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Bioreattori fed-batch

I bioreattori fed-batch (figura 1) combinano i vantaggi dei fermentatori continui e di quelli discontinui, consentendo di realizzare cicli produttivi piuttosto lunghi, pur mantenendo costanti alcune variabili operative.

Le portate in ingresso sono generalmente piccole, consentendo la sterilizzazione discontinua dei nutrienti alimentati.

Sono adatti per processi con crescita di biomassa lenta o nulla.

Sono utilizzati sia per la produzione di biomassa (lieviti da cucina) che per la produzione di metaboliti (penicillina).

Figura 1 - Schema di un reattore fed-batch.

Modello matematico

Bilancio di materia su un generico componente F (nutriente, biomassa, o prodotto), presente in concentrazione C nel fermentatore ed in concentrazione C_F nella corrente entrante:

$\frac{d(cV)}{dt}=Vr_{GEN}+c_{F}Q(t)~~~[1]$

il volume del reattore è funzione (crescente) del tempo: V=V(t). In generale anche la portata di alimentazione è funzione del tempo: Q=Q(t). Volume e portata di alimentazione sono legate dalla relazione:

$\frac{dV(t)}{dt}= Q(t)~~~~~~~~~~~~~~~[2]$

Dalla [1] si ricava:

$V\frac{dc}{dt}+ c\frac{dV}{dt}=Vr_{GEN}+c_{F}Q(t)~~~~~~~~~[3]$

$V\frac{dc}{dt}+ cQ(t)=Vr_{GEN}+c_{F}Q(t)~~~~~~~~[4]$

$\frac{dc}{dt}+ c\frac{ Q(t)}{ V(t)}= r_{GEN}+c_{F} \frac{ Q(t)}{ V(t)}~~~~~~~~~~~~[5]$

$\frac{dc}{dt}= r_{GEN}+\frac{ Q(t)}{ V(t)} (c_{F}-c)~~~~~~~~~~~~~~~~[6]$

Modello matematico

La relazione [6] è formalmente simile ai bilanci di materia utilizzati per i reattori continui (Cap. II), anche se V(t) e Q(t) sono funzioni del tempo.

Applicando il bilancio [6] alla biomassa (X) ed al nutriente (S) :

$\frac{dX}{dt}=\mu X-\frac{ Q(t)}{ V(t)} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~[7]$

$\frac{dS}{dt}= -Y_{xs} \mu X +\frac{ Q(t)}{ V(t)} (S_{F}-S)~~~~~~~~~~~~[8]$

Se sono noti i parametri cinetici μ_maxe K_M, i fattori di resa e la composizione della corrente in ingresso, le 3 equazioni [2] [7] e [8] contengono 4 incognite: X(t)‏, S(t), V(t), Q(t)‏.

Rimane un grado di libertà, può essere saturato imponendo che la concentrazione di nutriente S nel reattore rimanga costante nel tempo:

$\frac{dS}{dt}= 0 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~[9]$

ovvero:

$S=S_{0} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~[10]$

Modello matematico

Adottando il modello cinetico di Monod semplificato (Cap. I), la costanza di S implica la costanza di μ:

$\mu=\mu _{0}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~[11]$

Sostituendo la relazione [9] nel bilancio sul nutriente [8]:

$0= -Y_{xs} \mu_{0} X +\frac{ Q(t)}{ V(t)} (S_{F}-S_{0})~~~~~~[12]$

ovvero:

$Q(t)= \frac{ Y_{xs} \mu_{0} X V(t) }{ (S_{F}-S_{0})}~~~~~~~~~[13]$

Modello matematico

Il bilancio sulla biomassa [7] può essere così riformulato:

$\frac{dX}{dt}=\mu_{0} X-\frac{ Q(t)}{ V(t)} X ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~[14]$

$\frac{dX}{dt}=\mu_{0} X-\frac{ dV}{dt}\frac{ 1}{V} X ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~[15]$

$V\frac{dX}{dt}=V\mu_{0} X-\frac{ dV}{dt} X ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~[16]$

$V\frac{dX}{dt}+\frac{ dV}{dt} X =V\mu_{0} X ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~[17]$

$\frac{d(VX)}{dt} =\mu_{0}V X ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~[18]$

$VX = V_{0} X_{0} e^{\mu_{0} t} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~[19]$

Modello matematico

NOTA: il bilancio [19] indica che la quantità totale di biomassa presente nel fermentatore (espressa dal prodotto VX a primo membro), cresce esponenzialmente nel tempo, esattamente come accade nei fermentatori discontinui.

