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Carlo Gualtieri » 3.La Cinematica dei Fluidi

Introduzione

La Cinematica è, come è noto, la parte della Meccanica che si occupa di proprietà che sono funzione solo dello spazio e del tempo; infatti, le grandezze caratteristiche della Meccanica possono essere suddivise in due grandi famiglie:

quelle, quali lo spostamento, la velocità, l’accelerazione, la velocità di deformazione e la rotazione, che contengono, appunto, come grandezze fondamentali solo lo spazio ed il tempo, dette appunto grandezze cinematiche, in quanto esprimono il movimento delle particelle fluide in risposta all’applicazione di forze;
quelle che, essendo legate a tali forze, contengono, invece, oltre allo spazio ed al tempo, anche la massa e sono, perciò, dette grandezze dinamiche.

E’ possibile studiare le caratteristiche di un fluido in movimento secondo due approcci diversi, in qualche modo complementari; si può, infatti, immaginare di essere interessati a conoscere la posizione occupata nel tempo da ciascuna delle particelle che compongono il fluido o il valore nel tempo di qualsiasi proprietà associata a tali particelle oppure, viceversa, considerare quello che accade nel tempo in uno o più punti del volume di spazio occupato dal fluido al fine di conoscere ivi le caratteristiche del campo di moto o il valore di una qualsiasi proprietà del fluido. Il primo approccio è chiamato lagrangiano, il secondo euleriano. La scelta fra uno dei due approcci adesso descritti è legata soprattutto al tipo di problema che si intende affrontare.

Introduzione (segue)

Si consideri una terna cartesiana di riferimento di assi x, y e z e siano:

$u=\frac{dx}{dt}~~~~~v=\frac{dy}{dt}}~~~~~w=\frac{dz}{dt}~~~~~~~~~(3.1)$

le componenti del vettore velocità nel generico punto (x, y, z) all’istante t. Il campo di moto di un fluido è completamente definito se è nota la funzione = (x, y, z, t), oppure il complesso delle tre funzioni scalari equivalenti:
$u=u(x,y,z,t)$

$v=v(x,y,z,t)~~~~~~~~~(3.2)$

$w=w(x,y,z,t)$

Nell’approccio lagrangiano, le incognite sono le coordinate dei punti occupati dalle particelle nei successivi istanti t , per cui esso è, quindi, applicabile, ad esempio, nello studio della diffusione di particelle eterogenee in un fluido in moto. Da tale approccio trae origine il concetto di traiettoria, quale luogo dei punti successivamente occupati dalle singole particelle fluide in moto (Fig.3.1).

Fig. 3.1 - Traiettorie all'interno di un fluido. Immagine da J. McDONOUGH (2009). Lectures in elementary Fluid Dynamics: Physics, Mathematics and Applications.

Introduzione (segue)

L’approccio euleriano fa, invece, riferimento alla distribuzione nello spazio e nel tempo di tali proprietà all’interno di un certo dominio occupato dal fluido, senza tenere conto della storia precedente di ciascuna delle particelle presenti nel dominio. In tale approccio, se la grandezza studiata è la velocità, le incognite sono le tre componenti della velocità, ossia u, v e w, la cui conoscenza in istanti successivi, consente di costruire una serie di immagini di stati consecutivi di moto, anche se da essa non si può, però, trarre una immediata visione del moto di ogni singola particella di fluido.
Dall’approccio euleriano trae, invece, origine il concetto di linea di corrente o linea di flusso, che è la curva tangente, in ciascuno dei suoi punti, al vettore velocità in quel punto, considerato noto in ogni punto in un certo istante generico t₀ (Fig.3.2).

Fig. 3.2 - Definizione di una linea di corrente. Immagine da J. McDONOUGH (2009). Lectures in elementary Fluid Dynamics: Physics, Mathematics and Applications.

