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Carlo Gualtieri » 11.La diffusione turbolenta e la dispersione


Diffusione turbolenta e dispersione. Generalità

In precedenza sono stati considerati, prima separatamente e, poi, nel complesso, l’advezione e la diffusione. Quest’ultima può essere determinata da due diverse cause, l’agitazione molecolare, responsabile della diffusione molecolare, e l’agitazione turbolenta, che produce la diffusione turbolenta. I flussi diffusivi, in entrambi i casi, sono proporzionali, attraverso un coefficiente, il coefficiente di diffusione molecolare o turbolenta, ad un gradiente di concentrazione presente nella massa fluida. Tuttavia, finora, è stata trascurata l’influenza della turbolenza e nel ricavare l’equazione della diffusione advettiva si è fatto l’ipotesi di advezione in regime laminare. In realtà, nei corpi idrici naturali, il moto è turbolento, per cui le equazioni fin qui sviluppate devono essere opportunamente corrette per tenere conto di essa.

Fig. 11.1 – Mescolamento di uno scarico in un fiume

Fig. 11.1 - Mescolamento di uno scarico in un fiume


Diffusione turbolenta e dispersione. Generalità (segue)

Quando, infatti, un qualsiasi inquinante è introdotto in un fiume è possibile distinguere, a valle del punto di immissione, tre processi (Fig.11.1):

  • mescolamento iniziale, immediatamente a valle dello scarico ed indotto dalla velocità iniziale dell’effluente e dal galleggiamento;
  • mescolamento trasversale, per effetto della turbolenza;
  • dispersione longitudinale, per effetto del gradiente di velocità esistente nella corrente.

Va osservato che per mescolamento si intende, nel complesso, di solito, la propagazione laterale e lungo la verticale determinata dalla turbolenza, mentre per dispersione si intende la propagazione nella direzione longitudinale causata dagli sforzi turbolenti.

La diffusione turbolenta

I moti casuali dovuti alla turbolenza che influenzano il trasporto dei contaminanti nei fiumi, nei laghi e negli estuari presentano, come si dimostrerà più avanti, una evidente analogia con il processo di diffusione molecolare, per cui prendono il nome di fenomeni di diffusione turbolenta. Prima di affrontare tale fenomeno a partire dall’equazione del trasporto advettivo opportunamente modificato, può essere utile tentare di descriverlo secondo un approccio più empirico ed euristico.
Si è già visto che il fenomeno turbolento si manifesta attraverso la presenza di vortici di diverse scale di grandezza, sia spaziali che temporali, e che ciascun vortice può essere descritto da due parametri, il suo diametro d e la sua velocità orbitale ů, variabili da vortice a vortice; nell’ipotesi di turbolenza stazionaria, omogenea ed isotropa, tutti i vortici di una certa dimensione, ossia con lo stesso diametro d, si comportano all’incirca allo stesso modo e presentano la stessa velocità orbitale, per cui si può assumere che ů sia, appunto, funzione di d.

La diffusione turbolenta (segue)

Se si mettono insieme d e ů, che sono una lunghezza ed una velocità caratteristiche del fenomeno, è immediato definire un tempo caratteristico Θ(d) pari a:

\theta(d)=\frac d{\dot u (d)}~~~~~(11.1)

talvolta detto tempo di rotazione del vortice, in quanto è il tempo impiegato dalla particella, che dispone di velocità ů, per percorrere la distanza d, che è proporzionale alla circonferenza del vortice. Queste tre grandezze, ossia d, ů e θ, possono essere impiegate per fornire una stima del coefficiente di diffusione turbolenta Dt(d), che caratterizza un vortice di diametro d; tale risultato può essere ottenuto in diverse maniere, in primo luogo attraverso l’analisi dimensionale che mostra che, poichè il coefficiente di diffusione ha dimensioni [L2·T-1], esso deve essere proporzionale al prodotto della lunghezza caratteristica d e della velocità caratteristica ů:

D_t(d)\propto d\dot u (d)~~~~~(11.2)

La diffusione turbolenta (segue)

