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Giovanni Maria Carlomagno » 5.Onde - parte prima

Onde d’urto normali e oblique

E’ stato visto in precedenza che i piccoli disturbi di pressione si propagano alla velocità del suono.

Ad esempio nel caso di un oggetto che si muova a velocità subsonica in aria ferma, i disturbi di pressione causati dalla sua presenza (l’aria si deve aprire per far passare l’oggetto), poiché viaggiano più velocemente dell’oggetto, riescono a raggiungere tutti i punti del fluido prima che arrivi l’oggetto stesso.

Alternativamente, in un sistema di riferimento inerziale per il quale l’oggetto è fermo ed è investito da una corrente subsonica, questi disturbi riescono a risalire la corrente in quanto essi viaggiano verso monte più velocemente di quanto quest’ultima viaggi verso valle.

Onde d’urto normali e oblique (segue)

Nel caso, invece, in cui l’oggetto si muova a velocità supersonica, sempre in aria ferma, arriva prima l’oggetto e poi i disturbi di pressione.

L’aria non può, quindi, essere avvisata da questi ultimi che l’oggetto sta arrivando.

Va peraltro rilevato che l’oggetto deve, in ogni caso, passare e che l’aria si deve comunque aprire per farlo passare.

Di qui la presenza di superfici di discontinuità (onde d’urto) che, rendendo la corrente subsonica, e/o deviando la corrente supersonica, consentono al fluido di aprirsi per lasciar passare il corpo.

Tuttavia, le onde d’urto non sono presenti solo nel caso appena descritto, ma anche in altre situazioni fluidodinamiche.

Onde d’urto normali e oblique (segue)

Shadowgraph del modello in scala 1/200 del Thunderjet F 84 a M = 1.05 osservato con il metodo delle ombre (Shadowgraph). Notare come l'onda d'urto davanti all'aereo, che viaggia a M ≅ 1, risulti praticamente normale.

Onde d’urto normali e oblique (segue)

Un F-14 supera il muro del suono.

Onde d’urto normali e oblique (segue)

Si vedrà che, in un sistema di riferimento nel quale l’oggetto è fermo, la corrente deve essere supersonica e, se la sua velocità è costante nel tempo, l’onda d’urto resta anch’essa ferma.

Intuitivamente ne consegue che: onde d’urto stazionarie (ferme rispetto al sistema di riferimento) sono possibili solo se la corrente a monte (prima) di esse è supersonica (nello stesso sistema di riferimento).

Se la corrente fosse subsonica, non ci sarebbe la necessità di un’onda d’urto, in quanto i piccoli disturbi di pressione riuscirebbero a risalire la corrente e a farla aprire per tempo.

Si vedrà che ciò non è strettamente vero in campo transonico.

Si vedrà anche che, onde d’urto instazionarie (in moto rispetto ad un sistema di riferimento) possono originarsi anche in una corrente non necessariamente supersonica ma, al limite, ferma.

Le onde d’urto si chiamano normali, quando sono perpendicolari al vettore velocità a monte dell’onda, altrimenti si dicono oblique.

Onde d’urto normali e oblique (segue)

Shadowgraphs di un flusso su un proiettile in volo libero. Si noti la presenza di onde lì dove la corrente accelera.

Onde d’urto normali e oblique (segue)

Shadowgraphs di un flusso su un proiettile in volo libero. Si noti l'onda d'urto quasi normale per M ≅ 1.

Onde d’urto normali e oblique (segue)

Le onde d’urto possono essere, in generale, di vari tipi.

E’ stato già detto che le onde d’urto si chiamano normali, se perpendicolari al vettore velocità a monte dell’onda, altrimenti si dicono oblique.

Nel seguito saranno considerate solo quelle adiabatiche, nel senso che il fluido che le attraversa non scambia energia nel modo calore tra i suoi diversi punti. Ovviamente, il fluido non scambia lavoro per assenza di “eliche“.

Va comunque osservato che, come si vedrà, onde d’urto molto forti possono provocare forti innalzamenti della temperatura del fluido e, di conseguenza, scambi termici per irraggiamento, o reazioni chimiche (esotermiche, od endotermiche le quali possono essere tenute in conto con una non adiabaticità del moto.

L’ipotesi di assenza di scambi di energia nel modo lavoro, unitamente all’adiabaticità, fa sì che attraverso l’onda d’urto si può assumere la trasformazione come omoenergetica (H = cost).

Spessore di un’onda d’urto

Nel campo di moto esaminato, le onde d’urto possono essere generalmente considerate come superfici di discontinuità. Infatti, il loro spessore risulta dell’ordine di qualche cammino libero medio molecolare.

