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Giovanni Maria Carlomagno » 10.Ugelli - parte prima

Ugelli

Si intende per ugello un condotto ad area variabile, non molto lungo rispetto al suo diametro medio, convergente e/o divergente, avente una distribuzione dell’area della generica sezione del tipo diagrammato in figura.
Ciascun tratto di questo condotto nel quale la pressione diminuisce (la velocità aumenta) è chiamato effusore; viceversa, il tratto in cui la pressione aumenta (la velocità diminuisce) viene detto diffusore.
Ad esempio, per quanto detto prima, il tratto convergente di un ugello si comporterà come effusore, quando attraversato da un flusso subsonico, e come diffusore, se attraversato da un flusso supersonico.
Il moto del fluido negli ugelli è spesso ben descritto dalle ipotesi di moto quasi-unidimensionale, quasi-stazionario, omoenergetico ed isoentropico.

Ugelli (segue)

Sulla base di queste ipotesi sono quindi valide le equazioni di bilancio:

$H=h+V^2/2=cost$

$\dot m=\rho VA=GA=cost$

$s=cost$

che, come visto in precedenza, per un gas più che perfetto conducono alle relazioni relative alle condizioni di ristagno:

$T_0=T\Biggl(1+\frac{\gamma-1}2M^2\Biggr)$

$\rho_0=\rho\Biggl(1+\frac{\gamma-1}2M^2\Biggr)^{\frac 1 {\gamma -1}}$

$p_0=p\Biggl(1+\frac{\gamma-1}2M^2\Biggr)^{\frac \gamma{\gamma-1}}$

Sono altresì valide tutte le considerazioni derivate sulla scorta di dette ipotesi ed in particolare la formula (anche essa valida per gas più che perfetto):

$\frac A {A^*}=\frac 1 M\Biggl[\frac 2 {\gamma+1}\Biggl(1+\frac{\gamma-1}2M^2\Biggr)\Biggr]^\frac{\gamma+1}{2{(\gamma-1)}}$

Ugelli (segue)

$T_0=T\Biggl(1+\frac{\gamma-1}2M^2\Biggr)$

$\rho_0=\rho\Biggl(1+\frac{\gamma-1}2M^2\Biggr)^{\frac 1 {\gamma -1}}$

$M^{*2}=\frac{M^2}{1+\frac{\gamma-1}2}M^2\frac{\gamma+1}2}$

$\frac A {A^*}=\frac 1 M\Biggl[\frac 2 {\gamma+1}\Biggl(1+\frac{\gamma-1}2M^2\Biggr)\Biggr]^\frac{\gamma+1}{2{(\gamma-1)}}$

Ugelli (segue)

All’aumentare di Mach, i rapporti T / T₀, ρ /ρ₀ e p / p₀ sono tutti monotonicamente decrescenti. La diminuzione maggiore si ha per la pressione, poi per la densità e infine per la temperatura. Infatti, nel caso di γ = 1.4, gli esponenti della quantità in parentesi sono rispettivamente 3.5, 2.5 e 1. Tranne che per M = 1, per ogni A/A^*, esistono due valori del numero di Mach, uno in regime subsonico e l’altro in regime supersonico.
Il numero di Mach critico già definito dalla:

$M^*=\frac V {a^*}$

rappresenta il rapporto V/V ^*, riferisce la velocità sempre alla velocità V ^*= a^* e indica l’andamento della velocità del fluido in funzione del numero di Mach.
Il suo valore limite, asintotico (M → ∞) :

$\sqrt{(\gamma+1)/(\gamma-1)}$

si ottiene quando la velocità del gas raggiunge la velocità limite Vl può essere ricavato facendo tendere M → ∞ nella:

$M^{*2}=\frac{V^2}{a^2}\frac{a^2}{a^{*2}}=M^2\frac T {T_0}\frac{T_0}{T^*}=\frac M {1+\frac{\gamma-1}2 M^2}\frac{\gamma+1}2$

Ugelli (segue)

Per le condizioni critiche (M = 1), si ha:

