Adottando il modello di Monod semplificato (Cap. I), i bilanci su X ed S (Cap. I) costituiscono un sistema di due equazioni differenziali nelle incognite X(t) e S(t):
Se S0>>KM, i profili X(t) e S(t) mostrano inizialmente una fase di crescita esponenziale (figura 1). Infatti, il II membro della [1] si riduce al prodotto (μmaxS) e dunque la velocità di crescita della biomassa (dX/dt) sarà proporzionale alla concentrazione (X).
La fase di crescita esponenziale si osserva più facilmente riportando i profili in scala semilogaritmica (tratto rettilineo in figura 2).
Riducendo il valore iniziale della concentrazione della biomassa (X0) si riduce la velocità di crescita della biomassa, come era da aspettarsi trattandosi di una reazione autocatalitica.
La riduzione di X0 determina un consumo più lento del nutriente, e dunque una durata maggiore del ciclo produttivo.
Riducendo il valore iniziale della concentrazione del nutriente cineticamente limitante (S0) si riduce la velocità di crescita della biomassa, come indicato dal modello di Monod (Cap. I).
Di conseguenza, la durata del ciclo produttivo può essere più lunga.
Riducendo S0 , la concentrazione di biomassa ottenuta al termine del processo si ridurrà proporzionalmente, data la costanza dei fattori di resa.
Se il rapporto S0 non è significativamente maggiore di Km (curve tratteggiate nelle figure 5-6), non si registra una vera e propria fase esponenziale all’inizio del processo.
Se la concentrazione iniziale del nutriente cineticamente limitante (S0) assume valori molto maggiori di Km, la transizione tra la fase esponenziale e la fase stazionaria è molto netta.
In questo caso il sistema si può considerare in condizioni di crescita esponenziale per l’intera durata del ciclo produttivo.
Aumentando il valore del parametro μmax, la crescita della biomassa è più rapida, così come il consumo del nutriente.
I valori di X ed S ottenuti alla fine del processo rimarranno invariati.
Aumentando il valore del parametro Km, la crescita della biomassa è più lenta.
Se S0 non è significativamente maggiore di Km, non si registra una vera e propria fase esponenziale all’inizio del processo.
I valori di X ed S ottenuti alla fine del processo rimarranno invariati.
Se il parametro Km assume valori molto minori di S0, la transizione tra la fase esponenziale e la fase stazionaria è molto netta.
In questo caso il sistema si può considerare in condizioni di crescita esponenziale per l’intera durata del ciclo produttivo.
Riducendo il fattore di resa Yxs (dunque adottando condizioni per cui è necessario consumare una minore quantità di nutriente per ottenere 1 g di biomassa) il profilo X(t) rimane invariato nella prima parte del processo, mentre il nutriente si consuma più lentamente, e la durata del ciclo produttivo aumenta.
Nella seconda parte del processo, il profilo X(t) raggiunge un asintoto più elevato. Infatti, per effetto della riduzione del fattore di resa, la quantità di nutriente disponibile consente di ottenere una quantità di biomassa maggiore.
Diagrammando i valori di X(t) contro quelli di S(t) nelle varie fasi del processo, si ottiene un andamento lineare.
Riducendo il fattore di resa Yxs la pendenza della retta aumenta, indicando che è possibile ottenere una quantità di biomassa maggiore dal nutriente inizialmente disponibile.
Modello logistico
In alcuni casi, la cinetica di crescita dei microorganismi è descritta efficacemente dal modello logistico (figura 18):
A differenza del modello di Monod, la velocità di crescita specifica della biomassa (μ) è funzione di X (non di S). Al crescere di X, μ decresce, fino ad azzerarsi quando X raggiunge il valore limite KX.
I bilanci su X ed S assumono la seguente forma:
I profili X(t) e S(t) in figura 19 mostrano che, al termine del ciclo produttivo, il nutriente S non si esaurisce (come invece è previsto dal modello di Monod).
Altri modelli cinetici
Modello di Teissier
Modello di Moser
Modello di Contois
Modello di Blackman
1. Bioreattori discontinui - Parte prima
2. Bioreattori discontinui - Parte seconda
3. Bioreattori continui miscelati
4. Bioreattori continui miscelati - Parte seconda
1. Bioreattori discontinui - Parte prima
2. Bioreattori discontinui - Parte seconda
3. Bioreattori continui miscelati
4. Bioreattori continui miscelati - Parte seconda
10. Biocombustibili di II generazione
I podcast del corso sono disponibili anche tramite Feed RSS.