In definitiva, si è visto che In definitiva, si è dimostrato che il coefficiente di diffusione turbolenta, determinata da vortici di una certa dimensione, è proporzionale al prodotto del diametro di tali vortici per la loro velocità orbitale.
A questo punto, poiché nel processo di moto turbolento sono presenti vortici, di diverse dimensioni e forza, in continua modifica, resta il problema di stabilire quali sono i valori del diametro e della velocità orbitale, fra i tanti possibili, da considerare al fine di stimare il coefficiente di diffusione turbolenta. L’obiettivo deve essere quello di scegliere la coppia di valori di d e ů che rende più grande Dt(d), in quanto la diffusione effettiva, ossia che maggiormente influenza il processo di trasporto diffusivo, è quella che corrisponde al massimo valore di Dt(d).
Si può dimostrare che sono i vortici più grandi a regolare il processo di diffusione turbolento, ossia la diffusione turbolenta è legata in primo luogo ai vortici più grandi. Al contrario, sulla scala più piccola, dove agisce la viscosità, il processo di diffusione turbolenta è molto meno efficace e ciò spiega anche perché il coefficiente di diffusione turbolenta sia molto maggiore di quello di diffusione molecolare, che riguarda un processo che avviene sulle scale più piccole. Tale scala più grande è di solito legata alle dimensioni geometriche del sistema considerato.

La diffusione turbolenta (segue)

Va, fatta, inoltre, distinzione fra i vortici che ruotano su un piano verticale intorno ad un asse orizzontale e quelli che ruotano in piani orizzontali intorno ad un asse verticale e, nei fiumi, va fatta una ulteriore differenza fra vortici trasversali e vortici longitudinali.
In particolare, la diffusione turbolenta lungo la verticale dipende dai vortici che spostano il fluido dall’alto verso il basso e viceversa e, quindi, ruotano in un piano verticale, per cui la corrispondente scala spaziale massima dmax è, evidentemente, l’altezza del sistema, ossia il tirante idrico h del fiume o del lago. La corrispondente velocità caratteristica ů(h) è quella dello shear flow, ossia la differenza fra il valore massimo ed il valore minimo della velocità in direzione orizzontale. La diffusione turbolenta lungo l’orizzontale è, invece, legata ai vortici disposti lungo piani orizzontali e la corrispondente scala spaziale massima dmax è fornita dalle dimensioni orizzontali del sistema, ossia la larghezza o la lunghezza, a secondo della direzione considerata, del sistema.

La diffusione turbolenta (segue)

Dal punto di vista analitico, si può pensare di partire dalla equazione della diffusione advettiva tridimensionale:

\frac{\partial C}{\partial t}+\frac{\partial (u C)}{\partial x}+\frac {\partial (v C)}{\partial y}+\frac{\partial (w C)}{\partial z}=D_m\left[\frac{\partial^2 C}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 C}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 C}{\partial z^2}\right]~~~~~(10.2a)

cui si applica il ben noto procedimento di decomposizione di Reynolds:

u=\bar u + u'~~~~~(11.3a)

v=\bar v + v'~~~~~(11.3b)

w=\bar w + w'~~~~~(11.3c)

C=\bar C + C'~~~~~(11.3d)

dove i valori istantanei e di agitazione sono funzione dello spazio e del tempo e quelli medi temporali sono funzione dello spazio.

Se, ora, ad esempio, si intende valutare il flusso medio temporale nella direzione dell’asse x, si ha, operando la decomposizione di Reynolds e le conseguenti moltiplicazioni:

J_x=\overline{u C}=\overline{(\bar u + u')(\bar C+C')}=\overline{\bar u \bar C}+\overline{\bar u C'}+\overline{u'\bar C}+\overline{u'C'}~~~~~(11.4a)

La diffusione turbolenta (segue)

