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Antonio Sforza » 5.Ottimizzazione lineare: formulazione di modelli

Schema della lezione

In questa lezione si presenta la struttura fondamentale di un problema di programmazione lineare e si opera la rappresentazione grafica delle componenti di un modello di P.L. e del dominio di ammissibilità. Si presentano quindi semplici esempi di problemi e modelli bidimensionali per introdurre diversi tipi del dominio di ammissibilità delle soluzioni.

Un modello di programmazione lineare

Rappresentazione estesa e compatta

$\text{Max(Min)}z=c_1x_1+c_2x_2$

$\left\begin{array}{rrr}a_{11}x_1=a_{12}x_2\leq b_1\\ a_{21}x_1=a_{22}x_2\leq b_2\\x_1,x_2\geq 0\end{array}$

$\text{Max(Min)}z=\sum_{j=I,n}c_j,x_j$

s.a.

$\sum_{j=1,n}a_{ij}x_j\leq(=,\geq)b_1\hspace{0,5cm}i=1,...,m$

$x_j\geq 0\hspace{3cm}j=1, ..., n$

$\text{Max(Min)}z=cx$

s.a.

$Ax\leq(=,\geq)b$

$x\geq 0$

Rappresentazione grafica degli elementi di un modello di Programmazione Lineare

Vincolo di uguaglianza

Rappresentazione grafica degli elementi di un modello di Programmazione Lineare

Vincolo di disuguaglianza ≤

Vincolo di disuguaglianza ≥

Rappresentazione grafica degli elementi di un modello di Programmazione Lineare

Dominio di ammissibilità

Rappresentazione grafica degli elementi di un modello di Programmazione Lineare

Dominio di ammissibilità

Rappresentazione grafica degli elementi di un modello di Programmazione Lineare

Dominio di ammissibilità

Rappresentazione grafica degli elementi di un modello di Programmazione Lineare

Dominio aperto

Rappresentazione grafica degli elementi di un modello di Programmazione Lineare

Dominio inconsistente

Rappresentazione grafica degli elementi di un modello di Programmazione Lineare

Funzione obiettivo z in x₁,x₂,z

Rappresentazione grafica degli elementi di un modello di Programmazione Lineare

Funzione obiettivo z in x₁,x₂,z

Rappresentazione grafica degli elementi di un modello di Programmazione Lineare

Funzione obiettivo z in x₁,x₂,z

Rappresentazione grafica degli elementi di un modello di Programmazione Lineare

Funzione obiettivo z in x₁,x₂,z

Rappresentazione grafica degli elementi di un modello di Programmazione Lineare

Dominio di ammissibilità e funzione obiettivo z

Esempio 1 - Un problema di P.L.

Analisi grafica del problema P.L.

Confronto tra soluzione PL e soluzione PNL

Esempio 2

Una azienda chimica può produrre due tipi di fertilizzanti. Ogni quintale di fertilizzante di tipo A contiene 0.1 quintali di azoto e 0.3 quintali di potassio ed ha un prezzo di vendita di € 300. Ogni quintale di fertilizzante di tipo B contiene 0.2 quintali di azoto e 0.1 quintali di potassio e ha un prezzo di vendita di € 400. L’azienda dispone di 9 quintali di azoto e di 10 quintali di potassio. Si vuole conoscere quali sono le produzioni giornaliere espresse in quintali di A e B che rendono massimo il ricavo.

$\text{Max } z=300 x_1+400x_2$

$\begin{array}{lrr}(1)\;\;\;0.1x_1+\;\;\;0.2x_2\leq 9\\(2)\;0.3x_1+\;0.1x_2\;\leq 10\\ \hspace{2cm}x_1,x_2\geq 0\end{array}$

Analisi grafica dell’esempio 2

Esempio 3

Si supponga che per problemi di tipo tecnologico le produzioni di A e B devono essere nel rapporto 1/3 e che ci sia una domanda di mercato pari almeno a 20 quintali di prodotto tra A e B.

$\text{Max }z=300x_1+400x_2$

$\begin{array}{lrrrr}(1)\;\;\;0.1x_1+0.2x_2\leq 9\\(2)\;\;\;0.3x_1+0.1x_2\leq 10\\(3)\;\;\;3x_1\;\;\;-\hspace{0,5cm}x_2=0\\(4)\;\;\;x_1\;\;\;\;\;+\hspace{1cm}\geq 20\\ \hspace{2cm}x_1,x_2\geq 0\end{array}$

Analisi grafica dell’esempio 3

Esempio 4

Una azienda deve produrre 2 profilati metallici (A e B) che richiedono l’impiego di manodopera, disponibile al massimo in 36 squadre. Per la produzione giornaliera di un lotto di A e di un lotto di B si impiegano rispettivamente 3 e 6 squadre. È necessario produrre tra A e B almeno 4 lotti al giorno.

Si possono impiegare due diverse tecnologie (1 e 2).

La tecnologia 1 produce al massimo 2 lotti di B per ogni lotto di A (cioè le produzioni di B ed A sono al massimo nel rapporto 2:1).

La tecnologia 2 produce al massimo 2 lotti di A per ogni lotto di B (cioè le produzioni di A e B sono al massimo nel rapporto 2:1). Il profitto unitario è lo stesso per entrambi i prodotti.

Si vuole determinare il piano di produzione giornaliero che massimizza il profitto totale.

$\text{Max }z=x_1+x_2$

$\begin{array}{lrrrr}(1)\;\;\;\;3x_1+6x_2\leq 36\\(2)\;\;\;\;x_1\;\;+x_2\;\;\;\geq 4\\(3)-2\;x_1+\;x_2\;\;\leq0\\(4)\;\;\;\;\;\;x_1\;\;-2x_2\leq 0\\ \hspace{1,8cm}x_1,x_2\geq 0\end{array}$

Analisi grafica dell’esempio 4

Esempio 5

Una azienda di materie plastiche ha avuto una commessa per la quale deve consegnare entro una settimana almeno 4 tonnellate di materiale dei prodotti A e B.

Problemi di organizzazione del lavoro impongono che la differenza tra le quantità prodotte di B e di A sia al massimo pari a 4 tonnellate.

I vincoli posti dal sistema tecnologico impongono invece che per ogni tonnellata di A si producano almeno 2 tonnellate di B.

I costi di produzione di A e di B sono nel rapporto 1:3.
Si vuol conoscere il piano di produzione che minimizzi il costo totale.

$\text{Max }z=x_1+3x_2$