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Esamuele Santoro » 4.Alcune applicazioni dei vettori

Alcune applicazioni dei vettori

Problema 2.3:

Calcolare l’equazione della retta passante per il punto P₁=(1,2,1) ed avente direzione N=(1,2,2).

Se si considera il versore di N si ha $\mathbf{n}=\frac{\mathbf{\mathbf{N}}}{\left\Vert \mathbf{\mathbf{N}}\right\Vert }=\frac{1}{3}(1,2,2)$ pertanto l’equazione della retta è:

r= (1,2,1)+ t n → x=1+t/3 , y=2+t 2/3 , z= 1+ t 2/3.

Utilizzando i vettori è possibile ottenere facilmente anche l’equazione di un piano passante per un assegnato punto P₁ ed avente normale n.
Infatti, per ogni punto P appartenente al piano, il vettore P₁P è normale a n, per cui il prodotto scalare P₁P.n=0 e poiché P₁P = r- r₁, si ha che l’equazione del piano è data da:

(r-r₁).n =0 → r.n = x n_x+ y n_y + z n_z = r₁.n = p (2.20)

dove lo scalare p rappresenta la distanza del piano dall’origine.

Dalla (2.20) si osserva che se $f(x,y,z)=ax+by+cz+d=0$ è l’equazione implicita del piano, le componenti del vettore normale al piano sono:

$\mathbf{N}=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z})=(a,b,c)=(N_{x},N_{y},N_{z})$

Alcune applicazioni dei vettori

Per calcolare la distanza del piano dall’origine occorre considerare il versore di N, pertanto abbiamo:

$p=\mathbf{r_{1}}\centerdot\mathbf{n}=\frac{\left|d\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

Un piano è univocamente individuato anche quando sono assegnati tre suoi punti non allineati. In questo caso se indichiamo con r₁, r₂ e r₃ i vettori posizione dei tre punti, la normale al piano è data dal prodotto vettoriali di due vettori giacenti sul piano. Se si considerano i vettori (r₂- r₁) e (r₃- r₁), la normale è data da N=(r₂- r₁) x (r₃- r₁), per cui il piano sarà r.N =. r_i .N dove l’indice i può assumere il valore 1, 2 o 3.
È preferibile sostituire ad N il suo versore n.

Alcune applicazioni dei vettori

Problema 2.4: Calcolare la distanza del piano dall’origine passante per r₁=(1,2,1) ed avente normale N=(1,2,2). Calcolare la distanza del punto r₂=(4,3,5) dal precedente piano.

Considerando il versore di N, che è n=(1/3,2/3,2/3) dalla (2.20) si ha l’equazione del piano:

$\mathbf{r}\centerdot\mathbf{n}=\frac{1}{3}(x+2y+2z)=\mathbf{r}_{1}\centerdot\mathbf{n}=\frac{1}{3}(1+4+2)=\frac{7}{3}$

per cui la distanza del piano dall’origine è uguale a 7/3.

La distanza di un punto da un piano è data dalla differenza del prodotto scalare r₂ .n e r₁.n , per cui si ha:

$(\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1})\centerdot\mathbf{n}=(3,1,4)\centerdot\frac{1}{3}(1,2,2)=\frac{13}{3}$

Problema 2.5: Calcolare la distanza minima tra il punto r₂ =(2,1,3) e la retta passante per r₁=(1,1,2) e direzione u=(1/3,2/3,2/3).
L’equazione della retta è r= r₁+t u =(1,1,2)+t (1/3,2/3,2/3). Sia P‘ la proiezione ortogonale di r₂ su r(t). La distanza minima è data ha:

$d=\left\Vert \mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}'\right\Vert =\sqrt{\left\Vert \mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}\right\Vert ^{2}-\left[\left(\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}\right)\cdot\mathbf{u}\right]^{2}}=\sqrt{\left\Vert 1,0,1\right\Vert ^{2}-\left[\left(1,0,1\right)\cdot\left(1,2,2\right)/3\right]^{2}}=\sqrt{3}$

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Problema 2.6: Calcolare la distanza minima tra due rette sghembe r₁(t) e r₂(t), passanti, rispettivamente per P₁ e P₂ e aventi direzione u₁ e u₂.

