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Carlo Gualtieri » 7.La Turbolenza - Parte seconda


La cascata di vortici di Kolmogorov

Si è già visto che il processo di moto turbolento può essere interpretato come costituito da una serie di vortici, di diverse dimensioni e forza, dove i più piccoli sono incastrati in quelli più grandi, in continua modifica, i quali forniscono al moto un carattere di casualità. Ciò rende caratteristica del fenomeno turbolento la presenza, nel moto pienamente sviluppato, di un ampio spettro di scale di grandezza, sia spaziali che temporali, in relazione alle dimensioni dei vortici considerati, che sono, appunto, di diverse dimensioni per il continuo frammentarsi dei vortici più grandi in vortici più piccoli. Ciascun vortice può essere descritto da due parametri, il suo diametro d e la sua velocità orbitale ů, variabili da vortice a vortice; nell’ipotesi di turbolenza stazionaria, omogenea ed isotropa, tutti i vortici di una certa dimensione, ossia con lo stesso diametro d, si comportano più o meno allo stesso modo e presentano la stessa velocità orbitale, per cui si può assumere che ů sia, appunto, funzione di d (Fig.7.1).

Fig. 7.1 – Diametri e velocità orbitali nel caos di turbolenza omogenea

Fig. 7.1 - Diametri e velocità orbitali nel caos di turbolenza omogenea


La cascata di vortici di Kolmogorov (segue)

L’intervallo di variazione, nello spazio e nel tempo, della velocità è legata alla forte non-linearità dell’equazione del moto per valori elevati di Re. I termini non-lineari determinano, infatti, il diffondersi, attraverso una interazione fra le diverse scale di grandezza, dell’energia cinetica del moto dalle scale più grandi, dove essa è prodotta, a quelle più piccole, dove essa è dissipata dalla viscosità del fluido; tale processo è chiamato cascata dell’energia turbolenta o cascata di vortici (Fig.7.2).
Per chiarire meglio il concetto di eddies cascade conviene assumere un approccio lagrangiano, seguendo il moto di una particella lungo tale cascata, a partire, ovviamente, dai vortici più grandi. Una generica particella di fluido si muove, inizialmente, proprio secondo questi large eddies, i quali interagendo fra di loro e con i contorni del moto si frazionano in vortici più piccoli, o quali, a loro volta, per successive interazioni, danno a luogo a vortici più piccoli e così via, fino a quando, i vortici sono tanto piccoli da non riuscire a sostenere il loro movimento e sono distrutti dalla viscosità.

Fig. 7.2 – La cascata dell’energia turbolenta

Fig. 7.2 - La cascata dell'energia turbolenta


La cascata di vortici di Kolmogorov (segue)

In tale modello concettuale, il processo è stazionario e pertanto, il tasso di trasferimento dell’energia da una scala alla successiva deve essere uguale su tutte le scale, per cui nessun gruppo di vortici appartenenti alla stessa scala presenta una diminuzione o un aumento della sua energia totale nel tempo. In altre parole, il tasso di produzione dell’energia sulla scala più grande possibile, cui corrisponde un diametro dmax, è uguale al tasso di dissipazione sulla scala più piccola possibile, con diametro dmin e, quindi, tutti i vortici, sia grandi che piccoli, sono sempre contemporaneamente presenti nel moto turbolento.
Si può, pertanto, ora, definire ε il tasso di produzione/trasferimento/dissipazione dell’energia per unità di massa del fluido, che dimensionalmente è [L2·T-3]; in altre parole, tale parametro rappresenta, per unità di massa e di tempo, sia l’energia fornita al moto turbolento, sulla scala più grande, sia l’energia trasferita da una scala più grande ad una più piccola, sia, infine, l’energia dissipata, sulle scale più piccole, dalla viscosità. La teoria di Kolmogorov fa, inoltre, l’ipotesi che le caratteristiche dei vortici dipendano solo dal loro diametro d e dal tasso energetico caratteristico della cascata di vortici, ossia che la velocità orbitale ů dipende da d e da ε; l’analisi dimensionale mostra, quindi, che la velocità orbitale deve essere pari a:

\dot u (d)=A(\epsilon d)^{1/3}~~~~(7.1)

dove A è una costante adimensionale, che è all’incirca pari all’unità. La (7.1) mostra che quanto maggiore è il tasso energetico ε, tanto maggiore è la velocità orbitale posseduta dai vortici, ossia quanto maggiore è l’energia, ad esempio, fornita, tanto più grandi sono le dimensioni dei vortici generati dal sistema. D’altra parte, i vortici più piccoli dispongono di una velocità orbitale modesta, per cui l’intensità del fenomeno turbolento si riduce con la scala spaziale.

