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Giovanni Maria Carlomagno » 24.Rayleigh - parte seconda


I rapporti caratteristici per un moto alla Rayleigh

È opportuno, a questo punto, ricavare per il caso di un gas più che perfetto tutte le relazioni che permettono di valutare i rapporti caratteristici, adimensionali, tra le diverse grandezze termofluidodinamiche in funzione del numero di Mach della corrente fluida.
Poiché nel paragrafo precedente si è visto che le condizioni per M = 1 risultano essere critiche, anche per il moto alla Rayleigh è conveniente adimensionalizzare ciascuna grandezza con il valore da essa assunto per M = 1, valore che sarà ancora indicato con l’apice asterisco.
Applicando la:

I=p(1+\gamma M^2)\text{cost}

tra lo stato generico, in cui numero di Mach sia M, e quello sonico (M = 1) si ottiene il rapporto tra le due pressioni statiche:

\frac p {p^*}=\frac{1+\gamma}{1+\gamma M^2}

I rapporti caratteristici per un moto alla Rayleigh (segue)

Dalla definizione del numero di Mach, tenendo conto dell’equazione di stato dei gas, della definizione di velocità del suono laplaciana e della costanza del flusso di massa si ottiene la relazione:

M^2=\frac{V^2}{a^2}=\frac{V^2}{\gamma RT}=\frac{G^2}{\gamma R\rho ^2 T}=\frac{G^2RT}{\gamma p^2}

Applicandola tra lo stato generico M e quello per M = 1 e ricordando che G = cost, si ottiene:

\frac T{T^*}=M^2\biggl(\frac p {p^*}\biggr)^2

per cui, sostituendo in questa relazione la:

\frac p {p^*}=\frac {1+\gamma}{1+\gamma M^2}

si ha il rapporto tra le temperature statiche:

\frac T{T^*}=\frac{M^2(1+\gamma)^2}{(1+\gamma M^2)^2}

I rapporti caratteristici per un moto alla Rayleigh (segue)

\frac T{T^*}=M^2\biggl(\frac p {p^*}\biggr)^2

L’eguaglianza espressa dalla relazione precedente è ovviamente rispettata anche per il moto alla Fanno [perché è ricavata dalla costanza del flusso di massa, valida per entrambi i tipi di moto] com’è anche possibile verificare dalla:

\frac p {p^*}=\sqrt{\frac T T^*}\frac 1 M

La costanza del flusso di massa e l’equazione di stato dei gas, tenendo conto delle:

\frac p {p^*}=\frac {1+\gamma}{1+\gamma M^2}~~~~;~~~~~\frac T {T^*}=\frac {M^2(1+\gamma)^2}{(1+\gamma M^2)^2}

conducono ai rapporti per le velocità e le densità:

\frac{V^*}V=\frac \rho{\rho^*}\frac p {p^*}\frac{T^*}T= \frac {1+\gamma M^2}{M^2(1+\gamma)}

I rapporti caratteristici per un moto alla Rayleigh (segue)

Dalle equazioni:

\frac p {p^*}=\frac{1+\gamma}{1+\gamma M^2}~~~~~;~~~~~p_0=p\Biggl(1+\frac{\gamma-1}2 M^2\Biggr)^{\frac \gamma{\gamma-1}}

si ottiene l’espressione del rapporto tra le pressioni di ristagno:

\frac{p_0}{p^*_0}=\frac{1+\gamma}{1+\gamma M^2}\Biggl[\frac 2 {\gamma+1}\Biggl(1+\frac{\gamma-1}2M^2\Biggr)\Biggr]^{\frac \gamma {\gamma -1}}

La grandezza, che nel moto alla Rayleigh è direttamente connessa alla forza spingente, è la temperatura di ristagno che, ovviamente, varia in conseguenza dello scambio termico alla parete del condotto. Dalle relazioni:

\frac T {T^*}=\frac {M^2(1+\gamma)^2}{(1+\gamma M^2)^2}~~~~~~;~~~~~T_0=T\Biggl(1+\frac{\gamma -1}2 M^2\Biggr)

si ottiene il rapporto tra le temperature di ristagno:

\frac{T_0}{T^*_0}=\frac{2(1+\gamma)M^2}{(1+\gamma M^2)^2}\Biggl(1+\frac{\gamma-1}2 M^2\Biggr)

I rapporti caratteristici per un moto alla Rayleigh (segue)

\frac{T_0}{T^*_0}=\frac{2(1+\gamma)M^2}{(1+\gamma M^2)^2}\Biggl(1+\frac{\gamma-1}2 M^2\Biggr)

Nel moto alla Rayleigh, questo rapporto riveste un ruolo senz’altro confrontabile con quello della quantità adimensionale 4fL*/De utilizzata nel caso di moto alla Fanno.
Infine, la sostituzione delle:

\frac T {T^*}=\frac {M^2(1+\gamma)^2}{(1+\gamma M^2)^2}~~~~~~;~~~~~\frac p {p^*}=\frac {1+\gamma}{1+\gamma M^2}

nella:

s_2-s_1=c_p ln\frac {T_2} {t_1} - Rln \frac {p_2} {p_1}

consente di calcolare la variazione di entropia rispetto alle condizioni critiche, Δs = s – s*:

\frac {\Delta s}{c_p}=ln\Biggl[M^2\biggl(\frac{1+\gamma}{1+\gamma M^2}\biggl)^{\frac{\gamma+1}{\gamma}}\Biggr]

Sostituendo in questa relazione il M ricavato dall’espresione di T/T* si ha l’equazione della curva di Rayleigh sul piano T-s.

I rapporti caratteristici per un moto alla Rayleigh (segue)

In figura sono stati diagrammati, in funzione del numero di Mach M, i rapporti caratteristici per il moto alla Rayleigh espressi dalle relazioni appena ricavate, per il caso di γ = 1.4.
Nel riquadro in alto della figura, è riportato un ingrandimento dei soli andamenti della temperatura statica e di quella di ristagno per metterne in risalto il particolare comportamento in prossimità di M = 1.
Dall’esame della figura si rileva che il rapporto T0/T0* ha, ovviamente, un massimo per M = 1, tende a zero per numero di Mach tendente a zero, mentre raggiunge il valore limite

(\gamma^2-1)/\gamma^2

(0.4898 per γ = 1.4) per M → ∞.


I rapporti caratteristici per un moto alla Rayleigh (segue)

La quantità di calore che si può cedere al fluido è, quindi, teoricamente illimitata per moto subsonico (purché si parta da un numero di Mach sufficientemente basso), mentre risulta contenuta per il supersonico.
Due punti allineati in orizzontale (uno subsonico, l’altro supersonico), che hanno lo stesso rapporto To/To* (in pratica la stessa entalpia totale H), rappresentano gli stati a valle ed a monte di un’onda d’urto normale.
Il comportamento asintotico della curva To/To* per M→ ∞ mostra ancora il raggiungimento del valore limite del numero di Mach a valle M2 →  M2l dato dalla:

M_{2l}=\lim_{M_1\rightarrow \infty}M_2=\biggl(\frac{\gamma-1}{2\gamma}\biggr)^{1/2}


I rapporti caratteristici per un moto alla Rayleigh (segue)

Il rapporto T/T* mostra, invece, un massimo per M = 1/√γ (punto di massima temperatura; per g = 1.4, esso vale 1.029 a M = 0.8452) e tende a zero sia per numero di Mach tendente a zero, che all’infinito.
Il rapporto delle velocità (rapporto inverso delle densità) V/V* = ρ*/ρ tende a zero per M→ 0 e a (γ+1)/g (in particolare, 1.714 per g = 1.4) per Mach tendente all’infinito (si ricorda che, per M → ∞, la curva di Rayleigh tende ad un’isocora).
Il rapporto tra le pressioni statiche p/p* tende al valore (γ +1) per M → 0 (infatti, la curva di Rayleigh tende ad un’isobara), mentre, invece, si annulla per numero di Mach tendente all’infinito.


