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Esamuele Santoro » 6.Superfici Parametriche

Superfici Parametriche

Una generica superficie può essere ottenuta considerando il movimento di una curva nello spazio, che durante il moto può anche deformarsi.

Sia r=r(u) una generica curva parametrica, la posizione che occuperà la curva al tempo ti può essere espressa dalla funzione r=r(u,t_i), pertanto considerando il tempo come un parametro si ha che la funzione r=r(u,t) (0≤u≤1 e 0≤t≤tn) rappresenta una superficie.

In generale qualsiasi funzione vettoriale r=r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) di due variabili (u,v) rappresenta una superficie. Se uno dei due parametri viene considerato come costante, l’equazioni r(u)=r(u,v₀) e r(v)=r(u₀,v) rappresentano due curve, dette isoparametriche, che appartengono alla superficie r=r(u,v).

Le curve isoparametriche sono molto utili quando occorre visualizzare la superficie.

Infatti, scegliendo un certo numero di curve isoparametriche, generalmente equidistanti lungo gli assi parametrici u e v, si ottiene una griglia di curve che ben rappresenta l’andamento della superficie.

Prima di esporre i diversi tipi di superfici parametriche è opportuno avere delle conoscenze di base di calcolo differenziale riguardante le superfici.

Elementi di calcolo differenziale per una superficie parametrica

Sia data una superficie parametricar=r(u,v), si ha che nel punto (u₀,v₀) è possibile definire due curve isoparametriche r(u)=r(u,v₀) e r(v)=r(u₀,v), appartenenti alla superficie.

Le derivate prime di queste due curve in (u₀,v₀) danno i due vettori tangenti:

$\mathbf{r}_{u}(u,v)=\left(\frac{\partial x(u,v)}{\partial u},\frac{\partial y(u,v)}{\partial u},\frac{\partial z(u,v)}{\partial u}\right)$

$\mathbf{r}_{v}(u,v)=\left(\frac{\partial x(u,v)}{\partial v},\frac{\partial y(u,v)}{\partial v},\frac{\partial z(u,v)}{\partial v}\right)$

Il primo nella direzione v=cost, il secondo nella direzione u=cost.

Il piano contenente questi due vettori è il piano tangente alla superficie, il cui versore normale è data da:

$\mathbf{n}(u,v)=\pm\left(\mathbf{r}_{u}(u,v)\times\mathbf{r}_{v}(u,v)\right)/\left\Vert \mathbf{r}_{u}\times\boldsymbol{r}_{v}\right\Vert (4.1)$

Il punto della superficie dove il prodotto vettoriale tra i due versori tangenti è uguale a zero è un punto singolare della parametrizzazione o un punto cuspide della superficie.

Elementi di calcolo differenziale per una superficie parametrica

Il vettore svergolamento (twist vector), in un punto della superficie, misura la variazione di r_u(u,v) rispetto a v , o viceversa misura la variazione di r_v(u,v) rispetto a u, quindi è dato differenziando r(u,v) rispetto a u e v:

$\mathbf{r}_{u,v}(u,v)=\left(\frac{\partial^{2}x(u,v)}{\partial u\partial v},\frac{\partial^{2}y(u,v)}{\partial u\partial v},\frac{\partial^{2}z(u,v)}{\partial u\partial v}\right)$

Il vettore svergolamento dipende dalla formulazione parametrica, per cui si può verificare che si può avere un r_u,v≠0 e la superficie non risulta svergolata.

Dati due punti di una superficie esistono molte curve che passano per tali punti.

La curva che presenta la minima lunghezza tra i due punti è detta geodetica ed è molto importante nel CAM, perché minimizza il percorso utensile tra due punti di una superficie. Viceversa, la lunghezza di un segmento che unisce due punti dello spazio è la distanza minima tra i due punti ed è detta distanza euclidea.

Elementi di calcolo differenziale per una superficie parametrica

La distanza infinitesimale tra due punti di una superficie può essere ottenuta considerando la somma di due vettori spostamenti r_udu e r_vdv (2.11), ottenendo:

$ds^{2}=\mathbf{r}_{u}\cdot\mathbf{r}_{u}du^{2}+2\mathbf{r}_{u}\cdot\mathbf{r}_{v}dudv+\mathbf{r}_{v}\cdot\mathbf{r}_{v}dv^{2} ~~~~(4.2)$

L’equazione (4.2) viene indicata come prima forma fondamentale quadratica di un superficie e può essere riscritta come:

$ds^{2}=Edu^{2}+2Fdudv+Gdv^{2}$

dove formula E, F e G sono i primi coefficienti metrici di una superficie.

