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Giovanni Maria Carlomagno » 12.Ugelli - parte terza


Ugello convergente divergente collegato ad un serbatoio

Se paragonati a quelli di un ugello semplicemente convergente, i diversi comportamenti di un ugello convergente divergente collegato ad un serbatoio risultano molto più articolati.
Anche in questo caso conviene partire dalle curve soluzione per un moto quasi-unidimensionale, quasi-stazionario, omoenergetico e isoentropico in un condotto ad area variabile riportate in figura, nelle quali occorre escludere le curve del tipo a, b, c, e, f, g ed h per gli stessi motivi esposti nel caso di un ugello convergente.


Ugello convergente divergente collegato ad un serbatoio (segue)

Le curve restanti sono rappresentate in figura, sempre per il caso di distribuzione cosinusoidale dell’area ed aree di ingresso e di uscita doppie rispetto a quella di gola) insieme ad altre di cui si dirà in seguito e che, come si vedrà, non corrispondono ad un moto completamente isoentropico nell’ugello.

Sull’asse delle ordinate a destra del grafico p/po, sono indicati tre particolari valori del rapporto di pressione pa/po contrassegnati con r1, r2 ed r3 e di solito denominati primo, secondo e terzo rapporto critico di pressione rispettivamente.

Come si vedrà, essi delimitano particolari campi di funzionamento dell’ugello.


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Questi tre rapporti sono funzione del rapporto tra i calori specifici γ e del rapporto tra l’area di uscita dell’ugello e quella di gola. I tre rapporti sono relativi a funzionamenti dell’ugello per il quale si ha M = 1 nella sezione di gola.

In particolare, il rapporto r1 è relativo a condizioni di uscita subsoniche mentre r3 a condizioni di uscita supersoniche. Il rapporto r2 si ottiene moltiplicando il rapporto r3 per il rapporto tra le pressioni statiche a valle e a monte di un’onda d’urto normale stazionaria che si ha al numero di Mach corrispondente al punto G, cioè posta nella sezione di uscita dell’ugello.

I tre punti C, H e G si chiamano punti caratteristici perché, come si vedrà in seguito, delimitano diversi campi di funzionamento dell’ugello.


Ugello convergente divergente collegato ad un serbatoio (segue)

Con riferimento alla figura riportata i due rapporti r1 ed r3 si leggono sull’asse delle ordinate entrando nella figura con il rapporto assegnato tra l’area di gola e quella di uscita dell’ugello, Ag/Au che, per l’ipotesi di funzionamento dell’ugello con M = 1 nella sezione di gola, risulta pari ad A*/Au.

Questo valore del rapporto corrisponderà a due valori del numero di Mach, uno in regime subsonico ed uno in regime supersonico.

In corrispondenza di questi due valori del numero di Mach, si potranno leggere nella stessa figura i valori di r1 e r3.


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Per calcolare il valore di r3, occorre entrare nel grafico riportato con il valore di MG e leggere il rapporto p2/p1 e poiché la pG non rappresenta altro che la p1 e la pH la p2, si avrà:

r_2=r_3~\times~~p_2/p_1


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Non deve meravigliare il fatto che r2 risulti minore di 0.5283 anche se il numero di Mach a valle dell’onda d’urto è circa 0.55, cioè è minore di uno.

Infatti, il diagramma di figura adimensionalizza la presione rispetto a quella nel serbatoio, riportando la quantità:

p_2/p_{01}=p_2/p_{02}\times p_{02}/p_{01}

e, poiché:

p_{02}/p_{01}<1

anche, per M2 < 1, il prodotto può risultare minore di 0.5283.


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Di seguito si esamineranno i diversi comportamenti dell’ugello al variare del rapporto tra la pressione ambiente e quella di ristagno nel serbatoio.

Come nel caso dell’ugello convergente, si suppone che il serbatoio contiene un gas ad una pressione costante po = 1ata e che l’ugello scarica in un ambiente in cui sia possibile far variare la pressione pa da 1ata in giù.

Le possibili generalizzazioni, cioè il caso di pressione di ristagno diversa, o pressione ambiente costante e pressione di ristagno variabile sono simili a quelle già discusse per l’ugello solamente convergente.

La curva a, corrispondente al caso pu= pa= po=1ata, è sempre relativa alla condizione per la quale la pressione p è uguale a po lungo tutto l’ugello nel quale, perciò, la velocità del fluido è identicamente nulla.


Ugello convergente divergente collegato ad un serbatoio (segue)

Al diminuire della pressione ambiente, l’ugello funziona secondo curve del tipo b e c e la pressione del fluido nella sezione di uscita dell’ugello , per quanto già detto per l’ugello convergente, rispetta la condizione di Kutta. Il moto del gas è subsonico lungo tutto l’ugello con un valore minimo della pressione (valore massimo del numero di Mach e della velocità) nella sezione di gola.

