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Domenico Pirozzi » 2.Bioreattori discontinui - Parte seconda


Profili di concentrazione

Adottando il modello di Monod semplificato (Cap. I), i bilanci su X ed S (Cap. I) costituiscono un sistema di due equazioni differenziali nelle incognite X(t) e S(t):

\left\{\begin{array}\frac{dX}{dt}=\mu_{max}\frac{S}{S+K_{M}} X [1]\\ \\-\frac{dS}{dt}=Y_{xs}\mu_{max}\frac{S}{S+K_{M}} X [2]\end{array}\right

Se S0>>KM, i profili X(t) e S(t) mostrano inizialmente una fase di crescita esponenziale (figura 1). Infatti, il II membro della [1] si riduce al prodotto (μmaxS) e dunque la velocità di crescita della biomassa (dX/dt) sarà proporzionale alla concentrazione (X).

La fase di crescita esponenziale si osserva più facilmente riportando i profili in scala semilogaritmica (tratto rettilineo in figura 2).

Figura 1– Profili concentrazione-tempo in un fermentatore discontinuo.

Figura 1– Profili concentrazione-tempo in un fermentatore discontinuo.

Figura 2 – Profili della figura 1 riportati in scala semilogaritmica.

Figura 2 – Profili della figura 1 riportati in scala semilogaritmica.


Effetto dei parametri

Riducendo il valore iniziale della concentrazione della biomassa (X0) si riduce la velocità di crescita della biomassa, come era da aspettarsi trattandosi di una reazione autocatalitica.

La riduzione di X0 determina  un consumo più lento del nutriente, e dunque una durata maggiore del ciclo produttivo.

Figura 3– Profili concentrazione-tempo in un fermentatore discontinuo.

Figura 3– Profili concentrazione-tempo in un fermentatore discontinuo.

Figura 4 – Profili della figura 3 riportati in scala semilogaritmica.

Figura 4 – Profili della figura 3 riportati in scala semilogaritmica.


Effetto dei parametri (segue)

Riducendo il valore iniziale della concentrazione del nutriente cineticamente limitante (S0) si riduce la velocità di crescita della biomassa, come indicato dal modello di Monod (Cap. I).

Di conseguenza, la durata del ciclo produttivo può essere più lunga.

Riducendo S0 , la concentrazione di biomassa ottenuta al termine del processo si ridurrà proporzionalmente, data la costanza dei fattori di resa.

Se il rapporto S0 non è significativamente maggiore di Km (curve tratteggiate nelle figure 5-6), non si registra una vera e propria fase esponenziale all’inizio del processo.

Figura 5– Profili concentrazione-tempo in un fermentatore discontinuo.

Figura 5– Profili concentrazione-tempo in un fermentatore discontinuo.

Figura 6 – Profili della figura 5 riportati in scala semilogaritmica.

Figura 6 – Profili della figura 5 riportati in scala semilogaritmica.


Effetto dei parametri (segue)

Se la concentrazione iniziale del nutriente cineticamente limitante (S0) assume valori molto maggiori di Km, la transizione tra la fase esponenziale e la fase stazionaria è molto netta.

In questo caso il sistema si può considerare in condizioni di crescita esponenziale per l’intera durata del ciclo produttivo.

Figura 7 – Profili concentrazione-tempo in un fermentatore discontinuo.

Figura 7 – Profili concentrazione-tempo in un fermentatore discontinuo.

Figura 8 – Profili della figura 7 riportati in scala semilogaritmica.

Figura 8 – Profili della figura 7 riportati in scala semilogaritmica.


Effetto dei parametri (segue)

Aumentando il valore del parametro μmax, la crescita della biomassa è più rapida, così come il consumo del nutriente.

I valori di X ed S ottenuti alla fine del processo rimarranno invariati.

Figura 9 – Profili concentrazione-tempo in un fermentatore discontinuo.

Figura 9 – Profili concentrazione-tempo in un fermentatore discontinuo.

Figura 10 – Profili della figura 9 riportati in scala semilogaritmica.

Figura 10 – Profili della figura 9 riportati in scala semilogaritmica.


Effetto dei parametri (segue)

Aumentando il valore del parametro  Km, la crescita della biomassa è più lenta.

Se S0 non è significativamente maggiore di Km, non si registra una vera e propria fase esponenziale all’inizio del processo.

I valori di X ed S ottenuti alla fine del processo rimarranno invariati.

