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Carlo Gualtieri » 2.Le Grandezze dell'Idraulica Ambientale


Generalità

Lo studio dell’Idraulica Ambientale richiede la conoscenza, accanto alle proprietà ed alle grandezze proprie dell’Idraulica, quali, ad esempio, la densità e la viscosità, che qui vengono comunque di nuovo illustrate, anche di altre che le sono peculiari.
Le grandezze qui trattate sono di tipo sia intensivo che estensivo.

Le proprietà estensive sono proprietà additive, quali la superficie, il calore, il volume e la massa; assegnata, ad esempio, una certa massa di fluido, sono proprietà estensive tutte quelle la cui misura dipende dalla quantità di massa presente, quali quantità di moto, energia cinetica, etc.

Sono, invece, proprietà intensive quelle indicative delle dimensioni di un sistema, come la temperatura, la densità e la pressione, o, ancora, una serie di proprietà estensive qualora esse siano riferite all’unità di massa.

Ad esempio, alla quantità di moto, grandezza estensiva, corrisponde la velocità, grandezza intensiva, all’energia cinetica, il termine V²/2.

Generalità (segue)

Sia B la quantità totale di un certa grandezza estensiva associata ad un certa massa e b la corrispondente proprietà intensiva, generalmente variabile da elemento a elemento della massa considerata. La grandezza intensiva, per definizione, deve essere

b=\frac{dB}{dm}~~~~~~(2.1)
dove dm è la massa infinitesima. Ne risulta che dB=bdm, ossia, se ρ è la densità e dW il volume elementare:
B=\int_m bdm=\int_W \rho bdW~~~~~(2.2)

L’ipotesi del continuo

Un concetto preliminare molto importante nello studio dell’Idraulica e dell’Idraulica Ambientale va sotto il nome di ipotesi del continuo.
E’ noto, infatti, che un fluido, essendo costituito da miliardi di molecole disposte in un volume piccolo, è un mezzo discontinuo; tuttavia, nello studio dell’Idraulica Ambientale, tale circostanza viene trascurata e si fa l’ipotesi che qualsiasi proprietà del fluido in quel volume possa essere trattata come se il mezzo fosse continuo, ossia possa variare con continuità da un punto ad un altro nel mezzo.

Per chiarire meglio il senso di questa ipotesi, si consideri, ad esempio, la velocità in un certo punto del fluido. La sua struttura è, come già detto prima, costituita da molecole ed atomi in moto più o meno casuale che si trovano ciascuna dalle altre ad una distanza, chiamata percorso libero medio Lmfp (mean free path), che rappresenta la distanza media che ciascuna molecola percorre prima di collidere un’altra molecola. Poichè i volumi di fluido considerati nei problemi applicativi presentano dimensioni sicuramente molto maggiori del percorso libero medio di una singola molecola di fluido; si può ignorare la struttura molecolare del fluido e considerarlo come un sistema continuo, associando ad ogni volume, anche piccolo ma maggiore di zero e contenente un insieme non troppo piccolo di molecole, quelle proprietà macroscopiche, quali velocità, temperatura, etc., che siamo soliti attribuire al fluido nel suo insieme.

Definizione di fluido

Possiamo adesso definire cosa è un fluido e in che maniera differisce da un solido.
Un solido ha una forma rigida che può essere modificata, determinando una deformazione, di solito modesta, soltanto applicando ad esso delle tensioni di una certa entità (Fig. 2.1 a). I diversi tipi di solido presentano una differente relazione fra tensioni e deformazioni, che è detta legge costitutiva del materiale. Il solido resta in una certa forma in equilibrio con le tensioni applicate e tende a ritornare, almeno entro un certo limite, detto limite di elasticità, nella condizione preesistente quando tali tensioni sono annullate.

Fig. 2.1: Deformazione di un solido e di un fluido. Immagine da J. McDONOUGH (2009). Lectures in elementary Fluid Dynamics: Physics, Mathematics and Applications.

Fig. 2.1: Deformazione di un solido e di un fluido. Immagine da J. McDONOUGH (2009). Lectures in elementary Fluid Dynamics: Physics, Mathematics and Applications.