$\frac{T^*}{T_0}=\frac{a^{*2}}{a_0^2}=\frac 2 {\gamma +1}~~;~~~~~(0.8333)$

$\frac{\rho^*}{\rho_0}=\Biggl(\frac 2 {\gamma +1}\Biggr)^{\frac1 {\gamma -1}}~~;~~~~~(0.6339)$

$\frac{p^*}{p_0}=\Biggl( {\frac 2 {\gamma +1}}\Biggr)^{\frac 2 {\gamma -1}}~~;~~~~~(0.5283)$

dove i valori numerici in parentesi valgono per γ = 1.4.
I rapporti critici sono, infatti, solo funzione di γ . Chiaramente per M = 1, si ha:

$A/A^*=1$

Si vuole ora ricavare la velocità del fluido in funzione della pressione da esso raggiunta in un determinato punto del condotto. Per un gas più che perfetto, la relazione $H=h+V^2/2$ si può scrivere nella forma:

$V=\Biggl[2c_pT_o\Biggl(1-\frac T{T_0}\Biggr)\Biggr]^{1/2}$

Ugelli (segue)

$V=\Biggl[2c_pT_o\Biggl(1-\frac T{T_0}\Biggr)\Biggr]^{1/2}$

la quale, ricordando che:

$c_p=\gamma R/(\gamma-1)~~;~~~a_0^2=\gamma RT_0$

e che per una trasformazione isoentropica vale:

$\frac{p_0}p=\Biggl(\frac{T_0}T\Biggr)^{\frac \gamma {\gamma -1}}$

diventa:

$V=a_0\Biggl\{\frac 2 {\gamma-1}\Biggl[1-\Biggl( {\frac p {p_0}}\Biggr)^{(\gamma-1)/\gamma}\Biggr]\Biggr\}^{1/2}$

Questa relazione, generalmente chiamata formula di de Saint Venant e Wantzel, consente di calcolare la velocità raggiunta da un gas che, partendo dalla pressione di ristagno p_o , si porta ad una pressione p.

Ugelli (segue)

$V=a_0\Biggl\{\frac 2 {\gamma-1}\Biggl[1-\Biggl( {\frac p {p_0}}\Biggr)^{(\gamma-1)/\gamma}\Biggr]\Biggr\}^{1/2}$

La formula di de Saint Venant, per p/p_o → 0, ovviamente conduce alla velocità limite:

$V_l=a_0 \sqrt{\frac 2 {\gamma -1}}= \sqrt {\frac{2\gamma RT_0}{\gamma-1}}=\sqrt{2H}$

Questa relazione mostra, ad esempio, che, per γ = 1.4, la massima velocità raggiungibile dal fluido è pari a √5 a_o e cioè a circa 2.24 volte la velocità del suono in condizioni di ristagno (nel serbatoio).

Infine, occorre porre qui in evidenza che, nel caso in cui $(p_0-p)/p<<1$ dalla:

$p_0-p=\frac \gamma 2 pM^2\Biggl({1+\frac{M^2}4+\frac{2-\gamma}{24}M^4+...}\Biggr)$

si ricava: $M^2<<1$ e $F_c\cong 1$ , quindi il moto può essere considerato incompressibile.

Ugelli (segue)

Infatti, per valori di

$p_a/p_0=(p_0-\Delta p)/p_0\cong 1$

espandendo in serie arrestandosi al secondo termine la quantità elevata a potenza all’interno della parentesi quadra della formula

$V=a_0\Biggl\{\frac 2 {\gamma-1}\Biggl[1-\Biggl( {\frac p {p_0}}\Biggr)^{(\gamma-1)/\gamma}\Biggr]\Biggr\}^{1/2}$

si ricava l’espressione della velocità in regime incompressibile:

$V=\sqrt{\frac{2(p_0-p_a)}{\rho}}=\sqrt {\frac{2 \Delta p}{\rho}}$

nella quale la p_a ha sostituito la p perché, come si vedrà, per l’ipotesi fatta è sempre valida la condizione di Kutta.
La differenza di pressione Δp può essere valutata come Δp = ρ_l g h_l , dove ρ_l e h_l sono, rispettivamente la densità e il dislivello del liquido manometrico in un manometro differenziale a liquido.