Sia il segmento Q₁Q₂ la distanza minima, si ha che la sua direzione n è perpendicolare a u₁ e u₂.
Il vettore distanza di Q₁ dall’origine è dato da:

$\mathbf{OQ_{1}}=\mathbf{r}_{1}+\left\Vert \mathbf{\mathrm{P_{1}Q_{1}}}\right\Vert \mathbf{u}_{1}=\mathbf{r}_{2}+\left\Vert P_{2}Q_{2}\right\Vert \mathbf{u}_{2}-\left\Vert Q_{1}Q_{2}\right\Vert \mathbf{n}$

Moltiplicando scalarmente la precedente equazione per n si ha:

$\mathbf{r}_{1}\cdot\mathbf{n}+\left\Vert P_{1}Q_{1}\right\Vert \mathbf{u}_{1}\cdot\mathbf{n}=\mathbf{r}_{2}\cdot\mathbf{n}+\left\Vert P_{2}Q_{2}\right\Vert \mathbf{u}_{2}\cdot\mathbf{n}-\left\Vert Q_{1}Q_{2}\right\Vert$

Poiché n è perpendicolare a u₁ e u₂ si ha:

$\left(\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}\right)\cdot\mathbf{n}=\left\Vert Q_{1}Q_{2}\right\Vert$

dove:

$\mathbf{n}=\mathbf{u}_{1}\times\mathbf{u}_{2}/\left\Vert \mathbf{u}_{1}\times\mathbf{u}_{2}\right\Vert$

Alcune applicazioni dei vettori

Problema 2.7: Siano dati tre punti P₀=(1,2,1) P₁=(3,2,2), P₃=(4,4,3), determinare il sistema di assi cartesiani (P₀; u₁,u₂,u₃), avente per origine P₀, il versore u₁ ha direzione P₀P₁, il versore u₃ ha direzione della normale al piano definito dai tre punti dati, il versore u₂ ha il verso in modo che la terna (u₁,u₂,u₃) formi un sistema di assi levogiro.

Il versore u₁è dato da u₁= ${P}}_{0}P_{1}/\left\Vert P_{0}P_{1}\right\Vert$ , il versore u₃ è dato da prodotto vettoriale:

$\mathbf{u_{3}}=\mathbf{u}_{1}\times\mathbf{\mathrm{P}}_{0}P_{2}/\left\Vert P_{0}P_{2}\right\Vert$

Il versore u₂ è dato dal prodotto vettoriale u₂=u₃xu₁. Sostituendo i valori delle coordinate dei punti si ha:

$\mathbf{u}_{1}=\left(2,0,1\right)/\sqrt{5},\quad\mathbf{u}_{3}=\left(-2,-1,4\right)/\sqrt{21},\quad\mathbf{u}_{2}=\left(-1,10,2\right)/\sqrt{105}$

Proiezione ortogonale e specchio

2.2.2 Proiezione ortogonale di un punto su un piano e sua riflessione (specchio)

La formulazione vettoriale permette di calcolare facilmente la proiezione ortogonale di punti su un piano o su una retta. Sia P₂ un generico punto e sia P la sua proiezione ortogonale su un piano Π. Sommando i vettori posizione dei punti si ha:

r= r₂- |PP₂| n

Considerando i prodotti scalari 0A=r₂.n e 0B=p=r.n , è possibile calcolare la distanza |PP₂ | del punto P₂ dal piano, che risulta essere data da |PP₂| =0A-0B=

r₂.n-r.n= r₂.n -p

per cui la proiezione ortogonale del punto P₂ sul piano di proiezione r.n=p è data da

r= r₂- (r₂.n -p) n ………… (2.21)

Se l’equazione del piano è dato nella formulazione implicita f(x,y,z)= =ax+by+cz+d=0, per le relazioni esistenti tra coefficienti dell’equazione e versore normale al piano, si ha che la distanza del punto P₂=(x₂,y₂,z₂) può essere espressa anche da:

$D=\left\Vert PP_{2}\right\Vert =\frac{\left\Vert ax_{2}+by_{2}+cz_{2}-d\right\Vert }{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}~~~~~~(2.22)$

Alcune applicazioni dei vettori

La proiezione ortogonale del punto P₂ sulla retta passante per il punto P₀ e direzione V è data da:

$\mathbf{r}_{2}'=\mathbf{r}_{0}+\left[\left(\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{0}\right)\cdot\mathbf{V}\right]\mathbf{V}$

Proiezione ortogonale di un punto su un piano.

