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Giovanni Maria Carlomagno » 23.Rayleigh - parte prima

Moti compressibili e scambio termico

In ambito industriale esistono numerose situazioni nelle quali un fluido si muove all’interno di un condotto, in regime compressibile, scambiando energia sotto forma di calore e, quindi, variando la sua entalpia totale.
Tipici esempi sono gli scambiatori di calore e le camere di combustione di sistemi aperti.
Di solito, lo scambio termico è associato all’attrito alla parete e si ricorda che il prodotto tra il numero di Eckert e quello di Peclet EcPe, da un lato, ed il numero di Reynolds Re, dall’altro, ne misurano l’importanza relativa rispetto ai flussi convettivi di energia cinetica e quelli di quantità di moto rispettivamente.
Il numero di Peclet è esprimibile come prodotto tra il numero di Reynolds e quello di Prandtl, Pe = RePr e, poiché per i gas quest’ultimo è di ordine di grandezza unitario, i due numeri Pe e Re risultano dello stesso ordine di grandezza. Si può, pertanto, concludere che, se il numero di Eckert

$Ec=V^2/(c_p\Delta T)$

è molto piccolo (ad es., ΔT molto grande) mentre quello di Reynolds risulta molto grande, è senz’altro possibile trascurare gli effetti viscosi pur tenendo conto di quelli associati allo scambio termico.

Moti compressibili e scambio termico (segue)

Nasce così il modello di moto alla Rayleigh basato sulle seguenti ipotesi:

il moto è quasi-unidimensionale e quasi-stazionario;
l’area della sezione di passaggio del fluido nel condotto è ritenuta costante;
il fluido non scambia lavoro con l’ambiente e sia gli effetti viscosi, che quelli delle forze gravitazionali, sono trascurabili;
la produzione di entropia è trascurabile, in altre parole la trasformazione termofluidodinamica è considerata reversibile;
l’unica forza spingente è lo scambio di calore lungo il condotto che dà luogo ad una variazione dell’entalpia totale H.

L’assenza di lavoro d’elica è una condizione facilmente riscontrabile nelle applicazioni pratiche e della trascurabilità degli effetti associati alle forze viscose si è prima discusso.
Per alti valori del numero di Froude, è possibile trascurare le forze gravitazionali, mentre meno verosimile risulta non tener conto della produzione di entropia perché, oltre che agli sforzi viscosi qui non considerati, essa è associata sia allo scambio termico, che alle reazioni chimiche.

Le equazioni del moto alla Rayleigh

Le ipotesi di quasi-unidimensionalità, di quasi-stazionarietà e di condotto a sezione costante conducono alla stessa equazione di conservazione della massa già scritta per il moto alla Fanno e per il moto isotermo:

$G=\rho V=\text{cost}$

Con le ipotesi fatte, e quindi trascurando sia gli sforzi di attrito alla parete, che le forze gravitazionali, la proiezione dell’equazione del bilancio della quantità di moto sull’asse del condotto dà luogo alla costanza dell’impulso specifico lungo il condotto stesso:

$I=p+\rho V^2=\text{cost}$

Tenendo conto dell’equazione di conservazione della massa, questa relazione può essere scritta anche in altre forme quali:

$I=p+GV=p+G^2\nu=\text{cost}$

La costanza dell’impulso specifico mostra, quindi, che, sul piano di Clapeyron p-v, le diverse condizioni termodinamiche del fluido si trovano su una retta con pendenza – G² ed ordinata all’origine pari ad I.
Anche sul piano p-V l’ultima relazione è rappresentata da una retta che, in questo caso, ha pendenza – G e ordinata all’origine ugualmente pari ad I.

Le equazioni del moto alla Rayleigh (segue)

$I=p+GV=p+G^2\nu=\text{cost}$

Dalla costanza dell’impulso specifico si può, quindi, concludere che, in un moto alla Rayleigh, se la pressione del fluido aumenta la sua velocità diminuisce e la sua densità (ρ= 1/v) aumenta. Viceversa, se la pressione diminuisce, la velocità aumenta e la densità diminuisce.