Ugelli (segue)

Allora, risulta molto più conveniente ricavare la velocità all’uscita di un ugello (anche per motivi di migliore approssimazione numerica) mediante la formulazione incompressibile del teorema di Bernoulli:

$\frac p \rho + \frac{V^2}2 + gz=cost$

(applicato tra il serbatoio e la sezione di uscita dell’ugello, dove p = p_a, ed in cui si trascuri il termine gravitazionale) che conduce alla relazione già anticipata in precedenza:

$V=\sqrt{\frac{2(p_0-p_a)}{\rho}}=\sqrt {\frac{2 \Delta p}{\rho}}$

In questa relazione la densità ρ, a causa della piccola differenza tra le due pressioni p_a e p_o , può essere calcolata sia alla pressione di ristagno p_o, che alla pressione ambiente p_a, che, meglio ancora, alla pressione media tra le due.
Comunque, essa deve essere sempre calcolata alla temperatura di ristagno (nel serbatoio) in quanto la temperatura dell’ambiente in cui scarica l’ugello non influenza in alcun modo il fenomeno di efflusso.

Ugelli (segue)

L’ultimo modo (e cioè il calcolo della densità alla pressione media tra quella nel serbatoio e quella ambiente) consente di estendere, con una buona approssimazione (migliore del 3%), la validità della precedente relazione sino a valori di ( p_o – p) / p_o ≅ 0.5, cioè praticamente fino a M ≅ 1.
In tal caso la:

$V=\sqrt{\frac{2(p_0-p_a)}{\rho}}=\sqrt {\frac{2 \Delta p}{\rho}}$

diventa:

$V=\sqrt{\frac{4(p_0-p_a)RT_0}{p_0+p_a}}$

Va fatto, poi , rilevare che, ponendo p_a = p, le precedenti relazioni possono essere applicate ad una qualunque sezione del condotto nella quale la pressione sia pari a p, purché ivi sia valida la condizione M << 1.

Portata in un ugello

La portata di massa attraverso un ugello convergente, o convergente divergente, in cui il moto sia quasi-unidimensionale e quasi-stazionario, può essere calcolata in una qualunque sezione del condotto mediante la formula:

$\dot m= \rho VA$

Nel caso di gas più che perfetto e di trasformazione isoentropica, quale quella che si sta studiando, si ha:

$\rho=\rho_0\frac \rho{\rho_0}=\frac{\rho_0}{RT_O}\Biggl({\frac p {p_0}\Biggr)^{1/\gamma}= \frac{\gamma p_0}{a_0^2}\Biggl({\frac p {p_0}}\Biggr)^{1/\gamma}$

per cui, sostituendo nella precedente relazione questa espressione e la formula di de Saint Venant e Wantzel:

$V=a_0\Biggl\{\frac 2 {\gamma - 1}\Biggl[1-\Biggl({\frac p {p_0}\Biggr)^{(\gamma - 1)/\gamma}}\Biggr]\Biggr\}^{1/2}}$

si ottiene infine:

$\dot m = \frac{p_0A}{a_0}\Biggl\{\frac{2\gamma^2}{\gamma - 1}\Biggl({\frac p {p_0}}\Biggr)^{2/\gamma} \Biggl[1-\Biggl({\frac p {p_0}}\Biggr)^{(\gamma-1)/\gamma}\Biggr]\Biggr\}^{1/2}$

Portata in un ugello (segue)

$\dot m = \frac{p_0A}{a_0}\Biggl\{\frac{2\gamma^2}{\gamma - 1}\Biggl({\frac p {p_0}}\Biggr)^{2/\gamma} \Biggl[1-\Biggl({\frac p {p_0}}\Biggr)^{(\gamma-1)/\gamma}\Biggr]\Biggr\}^{1/2}$

dove la pressione p è quella che si realizza nella sezione di area A.
È conveniente introdurre il fattore di efflusso Ψ definito come:

$\psi=\frac{\dot m a_0}{p_0A}=\Biggl\{\frac{2\gamma^2}{\gamma-1}\Biggl({\frac p {p_0}}\Biggr)^{2/\gamma}\Biggl[1-\Biggl({\frac{p}{p_0}}\Biggr)^{(\gamma-1)/\gamma}\Biggr]\Biggr\}^{1/2}$

che consente di scrivere la portata nella forma:

$\dot m=\frac{p_0A}{a_0}\psi$

Il fattore di efflusso ψ è diagrammato a lato per tre diversi valori di γ .