Nella figura a lato è riportato lo spessore di un’onda d’urto t, espresso in termini di cammino libero medio molecolare $\bar{\lambda}$ , al variare del numero di Mach M.

Lo spessore t è stato misurato sperimentalmente nel caso specifico di onde d’urto in una corrente di azoto N₂.

Si ricordi che, $\bar{\lambda}$ per aria in condizioni normali, è dell’ordine di 10^-7m

Onda d’urto normale stazionaria

Onda d’urto normale stazionaria (segue)

$\rho_1V_1=\rho_2V_2=G=cost$

Eq. Bilancio Quantità di moto

Sostituendo: $d \dot m = \rho_1V_1dA$ nella $d \dot m(\ynderline V_2 - \underlineV_1)+dA(p_1 \underline n_1 + p_2 \underline n_2)=0$

e proiettando normalmente, si ottiene:

$P_1+ \rho_1V_1^2=p_2+ \rho_2V_2^2= I=cost$

Eq. Conservazione dell’energia

$\dot m \Delta H= \dot Q - \dot L$

tenedo conto che:

$\dot Q = \dot L=0,$

si ha:

$h_1+ \frac{V_1^2}2=h_2 + \frac{V^2_2}2 = H=cost$

Onda d’urto normale stazionaria in in gas più che perfetto

$P_1+ \rho_1V_1^2=p_2+ \rho_2V_2^2= I=cost$

$\rho_1V_1^2- \rho_V^2_2=p_2-p_1$

Tenendo conto che: $\rho_1V_1=\rho_2V_2 = G=cost$

$V_1-V_2= \frac {p_2}{\rho_2V_2}- \frac {p_1}{\rho_1V_1}$

Ricordando poi che: $a^2=\gamma RT= \gamma p/ \rho$

$\gamma (V_1-V_2)= \frac{a_2^2}{V_2}- \frac {a_1^2}{V_1}$

Onda d’urto normale stazionaria in in gas più che perfetto (segue)

La $H=h+V^2/2$ , in condizioni omoenergetiche, può essere scritta anche nella forma:

$a^2=a_0^2- \frac{\gamma -1}2V^2$

che sostituita in

$\gamma(V_1-V_2)= \frac{a_2^2}{V_2}- \frac {a^2_1}{V_1}$

e tenendo conto della:

$V^*=a^*= \sqrt{\frac{2H(\gamma -1)}{\gamma +1}}= V_l \sqrt {\frac{\gamma - 1}{\gamma +1}}=a_0 \sqrt {\frac2{\gamma +1}}$

$V_1V_2= \frac 2 {\gamma +1}a_0^2=a^{*2}$

Relazione di Prandtl per l’onda d’urto normale

La velocità critica del suono è la media geometrica tra quella a monte e quella a valle dell’onda d’urto.

Onda d’urto normale stazionaria in in gas più che perfetto (segue)

Introducendo:

$M^*= \frac V {a^*}$

la relazione:

$V_1V_2= \frac 2 {\gamma +1}a_0^2=a^{*2}$

diventa:

$M^*_1M_2^*=1$

Poichè si può scrivere:

$M^{*2}= {\frac{V^2}{a^2}} {\frac {a^2} {a^{*2}}=M^2 {\frac T {T_0}} {\frac {T_0}{T^*}}= {\frac {M^2}{1+ \frac {\gamma -1}2 M^2}} {\frac {\gamma +1}2}$

quadrando, sostituendo e risolvendo la $M_1^*M_2^*=1$ , si ottiene infine la relazione che lega il numero di Mach a valle M₂ a quello a monte M₁:

$M_2^2= \frac {(\gamma -1) M_1^2+2}{2 \gamma M_1^2 - (\gamma -1)}$

Onda d’urto normale stazionaria in in gas più che perfetto (segue)

$M_2^2= \frac {(\gamma -1) M_1^2+2}{2 \gamma M_1^2 - (\gamma -1)}$

Poiché per la stabilità termodinamica γ≥1, ad ogni valore di M₁>1 corrisponde un valore di M₂<1 e, quasi, viceversa.

Il caso M₁=1 conduce a M₂=1.

Per M₁→ ∞, il valore limite di M₂ è dato da:

$M_{2l}= \lim_{M_1 \rightarrow \infty}M_2=(\frac {\gamma -1}{2 \gamma})^{1/2}$

che per γ=1.4 →M_2l=0.3780.

Il quasi deriva dal fatto che, per valori di M₁ inferiori s M_2l, il valore di M₂ risulta un numero complesso. Per M₁ → M_2l si ha M₂→∞.

