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Carlo Gualtieri » 5.Le Leggi di Conservazione - Parte seconda


L’equazione globale dell’Idrodinamica

In molti problemi pratici, non interessa tanto la conoscenza dettagliata delle velocità e delle componenti degli sforzi in tutti i punti del campo di moto, quanto una visione d’insieme descrizione d’insieme del moto e la conoscenza delle azioni globali esercitate dal fluido su particolari superfici di contorno; in tali casi si ricorre, anziché ad una trattazione locale del processo di moto, ad un esame globale delle condizioni di moto di un volume finito di fluido, delimitato da una superficie di contorno che contenga quelle parti per le quali si vuole determinare l’azione del fluido, come già fatto in idrostatica.
Sia CV un volume finito delimitato dalla superficie chiusa di contorno A, fissa nello spazio, per ogni suo elemento infinitesimo dCV vale l’equazione indefinita dell’equilibrio che integrata al volume CV fornisce:

\int_{CV}\rho \tilde A dCV =\int_{CV}\rho \vec g dCV +\int_{CV}\biggl( \frac{\partial \vec \Phi_x}{\partial x}+ \frac{\partial \vec \Phi_y}{\partial y}+\frac{\partial \vec \Phi_z}{\partial z}\biggr) dCV~~~~~~~~(4.4c)

Se si applica il teorema di Green, il teorema del tetraedro di Cauchy e si tiene conto del principio di conservazione della massa, la (5.1), dopo alcuni passaggi, assume la forma:

\int_{CV}\rho \vec g dCV+\int_A \vec \Phi_n dA+\int_A \rho \vec V v_n dA-\int_{CV}\frac {\partial (\rho \vec V)}{\partial t}dCV=0~~~~~~~~(4.4d)

detta equazione globale dell’equilibrio dinamico o equazione globale dell’Idrodinamica, che è valida in ogni volume CV del campo del fluido in moto e presuppone già verificata l’equazione di continuità; in forma simbolica è:

\vec G+\vec \Pi +\vec M+\vec I=0~~~~~~~~(4.4e)

L’equazione globale dell’Idrodinamica (segue)

I termini della (4.4e) hanno le dimensioni di una forza; e dipendono dai valori che le grandezze in gioco assumono nei punti all’interno del volume CV, mentre ed sono funzione unicamente dalle condizioni che si verificano alla superficie di contorno.
Si esamini, ora, il significato meccanico di ogni termine della (4.4e).

  • \vec G è, come in idrostatica, la risultante delle forze di massa agenti sulle singole particelle del volume CV, ossia, nel caso di fluido pesante, tale integrale è il peso del fluido contenuto in CV. è verticale, diretto verso il basso, applicato al baricentro di CV, se omogeneo, ed ha modulo pari a γxCV, se γ è il peso specifico del fluido;
  • \vec \Pi è, come in idrostatica, la risultante degli sforzi che vengono esercitati sul fluido attraverso la superficie di contorno A, ossia è la spinta che la superficie di contorno trasmette al fluido; essa è uguale e contraria alla spinta che il fluido esercita su A;

L’equazione globale dell’Idrodinamica (segue)

  • \vec M è la quantità di moto della massa fluida che attraversa nell’unità di tempo la superficie di contorno A del volume CV; infatti, è noto che vndA=dQ, portata infinitesima che passa attraverso l’area dA, che moltiplicata per la densità ρ fornisce la massa in transito per dA; il prodotto ρ dQ è, infine, la quantità di moto di tale massa, che è un vettore diretto in ogni punto come la velocità. Anche qui possiamo suddividere A in 3 parti, Ae dove vn<0 e, quindi, c’è ingresso di fluido in CV, Aun>0 dove ve, quindi, c’è uscita di fluido da CV ed, infine, A0 che non è attraversata dal fluido; pertanto, le relative quantità di moto valgono:

\vec M_1=\int_{A_u}\rho \vec V dQ~~~~~~~~~~~~~~~~~\vec M_1=\int_{A_e}\rho \vec V dQ~~~~~~~~(5.1a)

la prima positiva, la seconda negativa, in dipendenza del segno di vn, per cui si ha:

\vec M=\int_A\rho v_n \vec V dA=\vec M_1- \vec M_2~~~~~~~~(5.1b)

L’equazione globale dell’Idrodinamica (segue)

Dove c’è la differenza fra la quantità di moto della massa uscente in CV nell’unità di tempo e quella della massa contemporaneamente entrante; le tre grandezze sono delle quantità di moto nell’unità di tempo ed hanno, perciò, le dimensioni di una forza; più precisamente esse sono dei flussi di quantità di moto.

