Vai alla Home Page About me Courseware Federica Living Library Federica Federica Podstudio Virtual Campus 3D Le Miniguide all'orientamento Gli eBook di Federica La Corte in Rete
 
I corsi di Ingegneria
 
Il Corso Le lezioni del Corso La Cattedra
 
Materiali di approfondimento Risorse Web Il Podcast di questa lezione

Giovanni Maria Carlomagno » 1.Introduzione - parte prima


Il cammino libero medio molecolare e l’ipotesi del continuo

La materia, pur apparendo macroscopicamente continua, è di fatto costituita da un numero elevatissimo di particelle discrete che si chiamano molecole.
Nel famoso libro sulla teoria cinetica dei gas, scritto nel 1940, Sir J.Jeans dice:
Un uomo, ogni volta che inspira o espira, scambia con l’ambiente circa 400cm3 di aria. Come si vedrà successivamente, ogni singolo respiro contiene circa 1022 molecole. È stato stimato che tutta l’atmosfera della terra è costituita da circa 1044 molecole. Quindi, una molecola sta, rispetto al numero di molecole contenute in un respiro, nello stesso rapporto in cui queste ultime stanno rispetto al numero di quelle contenute in tutta l’atmosfera”.
Se si suppone che l’ultimo respiro (e cioè, l’ultima espirazione, dopo che è stato pugnalato) di Giulio Cesare, al giorno d’oggi (dopo circa 2000 anni), si sia completamente disperso nell’atmosfera, statisticamente un individuo ogni volta che inspira, immette nei suoi polmoni una molecola di questa espirazione.
Poiché i nostri polmoni contengono circa 2 litri di aria, verosimilmente ognuno di noi ha nei suoi polmoni circa 5 molecole dell’ultimo respiro di Giulio Cesare!

Il cammino libero medio molecolare e l’ipotesi del continuo (segue)

Un gas, macroscopicamente continuo, è quindi costituito da un elevatissimo numero di molecole.
Una mole di gas (e cioè una massa di gas in grammi pari al numero che esprime la massa molecolare del gas) contiene N = 6.023×1023 molecole (numero di Avogadro) e, a temperatura e pressione normali (T = 0°C; p = 1ata), occupa circa 22.4 litri (ad es.: 4g di He, 28g di N2, 32g di O2, etc.).
Per l’aria in condizioni normali, la distanza tra le molecole è pari a circa 10 volte il loro diametro equivalente.
Le molecole si muovono continuamente, piuttosto indipendentemente l’una dall’altra salvo che negli istanti in cui urtano tra loro (circa 7 miliardi di urti al secondo).
La traiettoria delle molecole tra due urti consecutivi può essere considerata abbastanza rettilinea, poiché le forze intermolecolari (tra le molecole) sono molto deboli salvo che durante gli urti.

Il cammino libero medio molecolare e l’ipotesi del continuo (segue)

Cammino libero medio molecolare
Il cammino libero medio molecolare  \bar \lambda è definito come la distanza media percorsa dalla molecola tra due urti consecutivi.
Poiché gli urti tra le molecole sono quelli attraverso cui si scambia energia e quantità di moto, il cammino libero medio molecolare è una grandezza molto importante in fluidodinamica.

Validità dell’ipotesi di continuità del sistema
L’ipotesi del continuo comporta che nel sistema esista, comunque, un volumetto \Delta V_0 molto più piccolo del volume di controllo V in esame (ΔV0<< V) ma molto più grande del cubo del cammino libero medio molecolare (ΔV0>>\bar \lambda^3).
Ciò garantisce, infatti, che in ΔV0 sia presente un elevato numero di molecole e che in V esista un numero elevato di ΔV0 .