In questo caso, però, il volume V non è una costante ma una funzione crescente del tempo, e dunque i profili di concentrazione di biomassa X saranno qualitativamente diversi da quelli registrati nei fermentatori discontinui.

Figura 2 -Profili concentrazione-tempo in un fermentatore fed-batch.

Modello matematico

Sostituendo la relazione [19] nel bilancio sul nutriente [13]:

$Q(t)= \frac{ Y_{xs} \mu_{0} X V(t) }{ (S_{F}-S_{0})}= \frac{ Y_{xs} \mu_{0} V_{0} X_{0} e^{\mu_{0} t}}{ (S_{F}-S_{0})}~~~~~~[20]$

La relazione [20] indica che, per mantenere costante la concentrazione del nutriente S nel fermentatore, è necessario che la portata volumetrica della corrente di ingresso Q(t) aumenti esponenzialmente (figura 2).

Questo risultato è spiegabile osservando che, poiché la quantità di biomassa contenuta nel reattore aumenta esponenzialmente (relazione [19]), in condizioni di regime stazionario anche la quantità di nutriente alimentato deve seguire lo stesso andamento.

Modello matematico

Integrando la relazione [20] è possibile determinare il profilo del volume nel tempo:

$\frac{ dV}{dt}= \frac{ Y_{xs} \mu_{0} V_{0} X_{0} e^{\mu_{0} t}}{ (S_{F}-S_{0})}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~[21]$

$V- V_{0}= \frac{ Y_{xs} V_{0} X_{0} e^{\mu_{0} t}}{ (S_{F}-S_{0})}-\frac{ Y_{xs} V_{0} X_{0}}{ (S_{F}-S_{0})}~~~~~~~~~~~~~~~[22]$

$V= V_{0}+ \frac{ Y_{xs} V_{0} X_{0} e^{\mu_{0} t}}{ (S_{F}-S_{0})}-\frac{ Y_{xs} V_{0} X_{0}}{ (S_{F}-S_{0})}~~~~~~~~~~~~~~~[23]$

$\frac{ V }{ V_{0}}=1 + \frac{ Y_{xs} X_{0} e^{\mu_{0} t}}{ (S_{F}-S_{0})}-\frac{ Y_{xs} X_{0}}{ (S_{F}-S_{0})}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~[24]$

La relazione [24] indica che i profili volume-tempo in un fermentatore fed-batch sono inizialmente costanti (per t→0 il termine contenente l’esponenziale è trascurabile), per poi assumere un andamento esponenziale (per t→∞ il termine contenente l’esponenziale diventa preponderante), come indicato in figura 2.

Modello matematico

Dalla relazione [19]:

$\frac{X }{X_{0}}=\frac{ V_{0} }{V } e^{\mu_{0} t}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~[25]$

Sostituendo la relazione [24] nella relazione [25]:

$\frac{X }{X_{0}}=\frac{ e^{\mu_{0} t}}{1 + \frac{ Y_{xs} X_{0} e^{\mu_{0} t}}{ (S_{F}-S_{0})}-\frac{ Y_{xs} X_{0}}{ (S_{F}-S_{0})} } ~~~~~~~~~~~~~~~~[26]$

La relazione [26] indica che i profili concentrazione di biomassa-tempo in un fermentatore avranno inizialmente un andamento esponenziale (per t0 il termine esponenziale a denominatore è trascurabile rispetto agli altri), per poi tendere ad un asintoto orizzontale (per t∞ il termine esponenziale a denominatore diventa preponderante rispetto agli altri, e l’espressione a II membro tende ad un valore costante).

Di conseguenza, i profili concentrazione di biomassa-tempo avranno la forma di una sigmoide (Fig. 2).