Home

Federica EU

1/18

Giovanni Maria Carlomagno » 11.Ugelli - parte seconda

Portata attraverso un ugello convergente collegato ad un serbatoio

Per poter applicare la:

$\dot m=\frac{p_0A}{a_0}\psi$

ad un ugello convergente, conviene scegliere per A la sezione di uscita dell’ugello di area A_u per cui si ha:

$\dot m=\frac{p_0A_u}{a_0}\psi_u$

dove la ψ_u è il valore del fattore di efflusso valutato alla p_u/p_o.

Si consideri un ugello convergente collegato ad un serbatoio in cui siano fissate ad esempio le condizioni di ristagno e che scarichi in un ambiente a pressione p_a variabile tra 0 e p_o.
Il diagramma che rappresenta la portata in funzione della pressione ambiente p_a è del tipo riportato in figura.

Portata attraverso un ugello convergente collegato ad un serbatoio (segue)

Infatti, a partire dal valore p_a = p_u = p_o, per cui ψ_u = 0 e quindi la portata è nulla (curva a della Fig.(a) e punto D di Fig.(b)), man mano che la p_a diminuisce (curve b, c, d, e ed f di Fig.(a)), poiché la p_a = p_u e p_o è costante, il tratto relativo di curva è del tutto simile al diagramma di ψ, a destra del massimo.
Quando, però, la p_u diventa uguale alla pressione critica (punto A di Fig.(b)), ulteriori diminuzioni della p_a non si risentono nella sezione di uscita dell’ugello dove la pressione pu resta comunque bloccata alla pressione p*. Il valore di ψ_u resta quindi costantemente uguale a ψ*.

Portata attraverso un ugello convergente collegato ad un serbatoio (segue)

Questo fatto giustifica il tratto orizzontale del diagramma a sinistra del punto A (fino al punto C) nel quale la portata di massa resta costante e giustifica altresì il motivo per cui, quando nella sezione di uscita dell’ugello si raggiungono le condizioni critiche (M = 1), l’ugello stesso si dice strozzato. Si ricordi che il diagramma riportato è relativo ad assegnati valori di γ , p_o, a_o ed A_u.
Il fatto che, per valori della pressione ambiente al di sotto di p*, la portata di massa resta costante deve essere, ad esempio, tenuto in conto nella progettazione degli impianti a vuoto.
È inutile usare pompe che diano all’inizio una depressione sempre più spinta per aumentare la portata poiché, per pa < p*, questa non cambia.
Ricordando la:

$\dot m=\frac{p_0A^*}{a_0}\psi^*$

si vede che, in questi casi, è preferibile soprattutto aumentare la A* e cioè l’area della sezione minima tra il serbatoio in cui si vuol fare il vuoto e la pompa.

Portata attraverso un ugello convergente collegato ad un serbatoio (segue)

Per lo stesso ugello convergente già considerato, si vuole ora vedere l’andamento della portata in funzione della pressione di ristagno (nel serbatoio) p_o per un fissato valore della pressione p_a dell’ambiente in cui scarica l’ugello.
Oltre al valore di p_a si suppongono assegnati i valori di γ, a₀ e A_u.
Il diagramma che rappresenta la portata in funzione di p_o è del tipo rappresentato in figura. Infatti, a partire dal valore p_o = p_a relativo al caso di portata nulla, man mano che la p_o aumenta, nella:

$\dot m=\frac{p_0A_u}{a_0}\psi_u$

cresce anche il valore di ψ_u (perché p_u = p_a e p_u/p_o diminuisce) e quindi la portata. Quindi, l’aumento in questa zona si ha poichè nella relazione precedente aumentano sia ψ_u, che p_o.

Portata attraverso un ugello convergente collegato ad un serbatoio (segue)

Quando la po diventa pari a p_a(p_o/ p*), che per il caso di γ = 1.4 è pari a p_o = p_a/0.5283 = 1.8229p_a (punto B del diagramma di Fig.2), nella sezione di uscita dell’ugello si raggiungono le condizioni critiche.
Ulteriori aumenti di p_o, poiché conducono a p_a/p_o < p*/p_o, rendono p_u/p_o sempre uguale a p*/p_o, e quindi bloccano il fattore di efflusso al valore ψ*.
Ne consegue che la formula che si deve applicare dal punto B in poi è la:

$\dot m=\frac{p_0A^*}{a_0}\psi^*$

con dipendenza lineare della portata dalla p_o poiché ψ* resta costante.
La portata di massa dipende solo dalla pressione assoluta di ristagno.