I rapporti caratteristici per un moto alla Rayleigh (segue)

Il rapporto tra le pressioni di ristagno tende a:

(\gamma +1)\biggl(\frac 2{\gamma+1}\biggr)^{\frac \gamma {\gamma-1}

per M tendente a zero (si ricordi ancora che la curva di Rayleigh tende a un’isobara e che la pressione statica tende a coincidere con quella di ristagno) e a infinito per M→ ∞, presentando un minimo nelle condizioni critiche.
Quindi, in ciascun punto, le due curve della To della figura in basso sono meno pendenti dell’isobara che passa per lo stesso punto.


Condotto con scambio termico collegato ad un ugello convergente

Il comportamento di un condotto, collegato ad un ugello convergente, nel quale si ha moto alla Rayleigh e con un flusso di energia nel modo calore positivo (in altre parole, energia ceduta al fluido), è molto simile a quello già descritto nel caso di moto alla Fanno.
L’ugello si intende collegato a monte ad un serbatoio; quindi il moto del fluido che lo attraversa è senz’altro subsonico e inoltre può essere considerato, in esso, adiabatico ed isoentropico.
La determinazione delle curve di funzionamento del sistema è del tutto analoga a quella sviluppata per il moto alla Fanno a condizione che il rapporto 4fL*/De sia sostituito da To/To* o, più precisamente, dalla quantità q*/ (cp To1).
In particolare, supponendo il flusso termico costante sulla superficie del condotto dove si realizza lo scambio termico, e cioè dalla sezione iniziale 1 alla sezione finale 2, dalla:

G(dh+VdV)=GdH=Gc_pdT_0=4\dot q\frac{dx}{D_e}

si ottiene la relazione:

\Delta H=c_p(T_{02}-T_{01})=4{\frac{\dot q}{G}}\frac {L_{12}}{D_e}=q

Condotto con scambio termico collegato ad un ugello convergente (segue)

\Delta H=c_p(T_{02}-T_{01})=4{\frac{\dot q}{G}}\frac {L_{12}}{D_e}=q

nella quale la sezione 2 potrebbe essere, al più, quella critica e la quantità q, che rappresenta il calore scambiato dall’unità di massa del fluido evolvente, deve essere considerata, in generale, nota.
Si deve qui puntualizzare che la scelta della coordinata sull’asse delle ascisse dei diagrammi che rappresentano le curve di funzionamento è una conseguenza di questa relazione. Infatti, dividendo la relazione per la quantità cpTo1, si ottiene:

\frac{T_{02}}{T_{01}}-1=4\frac {\dot q}{c_pT_{01}G}\frac {L_{12}}{D_e}}=\frac q{c_pT_{01}}

che giustifica la suddetta ascissa (quantità di calore ceduta per unità di massa al fluido, adimensionalizzata rispetto all’entalpia di ristagno iniziale dello stesso). Si può anche notare che, per \dot q= cost, quest’ascissa può essere riguardata anche come lunghezza adimensionale del condotto.
Se nella sezione 2 si raggiungono le condizioni critiche (M = 1), si ha:

\frac{T_0^*}{T_{01}}-1=\frac{q^*}{c_pT_{01}}

Condotto con scambio termico collegato ad un ugello convergente (segue)

\frac{T_0^*}{T_{01}}-1=\frac{q^*}{c_pT_{01}}

dove la quantità q* rappresenta l’energia ceduta al fluido nel modo calore che lo porta alle condizioni critiche ricavabile dalla:

\frac{T_0}{T^*_0}=\frac{2(1+\gamma)M^2}{(1+\gamma M^2)^2}\Biggl(1+\frac{\gamma-1}2 M^2\Biggr)

I diagrammi riportati indicano gli andamenti del numero di Mach e del rapporto di pressione in condizioni caratteristiche al variare della quantità di calore (positiva) ceduta all’unità di massa del fluido.
Come già affermato, se si suppone \dot q= cost, l’ascissa del diagramma può essere considerata proporzionale alla distanza dalla sezione di uscita dell’ugello opportunamente adimensionalizzata.


Condotto con scambio termico collegato ad un ugello convergente (segue)

In figura sono riportate, per alcuni valori particolari della quantità adimensionale q/(cpTo1), le curve caratteristiche con i relativi diagrammi di pressione e del numero di Mach, e le corrispondenti curve nel piano T-s. Tutte le curve delle due figure sono state tracciate per il caso di γ = 1.4.