  • \vec I è la risultante delle inerzie locali, che dipendono esclusivamente dal modo con cui la velocità e la densità variano col tempo nei singoli punti del volume CV; tale termine, che è nullo in condizioni di moto permanente, può anche assumere la forma:

\vec I =-\frac{\partial}{\partial t}\int_{CV}\rho \vec V dCV~~~~~~~~(5.2)

che mostra come esso esprima la diminuzione complessivamente subita, nell’unità di tempo, dalla quantità di moto dell’intera massa fluida contenuta nel volume CV.
L’equazione globale indica indica che per qualunque volume finito CV di fluido in movimento, è nulla la risultante delle forze di massa, delle inerzie locali, della spinta esercitata dall’esterno sulla superficie di contorno, della quantità di moto posseduta dalla massa uscente in CV nell’unità di tempo e della quantità di moto , cambiata di segno, posseduta dalla massa entrante.
In condizioni di moto permanente, essa diventa:

\vec G+\vec \Pi+\vec M_1-\vec M_2=0~~~~~~~~(4.4f)

Le equazioni di Navier-Stokes

Le equazioni generali del moto presentate nella Lezione n.4 sono valide per un qualsiasi tipo di fluido. Esse possono essere però ulteriormente modificate una volta che sono state definite le relazioni fra gli sforzi interni, presenti nel tensore degli sforzi , e le velocità di deformazione. Nel caso di fluidi newtoniani, per i quali la viscosità è indipendente dagli sforzi e, quindi, dal moto, la base di partenza per definire tale relazioni è la ben nota legge di Newton. Si può dimostrare che nel caso di un fluido incomprimibile, il generico elemento del tensore degli sforzi ha forma:

\sigma_{ij}=\mu \biggl( \frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\biggr)~~~~~~~~(5.3)

che dimostra come gli elementi del tensore deviatore degli sforzi dipendono solo dalla velocità di deformazione dell’elemento fluido e non dalla sua rotazione, che è fornita, come è noto, dagli elementi del tensore della vorticità:
\omega_{ij}=\frac 12 \biggl(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}-\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\biggr)~~~~~~~~(5.4)

Le equazioni di Navier-Stokes (segue)

Da ciò si vanno a modificare le equazioni generali del moto, le (4.9b), che assumono la forma:

\rho g_x -\frac{\partial p}{\partial x}+\mu \nabla^2 u +\frac 1 3 \mu \frac\partial {\partial x}(div ~\vec V)=\rho \frac {du}{dt}

\rho g_y -\frac{\partial p}{\partial y}+\mu \nabla^2 v +\frac 1 3 \mu \frac\partial {\partial y}(div ~\vec V)=\rho \frac {dv}{dt}~~~~~~~~(5.5)

\rho g_z -\frac{\partial p}{\partial z}+\mu \nabla^2 w +\frac 1 3 \mu \frac\partial {\partial z}(div ~\vec V)=\rho \frac {dw}{dt}

ovvero l’equazione vettoriale:

\rho\frac{d\vec V}{dt}=\rho \vec g-~ grad ~p+ \mu \nabla^2 \vec V +\frac 1 3 \mu ~grad~ (div \vec V)~~~~~~~~(5.6)

che prende il nome, assieme alle 3 precedenti equazioni scalari, di equazione di Navier-Stokes o equazione del moto di un fluido viscoso.
Queste equazioni contengono solo 5 incognite, vale a dire la densità ρ, le tre componenti della velocità u, v e w e la pressione p, per cui il problema dinamico, affiancando ad esse l’equazione di continuità e quella di stato del fluido, diventa definito, anche nel caso di un fluido reale. Inoltre, rispetto alla equazione di Eulero, valida per un fluido ideale, nelle equazioni di Navier-Stokes sono presenti due termini aggiuntivi, il terzo ed il quarto al secondo membro della (5.6), che portano in conto della influenza della viscosità, assente in un fluido ideale.