Definizione di fluido (segue)

Un fluido è, invece, un corpo materiale che, a causa della mobilità delle particelle che lo compongono, può subire delle grandi variazioni di forma sotto forze di minima entità (Fig. 2.1 b), che tendono a diventare trascurabili quando la velocità con cui avviene la deformazione tende ad annullarsi; in particolare, un fluido in quiete non oppone alcuna resistenza ai cambiamenti di forma. Anche qui esistono diverse relazioni fra tensioni e deformazioni per i vari fluidi. Le deformazioni di un fluido sono permanenti, ossia non scompaiono una volta rimosse le forze che le hanno provocate. Inoltre, i fluidi di solito non sono in grado di resistere a tensioni di trazione, mentre in molti casi essi resistono molto bene agli sforzi di compressione.

Possiamo definire lo sforzo tangenziale medio come il rapporto fra la forza applicata F e la superficie di applicazione A, ossia:
\stackrel{\rightarrow}\tau=\frac{\stackrel{\rightarrow}F}A~~~~(2.3)

Definizione di fluido (segue)

Infine, nell’ambito dei fluidi, in relazione al comportamento di fronte alle forze che tendono a modificarne il volume, si fa distinzione fra:

  • liquidi, che oppongono grande resistenza alle variazioni di volume, ossia sono poco comprimibili, per cui, posti in un recipiente, ne occupano solo una parte, quella inferiore e presentano una superficie a contatto, detta libera, con l’atmosfera sovrastante;
  • gas che, invece, variano facilmente di volume, ossia sono facilmente comprimibili, e tendono ad occupare tutto lo spazio del recipiente che li ospita.

Massa, densità e peso specifico

La quantità di un qualsiasi solido e soluto presente in un sistema naturale è rappresentata dalla sua massa, che è una proprietà estensiva.

Nel caso di un fluido, la densità ρ misura la massa contenuta nell’unità di volume, vale a dire:
\rho=\frac{\Delta m}{\Delta V}~~~~~(2.4)
se ΔV è il volume finito di fluido e Δm è la sua massa. Dal punto di vista dimensionale la densità è [M·L] e la sua unità di misura nel S.I. è, pertanto, il kg/m³.
Il peso specifico γ fornisce il peso dell’unità di volume:
\gamma=\rho g~~~~(2.5)
dove g è il modulo dell’accelerazione di gravità, che vale circa 9.806 m/s²; dal punto di vista dimensionale il peso specifico è [F·L] e, perciò, nel S.I. è misurato in N/m³.

Massa, densità e peso specifico (segue)

La densità ed il peso specifico di un fluido sono funzioni sia della pressione p che della temperatura T e la relazione ρ = ρ (p, T) è detta equazione caratteristica o di stato del fluido.

I valori della densità e del peso specifico dell’acqua per temperature comprese fra i 5 °C ed i 30 °C sono in Tabella 2.1.

Tab. 2.1: Valori della tensione superficiale, densità, della viscosità dinamica, della viscosità cinematica dell’acqua e del coefficiente di diffusione molecolare dell’ossigeno in acqua con la temperatura.

Tab. 2.1: Valori della tensione superficiale, densità, della viscosità dinamica, della viscosità cinematica dell'acqua e del coefficiente di diffusione molecolare dell'ossigeno in acqua con la temperatura.


Comprimibilità

Un qualsiasi fluido modifica il suo volume e, quindi, la sua densità, al variare della pressione cui è sottoposto; nel caso dei liquidi si considera un modulo di comprimibilità cubica o modulo di elasticità di volume ε dato dal rapporto:
\epsilon=\frac{dp}{d\rho/\rho} ~~~~~~(2.6)
dove dp è l’incremento di pressione, mentre il denominatore dρ/ρ esprime la variazione di densità rispetto alla densità iniziale; ε nel S.I. è in N/m² e, per l’acqua, vale, alla temperatura di 10 °C, 2.03×109 N/m². Tale valore indica chiaramente quanto l’acqua sia poco comprimibile, infatti, per avere un aumento di densità di 0.1 cm³ in un litro di acqua occorre aumentare la pressione di 2×105 N/m².

Per tutti i liquidi, il modulo ε può essere praticamente ritenuto indipendente dalla pressione, mentre esso varia apprezzabilmente con la temperatura; per l’acqua ε aumenta di circa il 10% quando la temperatura passa da 0 °C a 30 °C.

Gli elevati valori di ε rendono lecito prescindere dalla comprimibilità dei liquidi nella maggior parte dei problemi pratici, nei quali si ipotizza che il liquido sia incomprimibile e, quindi, la densità ed il peso specifico siano indipendenti dalla pressione; nel caso, poi, di processi isotermici, si può concludere che l’equazione di stato dei liquidi diventa ρ=cost.