Introduzione (segue)

L’approccio euleriano presenta, tuttavia, lo svantaggio di rendere difficile la valutazione dell’accelerazione e, più in generale, della variazione di una qualsiasi proprietà nel tempo in un punto; infatti, se, per valutare l’accelerazione, nell’approccio lagrangiano basterebbe, da un punto di vista puramente teorico, attaccare un accelerometro alla particella fluida e registrarne i risultati lungo la sua traiettoria, in quello euleriano sarebbe difficile capire quale è l’accelerazione della particella nella direzione del suo movimento perché esso fornisce solo la variazione di tale proprietà in quel punto e non tutta la variazione che essa subisce nel fluido in movimento. Per superare questa difficoltà, in un sistema euleriano si preferisce esprimere l’accelerazione e, più in generale, la variazione di qualsiasi proprietà del fluido, in termini lagrangiani. Infatti, in tal modo, se si considera una generica proprietà B, un osservatore che si muove con la particella fluida si accorgerebbe che la variazione della B è data dalla somma di due termini. Il primo, detto locale, esprime la variazione nel tempo della proprietà che si verifica nel punto, indipendentemente dal movimento del fluido, mentre il secondo, detto advettivo o convettivo, porta in conto la variazione della B legata al moto del volume di fluido in un campo dove esiste un gradiente di tale proprietà. La somma di questi due termini fornisce la cosiddetta derivata totale o derivata sostanziale, che può essere facilmente ricavata a partire dalla (3.1) ed applicando le regole della derivazione:

$\frac{dB(\vec{P}(t), t)}{dt}=\frac{\partial B}{\partial t}+\biggl(u\frac{\partial B}{\partial x}+ v\frac{\partial B}{\partial y}+ w\frac{\partial B}{\partial z}\biggr)~~~~~~~~~(3.3a)$

Ovvero:
$\frac{dB}{dt}=\frac{\partial B}{\partial t}+ \vec{V}\cdot ~grad~ B=\frac{\partial B}{\partial t}+\vec {V}\cdot \nabla B~~~~~~~~~(3.3b)$

Linee caratteristiche della cinematica dei fluidi

Infine, esiste, accanto alle traiettorie ed alle linee di flusso, una terza famiglia di linee caratteristiche, quella delle linee di emissione, luogo dei punti occupati al generico istante t dalle particelle passanti nel tempo per un certo punto P del campo di moto. Queste linee sono chiamate anche linee di fumo poiché esse corrispondono proprio alle curve disegnate istante per istante dal fumo che esce da una ciminiera o dalla brace di una sigaretta. In un moto qualsiasi, le linee di emissione, come quelle di corrente, sono variabili da istante a istante e distinte sia dalle traiettorie, sia dalle linee di corrente; le tre linee coincidono tra loro quando il moto è non varia con il tempo. In definitiva, possiamo così descrivere sinteticamente le tre linee caratteristiche di un fluido in movimento:

le traiettorie forniscono un quadro delle posizioni successivamente assunte nel tempo dalle singole particelle;
le linee di corrente individuano le velocità nei differenti punti del campo di moto in un determinato istante;
le linee di emissione definiscono la posizione che in un determinato istante occupano le particelle precedentemente passate per un certo altro punto del campo di moto.

Tipologie di movimento

Dal punto di vista cinematico, il moto può essere permanente, vario o uniforme. Il moto permanente è quello caratterizzato da grandezze cinematiche che non dipendono dal tempo; ne segue, in particolare, che le tre componenti della velocità u, v e w sono funzioni soltanto di x, y e z. Un moto non permanente si dice vario. Nella maggior parte dei casi la condizione che definisce un moto permanente non è rispettata, tuttavia in alcune situazioni la variazione delle grandezze cinematiche può essere molto lenta da giustificare un approccio basato sull’ipotesi di moto permanente. Il moto uniforme è, in senso stretto, quello in cui la velocità, oltre ad essere indipendente dal tempo, è anche invariabile da punto a punto del campo di moto, altrimenti un moto è detto non-uniforme. Ciò implica che in un moto uniforme le derivate della velocità rispetto alle tre direzioni dello spazio devono essere tutte nulle. La Fig.3.3 mostra alcuni esempi di moto uniforme e non-uniforme. La Fig.3.3a riproduce fedelmente la definizione di moto uniforme proposta in precedenza, mentre, invece, la Fig.3.3c mostra il caso di un moto non-uniforme.

Fig. 3.3 - Esempi di moto uniforme e non-uniforme. Immagine da J. McDONOUGH (2009). Lectures in elementary Fluid Dynamics: Physics, Mathematics and Applications.