La dipendenza lineare della p dal volume specifico v, ancorché molto semplice, risulta di scarsa utilità nel discutere il moto alla Rayleigh, mentre, come si vedrà in seguito, molto più utile è la rappresentazione di quest’ultimo sul piano di Gibbs T- s.

Nell’ipotesi fatta di potenza di elica assente, l’equazione di conservazione dell’energia si riduce a:

$\dot m \Delta H= \dot Q$

dove $\dot Q$ rappresenta la potenza scambiata tra il fluido ed il suo ambiente (energia per unità di tempo) nel modo del calore.

Si ricorda che, per convenzione, la quantità $\dot Q$ viene considerata positiva se ricevuta dal fluido, ovvero negativa se da questo ceduta.

Le equazioni del moto alla Rayleigh (segue)

In termini differenziali le equazioni precedenti diventano:

$\frac {dG}G=\frac{d\rho}\rho+\frac{dV}V=0$

$dI=dp+\rho VdV = dp + GdV=0$

$G(dh+VdV)=GdH=Gc_pdT_0=4\dot q \frac{dx}{D_e}$

Si ricordi l’equazione differenziale di conservazione dell’energia per moti anergodici:

$GdH=4\dot q \frac{dx}{D_e}$

In questa equazione, $\dot q$ rappresenta il flusso termico alla parete (energia per unità di superficie e di tempo) supposto anch’esso unidimensionale. La quantità $\dot q$ può, anch’essa, essere positiva, o negativa, che comporta rispettivamente un aumento, o una diminuzione, dell’entalpia di ristagno del fluido. In caso di scambio termico per convezione, la quantità si può ancora calcolare con la:

$\dot q=\alpha (T_p-T_{pa})$

nella quale la temperatura di parete adiabatica è sempre valutabile con la:

$T_{pa}=T+r \frac{V^2}{2c_p}=T\Biggl(1+r\frac {\gamma-1}2 M^2\Biggr)$

Le equazioni del moto alla Rayleigh (segue)

Per moto turbolento in condotti e numero di Prandtl Pr compreso tra 0.5 e 1.0 (valore tipico dei gas), il coefficiente di scambio termico convettivo α è determinabile, a partire dal numero di Nusselt Nu, con la formula di Dittus e Boelter:

$Nu=\frac{\alpha D_e}\lambda=0.022~Pr^{0.60}~Re^{0.8}$

dove λ è il coefficiente di conducibilità termica del fluido e De è il diametro equivalente del condotto.
Il numero di Reynolds Re ed il numero di Prandtl Pr sono dati da:

$Re=VD_e/\nu~~~~~;~~~~~Pr=\frac{c_{pr}\mu_r}{\lambda_r}=\frac{\nu_r}{\alpha_r}$

La formula di Dittus e Boelter è valida nel caso di tubi lisci.
Per tubi scabri è generalmente accettata la correlazione:

$Nu_{sc}/Nu=(f_{sc}/f_l))^n~~~~;~~~~~n=0.68~Pr^{0.215}$

Nelle relazioni appena scritte tutte le quantità che dipendono dallo stato termodinamico del fluido devono essere, in particolare, valutate alla temperatura media nella sezione retta del condotto.

Le equazioni del moto alla Rayleigh (segue)

Tenendo conto della:

$\delta_eS=\Biggl[-\int_D \frac{\underline J_q}T \cdot \underline n dD\Biggr]dt$

e ricordando che la trasformazione è reversibile, la:

$G(dh+VdV)=GdH=Gc_pdT_0=4\dot q \frac{dx}{D_e}$

può essere posta anche nella forma:

$dH=\frac{4\dot q}G\frac{dx}{D_e}=dq=Tds$

dove q rappresenta l’energia scambiata nel modo calore per unità di massa di fluido evolvente e l’ultima eguaglianza deriva dal II principio della termodinamica applicato a una trasformazione reversibile. Ovviamente, anche la quantità q può essere positiva o negativa.
E’ facile intuire che ciascuna coppia di valori del flusso di massa G e dell’impulso specifico I (cioè, delle due quantità che restano costanti durante il moto) individua un particolare moto alla Rayleigh.