Stima del cammino libero medio molecolare

La velocità media di una molecola sia pari a \bar c.
La molecola percorrerà nel tempo Δt una traiettoria di lunghezza mediamente pari a \bar cΔt .
Nel percorrere questo spazio la molecola entrerà in collisione con tutte le altre molecole contenute nel volume da essa spazzato \pi d^2 \bar c \Delta t, le quali, se si indica con n il numero di molecole presente per unità di volume, risultano pari a n \pi d^2 \bar c \Delta t .
Infatti, due molecole entrano in collisione quando la loro distanza è inferiore al loro diametro d e cioè quando il centro di una di esse entra nella cosiddetta sezione d’urto dell’altra.
Il rapporto tra lo spazio percorso ed il numero di urti (numero di molecole contenute nel volume spazzato) rappresenta il cammino libero medio della molecola \bar \lambda_a, qui stimato con l’approssimazione che tutte le altre molecole siano ferme:

\bar \lambda_a = \frac 1 {\pi d^2n}


Cammino libero medio molecolare

Una più esatta espressione del cammino libero medio molecolare effettivo \bar \lambda che tiene conto che anche le altre molecole si muovono, è la seguente:

\bar \lambda= \frac 1 {{\sqrt 2} \pi d^2 n}= \frac {\bar \lambda_a}{\sqrt 2}

Il cammino libero medio molecolare consente di introdurre un numero adimensionale (in quanto rapporto di due lunghezze), chiamato numero di Knudsen Kn, definito come:

Kn= \bar \lambda /L

dove L è la lunghezza caratteristica del campo di moto (potrebbe essere, ad es., la corda di un’ala, il diametro di una sfera, etc.).

 

Valutazione del cammino libero medio molecolare


Valutazione del cammino libero medio molecolare (segue)


Altri  numeri  Adimensionali

Numero di Reynolds

Re= \frac {\rho VL} \mu

dove V è la velocità del fluido, μ il suo coefficiente di viscosità dinamica e L è una lunghezza caratteristica del problema.

Il numero di Reynolds rappresenta l’importanza relativa tra le forze d’inerzia e quelle viscose.

Numero di Mach

M= \frac V{a_L}

(rapporto tra due velocità) dove aL è la velocità del suono laplaciana.

Come si vedrà, il quadrato del numero di Mach rappresenta l’importanza relativa tra l’energia cinetica per unità di massa (energia cinetica ordinata) e l’energia interna del fluido (energia cinetica disordinata), sempre per unità di massa.

Altri  numeri  Adimensionali (segue)

Come verrà mostrato in seguito, la teoria cinetica dei gas mostra che per gas monoatomici:

\mu \cong 0.499\rho \bar c \bar \lambda

e poichè, come si vedrà, la velocità del suono laplaciana è data da:

a_L= \bar c \sqrt{\frac \pi 8 \gamma}

dove γ è il rapporto tra i due calori specifici cp e cv a prssione costante e volume costanti, il numero di Knudsen diventa:

Kn= \bar \lambda/L \Rightarrow Kn \cong 1.26 \sqrt \gamma \frac M {Re}

dove sia il numero di Knudsen che quello di Reynolds sono basati sulla stessa lunghezza caratteristica di L.

Altri  numeri  Adimensionali (segue)

Se il numero di Reynolds è relativamente elevato, nel numero di Knudsen si preferisce considerare, quale lunghezza caratteristica, lo spessore dello strato limite δ, mentre nel numero di Reynolds la quantità L rappresenta la distanza dal bordo di attacco da cui lo strato limite incomincia a svilupparsi. Nel caso di strato limite laminare si ha:

\frac \delta L \propto \frac 1 {\sqrt{Re}}

Allora, per numeri di Reynolds relativamente elevati (ma non troppo altrimenti lo stato limite non è più laminare), si ottiene:

Kn_ \delta=Kn \frac L \delta = \frac {\bar \lambda} \delta \propto \frac M {\sqrt Re}

dove il numero di Knudsen Knδ è riferito a δ, mente quello di Reynolds sempre a L.

Questo numero è molto importante nei moti ipersonici.

Regimi di moto

  • Per Knδ <10-2: il moto può essere considerato continuo, nel qual caso la velocità del fluido in prossimità della parete risulta uguale a quella della parete stessa (ipotesi di continuità), se la parete è ferma, anche il fluido è fermo.
  • Per 10-2 < Knδ <10-1: si può continuare a considerare il moto continuo, ma la velocità del fluido alla parete può essere diversa da quella della parete (slip flow).
  • Per 10-1 < Knδ < 3: il regime di moto è detto di transizione. Il regime di transizione risulta molto complesso da trattare.
  • Per Knδ < 3: si passa al regime di molecole libere. In quest’ultimo regime, gli effetti degli urti tra le molecole e la superficie solida di un corpo sono predominanti rispetto a quelli dovuti agli urti tra le molecole stesse (modello newtoniano).