Alcune applicazioni dei vettori

Dalle precedenti equazioni è possibile calcolare facilmente la riflessione (specchio) del un punto r₂ rispetto al piano P o alla retta. Infatti, se r è proiezione ortogonale del punto sul piano, si ha che la sua posizione riflessa è data da:

$\mathbf{r}_{2}^{R}=\mathbf{r}_{2}+2(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{2})=\mathbf{r}_{2}-2(\mathbf{r}_{2}\cdot\mathbf{n}-p)\mathbf{n}=\mathbf{r}_{2}-T\mathbf{n}$

cioè consiste in un traslazione T nella direzione opposta alla normale n. Se il piano di riflessione coincide con un piano principale, la precedente equazione si semplifica; infatti se il piano P è il piano yz si ha cha la proiezione di r₂ è:

r’₂=(0,y₂,x₂) ,

per cui:

$\mathbf{r}_{2}'=\mathbf{r}_{0}+2\left(\mathbf{r}_{2}'-\mathbf{r}_{0}\right)=\left(-x_{2},y_{2},z_{2}\right)$

La riflessione del punto rispetto alla retta è data da:

$\mathbf{r}_{2}^{R}=\mathbf{r}_{2}+2(\mathbf{r_{2}'}-\mathbf{r}_{2})=2\mathbf{r_{0}-r}_{2}+2\left[\left(\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{0}\right)\cdot\mathbf{V}\right]\mathbf{V}$

Curve parametriche nel CAD

I sistemi CAD/CAM permettono di creare diversi tipi di curve, che possono essere divise in:

analitiche:
- le linee, gli archi e cerchi e in generale le coniche. Ogni entità può essere definita in diversi modi, così un cerchio può essere definito dal centro e raggio, da tre punti, da tre condizioni di tangenza, ecc..
sintetiche:
- sono curve che presentano un formulazione parametrica, sono ottenute interpolando o approssimando dei punti e hanno delle proprietà come quella di essere ben lisce (smooth), per cui sono idonee per descrivere la geometria di oggetti reali

Con l’interpolazione polinomiale classica si dimostra che se nel piano abbiamo n+1 punti P_i=(x_i,y_i) con x_i≠x_i , esiste uno ed un solo polinomio y=y(x) di grado n che interpola gli n+1 punti.

Un metodo per calcolare questi polinomi interpolanti è quello di Lagrange. Queste curve interpolanti, per n>3 non sono ben lisce e non sono adatte per descrivere la geometria di oggetti reali, per tale ragione nei sistemi CAD si utilizzano le curve sintetiche, che si basavano sempre sui polinomi.

Curve parametriche nel CAD

Tali curve, che sono indicate come curve spline, sono ben lisce (smooth) e spesso sono formate da un insieme di tratti di curve polinomiali aventi un assegnato grado n, che è minore dei punti da interpolare.
Se il grado di ogni tratto di curva è n, allora è possibile avere una curva spline con un grado di continuità C^n-1; così se si pone n=1 si ha una curva spline con continuità C⁰, cioè i punti vengano interpolati linearmente, ottenendo una poligonale, che è una curva C⁰. Per avere una curva spline continua sulla tangente (C¹) o curvatura (C²), occorre che le curve abbiano, rispettivamente, grado 2 (tratti di parabole) o grado 3 (tratti di cubiche).

Si osserva che alcune semplici e note curve analitiche, come il cerchio hanno una formulazione parametrica che utilizza le funzioni trigonometriche. Per poter esprimere anche tali curve mediante polinomi occorre utilizzare le funzioni razionali, infatti con la trasformazione:

$sin(x)=\frac{2sin(x/2)cos(x/2)}{sin^{2}(x/2)+cos^{2}(x/2)}=2\frac{tg(x/2)}{tg^{2}(x/2)+1}=2\frac{t}{t^{2}+1}$

…….

$cos(x)=\frac{cos^{2}(x/2)-sin^{2}(x/2)}{sin^{2}(x/2)+cos^{2}(x/2)}=\frac{1-tg^{2}(x/2)}{tg^{2}(x/2)+1}=\frac{1-t^{2}}{t^{2}+1}$

dove

$t=tg(x/2)\in]-\infty,\infty[$

Curve parametriche nel CAD

si riesce ad esprimere le funzioni trigonometriche sin x e cos x mediante rapporto tra due polinomi di secondo grado, per cui l’equazione parametrica razionale della circonferenza diventa:

$x(t)=R\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\quad y(t)=R\frac{2t}{1+t^{2}},\quad z(t)=0,\quad-\infty<\infty$

Prima di esporre i diversi metodi per ottenere delle curve sintetiche e per poter meglio analizzare le loro proprietà geometriche è opportuno avere delle conoscenze di base di calcolo differenziale riguardante le curve.