Condotto con scambio termico collegato ad un ugello convergente (segue)

Per q*/ (cpTo1) = 0, il sistema coincide con quello serbatoio-ugello convergente.
Per q*/ (cpTo1) > 0, il numero di Mach all’uscita dell’ugello deve essere minore di uno per far aumentare al fluido la sua temperatura di ristagno. Quindi, le curve caratteristiche sono, ad esempio, del tipo b dove MB < 1 e pB > pA.
Nella sezione di uscita del condotto si raggiunge, ovviamente, ancora M = 1.
All’aumentare del rapporto q*/ (cpTo1), il Mach all’uscita dell’ugello deve continuamente diminuire (MC < MB e pC > pB) e, di conseguenza, il flusso di massa andrà anch’esso diminuendo.


Condotto con scambio termico collegato ad un ugello convergente (segue)

Nel piano T-s, la curva corrispondente alle curve a (sola espansione isoentropica nell’ugello) è rappresentata dal segmento verticale che ha origine nelle condizioni di ristagno O e ha fine nel punto in basso A coincidente con il punto di massima entropia della curva di Rayleigh più interna (condizioni soniche).
In questo caso non si può cedere alcun calore al fluido. Il flusso di massa è massimo e la curva di Rayleigh passante per A è stata tracciata solo per completezza, non essendo rappresentativa di alcuna evoluzione del fluido.


Condotto con scambio termico collegato ad un ugello convergente (segue)

Cedendo al fluido la quantità di calore q*/ (cpToA), = 0.3 (che in termini dimensionali è pari all’area sottesa dal ramo BD della curva di Rayleigh), l’espansione nell’ugello, partendo sempre da O, si ferma in B (T*/To = 1.3, To/ T* ≈ 0.77, MB ≈ 0.56). Seguendo la curva di Rayleigh passante per B, il fluido muove, poi, sino allo stato sonico rappresentato dal punto D.
Il flusso di massa è, ovviamente, inferiore al caso precedente per la minore espansione isoentropica del fluido (MB< MA = 1).
Aumentando ancora la quantità di calore (ad es., q*/ (cpToA) = 1, pari all’area sottesa dal ramo CF nel piano T-s), l’espansione si arresta ancora prima, cioè nel punto C (MC ≈ 0.38 < MB), e il flusso di massa diminuisce ulteriormente.


Condotto con scambio termico collegato ad un ugello convergente (segue)

E’ stato già affermato che, se il fluido riceve calore dal suo ambiente, tutte le considerazioni fatte nel caso di moto alla Fanno sono applicabili anche al moto alla Rayleigh. Ad esempio per q*/ (cpTo1) = 0.3, se la pressione ambiente pa è minore di quella del punto D, il moto è strozzato e si ha un ventaglio di espansione all’uscita del condotto. Per pressioni maggiori, invece, il moto è tutto subsonico ed è rispettata la condizione di Kutta (ad esempio, se pa = pE, si realizza il funzionamento lungo la curva CE). Nel primo caso q = q*, mentre nel secondo, ovviamente, si ha q < q*.


Condotto con scambio termico collegato ad un ugello convergente (segue)

La curva tratteggiata che rappresenta l’andamento di p*/po decresce leggermente all’aumentare della quantità adimensionale q*/ (cpTo1) e ciò risulta facilmente provabile sostituendo ai due fattori dell’espressione:

\frac{p^*}{p_0}=\frac{p^*}{p_1}\frac{p_1}{p_0}=\frac{1+\gamma M_1^2}{1+\gamma}\Biggl(1+\frac {\gamma -1}2 M_1^2\Biggr)^{\frac{\gamma}{1-\gamma}}

dove p1 è la pressione nella sezione di uscita dell’ugello, le seguenti formule, :

\frac p {p^*}=\frac {1+\gamma}{1+\gamma M^2}~~~~~;~~~~~p_0=p\Biggl(1+\frac{\gamma-1}2M^2\Biggr)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}