Distribuzione Maxwelliana

In un gas in quiete, le singole molecole si muovono continuamente. La velocità di ciascuna singola molecola è chiamata velocità peculiare.

La distribuzione cosiddetta maxwelliana delle velocità peculiari delle molecole stabilisce che la funzione di distribuzione del modulo di questa velocità è data da:

\varphi(c)= \frac 4 {\sqrt 4} \biggl(\frac m{2kT}\biggr)^{3/2}c^2 exp \biggl( - \frac{mc^2}{2kT}\biggr)

c_{pp}= \sqrt \frac{2kT}m

dove: m è la massa di una molecola, k la costante di Boltzmann, T la temperatura assoluta alla quale si trova il gas e c il modulo del vettore velocità peculiare (microscopica) della molecola. Come si vedrà cpp è la velocità più probabile della molecola.

Per funzione di distribuzione si intende che, dato un intervallo infinitesimo di velocità tra c e c+ dc, la probabilità di trovare una molecola che abbia la sua velocità compresa in tale intervallo è data da: φ(c)dc.

Distribuzione Maxwelliana (segue)


Distribuzione Maxwelliana (segue)

La velocità più probabile cpp si ottiene derivando Φ(c) rispetto a c, uguagliando la derivata a zero e risolvendo in c. L’espressione per cpp è la seguente (in parentesi sono indicati i valori per l’aria in condizioni normali, T=273.15K=0°C, p=1ata=1.013 ·105N/m2):

c_{pp}= \sqrt \frac {2kT}m ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(396m/s)

La velocità media \bar c di tutte le molecole si ottiene l’integrale:

\bar c = \int_0 ^\infty \varphi(c)c ~dc

che risolto dà luogo a:

\bar c= \frac 2 {\sqrt \pi} \sqrt \frac {2kT} m \cong 1.128 c_{pp}~~~~~~(447 m/s)

La velocità media \bar c è più alta della velocità più probabile cpp.

 

Distribuzione Maxwelliana (segue)

La velocità quadratica media \sqrt \bar c^2, che risulta importanti ai fini energetici, è definita come:

\sqrt {\bar c^2}= \sqrt {\int_0^\infty \varphi (c)c^2dc}

la cui soluzione conduce a:

\sqrt {\bar c^2}= \sqrt {\frac {3kT} m} \cong 1.225 c_{pp}~~~~(485m/s)

La velocità del suono laplaciana aL per un gas, almeno perfetto, risulta pari a:

a_L= \sqrt {\frac{\gamma kT}m}= \sqrt {\frac \gamma 2}c_{pp} \cong 0.837 c_{pp}; ~~ \gamma=1.4 ~~~(331m/s)

La velocità del suono laplaciana ha il valore più basso tra tutte le velocità qui definite.

 

Distribuzione Maxwelliana (segue)


Approssimazione sulla distribuzione delle velocità peculiari

Come si vedrà, la velocità del suono laplaciana rappresenta la velocità di propagazione dei piccoli disturbi di pressione (suono), ossia la velocità con la quale le molecole, mediante urti tra loro, trasportano piccoli aumenti, e/o piccole diminuzioni, di pressione. Essa è molto importante nel moto di un gas.

Pertanto, in prima approssimazione si può pensare, a questo fine, che tutte
le molecole posseggano una velocità con modulo pari ad
aL, o meglio, che la funzione di distribuzione diventi una funzione di Dirac e che, quindi tutti gli estremi dei vettori velocità peculiari giacciano su una sfera di raggio aL, cosi come è stato rappresentato nella figura a lato.


