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Esamuele Santoro » 3.Modellazione geometrica


Modellazione geometrica

La modellazione geometrica utilizzata dai sistemi CAD è un settore della geometria, che spesso viene indicata come “Computational geometry“, perché studia gli algoritmi computazionali che permettono meglio di creare, manipolare, rappresentare, ecc. le entità geometriche dei modelli geometrici.

Lo studio della computational geometry è fondamentale sia per conoscere il significato dei termini che si incontrano quando si progetta con i sistemi CAD sia per scegliere le entità geometriche che meglio permettono di creare un modello geometrico, che deve avere assegnati requisiti geometrici come pendenze, curvatura, ecc..

2.1 Formulazione esplicita, implicita e parametrica di una curva

La retta è la più semplice curva e la sua equazione più nota sul piano (x,y) è data da:

y=mx+c                        (2.1)

deve m è la pendenza e c è l’intersezione della retta con l’asse y.

La (2.1) è l’equazione esplicita della retta e permette di calcolare la variabile dipendente y una volta assegnato il valore alla variabile dipendente x.

Formulazione esplicita e implicita di una curva

Questa formulazione non permette di rappresentare le linee verticali, come x=1.

Se si assegnano due punti P1(x1,y1) e P2(x2,y2), la retta che passa per questi punti:

..

y=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}x+\frac{y_{1}x_{2}-y_{2}x_{2}}{x_{2}-x_{1}}

o nella forma più simmetrica:

..

\left(y-y_{1}\right)\left(x_{2}-x_{1}\right)-\left(y_{2}-y_{1}\right)\left(x- x_{1}\right)=0~~~~~~~~\text{(2.2)}

La (2.2) è la forma implicita di una retta, perché y può essere calcolato, per un assegnato valore di x, solo risolvendo l’equazione.

La formulazione implicita (2.2), diversamente dalla (2.1) permette di rappresentare le linee verticali, infatti se x2=x1 ed y2≠y1 l’equazione della retta verticale è x=x1

Formulazione esplicita e implicita di una curva

In generale, la formulazione implicita di una retta è data da:

ax+by+c=0

Le formulazioni esplicita ed implicita di una curva nel piano (O; x, y) sono rispettivamente:

y=f(x) …..e …… g(x,y)=0………….. (2.3)

La formulazione esplicita permette di rappresentare una curva che ha un solo valore di y per ogni x e non presenta tangenti verticali. Purtroppo con tale formulazione non è possibile rappresentare importanti curve come l’ellisse. Ad esempio, l’equazione della circonferenza viene data, generalmente, nella formulazione implicita:

x^{2}+y^{2}-r^{2}=0

Se si volesse la sua forma esplicita occorrerebbe dividerla in due parti, che corrispondono ai valori positivi e negativi delle ordinate:

y=\sqrt{r^{2}-x^{2}}\:\; y=-\sqrt{r^{2}-x^{2}}

Formulazione esplicita e implicita di una curva

L’equazione della retta tangente ad una curva data in forma esplicita nel punto P1=(x1,y1), è data dallo sviluppo lineare della funzione (2.3):

y=y_{1}+f^{'}(x_{1})(x-x_{1})

Analogamente, lo sviluppo lineare della curva implicita g(x,y)=0 nel punto P1=(x1,y1), rappresenta l’equazione della tangente in tale punto ed è data:

\frac{\partial g(x_{1},y_{1)}}{\partial x}\,(x-x_{1})+\frac{\partial g(x_{1},y_{1})}{\partial y}\,(y-y_{1})=0

Se le coordinate x, y e z sono funzione di un parametro ausiliario t, si ha la seguente formulazione parametrica della curva nello spazio R3:

x=x(t)~~, ~~y=y(t)~~,~~ z=z(t)~~,~~ t_i \leq t \leq t_f~~~~(2.6)

La (2.6) può essere scritta nella forma più compatta r=r(t) , dove r =(x,y,z) è il vettore posizione di un punto P della curva (2.6).

