il condotto scarichi in un ambiente in cui sia possibile far variare la pressione pa da 1ata in giù.
In questo modo, i valori numerici riportati sull’asse delle ordinate del diagramma in basso possono essere direttamente interpretati come valori della pressione in ata.
Poiché il moto all’uscita dell’ugello può essere subsonico, o al limite sonico, chiaramente, nel condotto a sezione costante il fluido può raggiungere al più condizioni soniche e ciò può avvenire solo nella sua sezione d’uscita.


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In figura sono riportate le condizioni relative a valori di 4fL/De pari a 0.0, 0.33, 1.0 e 3.0, sui due piani M – 4fL/De e p/po- 4fL/De, supponendo, inizialmente, che la pressione nell’ambiente sia nulla.
Questa condizione assicura che, per ogni configurazione, la portata di massa sia massima, che il moto sia strozzato e che all’uscita del condotto sia presente una corrente sonica seguita da un ventaglio d’espansione (condizione di Kutta non rispettata).


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Queste condizioni di funzionamento sono anche indicate sul piano di Gibbs, dove si vedono le condizioni di ristagno (To e po nel serbatoio, punto O), qui supposte costanti. Il ramo supersonico (inferiore) delle curve di Fanno è stato tratteggiato perché, come già detto, non percorribile.
Attenzione: Nel caso degli ugelli la pressione di ristagno è supposta costante. Nel moto alla Fanno essa diminuisce continuamente, quindi, per po si intende la pressione nel serbatoio.


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Le curve di funzionamento del tipo a, relative a 4fL/De = 0 corrispondono al solo ugello convergente. Nel piano T-s, la relativa trasformazione coincide con il segmento verticale che parte dalle condizioni di ristagno O e il cui punto finale in basso A è quello di massima entropia della curva di Fanno più interna.
Poiché all’uscita dell’ugello si hanno le condizioni critiche (M = 1), il flusso di massa sarà massimo per le condizioni di ristagno (To e po) prefissate.
Anche se il fluido non percorre alcun tratto della curva di Fanno che ha la massima entropia in A, la curva è stata riportata per mostrare che il flusso di massa, in questo caso, è massimo.


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Aggiungendo all’ugello un condotto a sezione costante con attrito, in particolare quello avente 4fL/De = 0.33, il flusso di massa deve chiaramente diminuire perché il moto del fluido deve vincere gli sforzi tangenziali alla parete del condotto a sezione costante.
Dover percorrere una certa lunghezza di condotto in presenza d’attrito comporta una diminuzione del numero di Mach (un aumento della pressione) in uscita all’ugello (ad es., punti B) e questo spiega l’andamento delle curve b.
Il fluido entra, quindi, nel condotto con un numero di Mach subsonico e accelera, nel contempo, diminuendo la sua pressione.


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Poiché la pressione ambiente è nulla, anche ora si raggiunge la condizione critica all’uscita del condotto (punti E) e si avrà L = L*.
Se si volesse allungare il condotto a sezione costante (ad es. fino a 4fL/De =1) senza variare il flusso di massa (e, quindi, il numero di Mach in uscita all’ugello), ciò non sarebbe possibile perchè il fluido raggiungerebbe le condizioni soniche sempre nella sezione corrispondente al punto E, cioè in una sezione posta prima di quella di uscita del condotto. Ciò non è possibile perché non consentirebbe al fluido di procedere lungo il condotto.
Ne consegue che le condizioni soniche si possono raggiungere solo nella sezione d’uscita del condotto.


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L’allungamento del condotto a 4fL/De = 1 porta a un’ulteriore diminuzione del numero di Mach all’uscita dell’ugello (del flusso di massa) rispetto a quanto avveniva prima (4fL/De = 0.33), per consentire una maggiore produzione d’entropia e una maggiore espansione del fluido fino alla sezione finale del condotto cioè, in definitiva, un maggiore valore del numero di Fanno 4fL*/De.
In questo caso, la curva di funzionamento sul piano T-s sarà su una curva di Fanno più esterna (con il massimo nel punto N), relativa a un flusso di massa minore e ad una più bassa pressione critica allo sbocco del condotto, pN < pE.


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Come intuibile, successivi allungamenti del conducono a comportamenti analoghi. In particolare, nel diagramma p/po- 4fL/De è mostrata anche l’evoluzione del rapporto p*/po all’aumentare di 4fL*/De (curva tratteggiata).
Questa evoluzione è rappresentata dalla curva decrescente che passa per i diversi punti critici A, E, N e P, tutti caratterizzati da condizioni soniche.
La diminuzione di p*/po si rileva anche sul piano T-s, ove le isobare del punto critico vanno verso destra al diminuire del valore del flusso di massa G.
Per questo regime, la p* rappresenta, ovviamente, la pressione più bassa nel condotto, che viene raggiunta, in particolare, nella sua sezione d’uscita.


