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Esamuele Santoro » 4.Alcune applicazioni dei vettori


Alcune applicazioni dei vettori

Problema 2.3:

Calcolare l’equazione della retta passante per il punto P1=(1,2,1) ed avente direzione N=(1,2,2).

Se si considera il versore di N si ha   \mathbf{n}=\frac{\mathbf{\mathbf{N}}}{\left\Vert \mathbf{\mathbf{N}}\right\Vert }=\frac{1}{3}(1,2,2) pertanto l’equazione della retta è:

r= (1,2,1)+ t n →   x=1+t/3   ,    y=2+t 2/3    ,    z= 1+ t 2/3.

Utilizzando i vettori è possibile ottenere facilmente anche l’equazione di un piano passante per un assegnato punto P1 ed avente normale n.
Infatti, per ogni punto P appartenente al piano, il vettore P1P è normale a n, per cui il prodotto scalare P1P.n=0  e poiché P1P = r- r1, si ha che l’equazione del piano è data da:

(r-r1).n =0 →   r.n = x nx+ y ny + z nz = r1.n = p       (2.20)

dove lo scalare p rappresenta la distanza del piano dall’origine.

Dalla (2.20) si osserva che se  f(x,y,z)=ax+by+cz+d=0 è l’equazione implicita del piano, le componenti del vettore normale al piano sono:

\mathbf{N}=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z})=(a,b,c)=(N_{x},N_{y},N_{z})

Alcune applicazioni dei vettori

Per calcolare la distanza del piano dall’origine occorre considerare il versore di N, pertanto abbiamo:

p=\mathbf{r_{1}}\centerdot\mathbf{n}=\frac{\left|d\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}

Un piano è univocamente individuato anche quando sono assegnati tre suoi punti non allineati. In questo caso se indichiamo con r1, r2 e r3 i vettori posizione dei tre punti, la normale al piano è data dal prodotto vettoriali di due vettori giacenti sul piano. Se si considerano i vettori (r2- r1) e (r3- r1), la normale è data da N=(r2- r1) x (r3- r1), per cui il piano sarà r.N =. ri .N dove l’indice i può assumere il valore 1, 2 o 3.
È preferibile sostituire ad N il suo versore n.


Alcune applicazioni dei vettori

Problema 2.4: Calcolare la distanza del piano dall’origine passante per r1=(1,2,1) ed avente normale N=(1,2,2). Calcolare la distanza del punto r2=(4,3,5) dal precedente piano.

Considerando il versore di N, che è n=(1/3,2/3,2/3) dalla (2.20) si ha l’equazione del piano:

\mathbf{r}\centerdot\mathbf{n}=\frac{1}{3}(x+2y+2z)=\mathbf{r}_{1}\centerdot\mathbf{n}=\frac{1}{3}(1+4+2)=\frac{7}{3}

per cui la distanza del piano dall’origine è uguale a 7/3.

La distanza di un punto da un piano è data dalla differenza del prodotto scalare r2 .n e r1.n , per cui si ha:

(\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1})\centerdot\mathbf{n}=(3,1,4)\centerdot\frac{1}{3}(1,2,2)=\frac{13}{3}

Problema 2.5: Calcolare la distanza minima tra il punto r2 =(2,1,3) e la retta passante per r1=(1,1,2) e direzione u=(1/3,2/3,2/3).
L’equazione della retta è r= r1+t u =(1,1,2)+t (1/3,2/3,2/3). Sia P‘ la proiezione ortogonale di r2 su r(t). La distanza minima è data ha:

d=\left\Vert \mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}'\right\Vert =\sqrt{\left\Vert \mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}\right\Vert ^{2}-\left[\left(\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}\right)\cdot\mathbf{u}\right]^{2}}=\sqrt{\left\Vert 1,0,1\right\Vert ^{2}-\left[\left(1,0,1\right)\cdot\left(1,2,2\right)/3\right]^{2}}=\sqrt{3}

Alcune applicazioni dei vettori

Problema 2.6: Calcolare la distanza minima tra due rette sghembe r1(t) e r2(t), passanti, rispettivamente per P1 e P2 e aventi direzione u1 e u2.