Formulazione parametrica di una curva

Ad esempio, la circonferenza di centro C=(0,0,0) e raggio R nel piano (x,y) può avere la seguente formulazione parametrica:

x(t)=Rcos(t)~~,~~ y(t)=Rsin(t)~~,~~ z(t)=0~~,~~ 0\leq t \leq 2\pi

Generalmente, si preferisce normalizzare il parametro t facendolo variare nell’intervallo tE[0,1], ciò si ottiene mediante una semplice trasformazione lineare:

\tau=\frac{t-t_{i}}{t_{f}-t_{i}}

L’equazione parametrica normalizzata della circonferenza diventa:

x(\tau)=Rcos(\tau 2\pi)~~,~~ y(t)=Rsin(\tau 2\pi )~~,~~ z(\tau)=0~~, ~~0 \leq \tau \leq 1

……..

La retta tangente alla curva parametrica (2.6) nel punto P1(x1,y1,z1), dove x1=x(t1), e y1=y(t1) e z1=z(t1), è data dallo sviluppo lineare delle componenti:

x(t)=x(t_1)+(t-t_1)x'(t_1)~~,~~ y(t)=y(t_1)+(t-t_1)y'(t_1)~~, ~~z(t)=z(t_1)+(t-t_1)z'(t_1)

Problema 2.1

Calcolare l’equazione della retta tangente all’ellisse avente a=2 e b=1 nel punto avente t1=1/8.

L’equazione dell’ellisse è  x(t)=2cos(2\pi t), y=sin(2\pi t), le coordinate del punto sono:

P(1/8)=(\sqrt 2,\sqrt 2/2)

e le sue derivate sono:

x'(t_1)=-4\pi sin(2\pi t_1)=-2\pi \sqrt 2, ~~~~~~~y'(t_1)=2\pi cos(2\pi t_1)=\pi \sqrt 2,

per cui l’equazione della retta tangente è:

x(t)=\sqrt{2}(1+\frac{\pi}{4})-2\pi\sqrt{2}\: t,\quad y(t)=\frac{\sqrt{2}}{2}(1-\frac{\pi}{4})+\pi\sqrt{2}\: t

Elementi di calcolo vettoriale

Se si associa a ciascun punto P=(x,y,z) il corrispondente vettore posizione r=0P=xi+yj+zk è possibile eseguire su tali vettori le operazioni di somma o sottrazione e di prodotto scalare e vettoriale.
Per semplicità indichiamo con r=(x,y,z) o con r=(rx,ry,rz) un vettore r, che è definito da una direzione, un verso e una lunghezza, il suo modulo è dato da:

\left\Vert \mathbf{r}\right\Vert =\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}

Per semplicità di calcolo si preferisce spesso associare ad un vettore r il corrispondente versore u, che è un vettore avente modulo unitario e direzione e verso uguale a r, per cui il versore di r è dato da:

\mathbf{u}=\frac{\mathbf{r}}{\left\Vert \mathbf{r}\right\Vert }=\frac{x}{\left\Vert \mathbf{r}\right\Vert }\mathbf{i}+\frac{y}{\left\Vert \mathbf{r}\right\Vert }\mathbf{j}+\frac{z}{\left\Vert \mathbf{r}\right\Vert }\mathbf{k}

Due vettori r1=(x1,y1,z1) e r2=(x2,y2,z2) sono uguali solo se tutte le corrispondenti componenti lo sono:

\mathbf{r}_1= \mathbf{r}_2~~ ~\longleftrightarrow ~~ (x_1= x_2 , y_1= y_2 , z_1 =z_2 )

Elementi di calcolo vettoriale

La somma o differenza tra due vettori si ottiene sommando o sottraendo le corrispondenti componenti, graficamente l’operazione di somma consiste nell’applicare regola del parallelogramma:

\mathbf{r} = \mathbf{r}_1 \pm \mathbf{r}_2 = ( x_1 \pm x_2, y_1\pm y_2, z_1\pm z_2 )~~~~~~~~(2.8)

La moltiplicazione tra uno scalare λ ed un vettore r =(x,y,z) da un vettore avente la stessa direzione e senso di r ma il suo modulo è uguale a λ r

λ r = (λ x, λy, λz) ……….. (2.9)

Il prodotto scalare tra due vettori r1=( x1,y1,z1) e r2=(x2,y2,z2) è uno scalare il cui valore è dato da

\mathbf{r}_{1}\centerdot\mathbf{r_{\mathrm{2}}}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}=\left\Vert \mathbf{r}_{1}\right\Vert \left\Vert \mathbf{r}_{2}\right\Vert cos\alpha~~~~~(2.10)

dove α è l’angolo tra r1 e r2.

Dalla (2.10) risulta che il modulo (o norma) di un vettore è:

\left\Vert \mathbf{r}\right\Vert =\sqrt{\mathbf{r}\centerdot\mathbf{r}}

Elementi di calcolo vettoriale

Se indichiamo con r1T il vettore riga di r1, si ha che la (2.10) può essere scritta anche come prodotto tra un vettore riga per un vettore colonna:

\mathbf{r}_{1}\centerdot\mathbf{r_{\mathrm{2}}}=\mathbf{r}_{1}^{T}\mathbf{r}_{2}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}

Il prodotto scalare tra due vettori perpendicoli è zero, mentre se sono paralleli il prodotto scalare non è altro che il prodotto dei loro moduli.

La (2.10) è molto importante sia per calcolare l’angolo tra due vettori sia per calcolare la proiezione ortogonale di un vettore su un’assegnata direzione.

Infatti se u2=r2 è un versore si ha che il precedente prodotto scalare rappresenta la lunghezza della proiezione ortogonale di r1 sulla retta avente direzione u2:

\mathbf{r}_{1}\centerdot\mathbf{u_{\mathrm{2}}}=\left\Vert \mathbf{r}_{1}\right\Vert cos\alpha

Elementi di calcolo vettoriale

Proiezione ortogonale di un vettore su una retta orientata u2

Proiezione ortogonale di un vettore su una retta orientata u2

Somma e sottrazione di vettori

Somma e sottrazione di vettori


Elementi di calcolo vettoriale

Se consideriamo i versori principali i= (1,0,0), j=(0,1,0) e k=(0,0,1) si ha:

\mathbf {i.i=j.j=k.k=1 ~~,~~ i.j=j.k=k.i=0}

Il prodotto scalare tra vettori permette di scrivere in forma più compatta il modulo somma o differenza tra due vettori che è dato da:

\left\Vert \mathbf{r}\right\Vert ^{2}=\left\Vert \mathbf{r}_{1}\pm\mathbf{r_{2}}\right\Vert =\left\Vert \mathbf{r}_{1}\right\Vert ^{2}+\left\Vert \mathbf{r}_{2}\right\Vert ^{2}\pm2\mathbf{r}_{1}\centerdot\mathbf{r}_{2}~~~~~~(2.12)

che rappresenta la legge dei coseni già nota agli antichi greci.

Il prodotto vettoriale tra due vettori r1=( x1,y1,z1) e r2=(x2,y2,z2) è un vettore perpendicolare al piano formato da r1 e r2 ed è dato da:

\mathbf{r}_{1}\times\mathbf{r}_{2}=\left[\begin{array}{ccc}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\x_{1} & y_{1} & z_{1} \\x_{2} & y_{2} & z_{2}\end{array}\right]=(y_{1}z_{2}-z_{1}y_{2})\mathbf{i}+(z_{1}x_{2}-x_{1}z_{2})\mathbf{j}+(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})\mathbf{k}=\left\Vert r_{1}\right\Vert \left\Vert r_{2}\right\Vert sin\alpha\mathbf{u}~~~~~~(2.13)

dove u è il versore normale al piano formato da r1 e r2.

