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Carlo Gualtieri » 14.Distribuzione della velocità in un canale. Circolazione nei laghi

Distribuzione della velocità in un canale

La distribuzione della velocità in una corrente a pelo libero è influenzata dalla forma del fondo del canale; inoltre, la particolare geometria della sezione trasversale del canale, le sue pareti, l’eventuale andamento meandriforme ed altri fattori determinano la formazione di correnti secondarie. Tutte queste situazioni sono piuttosto complesse e anche caratteristiche di ogni tratto del canale, per cui, nel seguito, si farà riferimento, per semplicità, al caso del moto uniforme in un canale con sezione larga e rettangolare ed asse rettilineo. La Fig.14.1 mostra l’andamento della velocità all’interno della sezione trasversale di alcuni tipi di canali a pelo libero. I canali a pelo libero sono, comunque, di solito, più larghi che profondi ed al loro interno il moto ha luogo prevalentemente nella direzione orizzontale, con una modesta componente verticale; in particolare, il rapporto fra la componente orizzontale e quella verticale è all’incirca simile a quello fra larghezza e profondità (aspect ratio). In tali condizioni, si viene a creare inevitabilmente un attrito fra il movimento orizzontale ed il fondo del canale, che tende a creare un certo profilo della velocità lungo la verticale, il quale presenta, ovviamente, un valore nullo in corrispondenza del fondo. Tale situazione caratterizza il moto del canale come uno shear flow. In termini matematici, se u è la componente orizzontale della velocità e z è la distanza dal fondo, la funzione u(z) rappresenta, appunto, il profilo della velocità e la derivata du/dz è il gradiente verticale (vertical shear).

Fig. 14.1 - Distribuzione della velocità nella sezione trasversale di canali a pelo libero

Distribuzione della velocità in un canale (segue)

Viene adesso definita, sulla base dell’analisi dimensionale, la distribuzione della velocità in canale a pelo libero a fondo sia liscio che scabro, ossia del profilo della velocità lungo la verticale.
In questa dimostrazione qualitativa si può partire osservando che nella stragrande maggioranza dei casi il moto nei canali è turbolento, con la conseguente variabilità su scala spaziale e temporale dello shear flow su fondo liscio o scabro, che può essere osservata più efficacemente attraverso misure di laboratorio piuttosto che di campo. Le indagini effettuate in laboratorio su canali rettilinei lisci in moto turbolento hanno messo in evidenza che la velocità varia soltanto in funzione dello sforzo tangenziale sul fondo τ_b, la viscosità dinamica μ, la densità del fluido z e la distanza dalla parete z. Pertanto, si può scrivere che:

$u(z)=f(\tau_b, \mu, \rho,z)~~~~~(14.1a)$

che può essere modificata e trasformata in una funzione puramente cinematica, dividendo per la densità ρ:

$u(z)=f\left(\frac{\tau_b}{\rho}, \frac{\mu}\rho,z\right)=f\left(\frac{\tau_b}\rho,v,z\right)~~~~~(14.1b)$

dove il rapporto τ_b/ρ ha le dimensioni di [L²·T^-2]; tale rapporto è proporzionale alla velocità di attrito alla parete u*, che vale, come è noto, u*=(τ_b/ρ)^0.5, e che, dal punto di vista fisico, è legata alla velocità orbitale dei vortici turbolenti che determinano il trasporto trasversale di particelle fluide e di quantità di moto. Pertanto, la (14.1b) diventa:

$u(z)=f(u^*,v,z)~~~~~(14.1c)$

Distribuzione della velocità in un canale

Che può essere, infine, trasformata nella forma adimensionale:

$\frac{u(z)}{u^*}=f\left(\frac{zu^*}v\right)~~~~~(14.1d)$

ovvero:

$u^+=f(z^+)~~~~~(14.1e)$

dove, appunto, u⁺ e z⁺ sono, rispettivamente, la velocità adimensionale e la distanza adimensionale dal fondo del canale.
Le numerose indagini sperimentali svolte per identificare il tipo di funzione che lega questi due parametri hanno fornito l’andamento mostrato in Fig.14.2, dove si osserva che l’andamento di u⁺ con il logaritmo di z⁺ è, nell’ambito di due ordini di grandezza della z⁺, ossia fra 10 e 10³, di tipo lineare, confermando, inoltre, che non ci sono altri parametri da considerare. L’esistenza di questa relazione lineare in un diagramma semilogaritmico porta a concludere che la velocità adimensionale u⁺ dipende dal logaritmo della distanza adimensionale z⁺.

