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Giovanni Maria Carlomagno » 22.Fanno - quinta parte

Moto isotermo

Quasi tutti i testi di gasdinamica introducono questo tipo di moto sostenendo che esso modella con buona accuratezza il moto dei gas nei metanodotti.
Essendo questi ultimi generalmente interrati, la temperatura della loro parete è quasi costante, il che permetterebbe di ipotizzare una temperatura del gas anch’essa costante. Ciò, tuttavia, non risulta verosimile perché, come si vedrà in seguito, la temperatura di riferimento negli scambi termici, che qui potrebbero essere importanti, è la temperatura di parete adiabatica del fluido e non quella statica.
Di fatto, il moto che meglio modella questa situazione è quello alla Fanno.
Il moto isotermo è governato dalle seguenti equazioni:

$G=\rho V=\text{cost}$

$I_2-I_1=-4f \frac 1 2 \rho V^2 \frac L {D_e}$

$T=\text{cost}$

Le prime due coincidono con l’equazione di conservazione della massa e del bilancio della quantità di moto del moto alla Fanno, mentre la terza è la nuova equazione di conservazione dell’energia che, per un gas almeno perfetto, si può scrivere come:

$h=\text{cost}$

Moto isotermo (segue)

Le forme differenziali delle equazioni scritte in precedenza sono rispettivamente:

$\frac {dG}G=\frac {d\rho}\rho + \frac{dV}V=0$

$dI=dp+\rho VdV=-4f \frac 1 2 \rho V^2 \frac{dx}{D_e}$

$dT=dh=0$

La prima conduce ancora alla relazione già ricavata in precedenza per il moto di Fanno:

$\frac {d\rho}\rho = -\frac {dV}V$

e, dall’equazione di stato per un gas perfetto e dalle:

$M=\frac V{a_L}~~~~~~~~;~~~~~~~~a_L^2=-\nu \Biggl(\frac {\partial p}{\partial \nu}\Biggr)_s=\gamma RT$

tenendo conto che il processo è isotermo, si ottiene:

$\frac{d \rho}\rho=\frac{dp}p=-\frac {dV}V=-\frac{dM}M$

Moto isotermo (segue)

L’equazione del bilancio della quantità di moto: $dI=dp+\rho VdV=-4f \frac 1 2 \rho V^2 \frac{dx}{D_e}$

può essere ancora scritta nella stessa forma derivata per il moto alla Fanno:

$\frac{dp}{\rho V^2}+\frac{dV}V=-2f\frac{dx}{D_e}$

per cui, sostituendo in essa la $\frac{d\rho}{\rho}=\frac{dp}p=-\frac{dV}V=-\frac{dM}M$

si ricava:

$dp\Biggl(\frac 1 p -\frac 1 {\rho V^2}\Biggr)=2f\frac {dx}{D_e}$

la quale mostra che dp/dx tende all’infinito per:

$\frac 1 p = \frac 1 {\rho V^2}$

e, quindi, quando la velocità del fluido raggiunge il valore:

$V=\sqrt{\frac p \rho}= \frac a {\sqrt \gamma}\rightarrow M=1/\sqrt \gamma$

Moto isotermo (segue)

$V=\sqrt{\frac p \rho}= \frac a {\sqrt \gamma}\rightarrow M=1/\sqrt \gamma$

cioè quando il numero di Mach riferito alla velocità del suono newtoniana, e non alla laplaciana, assume valore unitario.
È chiaro che, avendo ipotizzato il moto isotermo, la velocità newtoniana (calcolata a temperatura costante) viene ad assumere un ruolo fondamentale in questo modello di moto. Le condizioni indicate dalla precedente relazione sono quelle per le quali il moto si strozza (dp /dx → ∞). Quindi, nel moto isotermo il valore del numero di Mach: $M=1/\sqrt \gamma$

assume il ruolo che ha il valore unitario nel moto alla Fanno e rappresenta le (nuove) condizioni critiche.
Sostituendo la:

$\frac{d\rho}\rho=\frac{dp}p=-\frac{dV}V=-\frac{dM}M$

nella:

$dp\Biggl(\frac 1 p - \frac1 {\rho V^2}\Biggr)=2f\frac{dx}{D_e}$

si ottiene la relazione:

$\frac {dM}M\frac {1-\gamma M^2}{\gamma M^2}=\frac {2f}{D_e}dx$

Moto isotermo (segue)

$\frac {dM}M\frac {1-\gamma M^2}{\gamma M^2}=\frac {2f}{D_e}dx$

che indica un aumento del numero di Mach lungo il condotto per $M<1/\sqrt \gamma$ e una diminuzione dello stesso per $M>1/\sqrt \gamma$ .
Anche questa relazione mostra che la condizione:

$M=1/\sqrt\gamma$

corrisponde allo strozzamento del moto perché, per tale valore del numero di Mach, la quantità dM/dx tende all’infinito.
Attenzione: Solo limitatamente a questa sezione sarà utilizzato l’apice asterisco per indicare lo stato del fluido relativo a:

$M=1/\sqrt\gamma$

e non, come fatto sinora, quelle per M = 1. Ad esempio, M* non è la quantità già definita dalla relazione:

$M^*=\frac V{a^*}$

bensì, in questo contesto, si ha:

$M^*=1/\sqrt\gamma$

e ancora:

$p^*=p(M=1/\sqrt \gamma)$

Moto isotermo (segue)

Con questa notazione, la:

$G=\rho V=\text{cost}$

conduce a:

$\rho^*M^*=\rho M$

e, quindi, si può pervenire ai due rapporti caratteristici tra le densità e le velocità:

$\frac \rho {\rho^*}=\frac 1 {\sqrt\gamma M}=\frac{V^*}V$

Sostituendo in questa relzione l’equazione di stato per gas perfetti e tenendo conto della costanza della temperatura, si ottiene la medesima espressione per il rapporto tra le pressioni statiche:

$\frac p {p^*}=\frac 1 {\sqrt \gamma M}$

Le ultime due relazioni ricavate sono, ovviamente, consistenti con il fatto che il moto è isotermo cioè, che la temperatura statica non varia, T/T* = 1.

Moto isotermo (segue)

Tenendo conto delle:

$\frac p {p^*}=\frac 1 {\sqrt \gamma M}~~~~;~~~~p_o=p\Biggl(1+\frac {\gamma-1}2 M^2\Biggr)^{\frac \gamma {\gamma-1}}$

il rapporto tra la generica pressione di ristagno e quella per $M^*=1/\sqrt \gamma$ risulta pari a:

$\frac {p_0}{p_0^*}=\frac 1 {\sqrt \gamma m}\Biggl[\Biggl(\frac{2\gamma}{3\gamma-1}\Biggr)\Biggl(1+\frac{\gamma-1}2 M^"\Biggr)\Biggr]^{\frac \gamma {\gamma-1}}$

L’integrazione della

$\frac{dM}M\frac{1-\gamma M^2}{\gamma M^2}=\frac {2f}{D_e}dx$

tra $M^*=1/\sqrt \gamma$ e M conduce a:

$\frac{4fL^*}{D_e}=\frac{1-\gamma M^2}{\gamma M^2}+ln(\gamma M^2)$

che si annulla per $M^*=1/\sqrt\gamma$ e nella quale L* ha, ovviamente, il significato di lunghezza necessaria per raggiungere il Mach critico a partire dalla sezione nella quale si ha un determinato valore del numero di Mach M.

Moto isotermo (segue)

Si ricordi che la temperatura di ristagno T₀ è data da:

$T_o=T\Biggl(1+\frac{\gamma-1}2 M^2\Biggr)$

Dunque, in questo moto, la temperatura di ristagno cambia solo per la variazione del numero di Mach in quanto la T è costante per definizione. La variazione di T_o, a sua volta, può essere dovuta solo ad uno scambio di calore con l’ambiente perché il fluido non scambia lavoro.
Differenziando la precedente relazione e tenendo conto della costanza della temperatura statica, si ha la relazione:

$dT_o=(\gamma-1)TMdM$

che, sostituita nell’equazione di conservazione dell’energia:

$h_2+V_2^2/2+gz_2 + l =h_1+V_1^2/2+gz_1 + q$

scritta in forma differenziale e ricordando che:

$c_p=\gamma R/(\gamma-1)$

dà luogo a:

$dq=c_pdT_0=\gamma RTMdM$

dove q rappresenta sempre l’energia scambiata nel modo calore dall’unità di massa del fluido.