Viscosità

La viscosità è una proprietà di un fluido che è associata intuitivamente all’attrito interno ed comporta che le particelle di un fluido viscoso incontrano qualche difficoltà a scivolare le une sulle altre o su una superficie solida. Ciò può essere, come si vedrà più avanti, determinato dalla struttura interna, a livello molecolare, del fluido ed è associato all’esistenza di sforzi interni. Ciò, rispetto alla definizione di fluido proposta in precedenza, non deve stupire perché la resistenza di un fluido agli sforzi tangenziali e, quindi, alle deformazioni, è modesta, ma non nulla. C’è da aspettarsi che, sottoposti allo stesso sforzo tangenziale nelle stesse condizioni ambientali, l’acqua o l’aria si deformino più rapidamente del miele.

La legge di Newton vale:
\tau=-\mu \frac{du}{dn}~~~~~(2.7)
dove μ è detto coefficiente di viscosità dinamica, che afferma, quindi, che fra due strati di liquido a distanza dn, in moto con diverse velocità u e u+du, si crea uno sforzo tangenziale per unità di superficie che tende a rallentare lo strato più veloce ed accelerare quello più lento; infatti, il segno – sta ad indicare che lo sforzo τ possiede la direzione della velocità ma ha verso opposto per l’elemento superficiale verso cui le velocità vanno aumentando, ossia du/dn>0.

Viscosità (segue)

La legge di Newton mostra che le componenti tangenziali dello sforzo in un punto della massa fluida in moto dipendono, tramite la viscosità dinamica, solo dal gradiente di velocità nel punto ovvero dalla velocità di deformazione angolare, piuttosto che dalla deformazione angolare stessa, come avviene nei solidi elastici.

Negli sviluppi dell’Idraulica Ambientale risulta conveniente introdurre un’altra grandezza direttamente legata alla viscosità, ossia la cosiddetta viscosità cinematica ν data dal rapporto fra μ e ρ, misurata in m²/s.

I valori della viscosità dinamica e della viscosità cinematica dell’acqua per temperature comprese fra 5 °C e 30 °C sono in Tabella 1.
La viscosità trae origine su scala molecolare da due cause fisiche distinte, la coesione o attrazione fra le molecole e lo scambio di quantità di moto fra le molecole a seguito del loro scontrarsi. Ci si può aspettare che nella maggior parte dei liquidi, dove le molecole sono relativamente vicine, lo sforzo necessario ad allontanare le molecole fra loro, vincendo le attrazioni molecolari, sia predominante, importante, mentre nei gas, dove le molecole sono più distanti fra loro, ma si muovono ad alta velocità per l’agitazione molecolare, sia prevalente il meccanismo di collisione e di conseguente scambio di quantità di moto fra le molecole di due strati, che tende a ridurre la quantità di moto dello strato più veloce ed aumentare quella di quello più lento.

Viscosità (segue)

Ciò spiega perché, in linea generale, il coefficiente di viscosità sia funzione della temperatura del fluido e perché nei liquidi, dove prevale l’effetto dell’attrazione molecolare, che si riduce al crescere della temperatura, la viscosità diminuisce notevolmente al crescere della temperatura, mentre nei gas, dove prevale l’effetto dell’agitazione molecolare, che, al contrario, cresce con la temperatura, la viscosità cresce con la temperatura. Ad esempio, nel caso dell’acqua (Fig. 2.2), caratterizzata da una molecola polare con legami deboli, l’aumento della temperatura e, conseguentemente, dell’energia cinetica rende più facile la rottura dei legami polari, uno stato più disordinato e, quindi, un attrito interno ed una viscosità inferiori.

Fig. 2.2: Struttura dell’acqua al crescere della temperatura. Immagine da J. McDONOUGH (2009). Lectures in elementary Fluid Dynamics: Physics, Mathematics and Applications.

Fig. 2.2: Struttura dell'acqua al crescere della temperatura. Immagine da J. McDONOUGH (2009). Lectures in elementary Fluid Dynamics: Physics, Mathematics and Applications.


