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Carlo Gualtieri » 8.Lo Strato Limite

Introduzione

Il concetto di strato limite è stato introdotto all’inizio del 1900 da Prandtl e Pohlhausen per semplificare l’analisi ed il calcolo dei problemi di interazione fra un fluido in moto ed una parete solida.
In un fluido a bassa viscosità, come l’acqua o l’aria, moti ad elevato Re nei pressi di una superficie solida sono caratterizzati dal fatto che, anche a breve distanza da tale superficie, l’effetto delle forze di inerzia prevale su quello delle forze viscose. Pertanto, si può fare l’ipotesi che, nella maggior parte del dominio, il moto sia in pratica privo di attrito e, quindi, si può applicare la teoria dei moti a potenziale. Tuttavia, nelle immediate vicinanze della superficie solida, l’effetto degli sforzi viscosi è significativo e, quindi, non può essere trascurato.

Introduzione (segue)

Al fine di mettere in evidenza l’applicazione del concetto di strato limite ai problemi di moto, si può, in primo luogo, considerare il sorgere di uno strato limite e gli effetti degli sforzi interni associati allo sviluppo del campo di moto al di sopra di una piastra orizzontale di lunghezza infinita. La Fig.8.1 mostra tale situazione e le diverse regioni di sviluppo dello strato limite al di sopra della piastra.
Al limite sinistro della piastra, dove x=0, il fluido è soggetto ad un moto uniforme, con velocità U ed in tale punto ha inizio lo sviluppo dello strato limite, con uno spessore δ che cresce con la x. All’interno dello strato limite esiste un significativo gradiente di velocità e gli effetti degli sforzi interni devono essere presi in considerazione. Il moto è inizialmente laminare, ma lo strato limite, al suo crescere, diventa sempre meno stabile in presenza di sia pur piccole perturbazioni; ad un certo punto, posto ad una distanza pari ad L a valle del punto di inizio della piastra, esso diventa instabile e si verifica la transizione fra moto laminare a moto turbolento. Tale distanza L può essere definita considerando che la transizione avviene per una valore del numero di Reynolds Re_x pari a:

$Re_x=Re_L=\frac{\rho UL}{\mu}=\frac{UL}{v}=50000~~~~~(8.1)$

Fig. 8.1 - Strato limite su una piastra.

Introduzione (segue)

A valle di tale punto, per x>L, dove il moto laminare all’interno dello strato limite diventa instabile, ha inizio la zona di transizione, nella quale la struttura dello strato limite si adatta alle nuove condizioni legate alla presenza della turbolenza. Ancora più a valle, il moto è turbolento e lo strato limite è costituito da una regione esterna, in moto turbolento, e da una regione interna, molto sottile, che è in moto laminare ed è chiamata substrato viscoso o substrato laminare. Infatti, nelle immediate vicinanze della parete, le fluttuazioni di velocità sono modeste, in quando il fluido viscoso tende ad aderire alla parete e le dimensioni dei vortici turbolenti sono limitate dalla presenza della parete stessa; ciò spiega la presenza, nei pressi della parete, di tale sottostrato in moto laminare. Dal momento che il dominio del moto è semi-infinito, con 0≤y≤∞, lo sviluppo dello strato limite ha un effetto del tutto trascurabile sul valore della velocità del moto a potenziale che regna al di fuori dello strato limite, che resta sempre uguale ad U.

Lo strato limite laminare

Nel caso dello strato limite laminare, il suo spessore varia lungo la piastra secondo la relazione:

$\delta_{\text{laminare}}=5.84\sqrt{\frac{\mu x}{\rho U}}=5.48\frac x {\sqrt{Re_x}}~~~~~(8.2)$

dove Re_x=U·x/v, che mostra che lo spessore dello strato limite è proporzionale alla radice quadrata della distanza dal punto di inizio della piastra piana.
Si può anche ottenere lo sforzo tangenziale alla parete come:

$\tau_b=\frac{0.365}{\sqrt{Re_x}}\rho U^2~~~~~(8.3)$

che può essere integrata lungo la lunghezza L della piastra piana dove c’è moto laminare per ricavare la forza di trascinamento F_Df applicata sulla piastra:

$F_{Df}=\int_0^L \tau_b dx=\frac {1.46}{\sqrt{Re_L}}\rho\frac{U^2}2 L~~~~~(8.4)$

dove Re_L vale Re_L=U·L/v.

Lo strato limite laminare (segue)

Il coefficiente di trascinamento di attrito C_Df vale:

$C_{Df}=\frac{F_{Df}}{\rho\frac{U^2}{2}L}=\frac{1.46}{\sqrt{Re_L}}~~~~~(8.5)$

Va osservato che, in generale, questa non è l’azione di trascinamento totale esercitata dal moto su un oggetto. Infatti, nel caso, ad esempio, di un cilindro, tale azione totale è data dalla somma di un trascinamento di attrito e di un trascinamento di forma, il quale è originato dalle forze di pressione associate alla separazione dello strato limite per effetto del cilindro. Tale fenomeno ha luogo nei casi del moto intorno ad un oggetto, di un allargamento di tubazioni ed in altre situazioni dove il moto sia associato con gradienti positivi di pressione. In tal caso, il coefficiente di trascinamento totale C_D vale:

$C_D=C_{Df}+C_{Ds}~~~~~(8.6)$

dove C_Ds è il coefficiente di trascinamento di forma.
E’ chiaro che nel caso di moto al di sopra di una piastra piana, non c’è trascinamento di forma, in quanto non c’è gradiente positivo di pressione e, quindi, lo strato limite non è soggetto a separazione. Pertanto, in questo caso, C_Ds=0.

Lo strato limite turbolento

Nel caso dello strato limite turbolento, il suo spessore varia lungo la piastra secondo la relazione:

$\delta_{turbolento}=0.37 x\left(\frac v {U x} \right)^{1/5}=0.37 x Re_{x}^{-1/5}~~~~~(8.7)$

che dimostra come lo spessore dello strato limite turbolento sia proporzionale ad x^4/5 mentre quello laminare era proporzionale a x^1/2; ciò significa che lo strato limite turbolento cresce in maniera molto più significativa di quello laminare, in quanto i vortici turbolenti diffondono quantità di moto lontano dalla piastra molto più efficacemente dei soli sforzi viscosi.
Lo sforzo tangenziale alla parete vale:

$\tau_b=0.058\rho\frac {U^2}2\left(\frac v {U x}\right)^{1/5}~~~~~(8.8)$

che integrata lungo l’intera lunghezza L della piastra fornisce la forza di trascinamento F_Df applicata sulla piastra piana:

$F_{Df}=\int_0^L\tau_b dx =0.072 \rho \frac{U^2}2 L\left(\frac v {UL}\right)^{1/5}~~~~~(8.9)$

Lo strato limite turbolento (segue)

Pertanto, il coefficiente di trascinamento di attrito C_Df vale:

$C_{Df}=\frac{F_{Df}}{\rho\frac{U^2}{2}L}=0.072 Re_L^{-1/5}~~~~~(8.10)$

Anche in questo caso, come nel moto laminare, non c’è azione di trascinamento di forma.

Va, infine, osservato che le espressioni ora presentate valgono solo per Re_L≤1×10⁷, mentre per valori superiori si devono considerare profili di velocità più complessi.