Sia il segmento Q1Q2 la distanza minima, si ha che la sua direzione n è perpendicolare a u1 e u2.
Il vettore distanza di Q1 dall’origine è dato da:

\mathbf{OQ_{1}}=\mathbf{r}_{1}+\left\Vert \mathbf{\mathrm{P_{1}Q_{1}}}\right\Vert \mathbf{u}_{1}=\mathbf{r}_{2}+\left\Vert P_{2}Q_{2}\right\Vert \mathbf{u}_{2}-\left\Vert Q_{1}Q_{2}\right\Vert \mathbf{n}

Moltiplicando scalarmente la precedente equazione per n si ha:

\mathbf{r}_{1}\cdot\mathbf{n}+\left\Vert P_{1}Q_{1}\right\Vert \mathbf{u}_{1}\cdot\mathbf{n}=\mathbf{r}_{2}\cdot\mathbf{n}+\left\Vert P_{2}Q_{2}\right\Vert \mathbf{u}_{2}\cdot\mathbf{n}-\left\Vert Q_{1}Q_{2}\right\Vert

Poiché n è perpendicolare a u1 e u2 si ha:

\left(\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}\right)\cdot\mathbf{n}=\left\Vert Q_{1}Q_{2}\right\Vert

dove:

\mathbf{n}=\mathbf{u}_{1}\times\mathbf{u}_{2}/\left\Vert \mathbf{u}_{1}\times\mathbf{u}_{2}\right\Vert

Alcune applicazioni dei vettori

Problema 2.7: Siano dati tre punti P0=(1,2,1) P1=(3,2,2), P3=(4,4,3), determinare il sistema di assi cartesiani (P0; u1,u2,u3), avente per origine P0, il versore u1 ha direzione P0P1, il versore u3 ha direzione della normale al piano definito dai tre punti dati, il versore u2 ha il verso in modo che la terna (u1,u2,u3) formi un sistema di assi levogiro.

 

Il versore u1 è dato da u1={P}}_{0}P_{1}/\left\Vert P_{0}P_{1}\right\Vert, il versore u3 è dato da prodotto vettoriale:

\mathbf{u_{3}}=\mathbf{u}_{1}\times\mathbf{\mathrm{P}}_{0}P_{2}/\left\Vert P_{0}P_{2}\right\Vert

Il versore u2 è dato dal prodotto vettoriale u2=u3xu1. Sostituendo i valori delle coordinate dei punti si ha:

\mathbf{u}_{1}=\left(2,0,1\right)/\sqrt{5},\quad\mathbf{u}_{3}=\left(-2,-1,4\right)/\sqrt{21},\quad\mathbf{u}_{2}=\left(-1,10,2\right)/\sqrt{105}


Proiezione ortogonale e specchio

2.2.2 Proiezione ortogonale di un punto su un piano e sua riflessione (specchio)

La formulazione vettoriale permette di calcolare facilmente la proiezione ortogonale di punti su un piano o su una retta. Sia P2 un generico punto e sia P la sua proiezione ortogonale su un piano Π. Sommando i vettori posizione dei punti si ha:

r= r2- |PP2| n

Considerando i prodotti scalari 0A=r2.n e 0B=p=r.n , è possibile calcolare la distanza  |PP2 | del punto P2 dal piano, che risulta essere data da |PP2| =0A-0B=

r2.n-r.n= r2.n -p

per cui la proiezione ortogonale del punto P2 sul piano di proiezione r.n=p è data da

r= r2- (r2.n -p) n ………… (2.21)

Se l’equazione del piano è dato nella formulazione implicita f(x,y,z)= =ax+by+cz+d=0, per le relazioni esistenti tra coefficienti dell’equazione e versore normale al piano, si ha che la distanza del punto P2=(x2,y2,z2) può essere espressa anche da:

D=\left\Vert PP_{2}\right\Vert =\frac{\left\Vert ax_{2}+by_{2}+cz_{2}-d\right\Vert }{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}~~~~~~(2.22)

Alcune applicazioni dei vettori

La proiezione ortogonale del punto P2 sulla retta passante per il punto P0 e direzione V è data da:

\mathbf{r}_{2}'=\mathbf{r}_{0}+\left[\left(\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{0}\right)\cdot\mathbf{V}\right]\mathbf{V}

Proiezione ortogonale di un punto su un piano.

Proiezione ortogonale di un punto su un piano.