Condotto con scambio termico collegato ad un ugello convergente (segue)

Se per il flusso di massa dei punti C ed F si somministra la stessa quantità di calore necessaria per evolvere da B a D, il punto E in uscita al condotto si troverebbe sulla stessa curva di Rayleigh CF, ma a un’entropia leggermente minore di quello del punto D poichè il tratto di curva CF corre più in alto del tratto BD (l’area sottesa dalla curva CE deve essere uguale a quella della BD).
Il funzionamento lungo il tratto BD, o lungo CE, è ovviamente stabilito dal valore della pressione allo scarico. Se la pressione ambiente è minore, o uguale alla pD, il fluido segue sempre il tratto BD. Se, viceversa, la pressione allo scarico è più alta, in particolare pari a pE , il fluido evolve lungo il tratto CE, rispettando la condizione di Kutta.


Condotto con scambio termico collegato ad un ugello convergente (segue)

Il piano T-s mostra anche l’andamento, a parità di po e To iniziali, delle curve di Rayleigh al variare del flusso di massa G.
Maggiore è il flusso di massa, più interna è la curva.
Dalle diverse curve si nota anche la leggera diminuzione della p* all’aumentare della quantità di calore che conduce alle condizioni critiche come, d’altronde, anche mostrato dal diagramma di sinistra.


Condotto con scambio termico collegato ad un ugello convergente (segue)

La curva a tratto continuo della Fig. a) (tutte le curve della figura sono, in particolare, relative al caso di q/(cpT01) = 1 e γ = 1.4) rappresenta l’andamento del rapporto tra la pressione all’uscita del condotto pu e la pressione di ristagno nel serbatoio po, in funzione del rapporto tra la pressione ambiente pa e po.
Quando la pressione ambiente è uguale alla pressione di ristagno, il rapporto pu/po è unitario. Una diminuzione della pressione ambiente fa abbassare linearmente pu/po = pa/po, poiché si deve rispettare la condizione di Kutta.
Questo fatto si verifica fino al raggiungimento delle condizioni critiche (soniche) all’uscita del condotto. Ulteriori abbassamenti della pa provocano lo strozzamento del sistema e la pressione all’uscita del condotto resta costante.


Condotto con scambio termico collegato ad un ugello convergente (segue)

Comportamento simile ha il rapporto fra la pressione all’ingresso del condotto pi e la pressione di ristagno nel serbatoio po (curva tratteggiata). Per pressioni ambiente inferiori alla pressione critica, nel condotto con flusso alla Rayleigh il moto è strozzato e pi / po rimane costante, mentre, all’aumentare della pa al di sopra della pressione critica, la pressione pi cresce con legge non lineare fino a raggiungere la pressione di ristagno quando pa / po = 1.
In Fig. b), sempre per q /(cpT01) = 1 e γ = 1.4, si vedono i due numeri di Mach, all’ingresso Mi (curva tratteggiata) e all’uscita Mu (curva continua) del condotto, in funzione di pa/po. Entrambi sono costanti per pa minore, o uguale, alla pressione critica (pa/po≤ 0.45), in particolare Mu = 1 e Mi ≈ 0.38, e decrescono, fino ad annullarsi, per pressione ambiente tendente a quella di ristagno.


Condotto con scambio termico collegato ad un ugello convergente (segue)

I diagrammi a lato mostrano, per il caso di γ = 1.4, l’andamento della portata di massa adimensionale, attraverso condotti in cui si ha moto alla Rayleigh collegati ad un serbatoio mediante un ugello convergente, in funzione della pressione ambiente, per diversi valori del parametro adimensionale q/(cpTo1).
Le quantità po ed ao sono rispettivamente la pressione e la velocità del suono nel serbatoio (di ristagno).
Sull’asse delle ordinate è in pratica riportato il fattore di efflusso Ψ già definito per gli ugelli.
All’aumentare di q/(cpTo1), il moto strozza per pressioni ambiente via via leggermente più basse e questo giustifica la diminuzione della lunghezza del tratto orizzontale a portata costante


Condotto con scambio termico collegato ad un ugello convergente (segue)

La curva tratteggiata, che divide ciascun diagramma nelle due parti, in cui la portata è costante ovvero decresce, rappresenta proprio il luogo dei valori della pressione ambiente che danno luogo alla condizione critica all’uscita del condotto, cioè allo strozzamento del sistema.