Moto isotermo (segue)

Sostituendo la:

$\frac{dM}M\frac{1-\gamma M^2}{\gamma M^2}=\frac{2f}{D_e}dx$

nella:

$dq=c_pdT_0=\gamma RTMdM$

si ottiene infine:

$dq=\frac{2f\gamma ^2RTM^4}{D_e(1-\gamma M)}dx$

Per la positività di f, questa relazione mostra che il segno di dq dipende dal valore di M e che, per M → 1/√γ, la quantità dq /dx →± ∞, così come avviene per la quantità dp /dx.
Poiché la precedente relazione indica che dq /dx > 0 per M < 1/√γ e viceversa, la:

$dq=c_pdT_0=\gamma RTMdM$

impone che il moto si deve muovere, in ogni caso, verso M = 1/ √γ. Ciò testimonia, ancora una volta, che questo valore del numero di Mach rappre-senta quello critico.

Moto isotermo (segue)

Per quanto riguarda l’applicabilità del modello di moto isotermo a situazioni in cui la temperatura di parete del condotto è costante, come nel caso dei metanodotti, occorre innanzi tutto osservare che, in correnti non iposoniche (M > 0.2-0.3), il flusso termico convettivo (quantità di calore scambiata per unità di superficie e per unità di tempo per convezione) da una corrente ad una parete è governato dalla legge di Newton così modificata:

$\dot q=\alpha (T_p-T_{pa})$

dove α è il coefficiente di scambio termico convettivo (non va confuso con il coefficiente di diffusività termica), T_p la temperatura di parete e T_pa la temperatura di parete adiabatica (temperatura alla quale si trova la parete quando = 0). Quest’ultima è ricavabile dalla relazione:

$T_{pa}=T+r+\frac{V^2}{2c_p}=T\Biggl(1+r \frac{\gamma-1} 2 M^2\Biggr)$

nella quale la quantità adimensionale r è chiamata fattore di recupero. Questa relazione mostra che, quando r ha valore unitario, la temperatura di parete adiabatica coincide con quella di ristagno e che, per un moto iposonico (M <<1), la temperatura di parete adiabatica e quella statica coincidono per cui si recupera la classica legge di Newton sulla convezione.

Moto isotermo (segue)

Il fattore di recupero r è soprattutto funzione del numero di Prandtl e, in moto turbolento quale quello che s’incontra nei metanodotti, r può essere posto in sostanza uguale alla radice cubica del numero di Prandtl.
Per il metano a temperatura ambiente T_a, il numero di Prandtl risulta pari a circa 0.73 per cui si ricava: r = 0.90.
Tenendo conto del fatto che (sempre per il metano a T_a) γ = 1.30, il numero di Mach critico per il moto isotermo risulta uguale a M* = 1/√γ= 0.877.
Ora, si consideri un metanodotto la cui temperatura di parete T_p è pari a 293K. Qualora inizialmente la corrente si trovasse in regime iposonico, si otterrebbe:

$T_0\cong T\cong T_p=293K$

Se, poi, la corrente dovesse raggiungere il numero di Mach critico, M* = 0.877, a questo valore del numero di Mach, ipotizzando che esso sia raggiunto con un moto isotermo, e cioè sempre con T = 293K, si otterrebbe:

$T_0=293[1+0.15 \text{x}(0.877)^2]=326.8K$

$T_{pa}=293[1+0.15 \text{x}0.9\text{x}(0.877)^2]=323.4K$

Moto isotermo (segue)

