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Giovanni Maria Carlomagno » 2.Introduzione - parte seconda


Fenomeni di trasporto

Consideriamo ora le distribuzioni di tipo non uniforme che corrispondono a situazioni di assenza di equilibrio termodinamico del sistema. In queste situazioni il moto peculiare delle molecole dà luogo a particolari fenomeni addizionali ai quali si dà il nome di flussi diffusivi.

A tali flussi diffusivi (esclusa la pressione, che rappresenta il flusso diffusivo reversibile della quantità di moto) si dà il nome di fenomeni di trasporto, sottintendendo l’aggettivo diffusivo in quanto esiste anche un trasporto convettivo.

Questi fenomeni di trasporto danno luogo, come conseguenza del moto peculiare (a livello microscopico) delle molecole, all’instaurarsi (a livello macroscopico) di uno scambio di grandezze estensive tra zone adiacenti di fluido. Essi sono anche responsabili della produzione di entropia.

Al contrario, la pressione non dà luogo ad una produzione di entropia ed è quindi, come già detto, un flusso reversibile.

Di particolare rilevanza in questo contesto sono gli scambi di specie di massa, di quantità di moto e di energia.

Fenomeni di trasporto (segue)

I flussi diffusivi sono quindi una conseguenza della non uniforme distribuzione a livello macroscopico delle grandezze estensive (sarebbe meglio dire specifiche) che vengono scambiate a causa del moto peculiare delle molecole.

Poiché la trattazione di seguito sviluppata è di tipo introduttivo ed elementare, si ipotizza che la disuniformità abbia luogo solo nella direzione y e non si terrà conto della natura tensoriale del flusso.

In tal caso, i modelli macroscopici più semplici per il trasporto delle grandezze estensive di interesse, specie di massa A, quantità di moto ed energia interna, possono essere rispettivamente modellati con le leggi di tipo scalare:

J_A= -D_A \frac{dc_A}{dy} \ \ \ \ \ \ (Legge \ di \ Fick )

\tau= -\lambda \frac{dT}{dy} \ \ \ \ \ \ (Legge \ di \ Newton)

\dot{q} -\lambda \frac{dT}{dy} \ \ \ \ \ \ \ (Legge \ di \ Fourier)

Fenomeni di trasporto (segue)

J_A= -D_A \frac{dc_A}{dy} \ \ \ \ \ \ (Legge \ di \ Fick )

\tau= -\lambda \frac{dT}{dy} \ \ \ \ \ \ (Legge \ di \ Newton)

\dot{q} -\lambda \frac{dT}{dy} \ \ \ \ \ \ \ (Legge \ di \ Fourier)

Nelle relazioni precedenti, il primo membro rappresenta il flusso (diffusivo) della grandezza estensiva considerata, cioè la quantità di grandezza estensiva che fluisce per unità di superficie e di tempo in forma diffusiva. I coefficienti DA, μ e λ sono chiamati coefficienti di trasporto e, in particolare, di diffusività di massa, di viscosità dinamica e di conducibilità termica, rispettivamente.

Essi, come si vedrà, sono funzione unicamente dello stato termodinamico del sistema.

Fenomeni di trasporto (segue)

J_A= -D_A \frac{dc_A}{dy} \ \ \ \ \ \ (Legge \ di \ Fick )

\tau= -\lambda \frac{dT}{dy} \ \ \ \ \ \ (Legge \ di \ Newton)

\dot{q} -\lambda \frac{dT}{dy} \ \ \ \ \ \ \ (Legge \ di \ Fourier)

I flussi sono proporzionali alle variazioni in direzione y delle grandezze specifiche considerate. Infatti, la cA rappresenta la massa della specie A per unità di massa totale, la u è la quantità di moto specifica (per unità di massa) in direzione x e la T, a meno del calore specifico, rappresenta l’energia interna specifica (anch’essa per unità di massa).

Con una semplice trattazione, si vogliono ora determinare i coefficienti di trasporto mediante la teoria cinetica dei gas nel caso in cui il gas stesso sia ad un sol componente (composto, cioè, da molecole eguali tra loro).

Fenomeni di trasporto (segue)

Si consideri, ad es., il piano x – y indicato in figura a) in cui è definita una delle grandezze specifiche (per molecola) considerate, che sarà indicata con la lettera \tilde{g}. Ad esempio, la \tilde{g} potrà rappresentare l’energia interna di una molecola. Per quanto detto in precedenza questa quantità è solo funzione della coordinata y, è cioè \tilde{g} = \tilde{g} (y) così come indicato in figura b).


Fenomeni di trasporto (segue)

La quantità media netta della grandezza \tilde{g}, trasportata nella direzione delle y positive per unità di superficie e di tempo (flusso), risulta verosimilmente data da:

J_{\tilde{g}} = \phi_{\tilde{g}} n \bar{c}\lfloor \tilde{g}(y_o - \alpha_{\tilde{g}} \bar{\lambda}) - \tilde{g}(y_o + \alpha_{\tilde{g}} \bar{\lambda}) \rfloor

dove:

  • \phi_{\tilde{g}} è una costante di proporzionalità (in generale funzione della grandezza trasportata);
  • n è il numero di molecole per unità di volume;
  • \bar{c} è la velocità media delle molecole;
  • \Delta y = \alpha_{\tilde{g}} \bar{\lambda} rappresenta la distanza media dal piano del punto in cui le molecole hanno subito l’ultimo urto prima di attraversare il piano stesso, essendo \alpha_{\tilde{g}} una costante di proporzionalità di ordine di grandezza unitario (in generale funzione della grandezza trasportata) e il cammino libero medio molecolare.