I due vettori spostamenti r_udu e r_vdv sono sul piano tangente, per cui la distanza (4.2) è misurata sul piano tangente e non tiene conto della curvatura della superficie. Una misura della curvatura della superficie è data dalla distanza della superficie dal piano tangente, che è data da:

$\frac{1}{2}dh^{2}=\mathbf{n}\cdot\mathbf{r}_{uu}du^{2}+2\mathbf{n}\cdot\mathbf{r}_{uv}dudv+\mathbf{n}\cdot\mathbf{r}_{vv}dv^{2}=Ldu^{2}+2Mdudv+Ndv^{2}$

che viene chiamata seconda forma fondamentale quadratica di una superficie.

Elementi di calcolo differenziale per una superficie parametrica

Una curva della superficie r(u,v) può essere rappresentata dalle equazioni u=u(t), v=v(t), che possono essere espresse dal vettore c(t)=[u(t),v(t)]^T. L’equazione parametrica della curva sarà:

r(t)=r(u(t),v(t))=r(c(t)).

Il vettore tangente a questa curva è:

$\dot{\mathbf{r}}(t)=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u}\dot{u}+\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial v}\dot{v}=\mathbf{A}\dot{c}$

dove:

$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}x_{u} ~~~ x_{v}\\ y_{u} ~~~ y_{v}\\ z_{u} ~~~ z_{v}\end{array}\right)=\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} ; \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\end{array}\right]$

$\dot{c}^{T}=\left[\begin{array}{cc}<br /> \frac{\partial u}{\partial t} & \frac{\partial v}{\partial t}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}<br /> \dot{u} & \dot{v}\end{array}\right]$

Elementi di calcolo differenziale per una superficie parametrica

Il modulo del vettore tangente è dato da:

$\left\Vert \dot{\mathbf{r}}\right\Vert ^{2}=\dot{\mathbf{r}}^{T}\cdot\mathbf{r}=\dot{c}^{T}\mathbf{A}^{T}\mathbf{A}\dot{c}=\dot{c}^{T}\mathbf{G}\dot{c}$

Dove:

$\mathbf{G}=\mathbf{A}^{T}\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc} \mathbf{r}_{u}\cdot\mathbf{r}_{u} & \mathbf{r}_{u}\cdot\mathbf{r}_{v}\\ \mathbf{r}_{u}\cdot\mathbf{r}_{v} & \mathbf{r}_{v}\cdot\mathbf{r}_{v}\end{array}\right] ~~~~(4.3)$

è la prima matrice fondamentale della superficie.

Il versore tangente lungo la curva r=r(c(t)) è dato da:

$\mathbf{T}=\frac{d\mathbf{r}}{dt}/\left\Vert \frac{d\mathbf{r}}{dr}\right\Vert =\mathbf{A}\dot{c}/\left(\dot{c}^{T}\mathbf{G}\dot{c}\right)^{1/2}$

Elementi di calcolo differenziale per una superficie parametrica

Se due curve c₁=c₁(t) e c₂=c₂(t) giacciono su un superficie esse si intersecano secondo un angolo, che è dato dal prodotto scalare dei versori tangenti T₁, T₂, per cui si ha:

$\mathbf{T}_{1}\cdot\mathbf{T}_{2}=\frac{\dot{c_{1}^{T}\mathbf{A}^{T}\mathbf{A}\dot{c_{2}}}}{(c_{1}^{T}\mathbf{G}\dot{c_{1})^{1/2}}(c_{2}^{T}\mathbf{G}\dot{c_{2})^{1/2}}}=cos\alpha$

Per una curva parametrica r(t) la sua curvatura k si ottiene differenziando due volte r(t):

$\dot{\mathbf{r}}(t)=\frac{d\mathbf{r}}{dt}\frac{ds}{dt}=\dot{s}\mathbf{T}$

$\ddot{\mathbf{r}}(t)=\ddot{s}\mathbf{T}+\dot{s}\frac{d\mathbf{T}}{ds}\frac{ds}{dt}=\ddot{s}\mathbf{T}+\dot{s}^{2}k\mathbf{N}$