Le equazioni di Navier-Stokes (segue)

Infine, nel caso di un fluido incomprimibile, dove la divergenza del vettore velocità è nulla, uno dei due termini viscosi si annulla e le 3 equazioni scalari diventano:

\rho \frac{du}{dt}=\rho g_x-\frac{\partial p}{\partial x}+\mu \nabla^2 u

\rho \frac{dv}{dt}=\rho g_y-\frac{\partial p}{\partial y}+\mu \nabla^2 v~~~~~~~~(5.7a)

\rho \frac{dw}{dt}=\rho g_z-\frac{\partial p}{\partial z}+\mu \nabla^2 w

mentre l’equazione vettoriale di Navier-Stokes per un fluido viscoso incomprimibile è:

\rho \frac{d\vec V}{dt}=\rho \vec g -~grad~p+\mu \nabla^2 \vec V~~~~~~~~(5.8a)

dove l’ultimo termine è la risultante, per unità di volume, delle forze originate dalla viscosità in ogni punto della massa fluida.

Le equazioni di Navier-Stokes (segue)

Se, poi, si esplicita con la regola di derivazione euleriana la derivata totale della velocità presente al primo membro, le 3 equazioni scalari diventano:

\rho \biggl( \frac{\partial u}{\partial t}+u \frac{\partial u}{\partial x}+ v \frac{\partial u}{\partial y}+w \frac{\partial u}{\partial z}\biggr)=\rho g_x -\frac{\partial p}{\partial x}+\mu \nabla ^2u

\rho \biggl( \frac{\partial v}{\partial t}+u \frac{\partial v}{\partial x}+ v \frac{\partial v}{\partial y}+w \frac{\partial v}{\partial z}\biggr)=\rho g_y -\frac{\partial p}{\partial y}+\mu \nabla ^2v~~~~~~~~(5.7b)

\rho \biggl( \frac{\partial w}{\partial t}+u \frac{\partial w}{\partial x}+ v \frac{\partial w}{\partial y}+w \frac{\partial w}{\partial z}\biggr)=\rho g_z -\frac{\partial p}{\partial z}+\mu \nabla ^2w

e quella vettoriale:

\rho \biggl( \frac{\partial \vec V}{\partial t}+\vec V \cdot \nabla \vec V\biggr)=\rho \vec g -~grad~ p+\mu \nabla^2\vec V~~~~~~~~(5.8b)

Infine, poiché il modulo della forza di gravità è pari a – g grad z, dove z è la quota geodetica, le equazioni precedenti possono essere modificate ulteriormente sostituendo nel primo termine a secondo membro le derivate parziali di g rispetto alle tre direzioni spaziali.

Le equazioni di Navier-Stokes (segue)

Le equazioni di Navier-Stokes, note a partire dalla metà dell’800, sono un sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali tridimensionali, dipendenti dal tempo e non lineari, per la presenza, al primo membro, di termini dove compare il prodotto delle componenti della velocità. Si è già osservato che per un fluido incomprimibile, la definizione del campo di moto è legata alla conoscenza di quattro variabili, ossia le tre componenti della velocità u, v, w, e la pressione p, che compaiono nelle tre equazioni di Navier-Stokes, per cui l’aggiunta di una quarta equazione, ossia il principio di conservazione della massa, rende definito il problema dinamico. Occorre aggiungere che la risoluzione delle equazioni di Navier-Stokes richiede anche l’assegnazione di opportune condizioni al contorno e condizioni iniziali che siano congruenti con il problema che si intende affrontare; ciò è molto importante perché se tali condizioni non corrispondono alle caratteristiche fisiche del problema si possono avere dei risultati privi di significato o, addirittura, errati. A tal fine, è utile studiare in dettaglio la struttura delle equazioni di Navier-Stokes esaminando ciascuno dei termini presenti in esse al fine di comprenderne il significato fisico. Si consideri la prima delle (5.7b); dopo aver diviso per la densità, essa diventa:

\overbrace{\frac {\partial u}{\partial t}+u \frac{\partial u}{\partial x}+v \frac{\partial u}{\partial y}+w \frac{\partial u}{\partial z}}^{\text {accelerazione totale}}=\overbrace{-g\frac{\partial z}{\partial x}}^{\text{forze di massa}}+ \overbrace{-\frac 1 {\rho}\frac{\partial p}{\partial x}}^{\text{forze di pressione}}+ \overbrace{\nu \nabla^2u}^{\text{forze viscose}}~~~~~~~~(5.7c)

Le equazioni di Navier-Stokes (segue)

Al primo membro della (5.7c) si trova l’accelerazione totale della componente u della velocità, per cui i quattro termini che la compongono sono spesso chiamati termini inerziali, dove si fa distinzione, seguendo i concetti della regola di derivazione euleriana, fra il termine locale ed i tre termini advettivi; questi ultimi derivano, come è noto, dall’aver introdotto un approccio lagrangiano in un sistema di riferimento euleriano, che produce delle accelerazioni legate alla variazione spaziale del campo di moto. I termini inerziali possono essere visti anche come delle variazioni nel tempo della quantità di moto per unità di massa.
Se si passa al secondo membro, il primo termine presente è relativo alle forze di massa ed, in particolare, alla forza di gravità agente su ogni particella di fluido, mentre il secondo termine è quello delle forze di pressione; entrambi dal punto di vista dimensionali esprimono una variazione nel tempo della quantità di moto per unità di massa.
Infine, l’ultimo termine della (5.7c) è quello delle forze viscose, che merita una particolare attenzione. Si è già notato nella Lezione n.1 che la viscosità è la proprietà del fluido su scala molecolare cui è legato il trasferimento della quantità di moto; inoltre, nelle equazioni di Navier-Stokes, il termine viscoso è costituito dalle derivate seconde delle componenti della velocità e la presenza di derivate secondo in una equazione differenziale è, in generale, associata a fenomeni di tipo diffusivo, di mescolamento, in questo caso, trattandosi di componenti della velocità, della quantità di moto.

Le equazioni di Navier-Stokes (segue)

Si metta ora a confronto il caso di un fluido ad elevata viscosità con quello di un fluido a bassa viscosità (Fig. 5.1). Nel primo caso, il profilo della velocità in un condotto varia abbastanza lentamente dal valore nullo, in corrispondenza della parete, fino a quello massimo, sull’asse del condotto (Fig.5.1a); si nota, inoltre, che la regione dove ci sono velocità elevate è relativamente piccola, mentre la zona, in prossimità della parete, a bassa velocità è piuttosto ampia. Questo andamento può essere spiegato osservando che l’elevata viscosità riesce a trasferire fin all’interno della massa fluida le forze viscose legate agli sforzi che nascono alla parete rendendo più graduale la variazione della velocità.
Al contrario, nel fluido a bassa viscosità, la zona centrale con le velocità maggiori è molto ampia e presenta un andamento quasi uniforme mentre le velocità più basse restano confinate in una stretta fascia in prossimità della parete (Fig.5.1b). Inoltre, la velocità massima, che è sempre sull’asse del condotto, è inferiore a quella massima del caso precedente. In questo caso, infatti, essendo il fluido poco viscoso, si ha un modesto trasferimento di quantità di moto fra le particelle più veloci in prossimità dell’asse e quelle più lente presso le pareti; in altre parole, il fluido risente meno della presenza delle pareti, che rallentano il suo moto, e riesce a mantenere a lungo un profilo quasi uniforme, anche se, a parità di portata, con velocità massima inferiore a quella del caso precedente.

Immagine da J. McDONOUGH (2009). Lectures in elementary Fluid Dynamics: Physics, Mathematics and Applications.

Immagine da J. McDONOUGH (2009). Lectures in elementary Fluid Dynamics: Physics, Mathematics and Applications.


Il teorema di Bernoulli

Mentre l’equazione del moto, sia in forma indefinita che in forma globale fornisce le condizioni di equilibrio cui devono sottostare le varie forze, reali o fittizie, che agiscono su una generica massa fluida in movimento, il teorema di Bernoulli esprime la relazione che esiste fra le diverse forme di energia in gioco.
Nella sua forma originaria, il teorema considerava esclusivamente il moto non dissipativo di un fluido incomprimibile, non soggetto a scambi di energia con l’ambiente circostante, per cui esprimeva un caso particolare del principio di conservazione dell’energia, e più precisamente, la conservazione dell’energia meccanica, essendo a priori esclusa la possibilità di trasformarla in altre forme di energia. In seguito, esso venne esteso in diverse direzioni, eliminando l’una o l’altra delle varie ipotesi restrittive.