Il gas macroscopicamente in moto ed il numero di mach

Si definisce velocità di massa V istantanea, in un punto, la grandezza vettoriale (media pesata delle velocità delle singole molecole):

\underline V= \sum_{i=1}^N m_i {\underline c_i} / \sum_{i=1}^N m_i {\underline c_i}/ \Delta M

che, nell’ipotesi di tutte le molecole abbiano la stessa massa, diventa:

\underline V= \sum_{i=1}^N \underline c_i / N

E’ facile verificare ch ela velocità di massa è definita come la velocità con la quale si muove il centro di massa delle N molecole, cioè il centro di massa della particella di fluido considerata. Infatti, la posizione vettoriale del centro di madda dell particella, costituita dalle N molecole, è definita come:

\underline r_{cm}= \sum_{i=1}^N m_i \underline r_i / \sum_{i=1}^N m_i

Il gas macroscopicamente in moto ed il numero di mach (segue)

Ad un osservatore che si muova rispetto al sistema di riferimento con la velocità di massa, il gas di un intorno apparirà, ovviamente, macroscopicamente fermo.
In questo sistema di riferimento, nell’ipotesi semplificativa fatta di distribuzione alla Dirac delle velocità peculiari, si può quindi concludere che le molecole dell’intorno avranno, tutte lo stesso modulo del vettore velocità. Se a tutte le velocità si somma la velocità di massa, si ottengono i vettori velocità delle singole molecole.
Con questa visione, nel caso in cui V < aL, esisteranno, quindi, alcune molecole che riusciranno a risalire la corrente (a tornare indietro rispetto al moto macroscopico del fluido). Invece, nel caso V > aL, ciò non potrà accadere. Si può quindi concludere che, in questo caso, il fluido a monte non risente dei piccoli disturbi di pressione che provengono da valle.


Il gas macroscopicamente in moto ed il numero di mach (segue)

Come già accennato, il numero di Mach di un fluido, che si muove macroscopicamente con la velocità di massa V rispetto ad un sistema di riferimento, è definito, rispetto allo stesso sistema di riferimento, da:

M= \frac V{a_L}

Moti per i quali M<1 vengono detti subsonici, mentre moti a M>1 supersonici. Se il moto è caratterizzato dall’essere M=1 esso viene denominato sonico.


La pressione e la temperatura in un gas

In una rappresentazione di tipo bidimensionale sul piano x – y, il moto di una molecola può essere raffigurato così come mostrato nella figura che segue. Più in generale, nel caso tridimensionale dovrà essere: c2i = c2xi + c2yi + c2zi
La forza esercitata dalla parete su una molecola di massa mi è uguale alla variazione di quantità di moto per unità di tempo della molecola conseguente all’urto.

Per la parete verticale a destra nella figura, essa può essere ottenuta come rapporto tra la variazione di quantità di moto dovuto all’urto, che risulta essere pari a:

(- mi cxi) – mi cxi = – 2mi cxi

e il tempo intercorrente tra due urti successivi sulla stessa parete che è pari a: 2a/cxi.


La pressione e la temperatura in un gas (segue)

La forza esercitata dalla parete su questa molecola risulta pertanto:

\Delta F_i= -m_i c^2_{xi} / a

Il corrispondente contributo alla pressione Δpi (forza per unità di superficie) esercitata da questa sola molecola sulla parete presa in esame risulta essere quindi opposto alla ΔFi perciò (v=abc):

\Delta p_i= \frac{\Delta F_i}{bc}= \frac {m_i c^2_xi}{abc}= \frac{m_i c^2_xi}V

Supponendo ora che il gas sia costituito da una miscela contenente un numero di molecole N, ciascuna di massa mi ed avente modulo della velocità cxi, la pressione esercitata dalla eN molecole è pari a:

p= \sum_{i=1}^N \Delta p_i = \frac 1 V \sum _{i=1}^N m_i c^2_{xi}

ovvero:

pV= \sum_{i=1}^N m_i c_{xi}^2

La pressione e la temperatura in un gas (segue)

La relazione precedente deve essere valida qualunque sia la parete del serbatoio per cui, scrivendola per tutte e tre le direzioni coordinate e facendo la media tra le relazioni ottenute, si ha:

p= \frac 1{3V}\sum_{i=1}^N m_i (c^2_{xi} + c^2_{yi}+ c^2_{zi})= \frac 1 {3V} \sum_{i=1}^N m_i c_i^2

Introducendo la velocità quadratica media delle molecole della miscela, definita in questo caso mediante una sommatoria anziché attraverso un integrale (come già fatto nella distribuzione maxwelliana):

\bar c^2 = \frac {\sum_{i=1}^N m_ic_i^2}{\sum_{i=1}^N m_i}= \frac {\sum_{i=1}^N m_ic_i^2} M