Viscosità (segue)

Nel caso di un gas posto all’interno di un recipiente chiuso (Fig. 2.3), si può immaginare che a basse temperature le collisioni fra le molecole dovute all’agitazione molecolare e, quindi, gli scambi di quantità di moto siano poco frequenti, ma al crescere della temperatura e, quindi, dell’agitazione molecolare, che rende le molecole capaci di coprire, in media, una maggiore distanza, esse diventano molto più probabili ed aumenta anche la quantità di moto scambiata durante ciascuna collisione, per cui si ha anche un aumento della viscosità del fluido.
In condizioni medie, la viscosità dell’aria è pari a 1.8×10-5 kg/ms mentre quella dell’acqua è pari a 1.021×10 kg/ms.

Fig. 2.3: Struttura di un gas al crescere della temperatura. Immagine da J. McDONOUGH (2009). Lectures in elementary Fluid Dynamics: Physics, Mathematics and Applications.

Fig. 2.3: Struttura di un gas al crescere della temperatura. Immagine da J. McDONOUGH (2009). Lectures in elementary Fluid Dynamics: Physics, Mathematics and Applications.


Viscosità (segue)

La viscosità è la proprietà di un fluido che controlla il trasporto della quantità di moto all’interno della massa fluida. Tale processo può essere inteso come una diffusione o mescolamento su scala molecolare della quantità di moto; su tale scala, può avere luogo anche il trasporto o diffusione della massa e del calore.

Va osservato che non tutti i fluidi seguono la legge di Newton, ma alcuni sono caratterizzati da relazioni analitiche più complesse. In generale, un fluido in cui la viscosità è indipendente dagli sforzi sia tangenziali sia normali, ossia dal movimento e dalla velocità di deformazione angolare, è detto fluido newtoniano, dove il legame fra lo sforzo tangenziale τ e la velocità di deformazione angolare è una retta passante per l’origine e coefficiente angolare μ. Laddove tale relazione è diversa e più complessa, nel senso che non è una retta o non passa per l’origine, si parla di fluido non-newtoniano.

Tensione  superficiale. Adesione

Le forze con cui molecole vicine di un liquido si attraggono non hanno risultante nulla per le molecole che si trovano sulla superficie di separazione da un gas o da un altro liquido o, più in generale, fra due fluidi non miscibili; in corrispondenza di tale interfaccia o pelo libero, se in aria, sono, quindi, presenti degli sforzi contenuti nel piano tangente all’interfaccia che hanno il nome di tensione superficiale. In altre parole, la presenza di una interfaccia modifica la struttura tridimensionale delle forze di coesione che tendono a concentrarsi nelle due direzioni dell’interfaccia, determinando un incremento di pressione, che è una grandezza per definizione relativa a sforzi agenti su una superficie.

La tensione superficiale si riduce al crescere della temperatura; I valori della tensione superficiale dell’acqua per temperature comprese fra 5 °C e 30 °C sono in Tabella 2.1.

Un altro effetto della tensione superficiale è relativo al fenomeno della adesione che è la proprietà per cui le molecole liquide a contatto con un corpo solido resistono entro certi limiti a sforzi di trazioni tendenti a staccarle da esso. Si considerino i due casi in Fig. 2.4; l’interazione fra il gas ed il liquido, che si manifesta attraverso la tensione superficiale applicata lungo la superficie di interfaccia, il pelo libero, è resa più complessa dalla presenza di una parete solida. Si osserva che per l’effetto combinato delle forze di coesione fra le molecole, della adesione e della tensione superficiale l’interfaccia liquido-gas si modifica, ed è chiamata menisco, formando con la superficie solida un angolo di contatto β che può variare da 0 a 180° in dipendenza della natura del liquido, del gas e della superficie solida.

Tensione superficiale. Adesione (segue)

In particolare, se prevale l’adesione fra liquido e solido, la tensione superficiale tende a tirare in alto il liquido lungo la parete e l’interfaccia si piega verso il basso, formando un angolo di contatto β<90°; in tal caso, si dice che il liquido bagna la parete, come, ad esempio, l’acqua.

Al contrario, se prevale la coesione entro il liquido, la tensione superficiale agisce verso il basso e l’interfaccia si piega verso l’alto, formando un angolo di contatto β>90°; in questo caso, si dice che il liquido non bagna la parete, come, ad esempio, il mercurio. Ecco perché in un tubo di piccolo diametro immerso in un liquido si forma un menisco, concavo o convesso verso l’alto a secondo se il liquido bagna o non bagna la parete, ed il livello liquido resta in equilibrio ad un livello più alto o più basso; tale fenomeno è detto capillarità.