La cascata di vortici di Kolmogorov (segue)

In definitiva, secondo la teoria di Kolmogorov, il processo turbolento può essere osservato secondo tre scale diverse.
La scala più grande, detta anche scala integrale, che è legata alle dimensioni del sistema considerato. Nei problemi di Idraulica Ambientale, esiste, di solito, una forte differenza di scala fra le dimensioni verticali, come l’altezza o la profondità, che sono piuttosto modeste, e le dimensioni orizzontali, che sono molto maggiori, per cui, occorre chiaramente fare una distinzione fra i vortici che ruotano su un piano verticale intorno ad un asse orizzontale e quelli che ruotano in un piano orizzontale intorno ad un asse verticale e, nei fiumi, va fatta una ulteriore differenza fra vortici trasversali e vortici longitudinali. Nella scala più grande si ha il trasporto della quantità di moto e la produzione dell’energia cinetica del moto, che viene estratta dal moto medio; in tale scala il numero di Reynolds del moto, legato alla dimensione ed alla velocità caratteristiche di tale scala, è elevato, l’effetto della viscosità è poco importante, mentre quello delle condizioni al contorno è rilevante. I large eddies si frazionano in vortici più piccoli trasferendo ad essi, per effetto dei termini non-lineari dell’equazione di Navier-Stokes, energia cinetica in maniera efficace, ossia con una modesta perdita dell’energia stessa. Tali vortici si sviluppano secondo scale temporali e spaziali dell’ordine di quelle del moto medio, la cui velocità media e lunghezza caratteristica sono, rispettivamente, U e L, e la cui scala temporale è T≈L/U. Pertanto, la scala temporale dei large eddies è anch’essa pari a T≈LI/UI, dove LI e UI sono lunghezza caratteristica e velocità caratteristica dei large eddies. Ciò spiega l’importanza delle condizioni al contorno su questa scala del processo turbolento. Si noti che i rapporti LI/L e UI/U sono dell’ordine di 0.1-0.5.
Sulla scala intermedia, chiamata inertial subrange, che raccorda le due estreme, produzione e dissipazione di energia sono trascurabili e l’energia viene soltanto trasferita via via a vortici sempre più piccoli. Tale scala è delimitata inferiormente dalla cosiddetta microscala di Taylor, al di sotto della quale si ha l’inizio della dissipazione dell’energia cinetica per effetto della viscosità.

La cascata di vortici di Kolmogorov (segue)

Sulla scala più piccola, ossia dei small eddies, il gradiente di velocità è più forte, la viscosità diventa rilevante e l’energia cinetica del moto è dissipata sotto forma di calore dalla viscosità. Nelle condizioni di equilibrio della teoria di Kolmogorov, tale energia dissipata dalla viscosità è continuamente sostituita da quella trasferita dalla scala più grande del moto. La scala più piccola è caratterizzata da un valore del numero di Reynolds dei vortici, che contiene la velocità e la dimensione caratteristica dei vortici, prossimo ad 1, in quanto le forze di inerzia hanno all’incirca lo stesso valore delle forze viscose, ossia la viscosità cinematica è simile alla viscosità cinematica turbolenta. Pertanto, si ha:

\frac{U_KL_K}{\nu} \approx 1~~~~(7.2)

dove UK e LK sono la velocità e la lunghezza caratteristiche dei vortici di tale scala, chiamata microscala di Kolmogorov, da cui il pedice con la K, che è, quindi, la scala più piccola dei vortici, nei quali si ha la dissipazione di energia. In particolare, la lunghezza di Kolmogorov è pari al diametro dei vortici minimo prima introdotto, ossia dmin.