(dove M è la massa totale della miscela), si ottiene:

pV= \frac 1 3 M \bar c^2

La pressione e la temperatura in un gas (segue)

Ricordando l’equazione di stato per una miscela di gas perfetti:

pV=M\bar R T

(dove \bar R è la costante della miscela) si ottiene la seguente espressione per la velocità quadratica media elevata al quadrato:

\bar c^2 = 3 \frac{pV}M = \ \bar R T

Poichè l’energia cinetica associata alla traslazione delle molecole Etr è:

E_{tr}= \frac 1 2 \sum_{i=1}^N m_i c_i^2 = \frac 1 2 M \bar c^2

si ottiene:

pV= \frac 2 3 E_{tr}

Per la massa M, l’energia totale di traslazione delle molecole risulta paria:

E_{tr}= \frac 3 2 M \bar R T

La pressione e la temperatura in un gas (segue)

Nell’ipotesi in cui le molecole possano assorbire energia unicamente nel modo traslazionale (ipotesi valida a temperatura e pressione ambiente per i soli gas monoatomici), la Etr rappresenta nient’altro che l’energia interna termodinamica del gas U.
Ricordando la I° legge della termodinamica, si ricava inoltre che il calore specifico a volume costante per un gas monoatomico vale:

c_v= \frac 1 M  \biggl(\frac {\partial Q}{\partial T}\biggr)_p= \frac 3 2 \bar R

e, poiché per una miscela di gas perfetti è c_p-c_v= \bar R, si ricava anche:

c_v= \frac 1 M  \biggl(\frac {\partial Q}{\partial T}\biggr)_V= \frac 5 2 \bar R.

Le ultime due relazioni mostrano che il rapporto tra i calori specifici g a pressione e a volume costanti, nel caso di gas monoatomici (è stata considerata la sola energia cinetica traslazionale) è pari a:

\gamma = \frac {c_p}{c_v}= \frac 5 3 \cong 1.67.

La pressione e la temperatura in un gas (segue)

Considerando un amiscela di gas costituita da n specie che occupano ciascuna tutto il volume V a disposizione e ricordando la legge di Dalton sulle pressioni parziali per una miscela di gas perfetti, si può scrivere:

p_iV= \frac 2 3 E_{jtr}~~;~~~~j=1...n

e poiché deve essere valida anche l’equazione di stato, nell’ipotesi ch etutta le specie della miscela abbiano la stessa temperatura T, si ha:

p_jV=M_jR_jT

Quindi:

E_{jtr}= \frac 3 2 M_jR_jT = \frac 3 2 M_j \frac{R_0}{(m_j)} T = \frac 3 2 N_jR_0 T

Ovvero, introducendo la costante di Boltzmann k, pe rl asingola molecola si ottiene:

\widetilde e_{jtr}= \frac 3 2 kT

La pressione e la temperatura in un gas (segue)

La relazione precedente mostra che il suo secondo membro è indipendente dal pedice j per cui è possibile concludere che, quando diverse specie di gas sono tra loro mescolate alla stessa temperatura e se ciascuna di esse occupa tutto il volume a disposizione (ipotesi di Dalton), l’energia cinetica media delle loro molecole è la stessa.
Ne consegue che, ad esempio, la velocità quadratica media (e quindi la velocità) delle specie più leggere sarà maggiore di quella delle specie più pesanti e, in particolare, sarà comunque:

\frac{\bar {c_j^2}}{\bar{c_l^2}}= \frac {m_l}{m_j}

Ad esempio, in una miscela di idrogeno (m = 2) e ossigeno (m = 32), la velocità quadratica media delle molecole di idrogeno sarà ben 4 volte quella delle molecole di ossigeno, come è già stato visto in tabella per la velocità del suono.

  • Contenuti protetti da Creative Commons
  • Feed RSS
  • Condividi su FriendFeed
  • Condividi su Facebook
  • Segnala su Twitter
  • Condividi su LinkedIn
Progetto "Campus Virtuale" dell'Università degli Studi di Napoli Federico II, realizzato con il cofinanziamento dell'Unione europea. Asse V - Società dell'informazione - Obiettivo Operativo 5.1 e-Government ed e-Inclusion