Il teorema di Bernoulli (segue)

Si consideri un sistema chiuso, ossia che non scambia energia con l’esterno, ed un fluido perfetto, dove l’assenza di sforzi tangenziali in grado di assorbire lavoro assicura la conservazione dell’energia meccanica; pur se all’espressione formale del teorema di Bernoulli si può giungere in diverse maniere, si può partire dalla equazione di Eulero:

\rho \frac{d\vec V}{dt}=\rho \vec g -~grad~ p~~~~~~~~(4.11a)

che, nel caso di fluido pesante ed incomprimibile, dopo aver diviso per γ, diventa:

-\frac 1 g \frac{d\vec V}{dt}=grad\biggl(z+\frac p{\gamma}\biggr)~~~~(4.11b)

dove il gradiente della quota piezometrica è uguale al rapporto, cambiato di segno, fra l’accelerazione cui è soggetto il generico elemento fluido in movimento e l’accelerazione di gravità; per cui, nel caso di fluido in quiete o in moto uniforme, tale gradiente è nullo.

Il teorema di Bernoulli (segue)

L’accelerazione presente nella (4.11b) ha componente pari alla derivata della velocità intensiva V lungo la tangente alla traiettoria, componente pari all’accelerazione centripeta V2/r lungo la normale principale e componente nulla lungo la binormale. Se si proietta la (4.11b) sui tre assi della terna intrinseca di riferimento, si ottiene:

\frac \partial {\partial s}\biggl( z+\frac p{\gamma}\biggr)=-\frac 1 g \frac{dV}{dt}

\frac \partial {\partial n}\biggl( z+\frac p{\gamma}\biggr)=-\frac{V^2}{g~r}~~~~~~~(4.11c)

\frac \partial {\partial b}\biggl( z+\frac p{\gamma}\Biggr)=0

L’ultima delle (4.11c) mette in evidenza che nel piano normale alla traiettoria in un generico punto O, lungo la direzione della binormale, in prossimità della traiettoria, la variazione della quota piezometrica è nulla e la pressione è, quindi, distribuita secondo la legge idrostatica.

Il teorema di Bernoulli (segue)

Al contrario, la quota piezometrica varia lungo la normale principale e, precisamente, come si deduce dalla seconda equazione, si riduce nel verso della normale, diretto verso il centro di curvatura della traiettoria e tale diminuzione cresce con la velocità V e la curvatura 1/r. Pertanto, se 1/r=0, ossia la traiettoria è rettilinea, la quota piezometrica è costante anche lungo la normale principale. In una corrente fluida in un condotto cilindrico, caratterizzata da traiettorie tutte rettilinee e parallele la quota piezometrica è costante nell’intera sezione trasversale, per cui se in due punti A e B qualsiasi del suo perimetro inseriamo due piezometri, i menischi si portano al medesimo livello.

Il teorema di Bernoulli (segue)

Se, invece, la curvatura delle traiettorie è notevole, come nella curva di una condotta , nella sezione trasversale la pressione non segue la legge idrostatica. Se il raggio di curvatura delle singole traiettorie è elevato, la variazione della quota piezometrica lungo la normale principale ed in tutto il piano normale è trascurabile, per cui la distribuzione della pressione nelle sezioni trasversali della corrente è idrostatica. Tali correnti, frequenti nelle applicazioni pratiche, sono dette correnti gradualmente variate o correnti lineari.
La derivata della velocità intensiva che compare nella prima equazione è una derivata sostanziale, che rappresenta la componente secondo l’arco dell’accelerazione dell’elemento liquido che, scorrendo il tempo, si muove lungo la propria traiettoria. Se si applica la regola di derivazione euleriana e si raccolgono le derivate rispetto ad s, si ha:

\frac \partial {\partial s}\biggl( z+\frac p{\gamma}+\frac{V^2}{2g}\biggr)=-\frac 1 g \frac{\partial V}{\partial t}~~~~(5.9a)

dove, a primo membro, c’è la derivata della somma di tre lunghezze, la quota geodetica z e l’altezza piezometrica p/γ ed il rapporto V2/2g, che è anch’esso una lunghezza ed è detto altezza cinetica; essa è l’altezza da cui deve cadere nel vuoto un grave inizialmente in quiete per acquistare la velocità V. La somma della quota piezometrica e dell’altezza cinetica è chiamato trinomio di Bernoulli o carico totale, il cui simbolo è H:

H=z+\frac p\gamma +\frac{V^2}{2g}~~~~(5.10a)

Il teorema di Bernoulli (segue)

Da cui si ricava che:

\frac{\partial H}{\partial s}=-\frac 1 g \frac{\partial V}{\partial t}~~~~(5.9b)

Nel caso di moto permanente, le derivate parziali rispetto al tempo sono nulle ed, integrando rispetto ad s, si ha:

H(s)=z+\frac p {\gamma}+\frac{V^2}{2g}=cost~~~~(5.10b)

che esprime il teorema di Bernoulli, che indica che nel moto permanente di un fluido perfetto pesante incomprimibile il carico totale resta costante lungo ogni traiettoria.
Una interpretazione geometrica del teorema di Bernoulli può essere ottenuta considerando una serie di punti A, B e C raggiunti in istanti successivi da un elemento fluido che si muove lungo la propria traiettoria; fissato un piano orizzontale di riferimento arbitrario, di quota z=0, si possono misurare le quote geodetiche zA, zB e zC dei punti considerati e le relative altezze piezometriche pA, pB e pC; i punti così individuati sono disposti su una linea continua, detta linea piezometrica della traiettoria, che fornisce per ogni punto la quota piezometrica della traiettoria. Se adesso, a partire dalla linea piezometrica, si prendono dei segmenti di lunghezza uguale alle altezze cinetiche V2/2g dei singoli punti, si va a definire una linea, detta linea dei carichi totali, che fornisce il valore di H, misurato rispetto al piano di riferimento, posseduto dai singoli punti della traiettoria. Tale linea, nel caso di moto permanente, per il teorema di Bernoulli, ossia per la (5.10b), appartiene a un piano orizzontale.

Il teorema di Bernoulli (segue)

Il trinomio di Bernoulli rappresenta anche, nel caso del fluido incomprimibile, l’intera energia meccanica posseduta dall’unità di peso del fluido, somma della parte potenziale e di quella cinetica, per cui la linea dei carichi totali è anche detta linea dell’energia. Il teorema di Bernoulli indica anche che nel moto permanente di un fluido perfetto pesante incomprimibile l’energia meccanica specifica si mantiene costante lungo ogni traiettoria, pur potendo esserci un passaggio di energia fra le forme considerate.

Il teorema di Bernoulli (segue)

Se si rimuove l’ipotesi che il fluido sia perfetto, il teorema di Bernoulli non esprime più la conservazione dell’energia meccanica, in quanto la viscosità determina, durante il moto, l’insorgere di sforzi tangenziali, il cui lavoro resistente provoca una dissipazione di energia meccanica, ossia una trasformazione di energia meccanica in calore. Pertanto, il carico totale di una generica particella, ossia la sua energia meccanica, non resta costante, mentre essa si muove di moto permanente lungo la sua traiettoria, ma si riduce progressivamente. L’abbassamento J della linea dei carichi totali per unità di percorso della corrente è detta cadente:

J=-\frac{\partial H}{\partial s}~~~~(5.11a)

che, nel moto uniforme, è anche l’abbassamento, per unità di percorso, della linea piezometrica:

J=-\frac\partial{\partial s}\biggl( z+\frac p \gamma\biggr)~~~~(5.11b)

per cui è detta cadente piezometrica; è evidente, per il significato energetico di H, che la cadente J rappresenta in ogni caso la perdita di energia subita dall’unità di peso del liquido nell’unità di percorso.