Tipologie di movimento (segue)

Nella pratica applicativa, essendo molto raro il caso in cui la velocità sia uguale in tutti i punti della massa fluida, si hanno quasi sempre condizioni di moto non-uniforme. Tuttavia, un caso interessante ed abbastanza frequente è quello mostrato in Fig.3.3b, dove si osserva che, a stretto rigore, il moto è non-uniforme, perché, procedendo nel verso del moto, si incontrano vettori velocità con valori diversi; tuttavia, muovendosi, invece, in direzione trasversale al moto, essi hanno lo stesso valore. In tali casi, si introduce il concetto di moto non-uniforme ma localmente uniforme, che è quel moto le cui caratteristiche si mantengono identiche nei successivi punti di ogni traiettoria, pur potendo essere differenti da una traiettoria all’altra; affinché ciò avvenga le traiettorie devono essere rettilinee. Questo concetto può essere utilizzato utilmente per approssimare in maniera abbastanza efficace molti casi applicativi.

Tipologie di movimento (segue)

Un’altra importante classificazione del moto dei fluidi è quella relativa alla loro dimensionalità; da tale punto di vista cinematico, il moto può essere tridimensionale, bidimensionale o monodimensionale.
Va, in primo luogo, osservato che la dimensionalità di un moto non dipende semplicemente dalle dimensioni del recipiente che contiene il fluido e che, in linea di principio, tutto i moti reali sono tridimensionali. Tuttavia, può essere utile, ove possibile, cercare di ridurre il numero di dimensioni del moto per semplificarne lo studio analitico e/o numerico. Si può, quindi, definire la dimensionalità di un campo di moto come il numero delle coordinate spaziali necessarie per descrivere tutte le proprietà del moto; ciò non deve essere confuso con il numero delle componenti diverse da zero del campo di moto, anche se spesso le due cose coincidono.

Fig. 3.4 - Esempi di moto monodimensionale (a), bidimensionale (b), e tridimensionale (c). Immagine da J. McDONOUGH (2009). Lectures in elementary Fluid Dynamics: Physics, Mathematics and Applications.

Tipologie di movimento (segue)

Il termine di moto separato o non-separato non si riferisce alla assenza o alla presenza di fluido in adiacenza della superficie rispetto alla quale è fatta tale classificazione del moto.Un tipico caso applicativo cui si può applicare questa classificazione del moto è quello in corrispondenza di un gradino (Fig.3.5). Se la velocità del fluido è bassa e/o esso è molto viscoso, quando questo raggiunge il gradino è dotato di quantità di moto modesta e tende, quindi, ad appoggiarsi sull’alzata del gradino e, giunto al suo piede, a continuare lungo la sua strada (Fig.3.5a); in tal caso, il moto è non-separato, nel senso che pur la sua traiettoria, pur avendo subìto due cambi di direzione a 90°, è rimasta attaccata alla parete. Se, al contrario, il fluido è dotato di una velocità maggiore e/o è meno viscoso, quando deve cambiare di 90° la sua direzione esso tende inevitabilmente a scavalcare il gradino ed il moto è detto separato (Fig.3.5b); in tal caso, esso mette in movimento verso monte, nella direzione del gradino, il volume di fluido che si trova al di sotto, in modo da riempiere il vuoto che si verrebbe altrimenti a creare.

Fig. 3.5 - Moto in corrispendenza di un gradino. Immagine da J. McDONOUGH (2009). Lectures in elementary Fluid Dynamics: Physics, Mathematics and Applications.

Tipologie di movimento (segue)

In definitiva, si stabilisce una zona di ricircolo, detta primaria, che è individuata dal punto in cui il fluido proveniente da monte del gradino va ad incontrare di nuovo, a valle di esso, la parete; tale punto è chiamato punto di riattacco e consente di individuare la traiettoria, detta di separazione, che delimita la zona di ricircolo distinguendola dal resto della massa fluida in movimento. Infine, proprio in corrispondenza del piede del gradino, se il vortice primario non riesce a seguire il brusco cambio di direzione provocato dal gradino, si crea un’altra zona di ricircolo, molto più piccola della precedente, detta secondaria. Questa seconda zona è tipica dei casi in cui la velocità è elevata, anche nella zona di ricircolo primaria.