Il flusso sarà, infatti, proporzionale al numero di molecole per unità di volume, alla loro velocità media e alla variazione di .

Fenomeni di trasporto (segue)

J_{\tilde{g}} = \phi_{\tilde{g}} n \bar{c}\lfloor \tilde{g}(y_o - \alpha_{\tilde{g}} \bar{\lambda}) - \tilde{g}(y_o + \alpha_{\tilde{g}} \bar{\lambda}) \rfloor

Espandendo la quantità tra parentesi in serie di Taylor e arrestandola al primo termine in \alpha_{\tilde{g}} \bar{\lambda}, si ottiene:

J_{\tilde{g}} = \phi_{\tilde{g}}n \bar{c} \frac {d\tilde{g}}{dy} \left(-2\alpha_{\tilde{g}}\bar{\lambda}\right) = -\beta_{\tilde{g}}n\bar{c}\bar{\lambda} \frac{d\tilde{g}}{dy}

in cui appare la nuova costante, che assorbe le altre due:

La precedente equazione rappresenta l’equazione generale del trasporto diffusivo della grandezza \tilde{g} che è possibile particolareggiare per le tre grandezze estensive che si considerano.

Specie di massa A

Si consideri il caso più semplice di due specie di massa con molecole abbastanza simili tra loro sia per forma che per massa molecolare (ad esempio azoto e monossido di carbonio). La grandezza che deve essere trasportata in questo caso è la specie di massa A (nella miscela costituita da A + B) la cui grandezza specifica per molecola risulta \tilde{g} = n_A/n, in cui n_A è il numero di molecole della specie A per unità di volume.

Per l’ipotizzata somiglianza delle masse molecolari delle due specie, si ha anche n_A/n \approx c_A per cui si ottiene:

J_A = - \beta_m \bar{c} \bar{\lambda} \frac {dn_A}{dy} = - \beta_m \bar{c} \bar{\lambda} \frac {dc_A}{dy}

che confrontata con la legge di Fick:

J_A = -D_A \frac {dc_A}{dy}

dà luogo alla seguente espressione per il coefficiente di diffusività di massa:

D_A = \beta_m  n  \bar{c} \bar{\lambda}

Quantità di moto

La grandezza da trasportare è la quantità di moto per molecola nella direzione x, e cioè risulta: \tilde{g} = m \ u(y) , dove m è ancora la massa della molecola ed u rappresenta qui l’unica componente della velocità secondo la direzione x. Si ottiene quindi:

J_{qm} = - \beta_{qm} n \bar{c} \bar{\lambda} m \frac {d \ u}{dy} = - \tau

Si noti che flusso e sforzo tangenziale hanno segni opposti. Confrontando la relazione precedente con la legge di Newton, si ottiene:

\mu =\beta_{qm}n~m\bar{c}\bar{\lambda}=\beta_{qm}\rho \bar c \bar \gamma

 

relazione già anticipata in precedenza, quando è stato trattato il numero di Knudsen.

Ricordando la relazione \bar{\lambda}= \frac{1}{\sqrt{2 \pi d^2n}} si ottiene: \mu \propto \bar{c} \ \frac{m}{d^2} \propto \sqrt{T}

e cioè la viscosità risulta funzione della radice della temperatura.

Energia interna (energia cinetica disordinata)

La grandezza specifica (per molecola) da trasportare vale \tilde{g}=m \ c_v \ T in cui cv è il calore specifico a volume costante. Si ottiene quindi:

J_q = \dot{q} = - \beta_q \ n \ m \ c_v \ \bar{c} \ \bar{\lambda} \ \frac{d \ T}{dy}

ed il raffronto con la legge di Fourier dà luogo a:

\lambda = \beta_q \ n \ m \ c_v \bar{c} \ \bar{\lambda} = \beta_q \ \rho \ c_v \ \bar{c} \ \bar{\lambda}

La determinazione mediante la teoria cinetica dei gas delle costanti βm, βqm e βq è molto complessa e i loro valori dipendono dalle ipotesi, più o meno accurate, fatte in partenza.

Energia cinetica ordinata

La grandezza specifica da trasportare è l’energia cinetica ordinata per molecola, cioè la quantità mu2/2, dove la u è sempre l’unica componente della velocità nella direzione x. Si ottiene quindi:

J_l=\beta_l \ n \ \bar{c} \ \bar{\lambda} \ mu \frac{du}{dy}

Nell’ipotesi verosimile in cui βl = βqm , trattandosi di grandezze trasportate della stessa natura, dal confronto tra la relazione precedente e quella corrispondente scritta per l’energia interna, si ricava la relazione:

J_l=-\tau u

Se l’energia del fluido può essere scambiata nei due soli modi calore e lavoro, come nei casi che qui interessano, il flusso diffusivo di energia totale risulta pari a:

J_{E_t}= \dot{q} - \tau u

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