Portata attraverso un ugello convergente collegato ad un serbatoio (segue)

Questo ultimo evento viene spesso utilizzato nella pratica industriale per una regolazione lineare della portata di massa con la pressione assoluta di ristagno. Si usano, inoltre, misuratori di portata di massa, cosiddetti sonici, nei quali la misura della sola p_o e della T_o (per poter calcolare la ao) con la:

$\dot m=\frac{p_0A^*}{a_0}\psi^*$

conduce alla misura della portata di massa.
I due diagrammi visti non sono altro che due sezioni del cosiddetto solido della portata (rappresentato in assonometria in figura (b)), la cui superficie dà il valore della portata sia in funzione della pressione di ristagno che della pressione ambiente.

Portata attraverso un ugello convergente collegato ad un serbatoio (segue)

La superficie del solido della portata è costituita dal triangolo OCA e dalla superficie conica (non circolare) OAD che con esso ha in comune il segmento OA.
In effetti si tratta di una sola superficie conica (perché anche il triangolo OCA può essere considerato tale), avente vertice O e generatrice la curva CAD che coincide con quella della Fig.2.
Quest’ultima rappresenta una sezione retta del cono essendo per essa p_o = cost (cioè l’intersezione della superficie conica con un piano parallelo al piano $\dot m - p_a$ ).

Portata attraverso un ugello convergente collegato ad un serbatoio (segue)

Nella Fig.1 è anche rappresentata con linea tratteggiata la curva che si ottiene dall’intersezione della superficie conica con un piano parallelo al piano $\dot m - p_a$ (p_a = cost), che corrisponde al diagramma della Fig.3.
Il segmento OD (p_o = p_a), che dà luogo ad una portata nulla, appartiene ovviamente alla bisettrice del piano p_o – p_a.

Portata attraverso un ugello convergente collegato ad un serbatoio (segue)

Quanto detto in questo contesto si applica ovviamente a moti adiabatici-isoentropici, quasi-unidimensionali e quasi-stazionari.

Per la prima ipotesi è necessario che gli ugelli non siano molto lunghi rispetto al loro diametro medio in modo tale che si possano trascurare gli effetti associati allo scambio termico e alla viscosità del fluido.

D’altro canto, la seconda ipotesi, che prevede una variazione graduale dell’area della sezione dell’ugello, richiede che l’ugello non sia molto corto.

Va comunque osservato che per ugelli molto corti, al limite fori in una parete (caso limite di ugello convergente), gli aspetti salienti della trattazione restano validi salvo che è necessario introdurre dei coefficienti correttivi in particolare per la portata.

Dell’applicabilità dell’ultima ipotesi (quasi-stazionarietà) si è già discusso in precedenza.

Condizioni di efflusso da un ugello convergente sottoespanso

È interessante ora esaminare, nel caso in cui p_u > p_a, quanto avviene a valle della sezione di uscita AB di un ugello piano, convergente, sottoespanso, schematicamente rappresentata a sinistra della figura.

Per fare ciò si deve abbandonare l’ipotesi di moto quasi-unidimensionale e trattare il problema dal punto di vista bidimensionale

Condizioni di efflusso da un ugello convergente sottoespanso (segue)

Il fluido, che esce dalla sezione AB con una pressione maggiore di quella ambiente (indicata dal segno + ; nel seguito il segno = indicherà una pressione uguale alla p_a ed il segno – una pressione inferiore) e con M = 1, deve espandere sino alla p_a.
Ciò può avvenire soltanto mediante un ventaglio di espansione, che ha origine in A, del quale sono rappresentate solo 5 onde (in effetti, sono infinite), di cui la prima è la AB stessa che ha luogo per M = 1 e quindi deve essere ortogonale alla direzione della corrente, e l’ultima è la AL.
Attenzione: La corrente sonica che esce dalla sezione AB, poiché a valle trova una convessità, seguendo l’espansione di Prandtl e Meyer, dovrebbe ruotare di 90° verso l’alto. In effetti detta corrente ruoterà solo dell’angolo ν corrispondente al numero di Mach per il quale la pressione della corrente stessa sarà uguale a quella ambiente.

Condizioni di efflusso da un ugello convergente sottoespanso (segue)

Poiché sul piano di simmetria BL la corrente deve continuare dritta, ogni onda di espansione (ad es., la AC) si riflette come onda di espansione (la CD).
Quando l’onda riflessa CD incontra la terza onda di espansione AD, poiché quest’ultima aumenta il numero di Mach, la sua inclinazione deve aumentare per mantenere il Mach normale pari ad uno.
Le onde del tipo AB, AC, AD ed AF (che sono diritte) si chiamano onde semplici, mentre non semplici sono le onde che intersecandosi con altre onde cambiano continuamente la loro pendenza.
In realtà, poiché le onde di Mach sono infinite, la figura riportata è solo una schematizzazione del fenomeno. Infatti, la riflessione delle onde dovrebbe iniziare immediatamente a valle del punto B.
Anche l’onda DE deve cambiare la sua pendenza rispetto alla AD perché il fluido, oltre alla espansione attraverso l’onda AC, ha subito anche quella attraverso la CD ed ha quindi aumentato il suo numero di Mach.

