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Carlo Gualtieri » 10.L'Advezione e la Diffusione Molecolare - parte seconda

L’equazione della diffusione advettiva

In natura, il trasporto degli inquinanti ha luogo per effetto di una combinazione fra il trasporto advettivo e quello diffusivo, prima descritti separatamente. Per il momento, il moto advettivo è supposto essere, per semplicità, di tipo laminare, mentre nella prossima Lezione saranno considerati anche gli effetti della turbolenza. Per ricavare l’equazione che regge il trasporto di un soluto causato dalla diffusione e dall’advezione si può applicare il principio di sovrapposizione degli effetti, ipotizzando che i due processi, il trasporto advettivo e quello diffusivo, siano indipendenti. Tale ipotesi non sarebbe valida se un processo potesse influenzare l’altro. Si è visto prima, invece, che la diffusione molecolare è un processo casuale che, nell’intervallo Δt, determina uno spostamento ±Δx in quanto la molecola può muovere sia verso destra che verso sinistra nel riferimento adottato, mentre l’advezione ne provoca uno spostamento pari ad u·Δx nella direzione del moto. Pertanto, la presenza del processo advettivo non interviene in nessun modo a modificare la probabilità che la molecola si sposti in maniera casuale verso destro o verso sinistra, ma semplicemente aggiunge un ulteriore spostamento a quello casuale dovuto al processo diffusivo. In definitiva, i due processi sono chiaramente indipendenti e, quindi, additivi; di conseguenza, il flusso totale nella direzione dell’asse x, J_x-tot, vale:

$J_{x-tot}=J_{x-adv}+J_{x-diff~mol}=uC-D_m\frac{\partial C}{\partial x}~~~~~(10.1a)$

Analogamente, nelle altre due direzioni, la y e la z, si ha:

$J_{y-tot}=J_{y-adv}+J_{y-diff~mol}=vC-D_m\frac{\partial C}{\partial y}~~~~~(10.1b)$

$J_{z-tot}=J_{z-adv}+J_{z-diff~mol}=wC-D_m\frac{\partial C}{\partial z}~~~~~(10.1c)$

L’equazione della diffusione advettiva (segue)

Se si inseriscono le tre espressioni nel principio di conservazione della massa per un soluto si ha:

$\frac{\partial C}{\partial t}+div \vec J=0~~~~~(9.5b)$

per ottenere, così, dal momento che D_m è uguale in tutte le direzioni dello spazio:

$\frac{\partial C}{\partial t}+\frac{\partial(uC)}{\partial y}+\frac{\partial (v C)}{\partial y}+\frac{\partial (wC)}{\partial z}=D_m\left[\frac{\partial ^2C}{\partial x^2}+\frac{\partial^2C}{\partial y^2}+\frac{\partial^2C}{\partial z^2}\right]~~~~~(10.2a)$

ovvero:

$\frac{\partial C}{\partial t}+\nabla \cdot (\vec V C)=D_m\nabla^2 C~~~~~(10.2b)$

che, nel caso di fluido incomprimibile, diventa:

$\frac{\partial C}{\partial t}+u\frac{\partial C}{\partial y}+v\frac {\partial C}{\partial y}+w \frac{\partial C}{\partial z}=D_m\left[\frac{\partial ^2C}{\partial x^2}+\frac{\partial^2C}{\partial y^2}+\frac{\partial^2C}{\partial z^2}\right]~~~~~(10.2c)$

$\frac{\partial C}{\partial t}+\vec V \cdot \nabla C=D_m\nabla^2C~~~~~(10.2d)$

che è l’equazione del trasporto advettivo-diffusivo o equazione della diffusione advettiva in moto laminare per un fluido incomprimibile, equazione fondamentale dell’Idraulica Ambientale. Talvolta, dando per scontato la presenza in natura di trasporto advettivo, essa è chiamata semplicemente equazione della diffusione.