Per pa/po = r1, la corrente raggiunge per la prima volta le condizioni critiche (M = 1, punto B di figura) nella sezione di gola e l’evoluzione del fluido segue le curve d ed e. Come si vedrà, per questa condizione l’ugello si strozza perché ulteriori diminuzioni della pressione ambiente non cambiano lo stato B del gas nella sezione di gola, e quindi, per pressione nel serbatoio costante, non fanno cambiare la portata.


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Se ora, a partire da pa/po = r1 la pressione ambiente viene ulteriormente diminuita (ad es. punto F di figura), le onde di espansione (che si generano per la depressione esistente nella sezione di uscita dell’ugello e viaggiano alla velocità del suono) riescono a risalire la corrente subsonica presente nel divergente facendo accelerare il fluido verso valle.

È come se l’ugello tendesse a funzionare seguendo il ramo superiore della curva g o h di Fig.1, cosa che, peraltro, non può accadere perché queste curve prevedono M = 1 in una sezione diversa da quella di gola. Nella Fig.2 è invece rappresentato cosa accade, sia pure dal punto di vista unidimensionale, per tutte le condizioni r2 < pa/po < r1 ( curve f, g ed h di Fig.2).


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Si supponga, ad esempio, che il rapporto di pressione pa/po sia quello corrispondente al punto F del diagramma. La corrente, che nel convergente segue la curva d (accelerando e contemporaneamente espandendosi), sino a M = 1 (punto B) imbocca il divergente continuando ad accelerare (tratto BD) raggiungendo in D un numero di Mach supersonico.

Nella sezione corrispondente al punto D si ha un’onda d’urto normale che porta lo stato del fluido a quello subsonico rappresentato dal punto E.

A valle di questa sezione si ha una graduale ricompressione (decelerazione isentropica) del fluido sino alle condizioni F, poiché il fluido si trova a M < 1 ed il condotto a valle è divergente.


Ugello convergente divergente collegato ad un serbatoio (segue)

Attenzione: L’onda d’urto fa cambiare la pressione di ristagno e quindi l’area critica. Per la:

\dot m=\frac{p_0A^*}{a_0}\psi^*

si ha:

A_D^*/A_E^*=p_{0E}/p_{0D}=p_E/p_0

Il numero di Mach nella sezione di uscita si dovrà calcolare mediante la:

\frac A {A^*}=\frac 1 M\Biggl[{\frac 2 {\gamma +1}} \Biggl({ 1 + \frac{\gamma-1}2 M^2\Biggr)\Biggr]}^{\frac{\gamma+1}{2(\gamma-1)}}

sostituendovi il rapporto:

A_u/A_E^*=(A_u/A^*) \times (A^*/A_E^*)

Ovviamente, della A/A* occorre considerare la sola soluzione subsonica, osservando che nella sua espressione è stato assunto:

A^*=A_D^*

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Al progressivo diminuire del rapporto di pressione dal valore r1 a quello r2, l’onda d’urto normale si muove lungo il divergente dalla sezione corrispondente al punto B (onda di Mach normale ad effetto nullo) a quella del punto G (onda d’urto normale posta nella sezione di uscita dell’ugello).

Per tutti questi valori di pa/po, il moto nell’ugello non è completamente isoentropico per la presenza dell’onda d’urto anche se è ancora valida la condizione di Kutta perché le condizioni del fluido nella sezione di uscita dell’ugello sono sempre subsoniche. Quindi, il rapporto r2 corrisponde ad un valore del rapporto pa/po per il quale si ha un’onda d’urto normale nella sezione di uscita dell’ugello che porta le condizioni del fluido da G ad H.

Ovviamente si intende per po la quantità:p_{0A}=p_{0B}=p_{0D}=p_{0G}>p_{0H} .


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Per ulteriori diminuzioni del rapporto di pressione pa/po, da r2 a r3 (ad es. punti I, J e K), l’onda d’urto normale provocherebbe una ricompressione troppo forte; quindi nella sezione di uscita dell’ugello (in particolare, alla sua periferia direttamente a contatto con la pressione ambiente) deve esistere un’onda d’urto obliqua che dia luogo alla sola ricompressione necessaria.

Al diminuire del rapporto pa/po, l’angolo di inclinazione ε dell’onda d’urto rispetto alla corrente diminuisce (perché è necessaria una ricompressione sempre minore) dal valore di 90° (corrispondente al secondo rapporto critico di pressione r2) al valore μ = arcsin1/M (corrispondente al terzo rapporto critico di pressione r3), che è relativo ad un’onda di Mach.


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L’onda d’urto obliqua parte dalla periferia della sezione di uscita dell’ugello e, poiché come si vedrà essa si sviluppa al di fuori di quest’ultima, il flusso nella sezione di uscita dell’ugello è sempre supersonico con numero di Mach corrispondente al punto G; cioè, nell’ugello, il fluido segue sempre la curva ABG.

Quindi non è più rispettata la condizione di Kutta e l’ugello, in questa situazione, viene detto sovraespanso.