Fig. 14.2 - Legge logaritmica della distribuzione della velocità

Distribuzione della velocità in un canale (segue)

Si può, quindi, scrivere la classica legge logaritmica della distribuzione della velocità o legge di parete:

$u^*=Aln(z^+)+B~~~~~(14.2a)$

dove A e B sono due costanti che devono essere determinate per via sperimentale e che, con un errore inferiore al 5%, valgono in un canale liscio, rispettivamente, 2.44 e 5.20, anche se spesso sono posti pari a 2.5 e 5.5. Molto spesso, la (14.2a) è proposta nella forma:

$u(z)=\frac{u^*}k ln \frac{zu^*}v+5.2u^*~~~~~(14.2b)$

ovvero:

$\frac{u(z)}{u^*}=\frac 1 k ln \frac{zu^*}v+5.2~~~~~(14.2c)$

dove k=1/A=0.41 è la ben nota costante di Von Kármán, il cui reciproco è pari a 2.44.
Nei pressi della parete, i vortici turbolenti sono attenuati e, quindi, come si osserva sperimentalmente, la legge logaritmica non vale più; in tale posizione occorre tenere conto della viscosità del fluido e lo sforzo tangenziale è costante e la velocità adimensionale u⁺ cresce linearmente con la distanza adimensionale dalla parete z⁺.
Nel caso di una parete scabra, se k è la scabrezza della parete, la legge logaritmica vale:

$u^+=\frac 1 k ln\left(\frac z k \right)+8.5=2.5ln\left(\frac z k \right)+8.5~~~~~(14.3)$

La circolazione nei laghi

Il movimento dell’acqua in un lago è di solito decisamente più complesso di quello in un canale a pelo libero per effetto sia delle dimensioni, sia orizzontali sia verticali, molto più grandi, sia della maggiore varietà di forzanti che influenzano il campo di moto. Infatti, oltre alla gravità, che è la principale causa del moto in un canale a pelo libero, occorre tenere conto, in un lago, del moto determinato dall’azione del vento sulla superficie, da variazioni della pressione atmosferica, dalla presenza di ingressi od uscite di portate idriche e dai fenomeni convettivi, determinati da variazioni di densità all’interno del corpo idrico. Inoltre, il volume idrico del lago cambia per effetto di fattori di tipo idrologico legati al runoff superficiale, alle precipitazioni meteoriche ed alla evaporazione. Infine, se il lago è sufficientemente largo occorre tenere conto anche della forza di Coriolis, legata alla rotazione della Terra. La complessità del problema rende, quindi, molto difficile o impossibile ottenere delle soluzioni analitiche delle equazioni che governano il moto dell’acqua in un lago, che in molti casi devono essere scritte in forma tridimensionale per una completa descrizione del sistema che si intende studiare. Ciò rende necessario l’impiego di metodi numerici per la modellazione della circolazione idrica in laghi e serbatoi, fra cui quelli prima descritti, i quali possono essere applicati alle equazioni di base, che sono sempre quelle della continuità e di Navier-Stokes, fornendo delle opportune condizioni al contorno.

Fig.14.3 – Processi che influenzano la velocità in un lago.

La circolazione nei laghi (segue)

Anche nei problemi di qualità delle acque occorre simulare l’andamento della velocità e della temperatura all’interno del lago utilizzando dei modelli idrodinamici di circolazione, i quali forniscono informazioni sui processi di trasporto in corso nel corpo idrico che vanno, poi, a sovrapporsi ai processi di trasformazione in atto per determinare lo stato di qualità del corpo idrico. La temperatura è, inoltre, di per sé un parametro di rilevante interesse ambientale, in quanto molti processi di trasformazione sono influenzati dal valore della temperatura. Un modello idrodinamico può essere costruito considerando tutti i processi che entrano in gioco nel campo di moto e nel campo della temperatura (Fig.14.3). Il vento che soffia sulla superficie idrica trasmette all’acqua uno sforzo tangenziale (wind shear) che si traduce in onde e correnti; inoltre, se esso è stabile, si possono creare dei moti oscillatori, detti moti di seiche (seiche motions), dove la distribuzione della pressione si modifica per bilanciare lo sforzo tangenziale legato al vento. Inoltre, se il lago è sufficientemente ampio, ci possono essere variazioni del tirante idrico per effetto di variazioni della pressione atmosferica su larga scala, mentre la presenza di immissioni od emissioni da o verso fiumi può modificare in maniera significativa il locale campo di velocità ed i moti convettivi, legati allo scambio termico attraverso la superficie del lago, possono raggiungere il fondo del corpo idrico, anche nel caso di laghi molto profondi. Infine, l’eventuale presenza di una copertura di ghiaccio in alcuni periodo dell’anno è un elemento che va considerato nella modellazione idrodinamica per i suoi effetti sullo scambio di calore e di quantità di moto attraverso la superficie del lago.