Alcune applicazioni dei vettori

Dalle precedenti equazioni è possibile calcolare facilmente la riflessione (specchio) del un punto r2 rispetto al piano P o alla retta. Infatti, se r è proiezione ortogonale del punto sul piano, si ha che la sua posizione riflessa è data da:

\mathbf{r}_{2}^{R}=\mathbf{r}_{2}+2(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{2})=\mathbf{r}_{2}-2(\mathbf{r}_{2}\cdot\mathbf{n}-p)\mathbf{n}=\mathbf{r}_{2}-T\mathbf{n}

cioè consiste in un traslazione T nella direzione opposta alla normale n. Se il piano di riflessione coincide con un piano principale, la precedente equazione si semplifica; infatti se il piano P è il piano yz si ha cha la proiezione di r2 è:

r’2=(0,y2,x2) ,

per cui:

\mathbf{r}_{2}'=\mathbf{r}_{0}+2\left(\mathbf{r}_{2}'-\mathbf{r}_{0}\right)=\left(-x_{2},y_{2},z_{2}\right)

La riflessione del punto rispetto alla retta è data da:

\mathbf{r}_{2}^{R}=\mathbf{r}_{2}+2(\mathbf{r_{2}'}-\mathbf{r}_{2})=2\mathbf{r_{0}-r}_{2}+2\left[\left(\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{0}\right)\cdot\mathbf{V}\right]\mathbf{V}

Curve parametriche nel CAD

I sistemi CAD/CAM permettono di creare diversi tipi di curve, che possono essere divise in:

  • analitiche:
    • le linee, gli archi e cerchi e in generale le coniche. Ogni entità può essere definita in diversi modi, così un cerchio può essere definito dal centro e raggio, da tre punti, da tre condizioni di tangenza, ecc..
  • sintetiche:
    • sono curve che presentano un formulazione parametrica, sono ottenute interpolando o approssimando dei punti e hanno delle proprietà come quella di essere ben lisce (smooth), per cui sono idonee per descrivere la geometria di oggetti reali

Con l’interpolazione polinomiale classica si dimostra che se nel piano abbiamo n+1 punti Pi=(xi,yi) con xi≠xi , esiste uno ed un solo polinomio y=y(x) di grado n che interpola gli n+1 punti.

Un metodo per calcolare questi polinomi interpolanti è quello di Lagrange. Queste curve interpolanti, per n>3 non sono ben lisce e non sono adatte per descrivere la geometria di oggetti reali, per tale ragione nei sistemi CAD si utilizzano le curve sintetiche, che si basavano sempre sui polinomi.

Curve parametriche nel CAD

Tali curve, che sono indicate come curve spline, sono ben lisce (smooth) e spesso sono formate da un insieme di tratti di curve polinomiali aventi un assegnato grado n, che è minore dei punti da interpolare.
Se il grado di ogni tratto di curva è n, allora è possibile avere una curva spline con un grado di continuità Cn-1; così se si pone n=1 si ha una curva spline con continuità C0, cioè i punti vengano interpolati linearmente, ottenendo una poligonale, che è una curva C0. Per avere una curva spline continua sulla tangente (C1) o curvatura (C2), occorre che le curve abbiano, rispettivamente, grado 2 (tratti di parabole) o grado 3 (tratti di cubiche).

Si osserva che alcune semplici e note curve analitiche, come il cerchio hanno una formulazione parametrica che utilizza le funzioni trigonometriche. Per poter esprimere anche tali curve mediante polinomi occorre utilizzare le funzioni razionali, infatti con la trasformazione:

sin(x)=\frac{2sin(x/2)cos(x/2)}{sin^{2}(x/2)+cos^{2}(x/2)}=2\frac{tg(x/2)}{tg^{2}(x/2)+1}=2\frac{t}{t^{2}+1}

…….

cos(x)=\frac{cos^{2}(x/2)-sin^{2}(x/2)}{sin^{2}(x/2)+cos^{2}(x/2)}=\frac{1-tg^{2}(x/2)}{tg^{2}(x/2)+1}=\frac{1-t^{2}}{t^{2}+1}

dove

t=tg(x/2)\in]-\infty,\infty[

Curve parametriche nel CAD

si riesce ad esprimere le funzioni trigonometriche sin x e cos x mediante rapporto tra due polinomi di secondo grado, per cui l’equazione parametrica razionale della circonferenza diventa:

x(t)=R\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\quad y(t)=R\frac{2t}{1+t^{2}},\quad z(t)=0,\quad-\infty<\infty

Prima di esporre i diversi metodi per ottenere delle curve sintetiche e per poter meglio analizzare le loro proprietà geometriche è opportuno avere delle conoscenze di base di calcolo differenziale riguardante le curve.