La conclusione sarebbe che a M*, pur essendo la temperatura di parete adiabatica del fluido superiore di circa 30K alla temperatura di parete (T_p= 293K), la relazione:

$dq=\frac{2f\gamma^2RTM^4}{D_e(1-\gamma M^2)}dx$

e, comunque, l’aumento della T_o prevederebbero che il calore debba fluire dalla parete al fluido. E’ chiaro che tutto ciò risulta non verosimile.
Se, per le stesse condizioni iniziali, si utilizzasse, invece, il modello di Fanno che prevede T_o = T_p = 293K = cost, per lo stesso numero di Mach si otterrebbe:

$T=293/[1+0.5\txt{x}(0.877)^2]262.7K$

$T_{pa}=262.7[1+0.15\text{x}0.9\text{x}(0.877)^2]=290.0K$

cioè la temperatura di parete adiabatica, a quest’elevato valore di M, sarebbe inferiore di soli 3 gradi a quella della parete del condotto.

Moto isotermo (segue)

Questa piccola differenza di temperatura, in base alla:

$\dot q = \alpha (T_p-T_{pa})$

potrebbe ampiamente giustificare l’ipotesi di adiabaticità che è necessario formulare per poter applicare il moto alla Fanno al caso dei metanodotti. D’altronde, il numero di Eckert:

$Ec=\frac{V_r^2}{c_{pr}\Delta T_r}$

risulterebbe molto grande (perché ΔT_r è molto piccolo). Questo fatto consentirebbe senz’altro di trascurare il flusso termico alla parete nella:

$\frac d {dt}\int_V \rho \Biggl(u+\frac{V^2}2+|\underline g|z\Biggr)dV+\int_D \rho \Biggl(u+\frac {V^2}2 + |\underline g|z\Biggl)V_ndD+$

$+\int_D \underline J_q \cdot \underline n dD + \int_D pV_ndD - \int_D\int_D \bigl(\overset{\tau_d}{=} \cdot \underline V\bigr) \cdot \underline n dD = 0$

Moto isotermo (segue)

Quanto sopra riportato è tanto più vero a più bassi numeri di Mach come deducibile dalla figura, in cui, per il caso particolare di T_p = 300K, sono stati riportati gli andamenti delle temperature statiche, di ristagno e di parete adiabatica per i due tipi di moto fino a M* = 1/√γ, sempre nel caso del metano. Nella figura il pedice i si riferisce al moto isotermo e quello f al moto alla Fanno; inoltre, la variazione d’entropia è stata valutata a partire dallo stato per il quale M* = 1/√γ.
Dalla figura si nota che la T_paf è molto più vicina alla temperatura costante di parete T_p che non la T_pai. La figura mostra, inoltre, che nel moto isotermo la T_oi aumenta (cioè il fluido dovrebbe ricevere energia dalla parete), mentre la condizione T_pai> T_pconduce, per la

$\dot q =\alpha (T_p - T_{pa})$

ad un flusso termico orientato dal fluido alla parete.

Moto isotermo (segue)

Si può concludere che, poiché lo scambio termico è legato alla temperatura di parete adiabatica T_pa e, poiché quest’ultima è molto prossima a quella di ristagno (per i gas Pr è d’ordine di grandezza unitario), il moto compressibile in un condotto a temperatura di parete costante è sicuramente meglio approssimato dal modello di moto alla Fanno, piuttosto che da quello isotermo.
Occorre anche esplicitamente osservare che, nei metanodotti, non si raggiungono numeri di Mach prossimi a 1/√γ, ma decisamente più bassi.
La figura mostra che, anche a numeri di Mach inferiori (e cioè muovendosi sul diagramma verso sinistra), il modello di moto di Fanno risulta migliore.
Infine, va, comunque, rilevato che, se il numero di Mach alla fine del condotto (prima dell’utilizzazione, o di un’altra stazione di pompaggio) non è molto elevato (cioè, per M₂< 0.2), i due modelli di moto conducono in pratica agli stessi risultati.
Questo è, certamente, il motivo che ha consentito l’applicazione del moto isotermo per il passato.