La cascata di vortici di Kolmogorov (segue)

Dal momento che LK dipende non solo da ε, che è il tasso cui l’energia è fornita a tale scala, ma anche dalla viscosità, in quanto i microvortici subiscono la presenza della viscosità, l’analisi dimensionale mostra che:

L_k \propto\frac{\nu^{3/4}}{\epsilon ^{1/4}}~~~~(7.3a)

che è la microscala spaziale di Kolmogorov Lk; la (7.3a) mostra che LK, ossia dmin, dipende dal livello energetico del fenomeno, nel senso che quanto più intenso è il processo turbolento, tanto più ridotta è la scala cui esso è in grado di estendersi. Le altre grandezze della microscala di Kolmogorov sono:
U_k \propto (\epsilon \nu)^{1/4}~~~~(7.3b)~~~~~~~~~~~~~T_k \propto \frac{\nu^{1/2}}{\epsilon^{1/2}}~~~~(7.3c)

La cascata di vortici di Kolmogorov (segue)

Va, infine, osservato che l’ampiezza dell’intervallo fra le scale del processo turbolento è legato al numero di Reynolds del moto. Si può, infatti, dimostrare che, se \dot U è la velocità orbitale dei vortici più grandi, il rapporto fa la scala spaziale più grande e quella più piccola vale:

\frac{d_{max}}{d_{min}}=\frac{L_I}{L_K}\approx \frac{L\dot U^{\displaystyle 3/4}}{\nu^{3/4}L^{1/4}}\approx Re^{3/4}~~~~(7.4)

per cui la crescere del numero di Reynolds di un moto, ossia al crescere del suo carattere turbolento, l’ampiezza dell’intervallo delle dimensioni dei vortici contenuti aumenta.
Dal momento che i piccoli movimenti si svolgono su una scala temporale molto ridotta, si può assumere che essi siano statisticamente indipendenti dal moto principale e dalla turbolenza di larga scala ad esso legata. In tale ipotesi, essi dipendono solo dall’energia trasferita lungo la cascata di vortici e dalla viscosità del fluido. Inoltre, poiché l’energia cinetica dei moti piccoli e medi varia secondo le caratteristiche del moto medio, si può ipotizzare che il comportamento sulla scala intermedia dipenda solo dall’energia trasferita dalla scala più grande, che è, poi, dissipata sulla scala inferiore. Tale approccio costituisce la base della teoria dell’equilibrio della turbolenza di Kolmogorov, che è basata sull’ipotesi che il numero di Reynolds sia abbastanza elevato per cui la scala dove ha luogo la produzione dell’energia cinetica turbolenta è ben distinta da quella dove ha luogo la sua dissipazione.

Le equazioni di Reynolds

Il moto turbolento è retto dalle l’equazione di continuità e le equazioni di Navier-Stokes, nelle quali, però, vengono ad essere introdotti anche i termini di agitazione, legati al carattere turbolento del moto, i quali determinano la presenza di termini aggiuntivi, che richiedono, come si vedrà, una opportuna trattazione. Si considerino adesso tali equazioni nella forma finora conosciuta, dove nelle equazioni del moto si è diviso per la densità:

\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0~~~~(4.3d)

\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac {\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z}=-g\frac{\partial z}{\partial x}-\frac 1 {\rho}\frac{\partial p}{\partial x}+\nu \nabla^2u

\frac{\partial v}{\partial t} + u \frac {\partial v}{\partial v}+v\frac{\partial v}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z}=-g\frac{\partial z}{\partial y}-\frac 1 {\rho}\frac{\partial p}{\partial y}+\nu \nabla^2v~~~~~~~(5.7c)

\frac{\partial w}{\partial t} + u \frac {\partial w}{\partial x}+v\frac{\partial w}{\partial y}+w\frac{\partial w}{\partial z}=-g\frac{\partial z}{\partial z}-\frac 1 {\rho}\frac{\partial p}{\partial z}+\nu \nabla^2w

Alle incognite presenti in queste equazioni, ossia le tre componenti della velocità, la pressione ed, eventualmente, la densità, si può applicare il procedimento di decomposizione di Reynolds; in particolare, la media che si va ad effettuare è di tipo temporale.

Le equazioni di Reynolds (segue)

Nell’ipotesi di processo turbolento stazionario, l’equazione di continuità diventa, a seguito della decomposizione di Reynolds e dopo aver fatto la media temporale:

\frac{\partial \bar u}{\partial x}+\frac {\overline{\partial u'}}{\partial x}+\frac {\partial \bar v}{\partial y}+\frac{\overline{\partial v'}}{\partial y}+\frac{\partial \bar w}{\partial z}+\frac {\overline{\partial w'}}{\partial z}=0~~~~(7.5a)

Tuttavia, si è visto che la media temporale di un termine di agitazione è nulla, mentre la media temporale di un termine già medio è identica a se stessa; pertanto, si ha:

\frac{\partial \bar u}{\partial x}+\frac{\partial \bar v}{\partial y}+\frac{\partial \bar w}{\partial z}=0~~~~(7.5b)

che è l’ equazione di continuità mediata alla Reynolds.