La curva di Rayleigh

Come già fatto nel moto alla Fanno, per meglio comprendere alcuni comportamenti del moto alla Rayleigh, è utile rappresentare la curva che lo descrive sul piano T- s. Quest’ultima rappresenta il luogo dei punti a G e I costanti ed è denominata curva di Rayleigh.
Anche la curva di Rayleigh si può facilmente ricavare a partire dall’equazione della sua tangente locale su detto piano.
In particolare, per il modello di gas più che perfetto, l’equazione di stato e le:

$\frac{dG}G=\frac{d\rho}\rho+\frac{dV}V=0$

$dI=dp+\rhoVdV=dp+GdV=0$

danno luogo a:

$V^2d\rho=dp=R(\rho dT+Td\rho)$

Questa relazione, divisa per la quantità ρ RT, diventa:

$\frac {V^2}{RT}\frac {d\rho}\rho=\frac{dT}T+\frac{d\rho}\rho$

La curva di Rayleigh

La $\frac {V^2}{RT}\frac {d\rho}\rho=\frac{dT}T+\frac{d\rho}\rho$ ricordando la definizione di numero di Mach, può essere messa nella forma:

$\frac{dT}T=(\gamma M^2-1)\frac{d\rho}\rho = (1-\gamma M^2)\frac {dV}V$

Sostituendo la prima di queste due eguaglianze nell’equazione:

$ds=c_v\frac{dT}T-R\frac{d\rho}\rho$

si ottiene:

$ds= \frac{dT}T \Biggl(c_v - \frac R{\gamma M^2-1}\Biggr)$

e, ricordando che per un gas più che perfetto:

$\gamma c_\nu=c_p~~~~;~~~~~c_p=c_\nu + R$

si perviene, infine, all’espressione:

$\frac {c_p}T\biggl(\frac{\partial T}{\partial s}\biggr)_{G,I}=\frac{\gamma M^2-1}{M^2-1}$

La curva di Rayleigh (segue)

$\frac {c_p}T\biggl(\frac{\partial T}{\partial s}\biggr)_{G,I}=\frac{\gamma M^2-1}{M^2-1}$

L’equazione fornisce la pendenza della curva di Rayleigh sul piano di Gibbs T-s. La sua soluzione è riportata, nel diagramma a lato per γ= 1.4.
Attenzione: Nel moto alla Fanno la temperatura di ristagno non varia, il che ne rende semplice la scelta quale temperatura di riferimento per poter adimensionalizzare la temperatura statica.
Invece, nel moto alla Rayleigh questa scelta è più soggettiva perché, nel moto, variano sia la temperatura statica che quella di ristagno.
In questo caso, è stata fatta la scelta di utilizzare quale temperatura di riferimento quella di ristagno relativa alle condizioni critiche, che, come si vedrà, corrispondono ancora a M = 1.

La curva di Rayleigh (segue)

Anche la variazione di entropia, adimensionalizzata mediante il c_p, è stata riferita alle condizioni soniche; per questo motivo tutte le variazioni di entropia risultano negative.
La scelta delle coordinate adimensionali dà luogo ad un’unica curva di Rayleigh per ciascun valore di γ.
Ovviamente, in coordinate dimensionali, si ottiene una particolare curva per ogni particolare coppia di valori delle quantità G e I.
Tenendo presente che la

$\frac {c_p}T\biggl(\frac{\partial T}{\partial s}\biggr)_{G,I}=\frac{\gamma M^2-1}{M^2-1}$

fornisce il valore della pendenza locale della curva di Rayleigh, da essa è possibile trarre le seguenti conclusioni, in parte riconoscibili nel diagramma.

La curva di Rayleigh (segue)

Per moto iposonico (M→0), si ha

$\frac {c_p}T\biggl(\frac{\partial T}{\partial s}\biggr)_{G,I} \rightarrow 1$

che, ricordando la definizione di data dalla

${c_p}=T\Biggl(\frac {\partial T}{\partial s}\Biggr)_p$

comporta che, in questo regime, la curva di Rayleigh debba tendere ad una isobara;

per M < 1/√γ, la pendenza della curva è sempre positiva;
per M = 1/√γ, la curva ha tangente orizzontale e la temperatura statica del fluido raggiunge il suo valore massimo;
per 1/√γ < M < 1, la pendenza della curva è sempre negativa.