Sia data una curva parametrica r=r(t), e supposto che sia regolare, cioè dr/dt≠0 per tutti i valori di t, si ha che la sua lunghezza è data da:

s=\int\left\Vert d\mathbf{r}\right\Vert dt

dove s è l’ascissa curvilinea, è:

\left\Vert \frac{d\mathbf{r}}{dt}\right\Vert =\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dz}{dt}\right)^{2}}

Elementi di calcolo differenziale per una curva parametrica

Poiché: …………………………………….. ds=\sqrt{dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}=\left\Vert d\mathbf{r}\right\Vert

si ha che:

\frac{ds}{dt}=\left\Vert \frac{d\mathbf{r}}{dt}\right\Vert

Il versore tangente alla curva è data da:

\mathbf{T}(t)=\frac{d\mathbf{r}}{dt}/\left|\frac{d\mathbf{r}}{dt}\right|

mentre la retta tangente alla curva per t=t0 è: ……………. \mathbf{r}(u)=\mathbf{r}(t_{0})+\mathbf{T}(t_{0})\: u

Quando la curva è piana la sua normale è unica e ben definita, mentre se la curva non è piana ogni vettore normale a T è un vettore normale alla curva.

Poiché la derivata  \dot{\mathbf{T}}=\frac{d\mathbf{T}}{dt} è un vettore normale a T, il versore:

\mathbf{N}=\frac{d\mathbf{T}}{dt}/\left\Vert \frac{d\mathbf{T}}{dt}\right\Vert

è detto vettore normale principale della curva r=r(t).

Versore tangente, normale e binormale a una curva.

Versore tangente, normale e binormale a una curva.


Elementi di calcolo differenziale per una curva parametrica

Quando il parametro della curva è l’arco lunghezza s, si ha:

\mathbf{T}=\frac{d\mathbf{r}}{ds}=\frac{d\mathbf{r}}{dt}/\frac{ds}{dt}                e                  \frac{d\mathbf{T}}{ds}=\frac{\left\Vert d\mathbf{T}/dt\right\Vert }{ds/dt}\mathbf{N}=k\mathbf{N} ~~\text{dove k}~~=\left\Vert \frac{d\mathbf{T}}{ds}\right\Vert

è la curvatura della curva.

Si nota che per convenzione k>0 . Dal prodotto vettoriale TxN=B si ottiene il versore binormale B alla curva. I tre versori T, N e B formano una terna di assi cartesiani.

I piani passanti per un dato punto della curva e contenente i vettori T e N, N e B sono chiamati, rispettivamente, piano osculatore e piano normale. Nel caso di una curva piana il piano osculatore è il piano della curva, per cui il versore binormale è fisso, cioè, dB/ds=0.

I versori B e T sono ortogonali, per cui il loro prodotto scalare è zero. La derivata del precedente prodotto scalate da:

\frac{d(\mathbf{B\cdot T})}{ds}=\frac{d\mathbf{B}}{ds}\cdot\mathbf{T}+\mathbf{B}\cdot\frac{d\mathbf{T}}{ds}=0       ma         \mathbf{B}\centerdot\frac{d\mathbf{T}}{ds}=\mathbf{B}\centerdot k\mathbf{N}=0

poiché B e N sono ortogonali, per cui risulta    \frac{d\mathbf{B}}{ds}\cdot\mathbf{T}=0 quindi il versore dB/ds è perpendicolare sia a T che a B, e quindi è parallelo a N, per cui si ha    \frac{d\mathbf{B}}{ds}=-\tau\mathbf{N} dove t è detta torsione della curva ed è positiva quando la curva ruota dal piano osculatore verso la direzione positiva di B.

Elementi di calcolo differenziale per una curva parametrica

Problema 2.8: Sia data un’elica cilindrica di raggio R e passo p, calcolare i versori T, N, B, la curvatura k e la torsione t.