Condizioni di efflusso da un ugello convergente sottoespanso (segue)

L’espansione della corrente, dalla p_u alla p_a, è completata dall’onda AF per cui, nell’ambito della schematizzazione, nella regione triangolare AFH esiste una corrente supersonica il cui numero di Mach è calcolabile mediante la:

$p_0=p\Biggl(1+\frac{\gamma-1}{2}M^2\Biggr)^\frac \gamma {\gamma-1}$

con p = p_a; infatti, l’espansione del fluido attraverso il ventaglio AB-AF è quasi-stazionaria omoenergetica ed isoentropica.
La direzione della corrente in questa regione è parallela al segmento AH (che rappresenta il confine del getto) ed è ovviamente inclinata rispetto all’asse dell’ugello dell’angolo di Prandtl e Meyer ν che corrisponde al numero di Mach nella regione AFH. Si ricordi che la corrente nella sezione AB ha M = 1 ed è diretta lungo l’asse dell’ugello BL.

Condizioni di efflusso da un ugello convergente sottoespanso (segue)

Le onde di Mach di espansione riflesse del tipo CH, EJ ed LK (che, nell’ambito di questa schematizzazione, nei loro tratti FH, GI ed LN sono onde semplici), quando raggiungono il confine del getto (superficie libera) si riflettono ivi come onde di Mach di compressione con una continua deviazione della corrente ai confini del getto HJK verso il basso.
Le onde di Mach di compressione riflesse saranno, invece, convergenti (anche perché il numero di Mach si va progressivamente abbassando) e si può schematizzare che esse si incontrino in un punto indicato nella figura con O dando luogo ad un’onda d’urto obliqua OP.
La regione quadrangolare LNOP, in cui esiste fluido che attraversa i due ventagli di espansione (quello che parte dal punto A e quello riflesso) che la precedono, è una regione in cui il numero di Mach è massimo, la pressione è minima e la direzione della corrente è parallela all’asse dell’ugello BP.

Condizioni di efflusso da un ugello convergente sottoespanso (segue)

È facile convincersi che il numero di Mach in questa regione è quello per il quale l’angolo di Prandtl e Meyer vale 2ν poiché la corrente ha subito una ulteriore deviazione (convessa), anch’essa pari a n, che la ha raddrizzata.
Una volta noto il numero di Mach, è possibile anche calcolare la pressione in questa regione utilizzando sempre la:

$p_0=p\Biggl(1+\frac{\gamma-1}{2}M^2\Biggr)^\frac \gamma {\gamma-1}$

perché, si ricorda, che il moto anche attraverso i due ventagli di espansione è omoenergetico ed isoentropico .

Condizioni di efflusso da un ugello convergente sottoespanso (segue)

Se il numero di Mach a valle lo consente, l’onda d’urto obliqua OP si riflette regolarmente sull’asse dell’ugello (piano di simmetria) nell’altra onda d’urto obliqua PQ portando la pressione, che lungo il confine del getto KQ era uguale a pa, ad un valore maggiore di quello ambiente.
È chiaro che a questo punto, nella sezione QR, ci si ritroverà in condizioni analoghe (salvo che per il diverso numero di Mach) a quelle della sezione AB. D’altronde, l’onda d’urto obliqua PQ si deve riflettere sulla superficie libera come ventaglio di espansione.
Quindi l’evoluzione del getto si può ciclicamente ripetere fino a che il numero di Mach resta sufficientemente elevato da consentire onde di Mach (di espansione e compressione) e onde d’urto.

Condizioni di efflusso da un ugello convergente sottoespanso (segue)

Certamente gli effetti viscosi (il mescolamento) e le diminuzioni della pressione di ristagno associate alle onde d’urto porteranno, prima o poi, ad un abbassamento della velocità del getto, e conseguentemente del suo numero di Mach, a valori subsonici.
Il campo di onde, il cui tratto iniziale, riportato in figura, rappresenta un’evoluzione della corrente per così dire a salsicciotto, è chiaramente visibile nella fase di decollo (soprattutto al tramonto, o di notte) dei velivoli da caccia supersonici.
Va, infine, fatto osservare che un comportamento analogo esiste anche quando all’uscita dell’ugello si hanno condizioni di moto supersonico.