Portata in un ugello (segue)

$\psi=\frac{\dot m a_0}{p_0A}=\Biggl\{\frac{2\gamma^2}{\gamma-1}\Biggl({\frac p {p_0}}\Biggr)^{2/\gamma}\Biggl[1-\Biggl({\frac{p}{p_0}}\Biggr)^{(\gamma-1)/\gamma}\Biggr]\Biggr\}^{1/2}$

Il fattore di efflusso ψ è nullo per p/p_o = 0, in quanto si annulla la quantità:

$(p/p_0)^{2/\gamma}$

nel prodotto entro la parentesi graffa.

ψ è altresì nullo per p/p_o = 1, in quanto si annulla la quantità nella parentesi quadra.

Il fattore di efflusso, inoltre, raggiunge un valore massimo ψ* per un particolare valore di p/p_o che può essere presto determinato.

Portata in un ugello (segue)

Indicando con $\eta=p/p_0$ la:

$\psi=\frac{\dot m a_0}{p_0A}=\Biggl\{\frac{2\gamma^2}{\gamma-1}\Biggl({\frac p {p_0}}\Biggr)^{2/\gamma}\Biggl[1-\Biggl({\frac{p}{p_0}}\Biggr)^{(\gamma-1)/\gamma}\Biggr]\Biggr\}^{1/2}$

può essere scritta come: $\psi=K\eta^{1/\gamma}\biggl[1-\eta^{(\gamma-1)/\gamma}\biggr]^{1/2}$ dove K è una costante dipendente da γ. Derivando la relazione precedente rispetto ad ed uguagliando a zero, si ha:

$\frac{d\psi}{d\eta}\Biggl|_{\eta={\bar{\eta}}}=K\frac 1 \gamma {\bar\eta}^{(1-\gamma)/\gamma}\Biggl[1-{\bar\eta}^{(\gamma-1)/\gamma}\Biggr]^{1/2}+$

$-K \frac{\bar \eta^{1/\gamma}}{2}\frac {{(\gamma - 1)\bar \eta^{-1/\gamma}/\gamma}}{\Biggl[1-\bar \eta^{(\gamma-1)/\gamma}\Biggr]^{1/2}}=0$

per cui, risolvendo rispetto ad $\bar \eta$ , si ottiene infine il particolare valore di p/p_o per il quale si ha il valore massimo di ψ :

$\bar \eta= \frac {p^*}{p_0}=\Biggl(\frac{2}{\gamma+1}\Biggr)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}}$

Portata in un ugello (segue)

$\bar \eta= \frac {p^*}{p_0}=\Biggl(\frac{2}{\gamma+1}\Biggr)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}}$

Questo valore coincide con quello indicato in precedenza per le condizioni critiche del moto. Si può concludere che il valore massimo di ψ si raggiunge nelle condizioni critiche (M = 1), può essere quindi indicato con ψ* e vale:

$\psi^*=\gamma\Biggl(\frac{2}{\gamma+1}}\Biggr)^{\frac{\gamma+1}{2(\gamma-1)}}~~;~~~~~(0.8102)}$

dove il valore numerico riportato tra parentesi si riferisce al caso di γ = 1.4.
Chiaramente, quando ψ = ψ*, è anche A = A^* e la portata attraverso l’ugello può essere calcolata mediante la:

$\dot m=\frac{p_0A^*}{a_0}\psi^*$

Come si vedrà in seguito, in un ugello semplicemente convergente, la condizione p_a = p_o> p* = p_asi traduce nella situazione p_u = p_a e M_u < 1 (dove p_u e M_u sono la pressione ed il numero di Mach nella sezione di uscita dell’ugello).