L’equazione parametrica dell’elica è data da:

\mathbf{r}(t)=( Rcos(t), Rsin(t), pt/2\pi) e la sua derivata è   r'(t)=(- Rsin(t), Rcos(t), p/2\pi)

Poiché:

\frac{ds}{dt}=\left\Vert \frac{d\mathbf{r}}{dt}\right\Vert =\sqrt{R^{2}+(p/2\pi)^{2}}

il versore tangente è dato da:

\mathbf{T}=\frac{d\mathbf{r}}{dt}/\frac{ds}{dt}=(-Rsin(t),Rcos(t),p/2\pi)/\sqrt{R^{2}+(p/2\pi)^{2}}

Elementi di calcolo differenziale per una curva parametrica

Il vettore normale è:

N_{v}=\frac{d\mathbf{T}}{dt}/\frac{ds}{dt}=(-Rcos(t),-Rsin(t),0)/(R^{2}+(p/2\pi)^{2}

e il versore normale

\mathbf{N}=(-cos(t),-sin(t),0)

mentre la curvature è:

k=R/(R^{2}+(p/2\pi)^{2})

Il versore binormale B è dato da:

\mathbf{B}=\mathbf{T}\times\mathbf{N}=\frac{1}{\sqrt{R^{2}+(p/2\pi)^{2}}}\left[\begin{array}{ccc}i & j & k\\-Rsin(t) & Rcos(t) & p/2\pi\\-cos(t) & -sin(t) & 0\end{array}\right]=\frac{p/2\pi}{\sqrt{R^{2}+(p/2\pi)^{2}}}=(sin(t),-cos(t),2\pi R/p)

Elementi di calcolo differenziale per una curva parametrica

Problema 2.8: Sia data un’elica cilindrica di raggio R e passo p, calcolare i versori T, N, B, la curvatura k e la torsione t.

L’equazione parametrica dell’elica è data da:

\mathbf{r}(t)=( Rcos(t), Rsin(t), pt/2\pi)

e la sua derivata è:

\mathbf{r}'(t)=(- Rsin(t), Rcos(t), p/2\pi)

Poiché:

\frac{ds}{dt}=\left\Vert \frac{d\mathbf{r}}{dt}\right\Vert =\sqrt{R^{2}+(p/2\pi)^{2}}

il versore tangente è dato da: ……………

\mathbf{T}=\frac{d\mathbf{r}}{dt}/\frac{ds}{dt}=(-Rsin(t),Rcos(t),p/2\pi)/\sqrt{R^{2}+(p/2\pi)^{2}}

Elementi di calcolo differenziale per una curva parametrica

Il vettore normale è:

\mathbf{N}_{v}=\frac{d\mathbf{T}}{dt}/\frac{ds}{dt}=(-Rcos(t),-Rsin(t),0)/(R^{2}+(p/2\pi)^{2}

e il suo versore normale è:

\mathbf{N}=(-cos(t),-sin(t),0)

mentre la curvature è:

k=R/(R^{2}+(p/2\pi)^{2})

Il versore binormale B è dato da:

\mathbf{B}=\mathbf{T\times N}=\frac{1}{\sqrt{R^{2}+(p/2\pi)^{2}}}\left[\begin{array}{ccc}<br /> i & j & k\\-Rsin(t) & Rcos(t) & p/2\pi\\-cos(t) & -sin(t) & 0\end{array}\right]=\frac{p/2\pi}{\sqrt{R^{2}+(p/2\pi)^{2}}}=(sin(t),-cos(t),2\pi R/p)

Il valore della torsione è data da:

\frac{d\mathbf{B}}{dt}/\frac{ds}{dt}=\frac{p/2\pi}{R^{2}+(p/2\pi)^{2}}(cos(t),sin(t),0)=-\tau\mathbf{N}\;\rightarrow\tau=\frac{p/2\pi}{R^{2}+(p/2\pi)^{2}}

Elementi di calcolo differenziale per una curva parametrica

Problema 2.9: Sia data un’ellisse con semiassi A e B, calcolare i versori T, N, B e la curvatura k minima e massima.

