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Domenico Pirozzi » 3.Bioreattori continui miscelati


Bioreattori continui miscelati‏

Vantaggi

  • Cicli produttivi lunghi, tempi morti ridotti
  • La possibilità di operare per lunghi periodi in condizioni di regime stazionario semplifica l’ottimizzazione delle condizioni operative ed il controllo  dell’impianto, e garantisce la qualità costante del prodotto

Svantaggi

  •  Poco versatili
  • La sterilizzazione in continuo è costosa e meno affidabile
  • Rischio elevato di mutazioni genetiche, per la lunghezza dei cicli produttivi
  • Poco adatti per processi con crescita di biomassa lenta o nulla
Figura 1 -Schema di un reattore fed-batch.

Figura 1 -Schema di un reattore fed-batch.


Modello matematico

Bilancio sulla biomassa

V \frac{dX}{dt}=V \mu X-QX~~~~[1]

V [lt] volume del reattore

Q [lt h-1] portata volumetrica delle correnti di ingresso e di uscita

X [g lt-1] concentrazione della biomassa

μ [h-1] velocità di crescita specifica

NOTA: il bilancio [1] differisce dal bilancio sulla biomassa per il reattore discontinuo solo per l’aggiunta del termine Q(X), che rappresenta la portata ponderale della biomassa in uscita dal reattore.

Dividendo per V, ed esprimendo μ  attraverso il modello di Monod semplificato (Cap. I):

\frac{dX}{dt}=\mu_{max}\frac{S}{S+K_{M}} X-DX~~~~[2]

S [g lt-1] concentrazione del nutriente cineticamente limitante.

D [h-1] dilution rate (= Q/V).


Modello matematico

Bilancio sul nutriente

Noti i parametri cinetici μmax e KM, il bilancio sulla biomassa [2] fornisce un’equazione differenziale nelle incognite X(t) ed S(t).

La determinazione dei profili X(t) e S(t) richiede una seconda equazione, che si può ottenere scrivendo il bilancio sul nutriente:

V \frac{dS}{dt}=-V Y_{xs} \mu X+Q\left (S_{F}-S\right )~~~~[3]

Yxs [adimensionale] fattore di resa: grammi di nutriente (S) consumati per produrre un grammo di biomassa (X).

NOTA: il bilancio [3] differisce dal bilancio sul nutriente per il reattore discontinuo solo per l’aggiunta del termine Q(SF-S), che rappresenta le portate ponderali del nutriente in ingresso ed in uscita dal reattore.

Dividendo per V, ed esprimendo μ  attraverso il modello di Monod semplificato (Cap. I):

 \frac{dS}{dt}=-Y_{xs}\mu_{max}\frac{S}{S+K_{M}} X+D\left (S_{F}-S\right )~~~[4]

Modello matematico

I bilanci [2] e [4] costituiscono un sistema di due equazioni differenziali nelle incognite X(t) e S(t), che può essere risolto conoscendo i parametri cinetici μmax e KM, la dilution rate ed i valori di X ed S all’istante iniziale.

\left\{\begin{matrix}\frac{dX}{dt}=\mu_{max}\frac{S}{S+K_{M}} X-DX ~~~~~~[2]\\ \\ \frac{dS}{dt}=-Y_{xs}\mu_{max}\frac{S}{S+K_{M}} X+D\left (S_{F}-S\right )~~~~~~ [4] \end{matrix}\right.

 

I profili X(t) ed S(t) indicano (figura 2), dopo una fase iniziale di transitorio, il raggiungimento di una condizione di regime stazionario, che in teoria può essere mantenuta indefinitamente.

Figura 2 – Profili concentrazione-tempo in un reattore continuo miscelato.

Figura 2 - Profili concentrazione-tempo in un reattore continuo miscelato.


Modello matematico

Bilancio su un prodotto metabolico P

Nell’ipotesi che la corrente di ingresso non contenga prodotto metabolico (PF=0):

V\frac{dP}{dt}=VY_{xp}\mu X-QP~~~~[5]

Yxp [adimens] fattore di resa: grammi di prodotto metabolico (P) generati per produrre un grammo di biomassa (X)

Dividendo per V, ed esprimendo μ attraverso il modello di Monod, si ottiene:

\frac{dP}{dt}=Y_{xp}\mu_{max}\frac{S}{S+K_{M}} X-DP~~~~[6]

L’equazione [6] consente di determinare il profilo di concentrazione di P in funzione del tempo (figura 2).

Condizioni stazionarie

Determinazione delle condizioni stazionarie

Nell’ipotesi di condizioni stazionarie, i bilanci [2] e [4] possono essere semplificati, trascurando i termini di accumulo.