Per una curva c=c(t) sulla superficie r(u,v) la sua derivata seconda è:

$\ddot{\mathbf{r}}(t)=\mathbf{r}_{uu}\dot{u}^{2}+2\mathbf{r}_{uv}\dot{u}\dot{v}+\mathbf{r}_{vv}\dot{v}^{2}+\mathbf{r}_{u}\ddot{u}+\mathbf{r}_{v}\ddot{v} (4.5)$

La componente di questo vettore lungo il versore normale n della superficie è data dal prodotto scalare:

$\ddot{\mathbf{r}}(t)\cdot\mathbf{n}=\dot{s}^{2}k\mathbf{N}\cdot\mathbf{n}=\mathbf{n}\cdot\mathbf{r}_{uu}\dot{u}^{2}+2\mathbf{n}\cdot\mathbf{r}_{uv}\dot{u}\dot{v}+\mathbf{n}\cdot\mathbf{r}_{vv}\dot{v}^{2} ~~~~~(4.6)$

Alcuni termine della (4.6) sono vettori che giacciono sul piano tangente alla superficie per cui il loro prodotto scalare con la normale n è zero.

Elementi di calcolo differenziale per una superficie parametrica

In notazione matriciale la (4.6) si può scrivere come:

$\dot{s}^{2}k\mathbf{N}\cdot\mathbf{n}=\dot{c}^{T}\mathbf{D}\dot{c}$

dove:

$\mathbf{D}=\left[\begin{array}{cc}\mathbf{n}\cdot\mathbf{r}_{uu} & \mathbf{n}\cdot\mathbf{r}_{uv}\\ \mathbf{n}\cdot\mathbf{r}_{uv} & \mathbf{n}\cdot\mathbf{r}_{vv}\end{array}\right]$

è la seconda matrice fondamentale di una superficie.

La curvatura normale k_n di una superficie nella direzione è la curvatura della curva ottenuta intersecando la superficie con il piano contenente la normale n alla superficie e il vettore tangente .
Tale curva ha il versore normale che è parallelo alla normale n , per cui si ha:

$k_{n}=\frac{\dot{c}^{T}\mathbf{D}\dot{c}}{\dot{s}^{2}}=\frac{\dot{c}^{T}\mathbf{D}\dot{c}}{\left(\dot{c}^{T}\mathbf{G}\dot{c}\right)}(4.7)$

Le direzioni $\dot{\mathbf{r}}=\mathbf{A}\dot{c}$ per le quali kn raggiunge il massimo e il minimo valore sono dette direzioni principali della curvatura normale e dalla (4.7) si ha che queste si hanno quando:

$\left(\mathbf{D}-k_{n}\mathbf{G}\right)\dot{c}=0 ~~~~\text{che sviluppata da }$

$\begin{array}{c}\left(d_{11}-k_{n}g_{11}\right)\dot{u}+\left(d_{12}-k_{n}g_{12}\right)\dot{v}=0\\ \left(d_{21}-k_{n}g_{21}\right)\dot{u}+\left(d_{22}-k_{n}g_{22}\right)\dot{v}=0\end{array}$

Esempio di curva su una superficie

Eliminando du/dt e dv/dt si ottiene l’equazione di secondo grado in k_n:

$\left\Vert \mathbf{G}\right\Vert k_{n}^{2}-\left(g_{11}d_{22}+g_{22}d_{11}-2g_{12}d_{12}\right)k_{n}+\mathbf{\left\Vert D\right\Vert }=0$

da cui è possibile calcolare le due radici che rappresentano i valori minimo e massimo di k_n.
Il prodotto tra le due curvature principali k_1nx k_2n è conosciuto come curvatura gaussiana K della superficie. Per le proprietà della radici di un’equazione di secondo grado si ha:

$k_{n}=\frac{\left\Vert \mathbf{D}\right\Vert }{\left\Vert \mathbf{G}\right\Vert }$

Esempio di curva su una superficie

Esempio di curva su una superficie

Una particolare curva studiata da Pappo (IV sec d.C.) è la spirale sferica, che è la traiettoria descritta da un punto che si muove su un meridiano mentre questo ruota.
L’equazione parametrica della sfera avente raggio R e centro nell’origine è data da:

$x(u,v)=Rcosu\: cosv,\; y(u,v)=Rcosu\: sinv,\; z(u,v)=Rsinu$

dove:

$-\pi/2\leq u\leq\pi/2,\;0\leq v\leq2\pi$

La spirale sferica, supposto che il punto iniziale abbia coordinate P_i=(R,0,0) e il punto finale P_f=(0,0,R), è data dalle seguenti due equazioni parametriche dei parametri:

$v(t)=2\pi kt,\; u(t)=\pi t/2,\;0\leq t\leq1$

Esempio di curva su una superficie

Fig. 4.1: Dominio parametrico della sfera e della spirale sferica per k=1 (linea a tratti)

Fig. 4.2a: Spirale sferica per k=2 di Pappo (IV sec d.C.)

Fig. 4.2b: Spirale sferica per k=4

Superfici Parametriche- Problema

Problema 4.1: Calcolare il vettore normale alla superficie dell’ellissoide avente semiassi a,b,c e centro coincidente con l’origine degli assi.

L’equazione parametrica dell’ellissoide è data da:

$x(u,v)=a\times\mathbf{\mathrm{cos}}u\:\mathrm{cos}v,\; y(u,v)=b\times\mathrm{cos}\mathit{\mathrm{\mathit{u}}}\:\mathrm{sin}v,\; z(u,v)=c\times\mathrm{sin}u$

I vettori tangenti nelle direzioni u e v sono:

$r_{u}(u,v)=\left(-a\times\mathrm{cos}u\mathrm{cos}v,-b\times s\mathrm{in}u\mathrm{sin}v,\mathrm{cos}v\right) r_{v}(u,v)=$

$= \left(-a\times\mathrm{cos}u~~\mathrm{sin}v,-b\times s\mathrm{in}u~~\mathrm{sin}v,0\right)$

Il vettore normale è dato da:

$\mathbf{N}=\mathbf{r}_{u}\times r_{v}=\left(-bc~~\mathrm{cos^{2}}u~~\mathrm{cos}v,-ac~~\mathrm{cos^{2}}\mathrm{sin}v,ab~~\mathrm{sin}u~~\mathrm{cos}u~~\mathrm{sin^{2}}v\right)$

Equazione parametrica di un piano

In un sistema cartesiano (0;x,y,z), la più semplice superficie è quella di un piano, che può essere definita da tre punti r₀, r₁ , r₂.

Se indichiamo con n₁ e n₂ i versori associati, rispettivamente, ai vettori (r₁-r₀) e (r₂-r₀), si ha che il vettore posizione di un qualsiasi punto del piano è dato da:

r(u,v) = r₀ +u n₁+v n₂_.……….. (4.10)

Le componenti della (4.10) sono:

x(u,v) = x₀ +u n_1x+v n_2x , y(u,v) = y₀ +u n_1y+v n_2y , z(u,v) = z₀ +u n_1z+v n_2z

Il vettore normale al piano (4.10) è dato dal seguente prodotto vettoriale:

n=n₁xn₂/|n₁xn₂|.

Equazione parametrica di un piano (segue)

Problema 4.2: Siano dati tre vertici di un triangolo, definire ogni punto all’interno del triangolo come combinazione lineare dei suoi tre vertici.

Ogni punto all’interno del triangolo appartiene al piano definito dai tre vertici, per cui il vettore posizione si può ottenere dalla (4.10) ed è dato da:

r= r₀ +u (P₁-P₀)+v (P₂-P₀) con 0≤u≤1 , 0≤v≤1.

Sviluppando la precedente equazione si ha:

r= (1-u-v)r₀ +u r₁+v r₂ .

Se si pone w=1-u-v si ha r= w r₀ +u r₁+v r₂ con 0≤u≤1 , 0≤v≤1 e w+u+v=1.
La terna dei valori (w,u,v) rappresentano delle coordinate del triangolo, per cui i punti P₀, P₁ e P₂ hanno valori, rispettivamente, (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1). Nella Figura seguente si osserva che i lati del triangolo hanno, rispettivamente, w=0, u=0, e v=0 e tutte le rette parallele ai lati del triangolo hanno uno delle coordinate costanti.