L’equazione parametrica dell’ellisse è data da r(t)=( Acos(t), Bsin(t), 0) e la sua derivata è r’(t)=(- Asin(t), Bcos(t), 0)
Poiché:

\frac{ds}{dt}=\left\Vert \frac{d\mathbf{r}}{dt}\right\Vert =\sqrt{A^{2}sin^{2}t+B^{2}cos^{2}t}

il versore tangente T è dato da:

\mathbf{T}=\frac{d\mathbf{r}}{dt}/\frac{ds}{dt}=(-Asin(t),Bcos(t),0)/\sqrt{A^{2}sin^{2}t+B^{2}cos^{2}t}

Elementi di calcolo differenziale per una curva parametrica

Il vettore normale è:

\mathbf{N}_{v}=\frac{d\mathbf{T}}{dt}/\frac{ds}{dt}=(-Bcos(t),-Asin(t),0)\: AB/\left(A^{2}sin^{2}t+B^{2}cos^{2}t\right)^{3/2}

e il versore normale:

\mathbf{N}=(-Bcos(t),-Asin(t),0)/\sqrt{A^{2}sin^{2}t+B^{2}cos^{2}t}

mentre la curvature è:

k(t)=\frac{AB}{A^{2}sin^{2}t+B^{2}cos^{2}t}

La curvatura dell’ellisse è una funzione del parametro e raggiunge i valori di minimo e massimo, rispettivamente, in corrisponde dei valori del parametro t=0 e t=π/2:

k(0)=\frac{A}{B^{2}} ~~\text{e} ~~k(\pi/2)=\frac{B}{A^{2}}

Poiché l’ellisse data è una curva sul piano xy, si ha che il suo versore binormale B è costante ed è parallelo al versore principale k, infatti

\mathbf{B}=\mathbf{T\times N}=\frac{1}{A^{2}sin^{2}t+B^{2}cos^{2}t}\left[\begin{array}{ccc}<br /> \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\-Asin(t) & Bcos(t) & 0\\-Bcos(t) & -Asin(t) & 0\end{array}\right]=\left(0,0,1\right)

Elementi di calcolo differenziale per una curva parametrica

Problema 2.10: Approssimare l’ellisse di semiassi a e b con un ovale (curva costituita da due archi di cerchi) dove un cerchio R1 ha raggio uguale al raggio minimo di curvatura in corrisponde del semiasse a.

La soluzione consiste nel trovare un cerchio di raggio R3 tangente a due cerchi dati e passante per il punto P=(0,b). Il raggio minimo di curvatura Rm dell’ellisse è in corrispondenza dell’asse maggiore ed è uguale a Rm=b2/a, mentre il raggio massimo di curvatura è in corrispondenza dell’asse minore ed è uguale a RM=a2/b.

Dalla Fig. seguente risulta che i due cerchi R1 di raggio Rm e centri C1=(a-a2/b,0) e C2=(-a+a2/b,0) sono archi dell’ovale.

Essendo l’ovale simmetrica consideriamo solo due condizioni: tangenza al cerchio R1 nel punto B e di passaggio per il punto P=A=(0,b).

Elementi di calcolo differenziale per una curva parametrica

Se indichiamo con C3=(0,-y) il centro del cerchio R3, si ha R3=C3C1+R1 ma:

C_{3}C_{1}=\sqrt{\left(a-R_{1}\right)^{2}+\left(R_{3}-b\right)^{2}}

per cui:

R_{3}-R_{1}=\sqrt{\left(a-R_{1}\right)^{2}+\left(R_{3}-b\right)^{2}}

e facendo il quadrato si perviene a:

R_{3}=\frac{a^{2}+b^{2}-2R_{1}a}{2(b-R_{1})}

Questa è una relazione generale che lega i raggi di un’ovale inscritta in un rettangolo di lati a e b. Poiché R1=b2/a si perviene dopo alcune semplificazione a:

R_{3}=\frac{a(a+b)}{2b}\leq\frac{a^{2}}{b}=R_{M}

L’ovale ottenuta risulta iscritta all’ellisse.

Elementi di calcolo differenziale per una curva parametrica

Problema 2.11: Approssimare l’ellisse di semiassi a e b con un ovale (curva costituita da due archi di cerchi) dove il cerchio R3 ha raggio uguale al raggio massimo di curvatura RM in corrisponde del semiasse minore b.
Si lascia allo studente la verifica della soluzione che è:

R_{1}=\frac{b(a+b)}{2a}\geq\frac{b^{2}}{a}=R_{m}

L’ovale ottenuta è circoscritta all’ellisse.

Ovale che approssima un’ellisse di semiassi a e b.

Ovale che approssima un'ellisse di semiassi a e b.


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