Le equazioni di Reynolds (segue)

Se si ripete l’operazione di decomposizione di Reynolds e di media temporale anche nella equazione del moto, si ha:

\frac{\partial \bar u}{\partial t}+\bar u \frac{\partial \bar u}{\partial x}{\overline {+u'{\frac{\partial u'}{\partial x}}}}+\bar v\frac{\partial \bar u}{\partial y}+{\overline {v'{\frac{\partial u'}{\partial y}}}}+\bar w \frac{\partial \bar u}{\partial z}+{\overline {w'{ \frac{\partial u'}{\partial z}}}}=-\frac {\bar\rho}{\rho_0}g\frac {\partial z}{\partial x}-\frac 1 {\rho_0}\frac {\partial \bar p}{\partial x}+\nu\nabla^2\bar u

\frac{\partial \bar v}{\partial t}+\bar u \frac{\partial \bar v}{\partial x}{\overline {+u'{\frac{\partial v'}{\partial x}}}}+\bar v\frac{\partial \bar v}{\partial y}+{\overline {v'{\frac{\partial v'}{\partial y}}}}+\bar w \frac{\partial \bar v}{\partial z}+{\overline {w'{ \frac{\partial v'}{\partial z}}}}=-\frac {\bar\rho}{\rho_0}g\frac {\partial z}{\partial y}-\frac 1 {\rho_0}\frac {\partial \bar p}{\partial y}+\nu\nabla^2\bar v~~~~~~~~~~~(7.6a)

\frac{\partial \bar w}{\partial t}+\bar u \frac{\partial \bar w}{\partial x}{\overline {+u'{\frac{\partial w'}{\partial x}}}}+\bar v\frac{\partial \bar w}{\partial y}+{\overline {v'{\frac{\partial w'}{\partial y}}}}+\bar w \frac{\partial \bar w}{\partial z}+{\overline {w'{ \frac{\partial w'}{\partial z}}}}=-\frac {\bar \rho}{\rho_0}g\frac {\partial z}{\partial z}-\frac 1 {\rho_0}\frac {\partial \bar p}{\partial z}+\nu\nabla^2\bar w

Dove si osserva che laddove i valori istantanei delle varie grandezze compaiono in espressioni di tipo lineare, come, ad esempio, la derivata rispetto al tempo, essi danno origine a termini dove sono presenti i corrispondenti valori medi temporali. Occorre, poi, chiedersi se il prodotti di due termini di agitazione sia nullo o meno. Si consideri un cilindro di fluido in moto nella direzione dell’asse del cilindro stesso; per effetto delle componenti trasversali della velocità, attraverso la sua superficie laterale ha luogo un continuo scambio di masse fluide. Tuttavia, mediamente, per l’equazione di continuità, in moto uniforme, la massa nel complesso uscente dal cilindro è uguale a quella entrante; se il fluido è incomprimibile, tale uguaglianza vale sia mediamente che in ogni istante.

Le equazioni di Reynolds (segue)

Se si passa a considerare la quantità di moto trasportata dalla massa entrante ed uscente, il bilancio non è più in pareggio in quanto le masse fluide elementari che attraversano la superficie in uscita, provenendo dalla regione centrale del campo del moto dove si hanno le velocità più elevate, possiedono mediamente quantità di moto maggiori di quelle che la attraversano in entrata, che arrivano dalla regione periferica dove si hanno le velocità più basse; pertanto, le prime cederanno il loro eccesso di quantità di moto al fluido più lento in cui verranno a trovarsi, mentre le seconde ne riceveranno, per cui il diagramma delle velocità tenderà a divenire più piatto. Pertanto, la media del prodotto di due termini di agitazione non è nulla.