L’equazione della diffusione advettiva (segue)

Va osservato che l’equazione della diffusione si compone di tre termini ben distinti, vale a dire la variazione locale della concentrazione, che dipende dal movimento del fluido che trasporta il contaminante (trasporto advettivo) e dagli effetti del processo diffusivo (trasporto diffusivo). Il termine advettivo è composto da derivata del primo ordine, mentre il termine diffusivo comprende una derivata del secondo ordine; pertanto, se al posto dei valori positivi delle coordinate spaziali si mettono i loro valori negativi, il termine advettivo cambia segno, mentre quello diffusivo resta identico. Ciò mette in evidenza come il processo advettivo abbia luogo in un solo verso, laddove quello diffusivo è simmetrico, si svolge in entrambi i versi di una qualsiasi degli assi cartesiani. Questa differenza produce delle importanti conseguenze, illustrate in dettaglio più avanti.
Va, infine, precisato che l’equazione della diffusione è valida, dal punto di vista concettuale, per qualsiasi processo diffusivo, per cui, come illustrato in dettaglio nella Lezione 11, nel caso del processo di diffusione turbolenta, nell’ipotesi di trascurare la diffusione molecolare, in quanto meno importante di quella turbolenta, si ottiene una equazione del tutto simile alla (10.2c)/(10.2d), nella quale compare, al posto del coefficiente di diffusione molecolare, il coefficiente di diffusione turbolenta.
L’equazione della diffusione, nel caso di dominio monodimensionale, si semplifica nella forma:

$\frac{\partial C}{\partial t}+u\frac {\partial C}{\partial x}=D_m\frac{\partial ^2 C}{\partial x^2}~~~~~(10.3)$

L’equazione della diffusione advettiva (segue)

Nel caso di un carico impulsivo immesso nel punto di origine di un dominio monodimensionale, dove u è la velocità media del processo advettivo e m è la massa per unità di sezione trasversale immessa nel dominio, l’equazione della diffusione advettiva ha soluzione:

$C(x,t)=\frac m {\sqrt{4\pi D_m t}}exp \left(-\frac{(x-ut)^2}{4D_m t}\right)~~~~~(10.4)$

La Fig.10.1 mostra l’andamento della (10.4) in tre diversi, successivi istanti t₁, t₂ e t₃.

Fig. 10.1 - Andamento di C(x,t)

Il numero di Peclet

La soluzione mostrata in Fig.10.1 riguarda un caso in cui i due processi, l’advezione e la diffusione, hanno la stessa importanza, ma ciò in molti casi non è vero. Se u fosse più grande, la nuvola del tracciante ha minore tempo che allargarsi e sarebbe più stretta. Viceversa, se D_m fosse più grande, le nuvole nei diversi istanti, più larghe, tenderebbero a sovrapporsi.
Al fine di valutare quale dei due processi è più importante, si può osservare l’effetto, già prima messo in evidenza, che la velocità di advezione u e il coefficiente di diffusione molecolare D_m hanno, insieme al tempo t, nei diagrammi in Figura 10.1; la loro combinazione in termini adimensionali dà luogo a un parametro detto numero di Peclet Pe:

$Pe=\frac{u^2 t}{D_m}=\frac{ux}{D_m}~~~~~(10.5a)$

dove x è una generica posizione x=u·t; ciò mette in evidenza come il numero di Peclet non è una costante del dominio del problema ma varia con la distanza dal punto di immissione. Più in generale, il numero di Peclet ha forma:

$Pe=\frac{UL}{D_m}~~~~~(10.5b)$

Vale la pena, inoltre, di osservare che il confronto fra i due termini dell’equazione della diffusione advettiva, con la conseguente definizione del numero di Peclet, non è legato al tipo di processo diffusivo considerato, ma ha validità del tutto generale e può riguardare, pertanto, qualsiasi processo diffusivo in genere, sia esso molecolare o turbolento.

Il numero di Peclet (segue)

In base al valore che il numero di Peclet assume in un punto si possono verificare tre diverse situazioni:

se Pe<<1, ossia se Pe<0.1, il processo di diffusione è dominante su quello di advezione; ciò significa che dal punto di vista fisico, che la nuvola si allarga più rapidamente in entrambe le direzioni di quanto si sposti, lentamente, verso valle. Pertanto, la (10.3) potrebbe essere semplificata eliminando il termine advettivo u·∂C/∂x, come se la velocità fosse nulla; l’errore commesso nel calcolo della soluzione dovrebbe essere dell’ordine di grandezza del numero di Peclet, per cui quanto più piccolo è Pe, tanto minore è tale errore;

Il numero di Peclet (segue)

se Pe>>1, ossia se Pe>10, il processo advettivo prevale su quello diffusivo; ciò significa, dal punto di vista fisico, che la nuvola si muove rapidamente verso valle senza riuscire ad allargarsi in entrambe le direzioni; in altre parole, la nuvola si sposta con la corrente senza cambiare significativamente la sua forma. Pertanto, la (10.3) potrebbe essere semplificata eliminando il termine diffusivo D_m·∂C²/∂x², come se D_m fosse nullo; l’errore commesso nel calcolo della soluzione dovrebbe essere dell’ordine di grandezza del reciproco del numero di Peclet, per cui quanto più grande è Pe, tanto minore è tale errore. Inoltre, l’eliminazione del termine con la derivata seconda, riduce ad una sola le condizioni ai limiti necessarie; in particolare, la condizione ai limiti all’estremo di valle del dominio deve essere lasciata libera, in quanto è il moto della corrente a determinarla. In tal caso, la (10.3) si riduce nella forma:

$\frac{\partial C}{\partial t}+u\frac{\partial C}{\partial x}=0~~~~~(10.6)$

che è quella di una equazione di pura advezione monodimensionale.

se Pe≈1, ossia se 0.1<Pe<10, il processo advettivo e quello diffusivo hanno la stessa importanza; ciò significa dal punto di vista fisico, che la nuvola si allarga in entrambe le direzioni, cambiando la sua forma, nella stessa misura in cui si muove verso valle. Pertanto, la (10.3) non può essere semplificata e va applicata così come è.

Il caso di una immissione concentrata continua

Si consideri il caso di una immissione concentrata continua di un contaminante in un dominio monodimensionale, si fa, pertanto, l’ipotesi che la concentrazione sia omogenea lateralmente e lungo la verticale, in modo da giustificare l’adozione della equazione monodimensionale, la (10.3). In condizioni stazionarie, ossia se la sorgente inquinante si trova in quel punto da molto tempo, maggiore del rapporto D_m/u², tale equazione diventa:

$\frac d {dx}\left(uC-D_m\frac{dC}{dx}\right)=0~~~~~(10.7a)$

che, dal momento sia u che D_m sono costanti, può essere riscritta come:

$u\frac{dC}{dx}=D_m\frac{d^2C}{dx^2}~~~~~(10.7b)$

che può essere integrata ottenendo che il flusso totale lungo l’asse x J_x-tot è costante:

Tale risultato è, in effetti, ovvio, in quanto in regime stazionario, dove non c’è localmente né accumulo né consumo di inquinante, quanto arriva in un certo punto del dominio deve necessariamente allontanarsi da lì ed il flusso è, quindi, uniforme lungo tutto il fiume eccetto che, ovviamente, nei pressi della sorgente.

Il caso di una immissione concentrata continua (segue)

A monte della sorgente, in un punto sufficientemente lontano da essa, la concentrazione deve annullarsi, per cui si può assegnare la condizione ai limiti:

$C(-\infty, t)=0~~~~~(10.8)$

che implica che il flusso J_x-tot sia, anch’esso, nullo, a monte; pertanto, dal momento che il flusso è costante per tutti valori di x, si ha:

$uC-D_m\frac{dC}{dc}=0 ~~~~\text{per}~x<0~~~~~(10.10)$

che, risolta, fornisce che:

$C=c_1 exp \left(\frac{ux}{D_m}\right)~~~~\text{per}~ x<0~~~~~(10.11a)$

dove c₁ è una prima costante di integrazione, che verrà definita più avanti.

Il caso di una immissione concentrata continua (segue)

Sul lato di valle, ci sarà, invece, trasporto di contaminante e, quindi, il flusso è diverso da zero; tale trasporto può essere stimato considerando che nei pressi del punto di immissione, se M e W sono, rispettivamente, la quantità di contaminante immessa ed il carico di massa [M·T^-1], il flusso è pari a W/A, dove A è l’area della sezione trasversale del fiume e, quindi, vale:

$uC-D_m\frac{dC}{dx}=\frac W A ~~~~~\text{per}~x>0~~~~~(10.12)$

che, risolta, fornisce che:

$C=c_2 exp\left(\frac{ux}{D_m}\right)+\frac{W/A}u~~~~~\text{per}~x>0~~~~~(10.13a)$

dove c₂ è una seconda costante di integrazione, che verrà definita più avanti.

Il caso di una immissione concentrata continua (segue)

A valle, ad una distanza sufficientemente elevata dalla sorgente, c’è da aspettarsi una concentrazione certamente modesta, per cui il limite per x→∞ della C avrà un valore finito e, quindi, la costante c₂ deve essere nulla; ciò lascia una concentrazione uniforme anche a valle della sorgente e pari a:

$C=\frac W {uA} ~~~~~\text{per}~ x> 0~~~~~(10.13b)$

Infine, la soluzione del problema deve essere continua in corrispondenza della sorgente, ossia la (10.11b) e la (10.13b) devono assumere lo stesso valore per x=0; ciò fornisce il valore della prima costante di integrazione, che è, quindi, pari a c₁=W/u·A e, quindi, la soluzione nel tratto di monte assume la forma finale:

$C=\frac W{uA} exp \left(\frac{ux}{D_m}\right)~~~~~\text{per} ~x\leq 0~~~~~(10.11b)$

Il caso di una immissione concentrata continua (segue)

La soluzione è mostrata in Fig.10.2, dove c’è un cuneo verso monte ed un andamento piatto verso valle.
Si osserva che a valle della sorgente, la concentrazione è uniforme, senza gradienti; non c’è diffusione ed il contaminante è semplicemente trasportato con la corrente. Al crescere del carico di massa e, quindi, del rapporto W/A, anche la concentrazione C cresce secondo la (10.13b), in quanto un input più grande determina una concentrazione proporzionalmente maggiore. Al contrario, al crescere della velocità di trasporto u, la concentrazione C si riduce secondo la (10.13b), perché una corrente più veloce determina una maggiore diluizione del contaminante.
Sul lato a monte della sorgente, la concentrazione C si riduce con legge esponenziale spostandosi verso monte e la presenza di un gradiente indica l’azione della diffusione. Dal momento, come è noto, il processo diffusivo ha luogo da punti a concentrazione maggiore verso punti a concentrazione minore, ossia in verso opposto a quello del gradiente di concentrazione esistente, il flusso diffusivo è diretto verso monte, mentre, ovviamente, il flusso advettivo resta diretto verso valle. In altre parole, nel tratto a monte dell’immissione, i due processi, advezione e diffusione, agiscono in senso opposto e, quindi, se avessero la stessa intensità non ci sarebbe alcun trasporto del contaminante.

Fig. 10.2 - Andamento di C(x)

Il caso di una immissione concentrata continua (segue)

A questo punto sarebbe utile valutare quanto, a monte del punto dove è disposta la sorgente, il contaminante riesce a spingersi. Dal momento che la funzione esponenziale ha sempre valore non-nulli fino all’infinito, un criterio pratico può essere quello di assumere come punto di massima distanza quello in cui la concentrazione è pari al 5% del suo valore massimo, che è assunto in corrispondenza della sorgente; pertanto, si ha:

$exp\left(\frac{ux}{D_m}\right)=0.05~~~~~(10.14a)$

ossia:

$\frac{ux}{D_m}=-3.00~~~~~(10.14b)$

e, quindi:

$L_{max-monte}=3.00\frac{D_m}u~~~~~(10.14c)$

per cui la concentrazione è uguale o inferiore al 5% del suo valore massimo a partire da una distanza pari a 3·D_m/u a monte della sorgente; tale distanza cresce con il valore del coefficiente di diffusione molecolare e si riduce con la velocità della corrente.

Il caso di una immissione concentrata continua (segue)

Nel caso di un processo di diffusione turbolenta, dal momento che il coefficiente di diffusione turbolenta aumenta con il livello di turbolenza presente e, quindi, con la velocità della corrente, non è immediatamente intuibile quale sia l’effetto di una variazione della velocità della corrente sulla distanza massima che il contaminante riesce a raggiungere, a monte della sorgente. Si può dimostrare che in caso di diffusione turbolenta, si ha:

$L_{max-monte}=3.00\frac{0.1 hu}u =0.3 h~~~~~(10.14d)$

Le lezioni del Corso

1. Introduzione all'Idraulica Ambientale

2. Le Grandezze dell'Idraulica Ambientale

3. La Cinematica dei Fluidi

4. Le Leggi di Conservazione - Parte prima

5. Le Leggi di Conservazione - Parte seconda

6. La Turbolenza - Parte prima

7. La Turbolenza - Parte seconda

8. Lo Strato Limite

9. L'Advezione e la Diffusione Molecolare

10. L'Advezione e la Diffusione Molecolare - parte seconda

11. La diffusione turbolenta e la dispersione

12. I processi di trasformazione

13. Il processo di gas-transfer

14. Distribuzione della velocità in un canale. Circolazione nei laghi

I materiali di supporto della lezione

C.GUALTIERI (2006). Appunti di Idraulica Ambientale. CUEN Editore, 2006, pp.410 (ISBN 88-7146-717-5)

B. CUSHMAN-ROISIN (2003), Environmental fate and transport, Lecture Notes, Darmouth College, Hanover, NH, USA

S.A.SOCOLOFSKY E G.H.JIRKA (2002), Environmental Fluid Mechanics. Part I: Mixing, Transport and Transformation, Engineering Lectures, Institut für Hydromechanik, University of Kalsruhe, Germany