Deformazioni un fluido

Se è il vettore velocità all’istante t₀, le sue componenti u, v e w ammettono i differenziali:

$du=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy+\frac{\partial u}{\partial z}dz$

$dv=\frac{\partial v}{\partial x}dx+\frac{\partial v}{\partial y}dy+\frac{\partial v}{\partial z}dz~~~~~~~~~(3.4a)$

$dw=\frac{\partial w}{\partial x}dx+\frac{\partial w}{\partial y}dy+\frac{\partial w}{\partial z}dz$

Ne segue che il tasso di variazione della lungo la direzione indicata dal versore vale:

$\frac{\partial \vec{V}}{\partial n}=\frac {\partial \vec{V}}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial n}+ \frac {\partial \vec{V}}{\partial y}\frac {\partial y}{\partial n}+\frac{\partial \vec{V}}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial n}~~~~~~~~~(3.4b)$

Deformazioni un fluido (segue)

Si vede, quindi, che i tre vettori al secondo membro costituiscono le componenti vettoriali di un tensore del secondo ordine, detto tensore dei gradienti di velocità, ed indicato come grad . Le sue componenti scalari costituiscono la matrice, già presentata in precedenza:

$grad~\vec V=\left|\begin{array}{lll} \frac{\partial u}{\partial x}~~ \frac{\partial v}{\partial x} ~~\frac{\partial w}{\partial x} \\ \\ \frac{\partial u}{\partial y} ~~\frac{\partial v}{\partial y} ~~\frac{\partial w}{\partial y} \\ \\ \frac{\partial u}{\partial z}~~ \frac{\partial v}{\partial z} ~~\frac{\partial w}{\partial z} \end{array}\right|~~~~~~~~~(3.5)$

Deformazioni un fluido (segue)

Il tensore grad può essere suddiviso in due tensori, uno simmetrico, che è chiamato tensore della velocità di deformazione, e l’altro emisimmetrico, che è chiamato tensore della vorticità:

$\vec D=\left|\begin{array}{lll} \frac {\partial u}{\partial x}~~ \frac 1 2 \bigl(\frac {\partial v}{\partial x}+ \frac {\partial u}{\partial y}\bigr)~~ \frac 1 2 \bigl(\frac {\partial w}{\partial x}+ \frac {\partial u}{\partial z}\bigr) \\ \\ \frac 1 2 \bigl(\frac {\partial u}{\partial y}+ \frac {\partial v}{\partial x}\bigr)~~ \frac {\partial v} {\partial y} ~~\frac 1 2 \bigl(\frac {\partial w}{\partial y}+ \frac {\partial v}{\partial z}\bigr) \\ \\ \frac 1 2 \bigl(\frac {\partial u}{\partial z}+ \frac {\partial w}{\partial x}\bigr) ~~\frac 1 2 \bigl(\frac {\partial v}{\partial z}+ \frac {\partial w}{\partial y}\bigr) ~~\frac {\partial w}{\partial z}\end{array}\right|~~~~~~~~~(3.6) ~~~~~~~~~~~~\vec \Omega=\left|\begin{array}{lll} 0 ~~\frac 1 2 \bigl(\frac {\partial v}{\partial x}+ \frac {\partial u}{\partial y}\bigr)~~ \frac 1 2 \bigl(\frac {\partial w}{\partial x}+ \frac {\partial u}{\partial z}\bigr) \\ \\ \frac 1 2 \bigl(\frac {\partial u}{\partial y}+ \frac {\partial v}{\partial x}\bigr)~~ 0~~ \frac 1 2 \bigl(\frac {\partial w}{\partial y}+ \frac {\partial v}{\partial z}\bigr) \\ \\ \frac 1 2 \bigl(\frac {\partial u}{\partial z}+ \frac {\partial w}{\partial x}\bigr) ~~ \frac 1 2 \bigl(\frac {\partial v}{\partial z}+ \frac {\partial w}{\partial y}\bigr) ~~0\end{array}\right|~~~~~~~~~(3.7)$

Entrambi i tensori hanno un ben preciso significato fisico. Si può dimostrare che i termini posti sulla diagonale del tensore della velocità di deformazioni sono le velocità di deformazione lineare del fluido secondo i tre assi, mentre quelli al di fuori della diagonale sono la metà delle velocità di deformazione angolare.

Infine, i termini diversi da zero del tensore della vorticità rappresentano rotazioni medie intorno ai tre assi x, y e z che il generico elemento di volume elementare subisce durante il moto. Dalla definizione di rotore di un vettore risulta, poi, che:

$\vec \Omega=\nabla\times \vec V~~~~~~~~~(3.8)$