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Attenzione: Il fatto che sul piano di Gibbs le isobare devono spostarsi verso destra al diminuire del valore della pressione, è facilmente verificabile mediante la relazione:

s_2-s_1=c_pln\frac{T_2}{T_1}-Rln\frac{p_2}{p_1}

assumendo una temperatura costante.
Questi diagrammi si possono utilizzare anche per studiare il caso del sistema ugello più condotto a sezione costante quando il condotto ha una certa lunghezza e varia la pressione ambiente pa.


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Si supponga in particolare, che la lunghezza adimensionale del condotto sia fissata al valore 4fL/De = 0.33. È chiaro che punti del tipo E, F e J rappresentano ancora condizioni di funzionamento del sistema. In particolare, il punto E corrisponde alle condizioni di strozzamento (M = 1 all’uscita) già viste in precedenza e le curve del tipo b rappresentano il funzionamento del sistema, quando la pressione ambiente pa è tale che pa / po ≤ pE / po.
Nel caso in cui si verifichi pa / po < pE / po, all’uscita del condotto, non viene rispettata la condizione di Kutta ed è presente un ventaglio d’espansione.


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Curve del tipo c (o d), cui corrispondono punti del tipo F (o J), indicano, invece, condizioni di funzionamento subsonico all’uscita del condotto per le quali si rispetta la condizione di Kutta pa / po = pF / po (ovvero pa / po = pJ / po).
Naturalmente, man mano che la pressione ambiente sale a partire dal valore pE, il flusso di massa G (e quindi la portata di massa) diminuisce sino ad annullarsi per pa / po = 1. Ciò è facilmente deducibile anche sul piano T-s nel quale la curva di Fanno di funzionamento si sposta sempre più verso destra e il punto che rappresenta le condizioni all’uscita del condotto tende a muovere verso l’alto (e verso sinistra), perché il numero di Mach in uscita diventa sempre più basso.


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Ad esempio, notando che nel diagramma p/po-4fL/De risulta pF ≅ pB, è possibile determinare la posizione di F sul piano T-s come intersezione dell’isobara pB con la curva di Fanno che nel piano T-s passa per il punto C e ha il suo massimo dell’entropia nel punto N.
Si vuole ora analizzare il funzionamento dello stesso sistema supponendo che la pressione ambiente sia fissata, ad esempio, al valore di quella del punto N, e che la lunghezza del condotto vada via via aumentando.


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Chiaramente, le curve c coincidono con quelle già viste con l’unica differenza che all’uscita del condotto non si può più avere il ventaglio d’espansione, perché la pN è esattamente uguale alla pressione ambiente. Anche le curve a e b restano uguali. Infatti, poiché la pressione ambiente è inferiore a quella dei punti A e E, in entrambi i casi, il moto è strozzato all’uscita del condotto (M = 1) e il fluido raggiunge la pressione ambiente attraverso un ventaglio d’espansione.
Invece, allungando il condotto sino a 4fL/De = 3, il moto non è più strozzato, perché la pressione critica per il condotto più lungo risulta minore della pressione ambiente pa = pN = pQ. Il moto, quindi, non può più essere sonico all’uscita del condotto e, pertanto, viene ad essere rispettata la condizione di Kutta.


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Ovviamente, le curve indicate con la lettera d nel diagramma a destra sono diverse dalle corrispondenti curve d del diagramma a sinistra (caso precedente) come, in particolare, si può rilevare dalle curve relative agli andamenti del numero di Mach riportate qui in basso.


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Nel piano T - s questi effetti sono più facilmente comprensibili, poiché si nota immediatamente che la pressione ambiente, coincidente per ipotesi con la pressione nel punto N (diagramma a destra), è maggiore della pressione critica corrispondente al valore di 4fL*/De = 3.
La curva relativa alla pressione ambiente interseca nel punto Q una curva di Fanno più esterna (più a destra) di quella relativa al punto P del diagramma a sinistra (caso precedente), nel ramo subsonico.


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Dato un valore del parametro adimensionale 4fL/De, è interessante analizzare il comportamento della pressione e del numero di Mach sia nella sezione d’ingresso del condotto (che coincide con quella all’uscita dell’ugello), che in quella di uscita, al variare della pressione ambiente.
La curva a tratto continuo riportata in figura a) (le curve di figura sono, in particolare, relative al caso specifico di 4fL/De = 1 e γ = 1.4) rappresenta il rapporto tra la pressione all’uscita del condotto pu e la pressione di ristagno nel serbatoio po in funzione della pressione ambiente pa, anch’essa adimensionalizzata mediante la po.


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Quando la pressione ambiente è uguale a quella di ristagno, il rapporto pu/po è, chiaramente, pari a uno. Una lieve diminuzione della pressione ambiente provoca un uguale abbassamento della pressione in uscita (pu / po = pa / po), poiché deve essere rispettata la condizione di Kutta. Questo comportamento si riscontra fino al raggiungimento delle condizioni critiche (soniche) all’uscita del condotto (pa / po ≈ 0.4).
Un ulteriore abbassamento della pressione ambiente provoca lo strozzamento del sistema e la pressione all’uscita del condotto resta costante. Il rapporto fra la pressione all’ingresso del condotto e la pressione di ristagno nel serbatoio (curva tratteggiata di figura a) mostra un analogo comportamento.