Elementi di calcolo vettoriale

Per conoscere il senso del versore u è sufficiente applicare la regola della mano destra dove il pollice indica r1, l’indice r2 ed il medio indica il senso del versore u.

Mentre il prodotto scalare tra un vettore ed un versore di una retta orientata permette di calcolare la sua proiezione ortogonale sulla retta, viceversa il prodotto vettoriale tra un vettore e il versore di retta orientata da la componente del vettore in direzione perpendicolare alla retta.
Infatti se u2 = r2 è il versore associato alla retta orientata si ha:

\mathbf{r}_{1}\centerdot\mathbf{u}_{2}=\left\Vert \mathbf{r}_{1}\right\Vert cos\alpha ~~,~~ \mathbf{r}_{1}\times\mathbf{u}_{2}=\left\Vert \mathbf{r}_{1}\right\Vert sin\alpha

da cui si ottiene la seguente relazione:

\mathbf{(r}_{1}\centerdot\mathbf{u}_{2})^{2}+(\mathbf{r_{\mathrm{2}}}\times\mathbf{u}_{2})^{2}=\left\Vert \mathbf{r}_{1}\right\Vert ^{2}~~~~(2.14)

Elementi di calcolo vettoriale

Se r3=(x3, y3 , z3 ) è un terzo vettore, il triplo prodotto scalare è dato dal determinante:

\mathbf{r}_{1}\centerdot(\mathbf{r}_{2}\times\mathbf{r}_{3})=\left[\begin{array}{ccc}x_{1} & y_{1} & z_{1}\\x_{2} & y_{2} & z_{2}\\x_{3} & y_{3} & z_{3}\end{array}\right]

Se si effettua una ciclica permutazione delle righe del determinante il suo valore non cambia, pertanto:

\mathbf{r}_1 \cdot (\mathbf{r}_2 ~\text{x}~ \mathbf{r}_3 ) = \mathbf{r}_2 \cdot (\mathbf{r}_3  ~\text{x}~ \mathbf{r}_1 ) = \mathbf{r}_3 \cdot (\mathbf{r}_1  ~\text{x}~ \mathbf{r}_2 )

Se due vettori sono paralleli, ciò comporta che il determinante ha due righe proporzionali o uguali per cui il triplo prodotto scalare è nullo.

Un piano è univocamente definito se si considerano tre suoi punti non allineati. Per calcolare il vettore normale a tale piano è sufficiente considerare il prodotto vettoriale tra due vettori aventi per estremi i punti assegnati.

Alcune applicazioni dei vettori

Problema 2.3
Calcolare la normale al piano passante per i tre punti P1=(1,2,0), P2=(2,4,1) e P3=( 3,2,1) e l’area del triangolo avente per vertici tali punti.

Consideriamo i vettori r1=P1P2= (2-1,4-2,1-0)=(1,2,1) e  r2=P1P3=(3-1,2-2,1-0)=(2,0,1), questi vettori appartengono ad un piano il cui vettore normale N è dato da:

\mathbf{N}=P_{1}P_{2}\times P_{1}P_{3}=\left[\begin{array}{ccc}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\1 & 2 & 1\\2 & 0 & 1\end{array}\right]=2\mathbf{i}+\mathbf{j}-4\mathbf{k}

Il versore di N è:

\mathbf{n}=\frac{\mathbf{\mathbf{\mathbf{N}}}}{\left\Vert \mathbf{\mathbf{N}}\right\Vert }=\frac{1}{\sqrt{21}}(2\mathbf{i}+\mathbf{j}-4\mathbf{k})

L’area del triangolo avente per vertici P1=(x1,y1,z1), P2=(x2,y2,z2), e P3=(x3,y3,z3) è uguale al semiprodotto di una sua base per la relativa altezza. Se H è la proiezione ortogonale di P3 su P1P2 , il vettore P3H rappresenta un’altezza del triangolo, per cui si ha:

A_{t}=\frac{1}{2}\left\Vert P_{1}P_{2}\right\Vert \left\Vert P_{3}H\right\Vert =\frac{1}{2}\left\Vert P_{1}P_{2}\right\Vert \left\Vert P_{1}P_{3}\right\Vert sin\alpha=\frac{1}{2}\left\Vert P_{1}P_{2}\times P_{1}P_{3}\right\Vert~~~~~(2.16)

Alcune applicazioni dei vettori

È preferibile associare all’area del triangolo un vettore ottenuto dal prodotto vettoriale (2.16a), per cui la sua direzione risulta perpendicolare al piano del triangolo mentre il suo modulo è uguale all’area:

\mathbf{A}_{t}=\frac{1}{2}P_{1}P_{2}\times P_{1}P_{3}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ccc}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\x_{2}-x_{1} & y_{2}-y_{1} & z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1} & y_{3}-y_{1} & z_{3}-z_{1}\end{array}\right]=A_{t,i}\mathbf{i}+A_{t,j}\mathbf{j}+A_{t,k}\mathbf{k}

dove At,i , At,j , At,k sono le componenti del vettore area del triangolo.
Il quadrato del modulo del vettore area risulta essere uguale a:

\left\Vert \mathbf{A}_{t}\right\Vert ^{2}=A_{t,i}^{2}+A_{t,j}^{2}+A_{t,k}^{2}~~~~~(2.17)

La (2.17) può essere considerata come la generalizzazione del teorema di Pitagora applicato ad una generica figura piana. Infatti è sempre possibile mediante triangolazioni avere una partizione della figura piana costituita dall’unione di triangoli complanari, per cui considerando le loro proiezioni si ha che la somma dei quadrati delle aree di una figura piana su tre piani perpendicolari è uguale al quadrato dell’area della figura.

Alcune applicazioni dei vettori

Se i vertici del triangolo appartengono tutti al piano xy, l’unica componente diversa da zero è la k per cui la (2.16b) si semplifica nella seguente formula, che fu proposta da Lagrange:

A_{t}=A_{t,k}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}x_{2}-x_{1} & y_{2}-y_{1}\\x_{3}-x_{1} & y_{3}-y_{1}\end{array}\right]=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ccc}x_{1} & y_{1} & 1\\x_{2} & y_{2} & 1\\x_{3} & y_{3} & 1\end{array}\right]

Anche l’equazione della retta passante per i punti P1(x1,y1,z1) e P2(x2,y2,z2) può essere descritta in termini vettoriali. Infatti ogni suo punto r è dato dalla somma di due vettori:

r1+P1P=r.

Il vettore P1P a meno di uno scalare t ha la stessa direzione del vettore P1P2 per cui si può porre P1P=tP1P2, pertanto l’equazione della retta è

\mathbf {r(t) = r_1}+ tP_1P_2= \mathbf {r_1 + t (r_2- r_1)}=(1-t) \mathbf{r_1} +t \mathbf{r_2}~~~~~(2.19)

Si osserva che tutti i punti del segmento P1P2 si ottengono facendo variare t \in [0,1].

Alcune applicazioni dei vettori

Se si esplicita la precedente equazione rispetto a ciascuna componente si ottiene la formulazione parametrica della retta, che già abbiamo visto in precedenza:

x(t)=x_{1}+t(x_{2}-x_{1})\quad y(t)=y_{1}+t(y_{2}-y_{1})\quad z(t)=z_{1}+t(z_{2}-z_{1})\quad-\infty \leq t \leq +\infty

Se i punti P1 e P2 appartengono allo spazio Rn, la (2.19) diventa l’equazione di una retta nello spazio Rn. Se invece dei due punti viene assegnato un punto r1 ed un versore direzione n, l’equazione della retta è data da:

r (t) = r1+t n.

Vettore posizione di un punto della retta

Vettore posizione di un punto della retta


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