$\frac{c_p}T\Biggl(\frac{\partial T}{\partial s}\Biggl)_{G,I}= \frac{\gamma M^2-1}{M^2-1}$

La curva di Rayleigh (segue)

Per M → 1, si ha: $\frac{c_p}T\Biggl(\frac{\partial T}{\partial s}\Biggr)_{G,I}\rightarrow \pm \infty$

la curva ha, quindi, tangente verticale e, cioè, in condizioni soniche, si ha un massimo dell’entropia;

per moto supersonico (M > 1), la pendenza della curva di Rayleigh risulta sempre positiva;
per moto ipersonico (M→∞), si ha: $\frac{c_p}T\Biggl(\frac{\partial T}{\partial s}\Biggr)_{G,H}\rightarrow \gamma$

che, ricordando la definizione di: $c_\nu = T\Biggl(\frac{\partial s}{\partial T}\Biggr)_\nu$

comporta che la curva di Rayleigh deve tendere ad un’isocora.

$\frac{c_p}T\Biggl(\frac{\partial T}{\partial s}\Biggl)_{G,I}= \frac{\gamma M^2-1}{M^2-1}$

La curva di Rayleigh (segue)

Anche sulla curva di Rayleigh sono riconoscibili due rami: uno subsonico (posto in alto), l’altro supersonico (posto in basso). In figura sono in particolare indicati i due valori notevoli del numero di Mach: M = 1/√γ (0.8452 per γ = 1.4), al quale corrisponde la massima temperatura statica; M = 1, cui corrisponde la massima entropia.
Poiché nel moto alla Rayleigh è stata trascurata la produzione di entropia, le variazioni di quest’ultima sono solo dovute agli scambi di energia nel modo calore Tds, che possono essere sia positivi, che negativi. Di conseguenza, positive, o negative, risultano le variazioni di entropia.
Sono possibili quindi, spostamenti lungo la curva di Rayleigh, sia verso entropie crescenti, che decrescenti, risp. per calore ceduto dall’ambiente al fluido, ovvero dal fluido all’ambiente.

La curva di Rayleigh (segue)

L’andamento della curva nell’intervallo 1/√γ < M < 1 tende a far apparire ivi il moto instabile perché, a una adduzione di calore (Tds > 0), corrisponde una diminuzione di temperatura (dT < 0) e, a una sottrazione di calore (Tds < 0), un aumento di temperatura (dT > 0).
In ogni modo, si vedrà in seguito che, in effetti, il moto è intrinsecamente stabile anche in questo campo di valori del numero di Mach.
Nel diagramma in basso, posto in corrispondenza di quello in alto, è indicato l‘andamento del numero di Mach in funzione dell’entropia.
Esso mostra che la cessione di calore (Δs > 0) fa sempre muovere il fluido verso M = 1, sia in subsonico che in supersonico, mentre la sottrazione di calore (Δs < 0) lo allontana sempre più dalle condizioni soniche.

La curva di Rayleigh (segue)

Ricordando che la velocità del suono laplaciana è pari a:

$a^2=\gamma RT=\gamma p/\rho$

la:

$I=p+\rho V^2=\text{cost}$

dà luogo all’espressione:

$I=p(1+\gamma M^2)=\text{cost}$

la quale mostra che le variazioni di pressione e quelle del numero di Mach sono sempre di segno opposto.

La curva di Rayleigh (segue)

Tenendo conto del diagramma in basso, della:

$\frac{dG}G=\frac{d\rho}\rho+\frac{dV}V=0$

$dI=dp+\rhoVdV=dp+GdV=0$

e della forma differenziale della:

$I=p(1+\gamma M^2)=\text{cost}$

si può concludere che, per flusso termico positivo e moto subsonico, oppure per flusso termico negativo e moto supersonico, si ha sia un aumento del numero di Mach e della velocità del fluido, che una diminuzione della sua pressione e della sua densità.
Per flusso termico negativo e moto subsonico, ovvero flusso termico positivo e moto supersonico), si ha un comportamento opposto.