Figura 11 – Profili concentrazione-tempo in un fermentatore discontinuo.

Figura 11 – Profili concentrazione-tempo in un fermentatore discontinuo.

Figura 12 – Profili della figura 11 riportati in scala semilogaritmica.

Figura 12 – Profili della figura 11 riportati in scala semilogaritmica.


Effetto dei parametri (segue)

Se il parametro  Km  assume valori molto minori di S0, la transizione tra la fase esponenziale e la fase stazionaria è molto netta.

In questo caso il sistema si può considerare in condizioni di crescita esponenziale per l’intera durata del ciclo produttivo.

Figura 13 – Profili concentrazione-tempo in un fermentatore discontinuo.

Figura 13 – Profili concentrazione-tempo in un fermentatore discontinuo.

Figura 14 – Profili della figura 13 riportati in scala semilogaritmica.

Figura 14 – Profili della figura 13 riportati in scala semilogaritmica.


Effetto dei parametri (segue)

Riducendo il fattore di resa Yxs  (dunque adottando  condizioni per cui è necessario consumare una minore quantità di nutriente per ottenere 1 g di biomassa) il profilo X(t) rimane invariato nella prima parte del processo, mentre il nutriente si consuma più lentamente, e la durata del ciclo produttivo aumenta.

Nella seconda parte del processo, il profilo X(t) raggiunge un asintoto più elevato. Infatti, per effetto della riduzione del fattore di resa, la quantità di nutriente disponibile consente di ottenere una quantità di biomassa maggiore.

Figura 15– Profili concentrazione-tempo in un fermentatore discontinuo.

Figura 15– Profili concentrazione-tempo in un fermentatore discontinuo.

Figura 16 – Profili della figura 15 riportati in scala semilogaritmica.

Figura 16 – Profili della figura 15 riportati in scala semilogaritmica.


Effetto dei parametri (segue)

Diagrammando i valori di X(t) contro quelli di S(t) nelle varie fasi del processo, si ottiene un andamento lineare.

Riducendo il fattore di resa Yxs  la pendenza della retta aumenta, indicando che è possibile ottenere una quantità di biomassa maggiore dal nutriente inizialmente disponibile.

Figura 17– Profili concentrazione-tempo in un fermentatore discontinuo.

Figura 17– Profili concentrazione-tempo in un fermentatore discontinuo.


Modelli cinetici alternativi al modello di Monod

Modello logistico

In alcuni casi, la cinetica di crescita dei microorganismi è descritta efficacemente dal modello logistico (figura 18):

\mu =\mu_{max}\left 1-\frac{X}{K_{X}}\right~~~~[3]

A differenza del modello di Monod, la velocità di crescita specifica della biomassa (μ) è funzione di X (non di S). Al crescere di X, μ  decresce, fino ad azzerarsi quando X raggiunge il valore limite KX.

I bilanci su X ed S assumono la seguente forma:

\left\{\begin{matrix}\frac{dX}{dt}=\mu_{max} \left (1-\frac{X}{K_{X}} \right ) X [4]\\ \\-\frac{dS}{dt}=Y_{xs}\mu_{max} \left (1-\frac{X}{K_{X}} \right ) X [5]<br /> \end{matrix}\right

I profili X(t) e S(t)  in figura 19 mostrano che, al termine del ciclo produttivo, il nutriente S non si esaurisce (come invece è previsto dal modello di Monod).

Figura 18– Rappresentazione grafica del modello logistico.

Figura 18– Rappresentazione grafica del modello logistico.

Figura 19– Profili concentrazione-tempo ricavati dalle equazioni [4] e [5].

Figura 19– Profili concentrazione-tempo ricavati dalle equazioni [4] e [5].


Modelli cinetici alternativi al modello di Monod (segue)

Altri modelli cinetici

Modello di Teissier

\mu =\mu_{max}\left \left (1-e^{\frac{S}{K_{S}}}\right  \right )~~~~[6]

Modello di Moser

x=\mu_{max}\frac{S^n}{S^n+K_{M}}~~~~[7]

Modello di Contois

x=\mu_{max}\frac{S}{S+K_{M}X}~~~~[8]

Modello di Blackman

\mu=\left\{\begin{matrix}\mu_{max}\frac{S}{2K_{M}} \\\mu_{max}\end{matrix}\right

\begin{matrix}S\leq 2K_{M}  \\S\ > 2K_{M}\end{matrix} [9]

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