La condizione per la quale il rapporto è proprio quello corrispondente al punto G è anche detta condizione di progetto dell’ugello convergente divergente e l’espansione del gas nell’ugello è detta espansione corretta poiché conduce nella sezione di uscita dell’ugello ad un flusso supersonico con una pressione uguale a quella ambiente. Per questo valore del rapporto di pressione viene recuperata la condizione di Kutta.


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Come nell’ugello convergente per valori di pa/po < p*/po, nel caso di un ugello convergente divergente, quando si ha pa/po< r3, si genera un ventaglio di espansione a valle della sezione di uscita dell’ugello che parte dalla periferia della sezione di uscita ma, nell’ugello, il fluido continua a seguire la curva ABG. In questa situazione l’ugello viene detto sottoespanso perché pu> pa.

A differenza di quanto avviene nell’ugello convergente, nel quale la prima onda del ventaglio di espansione è ortogonale alla corrente poichè il numero di Mach di uscita è pari ad 1, per un ugello convergente divergente la prima onda di Mach del ventaglio è inclinata rispetto alla corrente di un angolo pari a μ = arcsin(1/MG).


Ugello convergente divergente collegato ad un serbatoio (segue)

Si può quindi concludere che, per valori di pa/po inferiori al primo rapporto critico di pressione r1, si ha sempre M = 1 nella sezione di gola.

Invece, per valori di pa/po inferiore al secondo rapporto critico di pressione r2, all’interno dell’ugello non vi è alcun effetto della diminuzione della pressione ambiente sia sulla distribuzione del numero di Mach, che sulla distribuzione di pressione.


Ugello convergente divergente collegato ad un serbatoio (segue)

In conclusione, il comportamento dell’ugello convergente divergente si può riassumere nei seguenti quattro regimi di funzionamento:

  • pa/po < r3 – ugello sottoespanso; l’efflusso dall’ugello è supersonico, la pressione nella sezione di uscita dell’ugello è maggiore di quella ambiente e la corrente completa la sua espansione sino alla pressione ambiente al di fuori dell’ugello mediante un ventaglio di espansione; non è valida la condizione di Kutta.
  • r3 < pa/po< r2ugello sovraespanso; l’efflusso dall’ugello è supersonico, la pressione nella sezione di uscita dell’ugello è minore di quella ambiente e la corrente si porta alla pressione ambiente al di fuori dell’ugello mediante un’onda d’urto obliqua; non è valida la condizione di Kutta.
  • r2 < pa/po < r1regime con onda d’urto nel divergente; la corrente raggiunge M = 1 nella sezione di gola percorre un tratto del divergente in regime supersonico ma l’efflusso dall’ugello è subsonico; è valida la condizione di Kutta.
  • r1< pa/po < 1 - regime alla Venturi; la corrente è ovunque subsonica nell’ugello con un minimo della pressione (massimo della velocità e del numero di Mach) nella sezione di gola; è valida la condizione di Kutta.

Ugello convergente divergente collegato ad un serbatoio (segue)

Il regime alla Venturi è, ad esempio, utilizzato nei carburatori dei motori alternativi ad accensione comandata.

La pressione di ristagno del comburente (aria) è ovviamente la pressione atmosferica.

La depressione che si crea nella gola del Venturi serve a richiamare il combustibile (benzina) che miscelandosi al comburente dà luogo alla miscela pronta a “scoppiare” in camera di combustione con l’ausilio della scintilla prodotta dalla candela di accensione.

Lo stesso regime è anche utilizzato negli spruzzaprofumi a pompetta a aria.

A meno che non si sfrutti la presenza del minimo di pressione in gola, non è conveniente utilizzare un ugello convergente divergente che funzioni nel regime alla Venturi perché i possibili fenomeni di separazione della corrente possono generare problemi.

In quest’ultimo caso, invece, è preferibile utilizzare un ugello semplicemente convergente.

Ugello convergente divergente collegato ad un serbatoio (segue)

I punti C, H e G del grafico delle pressioni, rappresentativi dei tre rapporti critici di pressione, proprio perché suddividono i diversi regimi di funzionamento dell’ugello, sono anche detti punti caratteristici dell’ugello, terminologia che viene adottata anche in altri modelli di moto.

Le relative curve di funzionamento che li interessano sono anche chiamate curve caratteristiche dell’ugello.

Nel caso di un ugello solamente convergente si ha: C ≡ H ≡ G ed r1 ≡ r2 ≡ r3.


Ugello convergente divergente collegato ad un serbatoio (segue)

Il diagramma in basso sintetizza gli andamenti della pressione nella sezione di uscita dell’ugello e della pressione nella gola dell’ugello in funzione della pressione ambiente. Entrambe queste pressioni sono adimensionalizzate rispetto alla pressione di ristagno.

In particolare si nota che, al diminuire della pressione ambiente, la pg/po resta fissata al valore p*/po per pa/por1 cioè per un valore di  pa/po maggiore di p*/po.

Per quanto riguarda invece il rapporto pu/po, esso rispetta la condizione di Kutta per pa/po > r2, dopo di ché resta uniformemente bloccato al valore r3.

Si ricorda che, per quanto detto, r2 può essere maggiore, minore o uguale a p*/po.


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