La curva di Rayleigh (segue)

Ad es., se la condizione iniziale del moto è rappresentata dal punto A (rispettivamente B), il moto evolverà raggiungendo il punto C (risp. D) a pressione minore (risp. maggiore) quando il flusso di energia nel modo calore è positivo, o verso il punto E (risp. F) a pressione maggiore (risp. minore) quando il flusso termico è negativo.
In particolare, sia per moto subsonico che supersonico, se il flusso termico è positivo si possono raggiungere le condizioni critiche che corrispondono alle condizioni soniche di M = 1.
Queste condizioni possono essere raggiunte solo all’uscita del condotto che riscalda il fluido, cioè, quando è stata fornita al fluido tutta l’energia (di fatto l’entropia) che è possibile fornire sotto forma di calore.

La curva di Rayleigh (segue)

In effetti, se si sta scaldando il fluido, anche nel moto alla Rayleigh (come in quello alla Fanno) le condizioni corrispondenti a M = 1 rappresentano le condizioni critiche che danno luogo allo strozzamento del moto.
In realtà, anche la sottrazione di calore è limitata potendosi, in linea di principio, sottrarre al più l’entalpia totale posseduta inizialmente dal fluido. Questo fatto non è sempre posto nel suo dovuto rilievo nei testi.
In linea del tutto teorica, sarebbe possibile accelerare un flusso subsonico fino a M > 1 (decelerare un flusso supersonico fino a M < 1) prima riscaldando e poi raffreddando il fluido.
In pratica, questa operazione non si può realizzare anche perché, com’è facile immaginare, si creerebbero condizioni di instabilità del moto.

La curva di Rayleigh (segue)

La differenza sostanziale tra il moto alla Rayleigh e quello alla Fanno sta nel fatto che, mentre in quest’ultimo le condizioni soniche possono essere raggiunte solo nella sezione di uscita del condotto, nel moto alla Rayleigh queste ultime si possono verificare anche all’inizio del condotto, qualora lungo il condotto stesso si stia raffreddando il fluido (Tds < 0).
In questo caso, il seguire il ramo supersonico, o quello subsonico, della curva di Rayleigh (o parte di entrambi) dipende, come si vedrà in seguito, dal valore della pressione all’uscita del condotto.
Mantenendo costante il flusso di massa G e variando l’impulso specifico I, si ottiene un’infinità di curve di Rayleigh, due delle quali sono mostrate nella figura che segue insieme con una curva di Fanno.

La curva di Rayleigh (segue)

Fissando come entropia di riferimento quella relativa al punto sonico della curva di Rayleigh più esterna e come temperatura di riferimento la temperatura di ristagno del suo punto A, cioè T_oA (curva tratteggiata orizzontale di figura), si può considerare una espansione isoentropica (in particolare quella che origina dalle condizioni di ristagno del punto A, cioè A_o) in un ugello convergente divergente (curva tratteggiata verticale di figura), e determinare, quindi, sul piano T-s, i tre punti caratteristici all’uscita dell’ugello corrispondenti ai tre rapporti critici di pressione r₁, r₂ e r₃.
Questa ricerca risulta più semplice utilizzando la curva di Fanno tracciata nella figura, asintotica alla T_oA, passante per il punto A (curva ABC) e che ha lo stesso valore di G delle due curve di Rayleigh.
Infatti, come già visto, i tre punti cercati si trovano su questa stessa curva di Fanno dovendo avere tutti gli stessi valori sia di H, che di G.

La curva di Rayleigh (segue)

I punti A, B e C di figura corrispondono rispettiv. ai rapporti r₁, r₂ e r₃.
Si nota che i punti B e C sono sulla curva di Rayleigh più interna (dovendo avere lo stesso valore sia di G che di I, oltre che di H, in quanto punti a valle e a monte di un’onda d’urto), mentre il punto A si trova su quella esterna avendo, in generale, un diverso valore dell’impulso specifico.
In effetti, poiché, sia in regime subsonico che supersonico, in un moto alla Fanno l’impulso specifico è una funzione strettamente decrescente dell’entropia, il punto B corrisponde ad un valore dell’impulso specifico I minore di quello del punto A (I_B < I_A), quindi la curva di Rayleigh più interna che passa per B è relativa ad un impulso specifico minore.
Come mostrato in figura, a quest’ultima curva compete una pressione critica p* minore di quella relativa alla curva di Rayleigh passante per A che, come affermato, ha lo stesso flusso di massa G, ma impulso specifico maggiore.