Onda d’urto normale stazionaria in in gas più che perfetto (segue)

Utilizando la relazione

$M_2^2= \frac{(\gamma -1) M{_1^2}+2}{2 \gamma M_1^2-(\gamma -1)}}$

tra M₁ e M₂, è possibile ricavare allora:

$T_1\biggl(1+{ \frac{\gamma -1}2}M_1^2\biggr)=T_2 \biggl(1+ {\frac{\gamma -1}2} M_2^2\biggr)= \frac H {c_p}$

$\frac {T_2}{T_1}= (\gamma +1)^{-2}( 2 \gamma M_1^2 - \gamma + 1) (\gamma -1 + 2 / M_1^2)$

$P_1+ \rho_1V_1^2= p_1(1+ \gamma M_1^2)p_2(1+ \gamma M_2^2)=I$

$\frac {p_2}{p_1}= (\gamma +1)^{-1}(2 \gamma M_!^2 - \gamma +1)$

$\frac{\rho_2}{\rho_1}= \frac {V_1}{V_2}=( \gamma +1)M_1^2 [2+(\gamma -1) M_!^2]^{-1}$

Onda d’urto normale stazionaria in in gas più che perfetto (segue)

Essendo l’onda d’urto omoenergetica, si ha: $\frac{T_{02}}{T_{01}}=1$

Si può, poi, scrivere:

$\frac {p_{02}}{p_{01}=}\frac{p_{02}}{p_2} \frac {p_2}{p_1} \frac{p_1}{p_{01}}$

Sostituendo le relazioni per la pressione di ristagno $p_0=p\biggl(1+ \frac{\gamma -1}2 M^2\biggr)^{\frac \gamma {\gamma -1}}$ e l’espressione di $p_2/p_1$ precedentemente trovata, si ottiene:

$\frac{p_{02}}{p_{01}}=\Biggl[(\gamma +1)^{(- \gamma + 1)}(\gamma -1+2/M_1^2)^\gamma ( 2 \gamma M_1^2 - \gamma +1)\Biggr]^{\frac 1 {1- \gamma}}$

che, per M₁>1, conduce a:

$p_{02}/p_{01}<1$

per tutti i valori possibili di γ>1.

Onda d’urto normale stazionaria in in gas più che perfetto (segue)

Ricordando che l’entropia è data da:

$s_2 - s_1=c_p ln \frac {T_2}{T_1}- Rln \frac {p_2}{p_1}$

in termini di grandezze di ristagno si può scrivere (T₀₂=T₀₁):

$s_2-s_1= -Rln \frac{p_{02}}{p_{01}}$

Utilizzando, poi, la:

$\frac {p_{02}}{p_{01}}=[(\gamma +1)^{-(\gamma +1)}(\gamma -1 +2/ M_1^2)^\gamma (2\gamma M_1^2 - \gamma +1)]^{\frac 1 {1- \gamma}}$

si ottiene, infine, l’espressione per la variazione di entropia verso l’onda:

$\Delta s / R = (s_2-s_1)/R=\Biggl[-(\gamma +1)ln(\gamma +1)+ ln(2 \gamma M_1^2;- \gamma +1)+ \gamma ln(\gamma -1+2/M_1^2)\Biggr]/ (\gamma -1)$

relazione riportata nella figura a lato che mostra i soli urti possibili (M₁>1).

Onda d’urto normale stazionaria in in gas più che perfetto (segue)

Espandendo in serie di Taylor, nell’intorno di M₁² = 1, la relazione:

$\Delta s / R = (s_2-s_1)/R=\Biggl[-(\gamma +1)ln(\gamma +1)+ ln(2 \gamma M_1^2;- \gamma +1)+ \gamma ln(\gamma -1+2/M_1^2)\Biggr]/ (\gamma -1)$

si ottiene la seguente espressione:

$\frac {\Delta s(M_1^2 \rightarrow 1)}R= \frac 2 3 \frac \gamma {(\gamma +1)^2}(M_1^2-1)^3$

che per M₁² = 1 risulta nulla insieme alle sue derivate prima e seconda rispetto a M₁²(punto di flesso della curva).
Questo fatto fa sì che le onde d’urto che avvengono per M₁ ≈ 1 siano praticamente isoentropiche cioè reversibili.
Quindi, solo l’onda che avviene per M1 ≈ 1 (onda di Mach) può essere sia di compressione che di espansione poiché la trasformazione è reversibile, essendo Δs = 0.

Tubi di pivot in una corrente subsonica

Nel tubo di Pitot investito da una corrente subsonica si può considerare che il fluido deceleri, fino al punto di misura della pressione sull’asse, isentropicamente ed omoenergeticamente, e, quindi, che lo strumento misuri, di fatto, la pressione di ristagno della corrente.