L’andamento di questa curva, seppure crescente, a differenza del moto alla Fanno, non è lineare e non parte dal valore nullo.

Il valore della portata massima diminuisce all’aumentare della quantità di calore ceduta all’unità di massa di fluido.


Condotto con scambio termico collegato ad un ugello convergente (segue)

Qualora il flusso d’energia nel modo calore sia negativo (-1 < q/(cpT01) < 0), se le condizioni all’uscita dell’ugello sono subsoniche (curve b, o c), nel condotto a sezione costante il fluido evolve verso entropie decrescenti decelerando, aumentando la sua pressione, diminuendo il suo numero di Mach e sarà rispettata la condizione di Kutta all’uscita del condotto.


Condotto con scambio termico collegato ad un ugello convergente (segue)

Se, invece, l’ingresso nel condotto è sonico, il fluido può seguire sia il ramo subsonico a’ che quello supersonico a” della curva di Rayleigh.
Più dettagliatamente, se la pressione ambiente è minore di quella del punto D, il fluido segue la curva supersonica AD (curva a”) ed all’uscita del condotto è presente un ventaglio di espansione.
Partendo sempre dal punto A, se la pressione allo scarico è pari a pE, poiché deve essere rispettata la condizione di Kutta, l’evoluzione del fluido può avvenire lungo la curva a’ che conduce al punto E.


Condotto con scambio termico collegato ad un ugello convergente (segue)

Occorre, peraltro, osservare che i punti D ed E hanno la stessa entalpia totale H perché, partendo dalla condizione comune A, al fluido si sottrae la stessa quantità di calore sia seguendo la curva a’ che la curva a”. Poiché i punti D ed E hanno anche gli stessi G ed I (per il modello di moto alla Rayleigh), essi rappresentano gli stati a monte (D) e a valle (E) di un’onda d’urto normale presente nella sezione di uscita del condotto a sezione costante.
Quindi, per pa = pE, sono possibili entrambi i funzionamenti sia seguendo la curva a’, che la curva a” con un’onda d’urto all’uscita del condotto.


Condotto con scambio termico collegato ad un ugello convergente (segue)

In realtà, le condizioni di funzionamento per pressione ambiente uguale a quella del punto E sono ancora più indeterminate potendosi avere non solo un funzionamento lungo la curva AD (curva a”) con onda d’urto all’uscita del condotto, o lungo la curva subsonica AE (curva a’), ma anche un funzionamento lungo curve del tipo AXYE con un’onda d’urto in una qualunque sezione del condotto.
Infatti essendo l’onda d’urto adiabatica, le coordinate dei punti X e Y lungo l’asse delle ascisse sono le stesse tra gli stati a monte ed a valle dell’onda stessa, avendo essi uguale entalpia totale.


Condotto con scambio termico collegato ad un ugello convergente (segue)

La posizione dell’onda d’urto nel condotto è pertanto metastabile.
Il reale funzionamento del sistema sarà determinato da altre condizioni, non esclusa l’andamento della temperatura di parete adiabatica
e le variazioni dello scambio termico lungo il condotto ad essa connesse.
Invece, per tutti i valori della pressione ambiente compresi tra quelli dei punti D ed E, le condizioni del fluido allo sbocco del condotto restano bloccate a quelle del punto D e, a valle della sezione di uscita del condotto, si ottengono tutte le condizioni di funzionamento che si hanno all’uscita di un ugello convergente divergente e cioè le varie tipologie d’onde d’urto oblique già descritte.


Condotto con scambio termico collegato ad un ugello convergente (segue)

La figura a destra mostra le condizioni di funzionamento sul piano di Gibbs.
Si noti che il punto O rappresenta ancora le condizioni di ristagno del fluido e la curva di Rayleigh che passa per il punto A è quella corrispondente alle condizioni di flusso strozzato nell’ugello.


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