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Per pressioni ambiente inferiori alla pressione critica, nel condotto con moto alla Fanno il moto si strozza e pi / po rimane costante, mentre, all’aumentare della pa a partire da circa 0.4 po, la pressione all’ingresso del condotto pi cresce con legge non lineare fino a raggiungere la pressione di ristagno quando pa / po = 1.
Nella figura b), sempre per 4fL/De = 1 e γ = 1.4, sono, invece, riportati i due numeri di Mach all’ingresso Mi (curva tratteggiata), e all’uscita Mu (curva continua), del condotto in funzione di pa / po. Entrambi sono costanti per pa minore, o uguale, alla pressione critica (pa / po ≤ 0.4), in particolare Mu = 1 e Mu ≈ 0.51, e, per pa > 0.4 po, decrescono fino ad annullarsi, per pressione ambiente uguale a quella di ristagno.


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La famiglia di curve riportata in figura mostra, per il caso di γ = 1.4, l’andamento della portata di massa adimensionalizzata, che fluisce attraverso condotti, con moto alla Fanno collegati ad un serbatoio mediante un ugello convergente, in funzione del rapporto tra la pressione ambiente e quella di ristagno, per diversi valori del parametro adimensionale 4fL/De.
Le quantità po e ao rappresentano la pressione e la velocità del suono nel serbatoio (di ristagno).
In ogni caso, per il modello di moto considerato, poiché H è costante, la ao non varia.
In pratica, sull’asse delle ordinate è riportato il fattore d’efflusso già definito per gli ugelli:

\dot m=\frac{p_oA}{a_o}\psi


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All’aumentare del numero di Fanno 4fL/De, il moto strozza per pressioni ambiente via via più basse e questo giustifica la diminuzione della lunghezza del tratto orizzontale a portata costante.
Questo comportamento può essere anche riconosciuto dall’andamento crescente della linea tratteggiata (che divide ciascun diagramma in due parti).
Essa è rappresentativa proprio del luogo dei massimi valori della pressione ambiente che si possono raggiungere quando si ha la condizione critica (M = 1) all’uscita del condotto.
All’aumentare di 4fL/De, la diminuzione della portata di massa è giustificata dall’aumento dell’importanza relativa degli effetti degli sforzi tangenziali alla parete.


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Si noti ad esempio che, per 4fL/De = 1, il valore critico della pressione ambiente è pari a circa 0.4 p0 e la portata massima è di poco superiore a circa il 75% della portata massima per il solo ugello convergente.


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La determinazione della curva di funzionamento del sistema ugello convergente più condotto è abbastanza semplice nell’ipotesi per la quale il moto è strozzato, mentre risulta leggermente più complessa nel caso in cui deve essere soddisfatta la condizione di Kutta.
Ad esempio, con riferimento al diagramma in basso, per determinare le condizioni termofluidodinamiche nei punti C e N (la sezione d’uscita è sempre critica per tutti i valori di pa/po inferiori a quello relativo al punto N) si deve semplicemente entrare nelle tabelle del moto alla Fanno con il rapporto 4fL/De (che nella fattispecie è quello critico 4fL*/De) e ricavare i rapporti p1/p*, T1/ T*, r1/ r*, po1/ pò* e il numero di Mach M1 nella sezione d’ingresso del condotto.
Una volta noto il M1, si possono utilizzare le relazioni del moto isoentropico (nell’ugello) per la determinazione delle condizioni termofluidodinamiche nella sezione 1, a partire da quelle note di ristagno.
Da queste condizioni e dai rapporti ricavati in precedenza si possono poi facilmente calcolare le condizioni critiche (nel punto N); ad esempio:

p_N/p_{01}=p^*/p_{01}=p^*/p_1 ~\text{x} ~p_1/p_{01}


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Se il moto non è strozzato all’uscita (sezione 2) del condotto (ad es. punto R), si è nelle condizioni della figura a destra con M2 < 1 e si procededa per iterazioni. Si assegna inizialmente un numero di Mach M2 < 1 all’uscita del condotto e con questo entrare nelle tabelle del moto alla Fanno ricavando i rapporti 4fL2*/De e p2/ p*. Poiché 4fL12 /De è noto, il valore di 4fL1*/De si ricava utilizzando la:

4f\frac {L_{12}}{D_e}=4f\frac{L_1^*}{D_e}-4f{L_2^*}{D_e}

A partire da questo rapporto, si possono determinare tutti i rapporti caratteristici del moto alla Fanno all’inizio del condotto, e cioè p1/ p* e il numero di Mach M1.


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Utilizzando, poi, le tabelle del moto isoentropico e con una catena di rapporti si ottiene:

p_2=\frac{p_2}{p^*}\frac{p^*}{p_1}\frac{p_1}{p_{01}}p_{01}

Il confronto tra la pressione all’uscita p2, così calcolata, con quella effettivamente esistente nell’ambiente permette, qualora necessario, di scegliere un nuovo valore di tentativo per M2 e di iterare il procedimento.


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