Ciò non è vero per un tubo di Pitot investito da una corrente supersonica.

Cosa succede, invece, per un tubo di Pitot investito da una corrente supersonica?.

Tubi di pivot in una corrente subsonica (segue)

Shadowgraph di un'onda d'urto in un flusso supersonico su un cono smussato a M = 1.36. Notare che l'onda sull'asse risulta normale all'asse stesso.

Tubi di pivot in una corrente subsonica (segue)

Se in una corrente supersonica è presente un corpo tozzo (cioè che non presenta un bordo di attacco a spigolo vivo, o a punta), davanti al corpo si genera un’onda d’urto che, per corpi assialsimmetrici posti ad angolo d’attacco nullo rispetto all’asse del corpo, risulta normale sull’asse stesso.

Questo è il caso del tubo di Pivot immerso in una corrente supersonica.

In questo caso, il Pitot non misurerà la pressione di ristagno della corrente, bensì la pressione di ristagno p_o2 a valle dell’onda d’urto normale presente davanti ad esso, sul suo asse.

Tubi di pivot in una corrente subsonica (segue)

In un tunnel supersonico è molto facile misurare la pressione statica p₁ a monte dell’onda d’urto con una presa di pressione posta sulle pareti del tunnel. Il rapporto p_o2/p₁, detto anche funzione di Rayleigh per il tubo di Pitot, risulta utile per la misura del numero di Mach e può essere posto nella forma:

$\frac{p_{02}}{p_1}= \frac {p_{02}}{p_2}\frac{p_2}{p_1}$

e, sostituendo in questa espressione le già trovate:

$p_0=p\Bigl(1+ \frac{\gamma -1}2 M^2\Bigl)^{\frac \gamma {\gamma - 1}}$

$\frac{p_2}{p_1}=(\gamma +1)^{-1}( 2 \gamma M_!^2- \gamma + 1)$

si ottiene infine:

$M_2^2= \frac {(\gamma -1)M_1^2 +2}{2 \gamma M_1^2 -(\gamma -1)}$

Funzione di Rayleigh

$\frac{p_{02}}{p_1}= \Bigl(\frac {\gamma +1}2\Bigr)^{\frac{\gamma +1}{\gamma -1}}\Biggl(\frac{2M_1^{2\gamma}}{2\gamma M_1^2- (\gamma-1)}\Biggr)^\frac 1 {\gamma -1}$

Tubi di pivot in una corrente subsonica (segue)

$\frac{p_{02}}{p_1}= \Bigl(\frac {\gamma +1}2\Bigr)^{\frac{\gamma +1}{\gamma -1}}\Biggl(\frac{2M_1^{2\gamma}}{2\gamma M_1^2- (\gamma-1)}\Biggr)^\frac 1 {\gamma -1}$

Come già detto, questa formula è chiamata funzione di Rayleigh.
Per M₁= 1 dà luogo a:

$\frac{p_{02}}{p_1}= \frac{p_{01}}{p_1}= \biggl(\frac{\gamma +1}2\biggr)^{\frac \gamma {\gamma -1}}}$

che corrisponde al valore isoentropico, il quale nel caso di γ = 1.4 vale 1.893. Il suo reciproco è pari a 0.5283.
Le figure che seguono mostrano la dipendenza dei diversi rapporti adimensionali delle grandezze termofluidodinamiche e del numero di Mach a valle dell’onda d’urto nel caso di γ = 1.4.
I rapporti che si leggono sulla scala a destra comportano un aumento della grandezza attraverso l’urto, quelli a sinistra una diminuzione.

Tubi di pivot in una corrente subsonica (segue)

In una corrente (con γ = 1.4) ad elevatissimo numero di Mach, la densità a valle di una onda d’urto normale è pari a sei volte quella a monte e la velocità della corrente diventa un sesto di quella a monte.

In questo caso resta comunque da controllare se è ancora valida l’ipotesi di gas più che perfetto a causa dell’elevato aumento di temperatura della corrente che può provocare fenomeni di dissociazione.

Il diagramma di mostra anche che, per bassi valori del numero di Mach, si ha p_o2/p₀₁≅1 e che quindi l’onda d’urto può essere considerata praticamente isoentropica.

Tabelle delle onde d’urto normali

Tabelle delle onde d’urto normali (segue)

A questo punto si può pensare di definire un’onda d’urto come una superficie di discontinuità attraverso la quale avviene una brusca conversione di energia cinetica ordinata in energia cinetica disordinata ad entalpia totale costante. La brusca diminuzione di velocità dà luogo ad un brusco innalzamento della densità,

$\rho_1 V_1=\rho_2V_2=G=cost$