Nel caso di turbolenza isotropa ed omogenea, la media temporale della componente di agitazione è nulla, per cui i termini nella (11.4a) contenenti u’ e C’ si annullano. Al contrario, il termine della media del prodotto delle componenti di agitazione non è nullo perché le fluttuazioni della velocità e della concentrazione sono correlate fra loro. Tali termini sono diversi da zero perché c’è una correlazione fra velocità e concentrazione. Ciò significa, dal punto di vista matematico, che a valori positivi di C’, ossia aumento temporaneo della concentrazione rispetto al valore medio locale, corrispondono valori prevalentemente positivi o negativi della generica componente di agitazione u’, v’ e w’, mentre a valori negativi di C’, ossia diminuzione temporanea della concentrazione rispetto al valore medio locale, corrispondono valori prevalentemente negativi o positivi della stessa componente. Tale correlazione è strettamente connessa alla variabilità spaziale del valore medio temporale della concentrazione. Per chiarire meglio questo concetto, facciamo l’ipotesi di un moto piano ed uniforme lungo l’asse x nel quale la concentrazione media decresce verso l’alto, ossia secondo l’asse z. In questo caso, trasferimenti di masse fluide verso l’alto, ossia con w’>0, determinano un aumento temporaneo della concentrazione rispetto al valore medio locale, per cui è C’>0, in quanto tali masse attraversano o raggiungono strati con concentrazioni medie locali minori di quelle di provenienza.

La diffusione turbolenta (segue)

Al contrario, a trasferimenti di masse fluide verso il basso, ossia per w’<0 corrispondono di norma temporanee riduzioni della concentrazione, ossia è C’<0. In definitiva, quando la concentrazione si riduce dal basso verso l’alto, il prodotto w’·C’ è sempre positivo e, quindi il flusso del soluto  risulta essere verso l’alto. D’altra parte, che la turbolenza provochi, in media, un flusso di soluto verso strati a minore ocncentrazione, verso l’alto nell’esempio illustrato ora, è altrettanto comprensibile per via elementare, se si osserva che al trasferiemnto di volumi di soluzione proveninenti da strati a maggiore concentrazione si accompagna, di norma, un passaggio di quantità di soluto maggiori di quelle che si hanno nel caso di trasferimento inverso di uguali volumi di soluzione da strati a minore concentrazione.

Tale è l’effetto del processo di mescolamento (mixing). Ne consegue che la media del prodotto di due termini di agitazione non è nulla.

La diffusione turbolenta (segue)

Pertanto, in definitiva, la (11.4a) diventa:

J_x=\overline{uC}=\overline{\bar u \bar C}+\overline{u'C'}=\overline{uC}+\overline{u'C'}~~~~~(11.4b)

dove si osserva che, rispetto al caso del moto laminare, è presente, accanto al flusso advettivo legato al moto medio, un flusso advettivo associato al fenomeno turbolento. Tale risultato può essere trasferito a qualsiasi altro flusso, indipendentemente dalla direzione considerata.

Pertanto, quando si opera la decomposizione di Reynolds sulla (10.2a), inizialmente, si ha:

\frac{\partial(\bar C+C')}{\partial t}+\frac{\partial (\bar u+u')\cdot (\car C+C')}{\partial x}+\frac{\partial (\bar v+v')\cdot (\bar C+C')}{\partial y}+\frac{\partial (\bar w+w')\cdot (\bar C+C')}{\partial z}=D_m\cdot \left[\frac{\partial^2(\bar C+C')}{\partial x^2}+\frac{\partial^2(\bar C+C')}{\partial y^2}+\frac{\partial^2(\bar C+C')}{\partial z^2}\right]~~~~~(11.5a)

che, dopo aver svolto tutti i prodotti, mediato lungo la scala temporale integrale TI e considerato il risultato mostrato nella (11.4b), diventa:

\frac{\partial \bar C}{\partial t}+\frac{\partial (\bar u \bar C)}{\partial x}+\frac{\partial (\bar v \bar C)}{\partial y}+\frac{\bar w \bar C}{\partial z}+\frac{\partial \overline{(u'C')}}{\partial x}+\frac{\partial \overline{(v'C')}}{\partial y}+\frac {\partial\overline{(w'C')}}{\partial z}=D_m\cdot\left[\frac{\partial^2\bac C}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \bar C}{\farc{\partial y^2}}+\frac{\partial^2\bar C}{\partial z^2}\right]~~~~~(11.5b)

La diffusione turbolenta (segue)