Sia data una curva parametrica r=r(t), e supposto che sia regolare, cioè dr/dt≠0 per tutti i valori di t, si ha che la sua lunghezza è data da:

$s=\int\left\Vert d\mathbf{r}\right\Vert dt$

dove s è l’ascissa curvilinea, è:

$\left\Vert \frac{d\mathbf{r}}{dt}\right\Vert =\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dz}{dt}\right)^{2}}$

Elementi di calcolo differenziale per una curva parametrica

Poiché: …………………………………….. $ds=\sqrt{dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}=\left\Vert d\mathbf{r}\right\Vert$

si ha che:

$\frac{ds}{dt}=\left\Vert \frac{d\mathbf{r}}{dt}\right\Vert$

Il versore tangente alla curva è data da:

$\mathbf{T}(t)=\frac{d\mathbf{r}}{dt}/\left|\frac{d\mathbf{r}}{dt}\right|$

mentre la retta tangente alla curva per t=t₀ è: ……………. $\mathbf{r}(u)=\mathbf{r}(t_{0})+\mathbf{T}(t_{0})\: u$

Quando la curva è piana la sua normale è unica e ben definita, mentre se la curva non è piana ogni vettore normale a T è un vettore normale alla curva.

Poiché la derivata $\dot{\mathbf{T}}=\frac{d\mathbf{T}}{dt}$ è un vettore normale a T, il versore:

$\mathbf{N}=\frac{d\mathbf{T}}{dt}/\left\Vert \frac{d\mathbf{T}}{dt}\right\Vert$

è detto vettore normale principale della curva r=r(t).

Versore tangente, normale e binormale a una curva.

Elementi di calcolo differenziale per una curva parametrica

Quando il parametro della curva è l’arco lunghezza s, si ha:

$\mathbf{T}=\frac{d\mathbf{r}}{ds}=\frac{d\mathbf{r}}{dt}/\frac{ds}{dt}$ e $\frac{d\mathbf{T}}{ds}=\frac{\left\Vert d\mathbf{T}/dt\right\Vert }{ds/dt}\mathbf{N}=k\mathbf{N} ~~\text{dove k}~~=\left\Vert \frac{d\mathbf{T}}{ds}\right\Vert$

è la curvatura della curva.

Si nota che per convenzione k>0 . Dal prodotto vettoriale TxN=B si ottiene il versore binormale B alla curva. I tre versori T, N e B formano una terna di assi cartesiani.

I piani passanti per un dato punto della curva e contenente i vettori T e N, N e B sono chiamati, rispettivamente, piano osculatore e piano normale. Nel caso di una curva piana il piano osculatore è il piano della curva, per cui il versore binormale è fisso, cioè, dB/ds=0.

I versori B e T sono ortogonali, per cui il loro prodotto scalare è zero. La derivata del precedente prodotto scalate da:

$\frac{d(\mathbf{B\cdot T})}{ds}=\frac{d\mathbf{B}}{ds}\cdot\mathbf{T}+\mathbf{B}\cdot\frac{d\mathbf{T}}{ds}=0$ ma $\mathbf{B}\centerdot\frac{d\mathbf{T}}{ds}=\mathbf{B}\centerdot k\mathbf{N}=0$

poiché B e N sono ortogonali, per cui risulta $\frac{d\mathbf{B}}{ds}\cdot\mathbf{T}=0$ quindi il versore dB/ds è perpendicolare sia a T che a B, e quindi è parallelo a N, per cui si ha $\frac{d\mathbf{B}}{ds}=-\tau\mathbf{N}$ dove t è detta torsione della curva ed è positiva quando la curva ruota dal piano osculatore verso la direzione positiva di B.

Elementi di calcolo differenziale per una curva parametrica

Problema 2.8: Sia data un’elica cilindrica di raggio R e passo p, calcolare i versori T, N, B, la curvatura k e la torsione t.