La circolazione nei laghi (segue)

Le dimensioni della maggior parte dei laghi rendono praticamente impossibile modellare direttamente tutti i possibili tipi di movimento; al contrario, prima di costruire un modello occorre scegliere la scala spaziale più opportuna per simulare il problema che si intende studiare, tenendo conto anche delle risorse di calcolo disponibili. Ad esempio, non è certamente molto ragionevole modellare i processi turbolenti su una scala di qualche centimetro o ancora meno in un lago lungo decine o centinaia di chilometri. Qualsiasi sia la scala del modello prescelta, è necessario sviluppare uno schema di chiusura per rappresentare adeguatamente i processi che hanno luogo su una scala inferiore a quella del modello; in alternativa, in molti casi, si può supporre che tutte le variabili del moto siano omogenee all’interno della griglia di calcolo del modello.

La circolazione nei laghi (segue)

E’ chiaro che il più semplice tipo di modello è quello che considera il lago come una scatola, dove tutte le grandezze assumono lo stesso valore; in tal caso, si dice che il lago è completamente miscelato, ossia assolutamente omogeneo, ed il relativo modello è chiamato CSTR (continuous stirred tank reactor), vale a dire reattore a serbatoio miscelato in continuo. In questo caso, tutte le forze agenti possono essere applicate al lago come ad un unico volume, mentre gli scambi di calore attraverso il pelo libero, gli ingressi e le uscite di portate idriche sono rappresentate come dei termini pozzo e sorgente per tutte le variabili simulate, come temperatura, concentrazioni, etc. In tal caso, se si vuole, ad esempio, valutare la variazione del volume idrico del lago, basta scrivere una semplice equazione di bilancio di massa per la portata idrica:

$\frac{dVOL}{dt}=\sum (Q_{in}-Q_{out})+RunOff+(1-E-F)Area~~~~~(14.4)$

dove VOL è il volume del lago, Q_in e Q_out sono le portate idriche in ingresso ed in uscita, RunOff è la portata legata al runoff superficiale, I la velocità di precipitazione meteorica, E è il tasso di evaporazione, mentre F è il tasso di infiltrazione (seepage) ed Area è l’area della superficie del lago; va notato che tutte le variabili idrologiche, ossia I, E ed F, hanno le dimensioni di una lunghezza diviso un tempo, ossia di una velocità.
La (14.4) può essere facilmente adattata per valutare la variazione nel tempo di altre grandezze, come, ad esempio, la concentrazione di un certo contaminante che si intende studiare, che è dal punto di vista dimensionale una massa divisa per un volume, semplicemente moltiplicando ciascuno dei termini della (14.4) per la corrispondente concentrazione. Se tale contaminante è reattivo, occorre, poi, anche aggiungere i termini che esprimono le sue trasformazioni chimiche o biologiche. In entrambi i casi si ottiene una equazione del bilancio di massa per il contaminante considerato.

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Nei casi più generali occorre utilizzare dei modelli tridimensionali, i quali risolvono le equazioni della continuità e del moto senza effettuare nessuna operazione di media lungo qualche direzione preferenziale. Anch’essi, come appena visto per i modelli shallow water, presentano il problema di determinare il valore del coefficiente di viscosità cinematica turbolenta, che, ovviamente, non è più solo quello lungo l’orizzontale. Infatti, tali modelli tengono conto anche del mescolamento lungo la profondità del lago, legato sia a gradienti di velocità lungo la verticale sia a moti convettivi; infine, nel caso di laghi ed invasi di notevoli dimensioni, anche qui occorre considerare i termini legati alla rotazione della Terra.

Fig.14.4 – Modello tridimensionale a due strati di un lago

La circolazione nei laghi (segue)

I modelli tridimensionali più semplici schematizzano il lago come costituito da una serie di strati. In alcuni casi, laddove sia presente in maniera ben definita una zona di termoclinio, è possibile considerare il lago come formato da due soli strati sovrapposti, delimitati appunto dal termoclinio, che svolge, quindi, la funzione di confine fra essi (Fig.14.4). All’interno di ciascuno strato vi è un completo mescolamento verticale, per cui la circolazione in ogni strato può essere simulato attraverso un modello bidimensionale. Ovviamente occorre incorporare nel modello le interazioni esistenti fra i due strati. La presenza di ulteriori strati può servire a portare in conto dei gradienti verticali esistenti su una scala più piccola. E’ chiaro che se il corpo idrico è discretizzato attraverso un numero elevato di strati, il modello può essere considerato pienamente tridimensionale.