Nella (11.5b) ci sono 4 gruppi di termini. Il primo rappresenta, come già visto in precedenza, la variabilità locale della concentrazione, mentre il secondo è il flusso advettivo, legato al moto medio, che fornisce un contributo alla variabilità locale tanto più grande quanto più grandi sono le velocità e le concentrazioni medie locali e le loro variabilità spaziali. Il quarto rappresenta il contributo della diffusione molecolare, equivalente a quello di un moto ideale, privo di turbolenza, con concentrazione istantanea C pari al valore medio locale del moto reale. Tale termine è, dal punto di vista quantitativo, quasi sempre molto piccolo rispetto a quelli presenti al primo membro, per cui è spesso trascurato. Il terzo gruppo di termini è costituito dalle medie temporali dei prodotti delle componenti di agitazione della velocità e della concentrazione ed esprime, come già chiarito prima, il contributo del fenomeno turbolento al flusso advettivo.

La diffusione turbolenta (segue)

Dal punto di vista analitico, come nel caso delle equazioni di Navier-Stokes, la presenza della turbolenza introduce nella equazione del trasporto advettivo-diffusivo dei termini aggiuntivi che costituiscono delle ulteriori incognite da risolvere; si presenta, quindi anche qui il problema della chiusura. Va ricordato che nelle equazioni di Navier-Stokes tali termini aggiuntivi rappresentano, in pratica, degli sforzi aggiuntivi, gli sforzi di Reynolds, mentre nella (11.5b) essi esprimono i flussi advettivi turbolenti. Pertanto, come gli sforzi turbolenti sono stati messi in relazione con le caratteristiche idrodinamiche del moto medio, ossia con i gradienti delle componenti medie della velocità, si può pensare di legare, come proposto da Taylor, i flussi advettivi turbolenti ai valori di medi della concentrazione ed, in particolare, ai gradienti della concentrazione media lungo i tre assi. In altre parole, i termini advettivi turbolenti sono espressi analiticamente, in analogia con la diffusione molecolare, come dei flussi diffusivi di natura, però, turbolenta.

La diffusione turbolenta (segue)

Ciò è lecito su una scala temporale sufficientemente grande, corrispondente a quella integrale, dove la varianza della nuvola del tracciante cresce linearmente con il tempo e, quindi, trattandosi di un processo di tipo fickiano, si può porre:

\overline{u'C'}=-D_{t-x}\frac{\partial \bar C}{\partial x}

\overline{v'C'}=-D_{t-y}\frac{\partial \bar C}{\partial y}~~~~~~~~(11.6)

\overline{w'C'}=-D_{t-z}\frac{\partial \bar C}{\partial z}

Dove il il generico flusso turbolento \overline{u'\cdot C'} è messo in relazione con la corrispondente derivata parziale della concentrazione mediante un coefficiente, detto di diffusione turbolenta, variabile secondo i tre assi cartesiani. Tale ipotesi è alla base della teoria della diffusione turbolenta.

La diffusione turbolenta (segue)

Se si introducono tali flussi turbolenti diffusivi nella (11.5b), si ottiene l’equazione della diffusione advettiva in moto turbolento, nell’ipotesi di turbolenza stazionaria ed omogenea, che, nella forma detta anche forma conservativa, vale:

\frac{\partial \overline C}{\partial t}+ \frac{(\overline u \overline C)}{\partial x}+\frac{\partial{(\overline v \overline C)}}{\partial y}+ \frac{\partial{(\overline w \overline C)}}{\partial z}+\frac {\partial} {\partial x}\left (-D_{t-x}\frac{\partial \overline C}{\partial x }\right )+\frac \partial {\partial y}\left(-D_{t-y}\frac{\partial \overline C}{\partial y}\right)+\frac \partial {\partial z}\left(-D_{t-z}\frac{\partial \overline C}{\partial z}\right)=D_m \left[\frac{\partial^2\overline C}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2\overline C}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\overline C}{\partial z^2}\right]~~~~~(11.5c)

Se, infine, si introduce nella (11.5c) l’ipotesi di incomprimibilità del fluido, si raggruppano al secondo membro tutti i termini diffusivi, si trascura il contributo della diffusione molecolare e nell’ipotesi che i le diffusività turbolento siano costanti lungo i tre assi, essa diventa:

\frac{\partial \bar C}{\partial t}+\bar u \frac{\partial \bar C}{\partial x}+\bar v\frac{\parial \barC}{\partial y}+\bar w\frac{\partial \bar C}{\partial z}=D_{t-z}\frac{\partial^2\bar C}{\partial x^2}+D_{t-y}\frac{\partial^2\bar C}{\partial y^2}+D_{t-z}\frac{\partial^2\bar C}{\partial z^2}~~~~~(11.5d)

che è l’espressione completa dei meccanismi di trasporto delle sostanze disciolte e/o sospese nei corpi idrici o equazione della diffusione advettiva turbolenta tridimensionale. Tale equazione, assieme alle precedenti a partire dalla (11.5d), costituisce la base dello studio della maggior parte dei fenomeni di mescolamento (mixing).

Le zone di mescolamento

Nel processo di mescolamento a valle di una immissione puntuale, è opportuno distinguere fra 3 zone:

  • zona di mescolamento iniziale (near-field), nella quale un tracciante immesso da una sorgente istantanea si diffonde in tutte e tre le direzioni mentre viene trasportato a valle, per cui è necessaria l’equazione del trasporto tridimensionale. In tale zona può essere necessario, a secondo del tipo di sorgente, tenere conto anche dell’effetto del galleggiamento. Nella zona di mescolamento iniziale si può allineare l’asse delle x con la direzione del moto, per cui si ha che v=w=0. Inoltre, nel caso di una sorgente stazionaria, il termine locale si annulla ed il gradiente di concentrazione longitudinale diventa trascurabile, per cui l’equazione generale diventa:
\bar u \frac{\partial \bar C}{\partial x}=\frac \partial {\partial y}\left(D_{t-y}\frac{\partial \bar C}{\partial y}\right)+\frac \partial {\partial z}\left(D_{t-z}\frac{\partial \bar C}{\partial z}\right)~~~~~(11.7)

Le zone di mescolamento

  • zona di mescolamento intermedio (mid-field), nella quale i gradienti di concentrazione lungo la verticale sono piccoli e, quindi, si devono considerare solo i cambiamenti in direzione trasversale ed in direzione longitudinale del valore mediato lungo la profondità della concentrazione. Il problema può essere semplificato e reso bidimensionale mediando lungo la profondità la (11.5d). In tale zona non è sempre possibile allineare l’asse delle x con la direzione principale del moto, in quanto ci sono correnti secondarie e, quindi, occorre tenere conto anche del processo advettivo secondo la y. Nel caso di una sorgente istantanea occorre considerare la dispersione sia trasversale che longitudinale, mentre nel caso di sorgente stazionaria quest’ultima può essere trascurata;
  • zona di mescolamento a distanza (far-field), nella quale i gradienti di concentrazione trasversali sono poco significativi e, quindi, si può fare riferimento ad un valore medio di sezione della concentrazione in modo da ottenere un modello monodimensionale. Se la sorgente è stazionaria, il soluto non è reattivo e non ci sono ingressi di portata, la concentrazione della sostanza è costante; se, invece, si ha una sorgente istantanea, l’equazione monodimensionale che si ottiene può essere utilizzata per studiare la dispersione longitudinale advettiva, come illustrato in dettaglio più avanti.

La dispersione nello shear flow

Il fenomeno chiamato dispersione longitudinale o shear flow dispersion si verifica quando sono presenti:

  • un processo di trasporto advettivo, caratterizzato dalla presenza di un profilo trasversale non-uniforme della velocità (shear flow);
  • un processo di trasporto diffusivo, sia solo di tipo molecolare che anche, come nella maggior parte dei casi, di tipo turbolento, in direzione trasversale al trasporto advettivo;
  • un qualsiasi soluto, quale un contaminante o un tracciante, trasportato e diffuso.

In linea generale, all’interno di un canale, la distribuzione della velocità non è costante né lungo la profondità né lungo la larghezza del canale stesso (Fig.11.2); tale condizione determina una condizione di moto che è chiamata shear flow.