L’equazione parametrica dell’elica è data da:

$\mathbf{r}(t)=( Rcos(t), Rsin(t), pt/2\pi)$ e la sua derivata è $r'(t)=(- Rsin(t), Rcos(t), p/2\pi)$

Poiché:

$\frac{ds}{dt}=\left\Vert \frac{d\mathbf{r}}{dt}\right\Vert =\sqrt{R^{2}+(p/2\pi)^{2}}$

il versore tangente è dato da:

$\mathbf{T}=\frac{d\mathbf{r}}{dt}/\frac{ds}{dt}=(-Rsin(t),Rcos(t),p/2\pi)/\sqrt{R^{2}+(p/2\pi)^{2}}$

Elementi di calcolo differenziale per una curva parametrica

Il vettore normale è:

$N_{v}=\frac{d\mathbf{T}}{dt}/\frac{ds}{dt}=(-Rcos(t),-Rsin(t),0)/(R^{2}+(p/2\pi)^{2}$

e il versore normale

$\mathbf{N}=(-cos(t),-sin(t),0)$

mentre la curvature è:

$k=R/(R^{2}+(p/2\pi)^{2})$

Il versore binormale B è dato da:

$\mathbf{B}=\mathbf{T}\times\mathbf{N}=\frac{1}{\sqrt{R^{2}+(p/2\pi)^{2}}}\left[\begin{array}{ccc}i & j & k\\-Rsin(t) & Rcos(t) & p/2\pi\\-cos(t) & -sin(t) & 0\end{array}\right]=\frac{p/2\pi}{\sqrt{R^{2}+(p/2\pi)^{2}}}=(sin(t),-cos(t),2\pi R/p)$

Elementi di calcolo differenziale per una curva parametrica

Problema 2.8: Sia data un’elica cilindrica di raggio R e passo p, calcolare i versori T, N, B, la curvatura k e la torsione t.

L’equazione parametrica dell’elica è data da:

$\mathbf{r}(t)=( Rcos(t), Rsin(t), pt/2\pi)$

e la sua derivata è:

$\mathbf{r}'(t)=(- Rsin(t), Rcos(t), p/2\pi)$

Poiché:

$\frac{ds}{dt}=\left\Vert \frac{d\mathbf{r}}{dt}\right\Vert =\sqrt{R^{2}+(p/2\pi)^{2}}$

il versore tangente è dato da: ……………

$\mathbf{T}=\frac{d\mathbf{r}}{dt}/\frac{ds}{dt}=(-Rsin(t),Rcos(t),p/2\pi)/\sqrt{R^{2}+(p/2\pi)^{2}}$

Elementi di calcolo differenziale per una curva parametrica

Il vettore normale è:

$\mathbf{N}_{v}=\frac{d\mathbf{T}}{dt}/\frac{ds}{dt}=(-Rcos(t),-Rsin(t),0)/(R^{2}+(p/2\pi)^{2}$

e il suo versore normale è:

$\mathbf{N}=(-cos(t),-sin(t),0)$

mentre la curvature è:

$k=R/(R^{2}+(p/2\pi)^{2})$

Il versore binormale B è dato da:

$\mathbf{B}=\mathbf{T\times N}=\frac{1}{\sqrt{R^{2}+(p/2\pi)^{2}}}\left[\begin{array}{ccc}<br /> i & j & k\\-Rsin(t) & Rcos(t) & p/2\pi\\-cos(t) & -sin(t) & 0\end{array}\right]=\frac{p/2\pi}{\sqrt{R^{2}+(p/2\pi)^{2}}}=(sin(t),-cos(t),2\pi R/p)$

Il valore della torsione è data da:

$\frac{d\mathbf{B}}{dt}/\frac{ds}{dt}=\frac{p/2\pi}{R^{2}+(p/2\pi)^{2}}(cos(t),sin(t),0)=-\tau\mathbf{N}\;\rightarrow\tau=\frac{p/2\pi}{R^{2}+(p/2\pi)^{2}}$

Elementi di calcolo differenziale per una curva parametrica

Problema 2.9: Sia data un’ellisse con semiassi A e B, calcolare i versori T, N, B e la curvatura k minima e massima.