Portata in un ugello (segue)

È importante sottolineare che la:

$\dot m=\frac{p_0A^*}{a_0}\psi^*$

può essere applicata anche nel caso in cui il numero di Mach nella sezione di uscita dell’ugello risulti minore di 1 e cioè quando si ha la condizione:

$p_a/p_0>p^*p_0$

Infatti, dal valore di p_u / p_o = p_a / p_o, mediante la:

$p_0=p\Biggl(1+\frac{\gamma-1}{2}M^2\Biggr)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}$

è immediatamente ricavabile il valore del numero di Mach nella sezione di uscita dell’ugello M_u. Questo valore, sostituito nella:

$\frac A{A^*}=\frac 1 M\Biggl[\frac 2 {\gamma+1}\Biggl(1+\frac{\gamma-1}{2}M^2\Biggr)\Biggr]}^{\frac{\gamma+1}{2(\gamma-1)}}$

consente di calcolare il rapporto tra l’area della sezione di uscita dell’ugello e l’area critica, nella quale si raggiungerebbe M = 1 se il fluido continuasse ad accelerare dopo l’uscita.

Portata in un ugello (segue)

Poiché l’area della sezione di uscita dell’ugello si presume nota, la conoscenza del rapporto A_u/A* consente di calcolare la A* da sostituire nella relazione:

$\dot m=\frac{p_0A^*}{a_0}\psi^*$

per il calcolo della portata. Questo modo di procedere è chiamato metodo per il calcolo della portata mediante l’area critica fittizia in quanto l’area critica non esiste nel campo di moto ma è possibile effettuare i calcoli come se esistesse.

La relazione ricavata in precedenza:

$\dot m=\frac{p_0A^*}{a_0}\psi^*$

è del tutto generale e può essere applicata ad una qualunque sezione di un qualunque condotto, purché il moto rispetti le ipotesi fatte e ψsia calcolato con il rapporto p/p_o che si realizza in detta sezione.

Portata in un ugello (segue)

Per valori di

$p_a/p_0=(p_0-\Delta p)/p_0 \cong 1$

espandendo in serie arrestandosi al secondo termine la quantità elevata a potenza all’interno della parentesi quadra della formula

$\dot m = \frac{p_0A}{a_0}\Biggl\{\frac{2\gamma^2}{\gamma - 1}\Biggl({\frac p {p_0}}\Biggr)^{2/\gamma} \Biggl[1-\Biggl({\frac p {p_0}}\Biggr)^{(\gamma-1)/\gamma}\Biggr]\Biggr\}^{1/2}$

si ricava l’espressione della portata di massa in regime incompressibile:

$\dot m=A_u\sqrt{2(p_0-p_a)\rho}=A_u\sqrt{2\rho \Delta p}$

ricavabile peraltro più semplicemente sostituendo la già trovata formula:

$V =\sqrt{\frac{2(p_0-p_a)}{\rho}}=\sqrt{\frac{2\Delta p}{\rho}}$

nella relazione $\dot m= \rho VA$ .

Portata in un ugello (segue)

Nella espressione della portata in regime incompressibile:

$\dot m=A_u\sqrt{2(p_0-p_a)\rho}=A_u\sqrt{2\rho \Delta p}$

il calcolo della densità alla pressione media tra il serbatoio e l’ambiente, pur migliorando l’approssimazione del calcolo stesso, questa volta non ne estende di molto la sua validità.
Utilizzando questo metodo, infatti, la relazione precedente può essere applicata fino a valori di:

$(p_0-p_a)/p_0\cong 0.1$

e cioè fino a M ≈ 0.4 con uno scostamento massimo dal risultato esatto pari a circa il 3%.

Ugello convergente collegato a un serbatoi

Si supponga ora di avere un ugello convergente (del quale per semplicità è stata disegnata solo una metà della sezione longitudinale) collegato ad un serbatoio nel quale sia noto lo stato termodinamico del gas.