Fig. 11. 2 – Dispersione longitudinale

Fig. 11. 2 - Dispersione longitudinale


La dispersione nello shear flow (segue)

Per chiarire il meccanismo fisico della dispersione, si consideri ora, per semplicità, il caso di un canale, dove la velocità ha un andamento non uniforme solo lungo la verticale (Fig.11.3).
Se un tracciante o un contaminante è immesso in modo da avere una distribuzione uniforme lungo la sezione trasversale all’ascissa 1, non essendoci alcun gradiente di concentrazione lungo la verticale, non si produrrà alcun flusso diffusivo in tale direzione. Pertanto, il tracciante si muoverà verso valle ed il suo profilo di concentrazione tenderà a modificarsi per effetto delle diverse velocità presenti lungo la profondità del canale, fino ad assumere l’andamento dell’ascissa 2. A questo punto, però, vi è un significativo gradiente verticale della concentrazione e, quindi, un flusso diffusivo netto lungo la verticale che tende a bilanciare la distorsione del profilo della concentrazione indotta dallo shear flow.

Fig. 11.3 – Dispersione longitudinale in uno shear flow

Fig. 11.3 - Dispersione longitudinale in uno shear flow


La dispersione nello shear flow (segue)

Va osservato che se la diffusione trasversale fosse per qualche motivo trascurabile, l’effetto dello shear flow sarebbe quello di continuare a distorcere indefinitamente il profilo del tracciante come mostrato nella Fig.11.3. Pertanto, se la differenza di velocità lungo la profondità fosse pari a Δu, dopo un certo tempo Δt, il tracciante si troverebbe disposto lungo il canale per una lunghezza L dell’ordine di:

L=\Delta u\Delta t~~~~~(11.8)

dove la lunghezza della nuvola cresce linearmente con il tempo; tale lunghezza è legata secondo una legge lineare con la deviazione standard e, quindi, la (11.8) implica che la varianza della nuvola del tracciante cresce con il quadrato del tempo. In realtà, ciò accade soltanto nei primi istanti dopo l’immissione del tracciante, laddove sui tempi più lunghi tale crescita della varianza avviene con andamento via via decrescente, che approssima, alla fine, una legge di tipo lineare. Tale comportamento trae origine proprio dall’interazione fra lo shear flow e la diffusione traversale; lo shear flow tende a distorcere il profilo, fino a creare un gradiente di concentrazione che produce un trasporto diffusivo turbolento che tende a bilanciare l’effetto del gradiente di velocità presente (shear flow), per cui alla fine la (11.8) non è valida.

La dispersione nello shear flow (segue)

Pertanto, man mano che il volume occupato dal tracciante si allunga, la diffusione trasversale tende a ridurre tale gradiente per cui la concentrazione media tende ad avere un valore massimo via via minore assumendo l’andamento tipico di una gaussiana, come all’ascissa 3. Il profilo della concentrazione nell’ascissa 3 presenta un’ampiezza lungo l’asse del canale molto maggiore di quella legata all’azione della sola diffusione longitudinale, per cui, in definitiva, l’effetto della presenza dello shear flow incrementa il processo di trasporto del tracciante in direzione longitudinale. Va osservato che, il fenomeno della dispersione longitudinale si affianca e sovrappone al processo di diffusione, di tipo soltanto molecolare o anche di tipo turbolento, che ha luogo nella direzione longitudinale a prescindere dalla presenza o meno dello shear flow. In molti casi l’entità del trasporto longitudinale legato alla dispersione è molto maggiore di quella del trasporto longitudinale causato dalla diffusione longitudinale, per cui quest’ultimo processo può essere trascurato.

La dispersione nello shear flow (segue)

Si può dimostrare che la dispersione longitudinale può essere rappresentata analiticamente da un termine del tipo:

D_L\frac{\partial ^2C}{\partial x^2}~~~~~(11.9)

dove DL è il coefficiente di diffusione, detto anche coefficiente di dispersione longitudinale, di tale processo, legato, come si è visto, alla presenza di un trasporto advettivo a velocità variabile (shear flow) e di trasporto diffusivo in direzione trasversale al moto advettivo. Tale risultato mette anche in evidenza come il processo dispersivo abbia, in definitiva, un carattere monodimensionale.
L’analisi proposta da Taylor porta, appunto, a definire una equazione di tipo monodimensionale:

\frac{\partial \bar C}{\partial t }+\bar u \frac{\partial \bar C}{\partial x}=\frac \partial {\partial x}\left(D_L\frac{\partial \bar C}{\partial x}\right)~~~~~(11.10)

che è l’equazione monodimensionale della dispersione advettiva.