Le equazioni di Reynolds (segue)

Dopo una serie di passaggi e dopo aver introdotto nella equazione del moto l’equazione della continuità mediata alla Reynolds, si ha, dopo aver portato al secondo membro i termini contenenti la media dei prodotti delle componenti di agitazione della velocità:

\frac{\partial \bar u}{\partial t}+\bar u \frac{\partial \bar u}{\partial x}+\bar v\frac {\partial \bar u}{\partial y}+\bar w\frac{\partial \bar u}{\partial z}=-\frac {\bar \rho}{\rho_0}g\frac{\partial z}{\partial x}-\frac 1 {\rho_0}\frac{\partial \bar \rho}{\partial x}+\nu\nabla^2\bar u -\overline{\frac{\partial u'u'}{\partial x}}-\overline{\frac{\partial u'v'}{\partial y}}-\overline{\frac{\partial u'w'}{\partial z}}

\frac{\partial \bar v}{\partial t}+\bar u \frac{\partial \bar v}{\partial x}+\bar v\frac {\partial \bar v}{\partial y}+\bar w\frac{\partial \bar v}{\partial z}=-\frac {\bar \rho}{\rho_0}g\frac{\partial z}{\partial y}-\frac 1 {\rho_0}\frac{\partial \bar p}{\partial y}+\nu\nabla^2\bar v -\overline{\frac{\partial v'u'}{\partial x}}-\overline{\frac{\partial v'v'}{\partial y}}-\overline{\frac{\partial v'w'}{\partial z}}~~~~~~~~~~~~(7.6b)

\frac{\partial \bar w}{\partial t}+\bar u \frac{\partial \bar w}{\partial x}+\bar v\frac {\partial \bar w}{\partial y}+\bar w\frac{\partial \bar w}{\partial z}=-\frac {\bar \rho}{\rho_0}g\frac{\partial z}{\partial z}-\frac 1 {\rho_0}\frac{\partial \bar p}{\partial z}+\nu\nabla^2\bar w -\overline{\frac{\partial w'u'}{\partial x}}-\overline{\frac{\partial w'v'}{\partial y}}-\overline{\frac{\partial w'w'}{\partial z}}

ovvero in forma vettoriale:

\frac{\partial \overline {\vec V}}{\partial t}+ \overline{\vec V}\cdsot \nabla\overline{\vec V}=\frac{\bar \rho}{\rho_0}~grad~ \bar p +\nu\nabla^2 \overline{\vec V}-\nabla \cdot \overline{V'V'}~~~~~~~~~~(7.7)

che è chiamata, assieme alle corrispondenti equazioni scalari, equazione del moto o equazione di Navier-Stokes mediata alla Reynolds. L’insieme della (7.5b) e della (7.7), o delle corrispondenti relazioni scalari , costituisce le cosiddette equazioni di Reynolds o Reynolds averaged Navier-Stokes (RANS) equations.

Le equazioni di Reynolds (segue)

Tale equazione è formalmente simile alla classica equazione di Navier-Stokes, solo che in essa compaiono i valori medi temporali delle corrispondenti grandezze del campo turbolento ed, inoltre, al secondo membro, sono presenti 3 termini ulteriori, che contengono, come si è visto, dei prodotti delle componenti di agitazione della velocità. Tali termini rappresentano il contributo del fenomeno turbolento al campo della velocità media e, se moltiplicati per la densità ρ, hanno le dimensioni di tensioni e sono, perciò, chiamati sforzi di Reynolds o sforzi turbolenti. Essi producono un effetto simile a quello degli sforzi di tipi viscoso, sebbene vada ricordato che questi ultimi hanno un base fisica nella viscosità del fluido, mentre gli sforzi turbolenti nascono dalla presenza di componenti di agitazione nel campo di moto turbolento. In altre parole, i vortici turbolenti trasportano diverse proprietà del fluido per effetto del loro moto casuale nelle tre dimensioni che si va a sovrapporre al moto principale, quello medio, del fluido (Fig.7.3).

Fig. 7.3 – Trasporto nel moto turbolento

Fig. 7.3 - Trasporto nel moto turbolento


Le equazioni di Reynolds (segue)

Gli sforzi di Reynolds definiscono un tensore simmetrico T, chiamato tensore degli sforzi di Reynolds:

T=\overline{V'V'}=\left|\begin{array}{lll} \overline{u'u'}~~~\overline {u'v'}~~~\overline{u'w'}\\ \\  \overline{v'u'}~~~\overline {v'v'}~~~\overline{v'w'}\\ \\  \overline{w'u'}~~~\overline {w'v'}~~~\overline{w'w'}\\ \\  \end{array}\right|~~~~~~~~(7.8)