Nel serbatoio, per definizione, la velocità del fluido è nulla per cui, ipotizzando attraverso l’ugello un moto quasi-stazionario, omoenergetico ed isoentropico, le condizioni nel serbatoio (ad esempio p_o e T_o) coincidono con le condizioni di ristagno del gas lungo tutto l’ugello.

Ugello convergente collegato a un serbatoii

Si ricordino le curve soluzione per un moto quasi unidimensionale, quasi-stazionario, omoenergetico e isoentropico in condotti ad area variabile. Per un ugello semplicemente convergente ovviamente non esistono i tratti a destra del punto Q. Delle curve e ed f si è già detto.
Infine, poiché l’ugello è attaccato ad un serbatoio nel quale la velocità è nulla, si devono escludere anche le curve soluzioni del tipo a, b, e c, che prevedono un ingresso supersonico nell’ugello.
Infatti, per avere un ingresso supersonico (partendo da velocità nulla nel serbatoio) è necessario che il fluido passi attraverso condizioni soniche (M = 1) prima dell’ingresso, e quindi per una gola (dA = 0), che certo non esiste.

Numero di Mach in un condotto ad area variabile

Numero di Mach in un condotto ad area variabile.

Numero di Mach in un condotto ad area variabile (segue)

Le curve soluzione che restano sono pertanto (sui piani M – x/L e p/p₀ – x/L ) del tipo di quelle rappresentate in figura (per un ugello che, nella fattispecie, ha un’area di ingresso pari a 1.8 volte quella di uscita – di gola – ed è attraversato da un gas avente γ = 1.4).
L’ugello sarà quindi un effusore.
Si vuole ora determinare il funzionamento dell’ugello al variare delle condizioni termodinamiche nel serbatoio e della pressione ambiente p_a.

Numero di Mach in un condotto ad area variabile (segue)

Per semplicità, si può supporre che il serbatoio contiene un gas ad una pressione costante p_o = 1ata e che l’ugello scarichi in un ambiente (in una camera a vuoto) in cui sia possibile regolare la pressione p_a da 1ata in giù.
Poiché p_o = 1ata, i valori del rapporto adimensionale p / p_o rappresentano, quindi, direttamente la pressione del fluido espressa in ata.
Ad es., le curve tracciate nel grafico corrispondono a quelle per cui la pressione nella sezione di uscita dell’ugello p_u vale (dall’alto verso il basso) 1, 0.9, 0.8, 0.7, 0.6, e 0.53ata, cioè rispettivamente le curve a, b, c, d, e ed f di figura.

Numero di Mach in un condotto ad area variabile (segue)

La curva f corrisponde al raggiungimento delle condizioni soniche nella sezione di uscita dell’ugello (p* / p_o = 0.5283 per γ = 1.4) ed è verosimile, anche alla luce di ciò che verrà detto in seguito, che la curva a, corrispondente a p_u = p_o = 1ata, sia relativa al caso per il quale si ha p = p_o lungo tutto l’ugello perché la velocità (il M) è ovunque nulla.

Numero di Mach in un condotto ad area variabile (segue)

Si vuole ora mostrare che, qualunque sia il valore della pressione ambiente p_a compreso tra p* = 0.5283ata ed 1ata, la pressione del fluido all’uscita dell’ugello p_udeve necessariamente essere uguale a p_a, cioè deve rispettare la cosiddetta condizione di Kutta.
Infatti, se ciò non fosse vero (si immagini ad esempio che l’ugello stia funzionando lungo la curva d che corrisponde a p_u = 0.7ata e che la pressione ambiente p_a sia uguale a 0.8ata, ovvero a 0.6ata), nella sezione di uscita dell’ugello dovrebbero essere presenti o un salto di pressione verso l’alto (compressione), ovvero un salto di pressione verso il basso (espansione).

Numero di Mach in un condotto ad area variabile (segue)

Il brusco salto di pressione verso l’alto si può spiegare solo con un’onda d’urto instazionaria (perché il moto nella sezione di uscita è subsonico) che, muovendosi verso il serbatoio (poiché ha velocità maggiore di quella del suono e la corrente che esce dall’ugello è subsonica), fa rallentare la corrente per il fatto che sovrappone alla velocità verso valle una velocità verso monte.