I coefficienti di mescolamento nei fiumi

Per stimare i coefficienti di mescolamento in un fiume va considerato che la corrente fluviale sia in moto turbolento, caratterizzato da strutture vorticose di diverse dimensioni e caratteristiche che si sovrappongono al moto medio della corrente; sono tali strutture a determinare il mescolamento del refluo nella corrente ed il loro effetto è portato in conto da un coefficiente di diffusività turbolenta Dt che ha dimensioni pari a [L2·T-1] ed è proporzionale al prodotto di una velocità UT e di una lunghezza LT caratteristiche del processo, ossia: D_t\propto L_T U_T

Di solito, nei fiumi la larghezza W è maggiore del tirante idrico h, per cui il rapporto W/h, chiamato rapporto di forma (aspect ratio), è sempre >1; inoltre, nel fiume si stabilisce un equilibrio fra la componente del peso della corrente nella direzione del moto, pari a γ·h·sen α, doveγ è il peso specifico dell’acqua ed α è la pendenza del fiume, e lo sforzo τb alle pareti del corso d’acqua (Fig.11.4). A partire dallo sforzo alle pareti, si ricava una velocità caratteristica della parete, u*, detta per questo velocità di attrito alla parete (shear velocity o friction velocity), che è, per motivi di carattere dimensionale, pari a (τb/ρ)0.5; tale velocità può essere assunta come velocità caratteristica delle strutture vorticose turbolente, anche perché misure sperimentali hanno confermato che essa è proprio proporzionale alla velocità di agitazione dei vortici turbolenti.

Fig. 11. 4 – Mescolamento verticale di uno scarico di un fiume

Fig. 11. 4 - Mescolamento verticale di uno scarico di un fiume


I coefficienti di mescolamento nei fiumi (segue)

Per definire la lunghezza caratteristica LT si può osservare che le strutture vorticose proporzionali al tirante idrico h sono quelle più efficaci ai fini del mescolamento turbolento; tali strutture sono caratterizzate da una certa anisotropia spaziale, in quanto la loro dimensione lungo la verticale è più ridotta di quella trasversale, secondo l’asse y. In definitiva, si ha che il coefficiente di diffusione turbolenta vale:

D_t=\beta h u^*~~~~~(11.11a)

dove β è un coefficiente numerico, da determinare, che, in linea di principio, per l’anisotropia del processo turbolento, varia secondo le tre direzioni spaziali.
Nel caso del mescolamento verticale, considerazioni di tipo teorico, poi confermate da misure sperimentali, hanno dimostrato che il coefficiente β vale 0.0067, per cui:

D_{t-vert}=0.067 h u^ *~~~~~(11.11b)

Nel caso del mescolamento trasversale, ai fini della scelta del valore del coefficiente β, occorre fare differenza fra alvei ad asse rettilineo, alvei ad asse meandriforme e tratti in curva:

D_{t-trasv}=0.16 hu^*~~~~~~~~~~\text{alvei ad asse rettilineo}

D_{t-trasv}=0.3-0.9 hu^*~~~~~\text{alvei ad asse meandriforme}~~~~~(11.11c)

D_{t-trasv}=1.0-3.0 hu^*~~~~~\text{tratti in curva}

I materiali di supporto della lezione

C.GUALTIERI (2006). Appunti di Idraulica Ambientale. CUEN Editore, 2006, pp.410 (ISBN 88-7146-717-5)

B. CUSHMAN-ROISIN (2003), Environmental fate and transport, Lecture Notes, Darmouth College, Hanover, NH, USA

S.A.SOCOLOFSKY E G.H.JIRKA (2002), Environmental Fluid Mechanics. Part I: Mixing, Transport and Transformation, Engineering Lectures, Institut für Hydromechanik, University of Kalsruhe, Germany

J.C.RUTHERFORD (1994), River mixing, John Wiley&Sons, Chichester, U.K., pp.348

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