L’equazione parametrica dell’ellisse è data da r(t)=( Acos(t), Bsin(t), 0) e la sua derivata è r’(t)=(- Asin(t), Bcos(t), 0)
Poiché:

$\frac{ds}{dt}=\left\Vert \frac{d\mathbf{r}}{dt}\right\Vert =\sqrt{A^{2}sin^{2}t+B^{2}cos^{2}t}$

il versore tangente T è dato da:

$\mathbf{T}=\frac{d\mathbf{r}}{dt}/\frac{ds}{dt}=(-Asin(t),Bcos(t),0)/\sqrt{A^{2}sin^{2}t+B^{2}cos^{2}t}$

Elementi di calcolo differenziale per una curva parametrica

Il vettore normale è:

$\mathbf{N}_{v}=\frac{d\mathbf{T}}{dt}/\frac{ds}{dt}=(-Bcos(t),-Asin(t),0)\: AB/\left(A^{2}sin^{2}t+B^{2}cos^{2}t\right)^{3/2}$

e il versore normale:

$\mathbf{N}=(-Bcos(t),-Asin(t),0)/\sqrt{A^{2}sin^{2}t+B^{2}cos^{2}t}$

mentre la curvature è:

$k(t)=\frac{AB}{A^{2}sin^{2}t+B^{2}cos^{2}t}$

La curvatura dell’ellisse è una funzione del parametro e raggiunge i valori di minimo e massimo, rispettivamente, in corrisponde dei valori del parametro t=0 e t=π/2:

$k(0)=\frac{A}{B^{2}} ~~\text{e} ~~k(\pi/2)=\frac{B}{A^{2}}$

Poiché l’ellisse data è una curva sul piano xy, si ha che il suo versore binormale B è costante ed è parallelo al versore principale k, infatti

$\mathbf{B}=\mathbf{T\times N}=\frac{1}{A^{2}sin^{2}t+B^{2}cos^{2}t}\left[\begin{array}{ccc}<br /> \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\-Asin(t) & Bcos(t) & 0\\-Bcos(t) & -Asin(t) & 0\end{array}\right]=\left(0,0,1\right)$

Elementi di calcolo differenziale per una curva parametrica

Problema 2.10: Approssimare l’ellisse di semiassi a e b con un ovale (curva costituita da due archi di cerchi) dove un cerchio R₁ ha raggio uguale al raggio minimo di curvatura in corrisponde del semiasse a.

La soluzione consiste nel trovare un cerchio di raggio R₃ tangente a due cerchi dati e passante per il punto P=(0,b). Il raggio minimo di curvatura R_m dell’ellisse è in corrispondenza dell’asse maggiore ed è uguale a R_m=b²/a, mentre il raggio massimo di curvatura è in corrispondenza dell’asse minore ed è uguale a R_M=a²/b.

Dalla Fig. seguente risulta che i due cerchi R₁ di raggio R_m e centri C₁=(a-a²/b,0) e C₂=(-a+a²/b,0) sono archi dell’ovale.

Essendo l’ovale simmetrica consideriamo solo due condizioni: tangenza al cerchio R₁ nel punto B e di passaggio per il punto P=A=(0,b).

Elementi di calcolo differenziale per una curva parametrica

Se indichiamo con C₃=(0,-y) il centro del cerchio R₃, si ha R₃=C₃C₁+R₁ ma:

$C_{3}C_{1}=\sqrt{\left(a-R_{1}\right)^{2}+\left(R_{3}-b\right)^{2}}$

per cui:

$R_{3}-R_{1}=\sqrt{\left(a-R_{1}\right)^{2}+\left(R_{3}-b\right)^{2}}$

e facendo il quadrato si perviene a:

$R_{3}=\frac{a^{2}+b^{2}-2R_{1}a}{2(b-R_{1})}$

Questa è una relazione generale che lega i raggi di un’ovale inscritta in un rettangolo di lati a e b. Poiché R₁=b²/a si perviene dopo alcune semplificazione a:

$R_{3}=\frac{a(a+b)}{2b}\leq\frac{a^{2}}{b}=R_{M}$

L’ovale ottenuta risulta iscritta all’ellisse.

Elementi di calcolo differenziale per una curva parametrica

Problema 2.11: Approssimare l’ellisse di semiassi a e b con un ovale (curva costituita da due archi di cerchi) dove il cerchio R₃ ha raggio uguale al raggio massimo di curvatura R_M in corrisponde del semiasse minore b.
Si lascia allo studente la verifica della soluzione che è:

$R_{1}=\frac{b(a+b)}{2a}\geq\frac{b^{2}}{a}=R_{m}$