Il teorema di Bernoulli (segue)

Il significato energetico attribuito al teorema di Bernoulli lo ricollega strettamente al concetto di potenza, utile per applicarlo alle correnti di sezione finita. La potenza di una corrente in sezione trasversale è l’energia defluente con la corrente nella sezione nell’unità di tempo; la portata di un tubo di flusso di sezione dA, parte della corrente, è, come già illustrato nella Lezione n. 4:

Q=\int_A V dA~~~~(4.2e)

Se H è il carico totale, ossia l’energia meccanica posseduta dall’unità di peso del liquido defluente, e γdQ è il peso del liquido defluente nell’unità di tempo, la potenza del filetto di corrente nella sezione è:

dP=\gamma dQH~~~~~(5.12a)

Integrando all’intera sezione trasversale o all’intera portata Q, si ottiene la potenza P della corrente nella sezione:

P=\gamma\int_Q HdQ=\gamma \int_A HVdA=\gamma\int_A \biggl( z+\frac p {\gamma}+\frac {V^2}{2g}\biggr)VdA~~~~~(5.12b)

Il teorema di Bernoulli (segue)

Nelle ipotesi di validità del teorema di Bernoulli, ossia perdite nulle e moto permanente, dal momento che H e dQ sono costanti per ciascuno dei tubi di flusso che costituiscono la corrente, anche P è costante e, quindi, nel moto permanente di una corrente di un fluido perfetto incomprimibile la potenza resta costante in tutte le successive sezioni trasversali, che è il teorema di Bernoulli per una corrente di sezione finita.
Nel caso di una corrente gradualmente variata, ossia caratterizzata da una distribuzione idrostatica della pressione nelle singole sezioni trasversali, separando la parte potenziale dell’energia da quella cinetica, si ha:

P=\gamma \int_A \biggl( z+\frac p{\gamma}\biggr) VdA+\gamma \int_A \biggl(\frac{V^2}{2g}\biggr) V dA =\gamma \biggr(z+\frac p {\gamma}\biggr) Q+P_c~~~~~(5.12c)

La potenza cinetica Pc dipende dalla distribuzione della velocità nella sezione trasversale che, in moto turbolento, è nota soltanto per via sperimentale e quasi soltanto per il moto uniforme. Pertanto, si può ottenere una espressione di Pc in termini finiti introducendo un coefficiente di ragguaglio α, detto coefficiente di ragguaglio per la potenza cinetica o coefficiente di Coriolis, definito come rapporto fra la potenza cinetica effettiva della corrente e la potenza cinetica di una corrente fittizia di pari portata, ma con distribuzione uniforme della velocità nella sezione trasversale, dove, Vmedia, è la velocità media:

\alpha=\frac{\gamma \int_A \biggl( \frac {V^2}{2g}\biggr)V_{media}dA}{\gamma \biggl(\frac{V^2}{2g}\biggr)V_{media}A}=\frac{\int_A V^3 dA}{V^3_{media}A}~~~~~(5.13)

Il teorema di Bernoulli (segue)

Pertanto, si ha che:

P_c=\gamma \alpha \frac{V^2_{media}}{2g}Q~~~~~(5.14)

per cui, in definitiva, P vale:

P=\gamma \biggl( z+\frac p{\gamma}+ \alpha \frac{V^2_{media}}{2g}\biggr)Q=\gamma H Q~~~~~(5.12d)

dove:

H=z+\frac p {\gamma}+\alpha \frac{V^2_{media}}{2g}~~~~~(5.10c)

che differisce dalla (5.10b) soltanto perché l’altezza cinetica, calcolata per la velocità media, è moltiplicata per il coefficiente α; tale trinomio è detto ancora carico totale e rappresenta precisamente l’energia specifica media del fluido che attraversa la sezione. Dal momento che P e Q sono costanti lungo la corrente, il teorema di Bernoulli assume la forma, analoga alla (5.10b), valida per la singola traiettoria:

H=z+\frac p {\gamma}+\alpha \frac{V^2_{media}}{2g}=cost~~~~~(5.10d)

I materiali di supporto della lezione

C. GUALTIERI (2006). Appunti di Idraulica Ambientale. CUEN Editore, 2006, pp.410 (ISBN 88-7146-717-5)

D. CITRINI, G.NOSEDA (1987). Idraulica, 2ª edizione, Casa Editrice Ambrosiana, Milano, Italia, pp.468

J. McDONOUGH (2009). Lectures in elementary Fluid Dynamics: Physics, Mathematics and Applications

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