Il problema della chiusura

La presenza degli sforzi di Reynolds fa sorgere il cosiddetto problema della chiusura. Infatti, mentre il sistema di 5 equazioni formato dall’equazione di continuità, dall’equazione di stato del fluido e dalle 3 equazioni scalari di Navier-Stokes costituiva un sistema chiuso in grado di definire le 5 incognite rappresentate dalla densità ρ, dalle tre componenti della velocità u, v e w e dalla pressione p, l’introduzione di altre incognite, vale a dire delle componenti di agitazione u’, v’ e w’, che si affiancano alle classiche incognite, in questo caso i loro valori medi, rende il problema aperto, ossia non risolvibile senza la presenza di altre equazioni. Infatti, nelle (7.6b), gli sforzi di Reynolds non sono affatto già quantificati ma soltanto messi in relazione con le componenti di velocità del moto medio. In realtà, l’approccio che utilizza le RANS non è l’unico possibile nello studio della turbolenza, perché è possibile anche sia operare direttamente sulle equazioni di Navier-Stokes mediante la cosiddetta Simulazione Numerica Diretta (DNS), sia utilizzando un metodo di filtraggio delle dette equazioni chiamato Large Eddy Simulation (LES), come si vedrà più avanti.

Fig. 7.4 – Classificazione degli approcci allo studio della turbolenza

Fig. 7.4 - Classificazione degli approcci allo studio della turbolenza


Il problema della chiusura (segue)

Se, invece, si vogliono utilizzare le RANS occorre, come detto, aggiungere delle equazioni supplementari, algebriche o differenziali, che vengono affiancate alle 5 già prima indicate per definire i termini di trasporto turbolento, ossia gli sforzi di Reynolds, in modo da rendere determinato il problema dinamico in moto turbolento, e che costituiscono quello che si chiama un modello di turbolenza. Pertanto, un modello di turbolenza non simula affatto in tutti i dettagli del moto turbolento ma, definendo i valori delle componenti di agitazione u’, v’ e w’, fornisce soltanto informazioni sugli effetti che la turbolenza ha sul moto medio del fluido. L’ordine del modello è legato al numero di equazione aggiuntive rispetto alle RANS che il modello introduce per risolvere il problema della chiusura. Fra i modelli di turbolenza più noti ed usati possono essere citati quello basato sul concetto di lunghezza di miscelazione (MLM) ed il modello k-ε. Alla base di entrambi c’è una analogia fra gli sforzi viscosi e quelli di Reynolds, ossia a mettere in relazione questi ultimi alla velocità di deformazione dell’elemento fluido, che, come è nota, è legata ai gradienti delle componenti della velocità nelle diverse direzioni spaziali.

Il problema della chiusura (segue)

Nel 1877, Boussinesq propose, seguendo un approccio simile a quello della diffusione molecolare, di esprimere gli sforzi di Reynolds in termini del gradiente della velocità:

\overline{-u'u'}=\nu_{t-x}\frac{\partial \bar u}{\partial x} ~~~~~~\overline{-u'v'}=\nu_{t-y}\frac{\partial \bar u}{\partial y}~~~~~~\overline{-u'w'}=\nu_{t-z}\frac{\partial \bar u}{\partial z}

\overline{-v'u'}=\nu_{t-x}\frac{\partial \bar v}{\partial x} ~~~~~~\overline{-v'v'}=\nu_{t-y}\frac{\partial \bar v}{\partial y}~~~~~~\overline{-v'w'}=\nu_{t-z}\frac{\partial \bar v}{\partial z}~~~~~~~~~~~~~(7.9)

\overline{-w'u'}=\nu_{t-x}\frac{\partial \bar w}{\partial x} ~~~~~~\overline{-w'v'}=\nu_{t-y}\frac{\partial \bar w}{\partial y}~~~~~~\overline{-w'w'}=\nu_{t-z}\frac{\partial \bar w}{\partial z}

dove vt-x, vt-y e vt-z [L2·T-1] sono i coefficienti di viscosità cinematica turbolenta (eddy viscosity) nelle direzioni x, y e z. Se si moltiplicano tutti i termini precedenti per la densità si ottengono i componenti del tensore degli sforzi e ciò giustifica perché essi siano chiamati sforzi turbolenti. Si noti che mentre la viscosità dinamica μ e la viscosità cinematica v sono proprietà del fluido, la viscosità dinamica turbolenta μt e la viscosità cinematica turbolenta vt sono caratteristiche del moto e dipendono dalla turbolenza e dalle sue scale spaziali e di velocità.