La curva di Rayleigh (segue)

In figura sono mostrati ancora i due punti a monte C (supersonico) ed a valle B (subsonico ad entropia maggiore) di un’onda d’urto normale i quali, come visto nella figura precedente, avendo in comune le quantità G ed I, devono trovarsi su una stessa curva di Rayleigh, uno sul tratto supersonico e l’altro, avente entropia maggiore, su quello subsonico.
Si ricordi che i punti C e B devono avere anche la stessa entalpia totale H e, quindi, nel caso di gas perfetto, le stesse temperature di ristagno, così come mostrato dalle due curve a tratto intero, entrambi al di sopra della curva di Rayleigh.
Queste curve rappresentano gli andamenti della T_o per i due rami, quello subsonico (curva della T_o in basso) e quello supersonico (curva della T_o in alto). E’ facile riconoscere la curva relativa al ramo subsonico della T_o perché questa curva, per M → 0, deve risultare asintotica al corrispondente ramo della curva di Rayleigh che, si ricorda, diagramma la temperatura statica.

La curva di Rayleigh (segue)

Il fatto che la curva della T_o relativa al ramo supersonico giace tutta sopra di quella del ramo subsonico, è ricavabile anche grazie ad un’altra considerazione. Sul piano T-s, l‘integrale di Tds in accordo con la:

$dH=\frac {4 \dot q}G \frac {dx}{D_e}=dq=Tds$

rappresenta il calore scambiato dall’unità di massa di fluido q.
Partendo da M = 1 (dove le due curve devono avere un punto in comune) e sottraendo calore, è chiaro che, per raggiungere la stessa entropia procedendo in regime subsonico, si deve sottrarre più calore, poiché il ramo subsonico della curva di Rayleigh è tutto al di sopra e sottende un’area maggiore. I due punti C e B, avendo gli stessi G e H, devono trovarsi anche sulla stessa curva di Fanno.
I punti intersezione di una curva di Fanno con una curva di Rayleigh rappresentano gli stati a monte ed a valle di un’onda d’urto. Le due curve devono riferirsi allo stesso flusso di massa G, uguale per i due stati.

La curva di Rayleigh (segue)

Per il solo ramo subsonico, è stato rappresentato anche l’andamento della temperatura di parete adiabatica (curva tratteggiata) di cui si è già discusso per il moto alla Fanno.
In particolare, si ricorda qui, che la temperatura di parete adiabatica governa, tra l’altro, il verso nel quale fluisce il calore in base alla:

$\dot aq=\alpha (T_p-T_{pa})$

dove T_p è la temperatura di parete e T_paè la temperatura di parete adiabatica. Quest’ultima è stata diagrammata tenendo conto della:

$T_{pa}=T+r\frac {V^2}{2c_p}=T\Biggl(1+r\frac {\gamma-1}2 M^2\Biggr)$

e supponendo un coefficiente di recupero r = 0.9 (ad esempio, per aria a temperatura ambiente si ha: Pr = 0.71).

La curva di Rayleigh (segue)

Se erroneamente si supponesse che la T_pa debba coincidere con la temperatura sensibile T, effettivamente il moto alla Rayleigh avrebbe un comportamento termofluidodinamico instabile per 1/√γ < M < 1, perché ad una adduzione (rispettivamente sottrazione) di calore corrisponderebbe una diminuzione (risp. un aumento) della temperatura del fluido, comportamento che violerebbe il principio di Le Chatelier – Brown.
In effetti, come si può notare dalla figura, la temperatura di parete adiabatica T_pa[che, si ripete, è quella che governa tramite la:

$\dot q=\alpha (T_p-T_{pa})$

il flusso termico] cresce monotonicamente, quando ci si muove in campo subsonico verso M = 1.
Quindi, di fatto, non esiste alcun comportamento del moto che risulti termofluidodinamicamente instabile nell’intervallo 1/√γ < M < 1.