L’onda d’urto tende quindi a far fluire il gas secondo la curva di funzionamento c.

Numero di Mach in un condotto ad area variabile (segue)

Viceversa, il brusco salto di pressione verso il basso può avvenire attraverso un treno di onde di Mach di espansione (anche esse instazionarie), che risalgono l’ugello viaggiando alla velocità del suono, e che, accelerando il fluido verso valle, lo portano a fluire secondo la curva e sino a che la differenza di pressione non si annulla.
In definitiva, si può concludere che, per p*/p_o ≤ p_a/p_o ≤ 1, deve essere p_u= p_a.
Il calcolo del numero di Mach nella sezione di uscita dell’ugello può quindi essere eseguito, in questo caso, ponendo p = p_a nella:

$p_0=p\Biggl({1+\frac{\gamma-1}{2}M^2\Biggr)}^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}$

Numero di Mach in un condotto ad area variabile (segue)

Ben diverso è il caso di p*/p_o ≥ p_a/p_o. Infatti, qualunque sia il valore di p_a < p*, l’ugello continuerà a funzionare secondo la curva f poichè, essendo questa relativa al caso di una corrente sonica (verso valle) all’uscita dell’ugello, il treno di onde di espansione (che viaggiano verso monte alla velocità del suono), non può risalire la corrente. Le onde pertanto resteranno ferme nella sezione di uscita dell’ugello. Quindi, in questo caso, la pressione del fluido nella sezione di uscita sarà sempre uguale alla pressione critica. Il numero di Mach nella sezione di uscita sarà sempre pari ad 1 e l’ugello si dirà strozzato, o sotto- espanso, perché la corrente non riesce a completare nell’ugello stesso la sua espansione fino alla pressione ambiente.

Numero di Mach in un condotto ad area variabile (segue)

Il motivo per cui viene utilizzato l’aggettivo strozzato è dovuto al fatto che, come si vedrà nel seguito, se la pressione di ristagno è costante, la portata di massa effluente dall’ugello resta costante al diminuire della pressione ambiente dal valore p* sino al vuoto più assoluto.

L’ugello non riesce a scaricare più fluido perché si strozza. Per un ugello convergente, il fenomeno dello strozzamento non dipende dalla geometria dell’ugello stesso purchè sia sempre possibile ritenere il moto unidimensionale nell’ugello stesso.

I risultati descritti in precedenza per p_a variabile sono del tutto generali (in quanto legati ai valori dei rapporti p/p_o).

Essi sono pertanto applicabili, mutatis mutandis, al caso di un ugello convergente che scarichi in un ambiente a pressione costante p_a e per il quale cambi la pressione nel serbatoio p_o. Ovviamente si intende sempre che sia p_o ≥ p_a.

Numero di Mach in un condotto ad area variabile (segue)

Il diagramma riportato in basso sintetizza l’andamento della pressione nella sezione di uscita dell’ugello in funzione della pressione ambiente.
Entrambe le pressioni sono state adimensionalizzate rispetto alla pressione di ristagno. Per p*/p_o ≤ p_a/p_o, si ha p_u = p_a, e cioè è rispettata la condizione di Kutta; invece, per p*/p_o > p_a/p_o, la pu resta costantemente uguale al valore p*.

A titolo di curiosità, si vuol fare osservare che per un gas non è molto difficile raggiungere le condizioni critiche di M = 1. Se l’ugello convergente scarica ad esempio aria (γ = 1.4) nell’atmosfera (a 1ata), per avere M = 1 basta che la pressione nel serbatoio sia pari a:

$p_0=1/0.5283ata~=~1.8929ata$

(pressione assoluta) e cioè circa 0.9 atmosfere relative, ovvero circa 0.9kp/cm².
Si pensi ad esempio cosa succede quando si fora un pneumatico nel quale l’aria si trova inizialmente a circa 2kp/cm² ≈ 3ata (pressione assoluta).