Il problema della chiusura (segue)

La (7.9) esprime il principio della viscosità turbolenta, che è, quindi, basato sull’ipotesi che le componenti di agitazioni agiscano come degli sforzi interni e che ogni deformazione degli elementi fluidi non cambi il loro volume. Va notato che il concetto di viscosità cinematica turbolenta deriva dall’ipotesi di una analogia fra i movimenti che hanno luogo su scala molecolare, da cui ha origine la legge di Stokes per la viscosità in moto laminare, e quelli di tipo turbolento. Come la viscosità molecolare è proporzionale alla velocità media del moto e al cammino medio libero delle molecole, la viscosità turbolenta può essere considerata proporzionale ad una velocità ed ad una lunghezza caratteristiche del moto turbolento. Va, però, osservato che questa analogia trova un punto debole nel fatto che i vortici turbolenti non sono dei corpi rigidi in grado di conservare la loro identità, come le molecole, e che i vortici più grandi, cui è legato il trasporto della quantità di moto, ed il loro cammino medio libero non sono affatto trascurabili rispetto al dominio del moto medio, come richiesto dalla teoria cinetica dei gas.

Il problema della chiusura (segue)

Le (7.9) consentono di esprimere in un’unica maniera gli sforzi di Reynolds e quelli viscosi, dal momento che entrambi dipendono dal gradiente della velocità media; inoltre, se si ipotizza che i coefficienti di viscosità turbolenta siano molto maggiori della viscosità del fluido, le RANS assumono la forma:

\frac{\partial \bar u}{\partial t}+\bar u\frac {\partial \bar u}{\partial x}+\bar v \frac{\partial \bar u}{\partial y}+\bar w \frac{\partial \bar u}{\partial z}=

-\frac{\bar \rho}{\rho_0}g\frac{\partial z}{\partial x}-\frac 1 {\rho_0}\frac{\partial \bar \rho}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial x}\biggl[\nu_{t-x}\frac{\partial \bar u}{\partial x}\biggr]+\frac \partial {\partial y}\biggl[\nu}_{t-y}\frac{\partial \bar u}{\partial y}\biggr]+\frac \partial {\partial z}\biggl[\nu_{t-z}\frac{\partial \bar u}{\partial z}\biggr]

\frac{\partial \bar v}{\partial t}+\bar u\frac {\partial \bar v}{\partial x}+\bar v \frac{\partial \bar v}{\partial y}+\bar w \frac{\partial \bar v}{\partial z}=

-\frac{\bar \rho}{\rho_0}g\frac{\partial z}{\partial y}-\frac 1 {\rho_0}\frac{\partial \bar p}{\partial y}+\frac{\partial}{\partial x}\biggl[\nu_{t-x}\frac{\partial \bar v}{\partial x}\biggr]+\frac \partial {\partial y}\biggl[\nu_{t-y}\frac{\partial \bar v}{\partial y}\biggr]+\frac \partial {\partial z}\biggl[\nu_{t-z}\frac{\partial \bar v}{\partial z}\biggr]~~~~~~~~~~~~(7.6c)

\frac{\partial \bar w}{\partial t}+\bar u\frac {\partial \bar w}{\partial x}+\bar v \frac{\partial \bar w}{\partial y}+\bar w \frac{\partial \bar w}{\partial z}=

-\frac{\bar \rho}{\rho_0}g\frac{\partial z}{\partial z}-\frac 1 {\rho_0}\frac{\partial \bar p}{\partial z}+\frac{\partial}{\partial x}\biggl[\nu_{t-x}\frac{\partial \bar w}{\partial x}\biggr]+\frac \partial {\partial y}\biggl[\nu_{t-y}\frac{\partial \bar w}{\partial y}\biggr]+\frac \partial {\partial z}\biggl[\nu_{t-z}\frac{\partial \bar w}{\partial z}\biggr]

Il problema della chiusura (segue)