\left\{\begin{array}{ll}0= \mu_{max}\frac{S}{S+K_{M}} X-DX~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~[7]\\ \\ 0=-Y_{xs}\mu_{max}\frac{S}{S+K_{M}} X+D\left (S_{F}-S\right )~~~~~~~[8]\end{array}\right

ovvero:

\left\{\begin{array}{ll}\mu_{max}\frac{S}{S+K_{M}} X=DX ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~[9] \\ \\ Y_{xs}\mu_{max}\frac{S}{S+K_{M}} X=D\left (S_{F}-S\right )~~~~~~~~~~~~~~~[10]\end{array}\right

L’equazione [9] indica che le condizioni di regime stazionario corrispondono ad una situazione di equilibrio tra la velocità di generazione di biomassa nel fermentatore (rappresentata dal I membro della [9] ) e la portata ponderale della biomassa in uscita dal reattore (II membro della [9]).

Dunque, affinché si possano raggiungere condizioni stazionarie è necessario che i microorganismi si riproducano con velocità sufficiente a compensare la fuoriuscita di biomassa attraverso la corrente effluente.

Condizioni stazionarie

Determinazione delle condizioni stazionarie (continua)

L’equazione [9] può essere semplificata:

\mu_{max}\frac{S}{S+K_{M}}=D~~~~[11]

Dividendo membro a membro le equazioni [10] e [9] :

Y_{xs}=\frac{\left (S_{F}-S\right )}{X}~~~~[12]

Dalle equazioni [11] e [12]:

S= \frac{\left DK_{M}}{\left (\mu_{max}-D\right )}~~~~[13]

X=\frac{\left (S_{F}-S\right )}{ Y_{xs}}~~~~[14]

Le equazioni [13] e [14] consentono di determinare i valori di X ed S relativi alle condizioni di regime stazionario.

La relazione [14] mostra che, se il fattore di resa Yxs è costante, la relazione tra X(t) e S(t) è lineare.

Condizioni stazionarie

La figura 3 riporta le condizioni di regime stazionario (ricavate dalle equazioni [13] e [14] ) in funzione della dilution rate.

Al crescere di D, le condizioni stazionarie raggiunte sono caratterizzate da valori inferiori di X, e (di conseguenza) da valori di S più alti.

Esiste un valore limite di D in corrispondenza del quale X si annulla (condizione di wash-out), ed S coincide con la concentrazione di nutriente nella corrente di alimentazione (SF).

Il valore di D in corrispondenza del quale si verificano le condizioni di wash-out (Dwash-out) può essere determinato dalla relazione [11], ponendo S= SF:

\mu_{max}\frac{S_{F}}{S_{F}+K_{M}}=D_{wash-out}~~~~[15]

Figura 3 – Condizioni di regime stazionario in un reattore continuo miscelato al variare della dilution rate.

Figura 3 - Condizioni di regime stazionario in un reattore continuo miscelato al variare della dilution rate.


Condizioni stazionarie

Bilancio stazionario su un prodotto metabolico P

Nell’ipotesi di condizioni stazionarie, anche il bilancio [6] diventa:

0=Y_{xp}\mu_{max}\frac{S}{S+K_{M}} X-DP~~~~~[16]

ovvero:
Y_{xp}\mu_{max}\frac{S}{S+K_{M}} X=DP~~~~~[17]

La relazione [17] consente di calcolare il valore di P in condizioni di regime stazionario (figura 3):

P=\frac{1}{D}Y_{xp}\mu_{max}\frac{S}{S+K_{M}} X~~~~~[18]

Dividendo membro a membro le equazioni [17] e [9]:

Y_{xp}=\frac{P}{X}~~~~~[19]

La relazione [19] mostra che, se il fattore di resa Yxp è costante, la relazione tra X e P in condizioni di regime stazionario è lineare.

Produttività

La quantità di biomassa prodotta da un reattore continuo miscelato nell’unità di tempo è pari al prodotto (DX). Dall’equazione [9] si ricava:

DX=\mu_{max}\frac{S}{S+K_{M}} X~~~~~[20]

L’andamento della produttività intermini di biomassa è riportato in Figura 4 in funzione della dilution rate (curva tratteggiata).

La produttività è nulla per valori molto bassi di D (essendo proporzionale a D), ma anche per valori di D prossimi a quello di wash-out (in queste condizioni il valore di X tende a zero).

Esiste un valore ottimale di D (Dopt) in corrispondenza del quale la produttività è massima.

Figura 4 – Condizioni di regime stazionario in un reattore continuo miscelato al variare della dilution rate.

Figura 4 - Condizioni di regime stazionario in un reattore continuo miscelato al variare della dilution rate.


Produttività

Sostituendo le relazioni [13] [14] nella [20], ed imponendo d(DX)/dt=0, si ottiene:

D_{opt}=\mu_{max}\left (1- \frac{1}{\sqrt{1+\frac{K_{M}}{S_{F}}}} \right )~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~[21]

S_{opt}=-\frac{K_{M}}{S_{F}}+\sqrt{\frac{K_{M}}{S_{F}}^{2}+\frac{K_{M}}{S_{F}}}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~[22]

(D\cdot X)_{opt}=\mu_{max}\cdot Y_{sx}\cdot S_{F} \left (\sqrt{1+\frac{K_{M}}{S_{F}}} -\sqrt{\frac{K_{M}}{S_{F}}}  \right )^{2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~[23]

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