Fig. 2.4: Capillarità per due diversi liquidi. Immagine da J. McDONOUGH (2009). Lectures in elementary Fluid Dynamics: Physics, Mathematics and Applications.

Fig. 2.4: Capillarità per due diversi liquidi. Immagine da J. McDONOUGH (2009). Lectures in elementary Fluid Dynamics: Physics, Mathematics and Applications.


Concentrazione

Nell’Idraulica Ambientale per caratterizzare la quantità di sostanza, solido o soluto, presente nel sistema naturale, ad esempio un corpo idrico superficiale, si usa la concentrazione C, proprietà intensiva, che è definita, in un certo punto ed in un certo istante, come:
C=\lim_{\Delta V\rightarrow 0}\frac{\Delta m}{\Delta V} ~~~~~~~~(2.8)
dove Δm è la massa della sostanza [M] presente nel volume elementare del fluido contenente ΔV [L³].

Nella scelta del volume ΔV occorre tenere conto che esso deve essere abbastanza grande rispetto alle dimensioni delle molecole o delle particelle considerate ma anche abbastanza piccolo da poter definire come funzione continua il gradiente di concentrazione, ad esempio dC/dx, da utilizzare nelle equazioni differenziali. La concentrazione è un importante indicatore della forza di un fenomeno di inquinamento. La massa è di solito espressa in grammi o suoi multipli mentre per il volume si usano di solito i litri L o i metri cubici m³. Va notato che 1 mg/L equivale ad 1 g/m³.

Tabella 2.2 – Prefissi del S.I. usati in Idraulica Ambientale

Tabella 2.2 – Prefissi del S.I. usati in Idraulica Ambientale


Carico di massa e flusso di massa

Molto spesso è utile conoscere la quantità di inquinante che entra in un corpo idrico in un certo intervallo. Si utilizza a tal fine il concetto di carico di massa W [M·T], definito appunto come il rapporto fra la massa Δm entrante e la durata di tale scarico Δt:
W=\frac{\Delta m}{\Delta t} ~~~~~~(2.9~a)
Nella maggior parte dei casi l’inquinante entra nel corpo idrico perché trasportato da una corrente idrica, quale può essere, ad esempio, lo scarico di una fognatura o un affluente fluviale. In tal caso, il carico di massa W può essere valutato semplicemente moltiplicando la concentrazione presente C nello scarico per la portata volumetrica di quest’ultimo Q [L³·T]:
W=Q ~C ~~~~(2.9~b)
ossia, tenendo conto della stessa definizione di portata volumetrica, come:
W=\int_A CudA=\bar C_A\int_A udA ~~~~~~~~(2.9~c)
dove u [L·T] è il modulo della velocità relativa ad ogni area elementare dA, A [L²] è l’area della sezione del condotto o del canale attraversata e è la concentrazione media lungo la superficie A. Laddove, invece, l’area A non è a priori nota, come nel caso di una generica superficie attraversata da una corrente che trasporta un inquinante, occorrerà preliminarmente definire dei limiti di concentrazione che consentono di individuare A.

Carico di massa e flusso di massa (segue)

La (2.9 c) può essere ulteriormente semplificata facendo riferimento agli elementi medi del moto, ossia la velocità media di sezione U, nella forma:
W= U~A~C ~~~~~~~(2.9 ~d)
Il termine flusso sta, poi, ad indicare il rapporto fra il carico di una quantità estensiva, come la massa o il calore, e la superficie che esso attraversa. Ad esempio, nel caso della massa, il flusso di massa J [M·L·T] attraverso la sezione trasversale di una condotta è definito come:
J=\frac {\Delta m}{\Delta t~A}=\frac W A~~~~~~(2.10~a)
L’espressione del flusso J si ottiene anche, considerando la (2.9 d) e la (2.10 a)  come:
J=U~C~~~~~~(2.10~b)

I materiali di supporto della lezione

C. GUALTIERI (2006). Appunti di Idraulica Ambientale. CUEN Editore, 2006, pp.410 (ISBN 88-7146-717-5)

D. CITRINI, G.NOSEDA (1987). Idraulica, 2ª edizione, Casa Editrice Ambrosiana, Milano, Italia, pp.468

J. McDONOUGH (2009). Lectures in elementary Fluid Dynamics: Physics, Mathematics and Applications

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