Per poter utilizzare le RANS nella forma ora ricavata, nella quale gli sforzi di Reynolds, ossia le incognite aggiuntive introdotte dal processo di decomposizione di Reynolds, sono funzione del gradiente della velocità media del moto, occorre stimare il valore dei coefficienti di viscosità turbolenta. Infatti, l’introduzione del concetto di viscosità turbolenta sposta il problema della chiusura dalla stima degli sforzi di Reynolds a quella dei coefficienti di viscosità turbolenta.
Una prima stima di vt-x, vt-y e vt-z può essere ottenuta attraverso una misurazione diretta degli sforzi di Reynolds e dei gradienti della velocità media ed utilizzando la (7.6c). Si tratta, tuttavia, di una procedura di solito piuttosto lunga e difficile, che richiede un elevato numero di misure per poter avere una stima sufficientemente precisa.
Un altro metodo per la stima della viscosità turbolenta consiste nell’immettere un tracciante e nel misurare la diffusione nel tempo di tale sostanza; la viscosità turbolenta viene, poi, stimata in modo che essa fornisca un buon accordo fra le misure di campo delle concentrazioni nel tempo del tracciante ed i valori previsti dalle equazioni, nell’ipotesi che le caratteristiche del moto medio siano note. Tale procedura è, però, basata sulla risoluzione dell’equazione del trasporto advettivo-diffusivo in condizione di moto turbolento e sull’applicazione della analogia di Reynolds, che ipotizza che il trasporto della quantità di moto, della massa e del calore si svolga con valori simili del generico coefficiente di diffusione, in quanto il trasporto di tutte queste grandezze dipende dagli stessi vortici turbolenti.

DNS e LES

Come si è detto, lo studio della turbolenza in tutte le sue scale può essere effettuato attraverso la simulazione diretta delle equazioni di Navier-Stokes, senza alcun tipo di chiusura. Tale approccio è chiamato simulazione numerica diretta (DNS).
Dal momento che la DNS deve essere capace di simulare tutte le scale del moto, il dominio di calcolo deve essere abbastanza grande da poter riprodurre correttamente l’evoluzione spazio-temporale delle scale più grandi e ricche di energia, che sono governate dalle condizioni al contorno. D’altra parte, le dimensioni delle griglie di calcolo devono essere sufficientemente piccole da riuscire a catturare le scale più piccole dove ha luogo la dissipazione dell’energia cinetica. Tutto ciò rende una diretta simulazione del fenomeno turbolento decisamente onerosa dal punto di vista computazionale, anche se il rapido sviluppo delle capacità di calcolo dei supercomputers apre delle interessanti prospettive all’impiego della DNS, che offre anche la possibilità di una migliore conoscenza del fenomeno fisico della turbolenza, anche se il numero di Reynolds delle simulazioni è ancora al di sotto di quello delle applicazioni pratiche.

DNS e LES (segue)

La large-eddy simulation (LES) si basa sull’osservazione che la scala più grande e più ricca di energia della turbolenza è anisotropa e fortemente dipendente dalle condizioni al contorno del campo di moto, laddove la scala più piccola, dissipativa, della turbolenza mostra dei caratteri di universalità. La scala piccola tende, inoltre, ad essere molto più isotropa ed indipendente dalle condizioni al contorno, ossia dalla maniera in cui la turbolenza è prodotta nel campo di moto. Sulla base di queste considerazioni, si è pensato di risolvere direttamente la scala più grande del moto attraverso le equazioni di Navier-Stokes in tre dimensioni ed in condizioni non-stazionarie, mentre gli effetti delle scale più piccole sono portati in conto attraverso un modello a parte, del tipo SGS (subgrid-scale). Dal punto di vista fisico, il senso del metodo è molto chiaro. La scala più grande dove la turbolenza è prodotta è risolta direttamente assieme alla parte superiore dell’inertial subrange, dove ha luogo il trasferimento non-viscoso e non-lineare dell’energia verso le scale inferiori. La parte rimanente dello spettro turbolento non è risolta direttamente ma si usa un modello che assorbe e dissipa l’energia proveniente dalla scala più grande. La scala inferiore viene eliminata dalle equazioni della turbolenza mediante un procedimento di filtro spaziale. L’approccio LES è ancora allo stato di ricerca e richiede un impegno di calcolo ancora notevole.

I materiali di supporto della lezione

C. GUALTIERI (2006). Appunti di Idraulica Ambientale. CUEN Editore, 2006, pp.410 (ISBN 88-7146-717-5)

P. K. KUNDU, I. M. COHEN (2004). Fluid Mechanics (3° Edition). Elsevier, 2004, pp.760 (ISBN 978-0-12-178253-5)

B. CUSHMAN-ROISIN (2003), Environmental fate and transport, Lecture Notes, Darmouth College, Hanover, NH, USA

O. KOLDITZ (2004), Computational methods in environmental fluid mechanics, Springer Verlag, Berlin, Germany, pp.378

R. VERZICCO (2007). Appunti di Turbolenza, 2007, pp.45

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