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Giorgio Serino » 6.Metodi di risoluzione delle strutture iperstatiche

Definizioni

Struttura labile

Struttura che può avere possibilità di spostamenti rigidi.

Struttura iperstatica

Se esiste almeno un vincolo tale che la sua soppressione non varia l’ordine di labilità della struttura.

Struttura isostatica

Una struttura che non sia né labile né iperstatica.

Definizioni

t → numero delle parti rigide monoconnesse di cui è costituita la struttura
s → numero di vincoli semplici

Definizioni

3t-s > 0 struttura labile
3t-s < 0 struttura iperstatica
3t-s = 0 struttura isostatica

Nel caso di STRUTTURA ISOSTATICA per la risoluzione è sufficiente la scrittura di sole equazioni di equilibrio; nel caso di STRUTTURA IPERSTATICA per la sua risoluzione è necessario anche tener conto delle deformabilità degli elementi che la compongono.

Metodo delle forze

Incognite: reazioni iperstatiche, i
Equazioni: i equazioni di congruenza in corrispondenza dei vincoli

Si scelgono tra le ∞ⁱ soluzioni equilibrate l’unica congruente.

Metodo degli spostamenti o dei cedimenti

Incognite: parametri cinematici, c (spostamenti e rotazioni dei nodi)
Equazioni: c equazioni di equilibrio in corrispondenza dei nodi

Si scelgono tra le ∞^c configurazioni congruenti l’unica equilibrata.

Metodo degli spostamenti o dei cedimenti

Risoluzione con il metodo degli spostamenti → Determinazione del grado di indeterminazione cinematica

Incognite cinematiche: rotazioni dei nodi interni e traslazioni
Aste deformabili assialmente: ogni nodo comporta tre incognite cinematiche

Telai piani

Telaio piano

Insieme di un numero qualsivoglia di aste mutuamente collegate con nodi incastro o cerniera e comunque vincolate esternamente, ma con asse geometrico sempre contenuto nello stesso piano in cui siano anche le forze sollecitanti.

Le aste della struttura intelaiata devono essere disposte in modo che i carichi siano assorbiti prevalentemente attraverso deformazioni flessionali.

Quest’ultimo aspetto distingue i telai dal comportamento delle travature reticolari che, pur rispondendo alle stesse definizioni geometriche, presentano prevalentemente deformazioni estensionali.

Telai piani

Lo studio di una struttura a telaio è notevolmente semplificato quando i parametri di movimento di alcuni nodi sono noti o in particolare nulli.

Telai a nodi fissi: i nodi possono considerarsi liberi di ruotare senza subire alcuno spostamento
Telai a nodi spostabili: i nodi, oltre a ruotare, possono anche traslare

N.B. Se non si trascura la deformabilità assiale ogni telaio risulta a nodi spostabili.

Telai piani

Per valutare se un telaio è a nodi fissi o a nodi spostabili si considera il grado di vincolo della struttura che si ottiene inserendo una cerniera in corrispondenza di ogni nodo interno ed esterno in cui risulti vincolata la rotazione (assoluta o relativa), sia che essa sia vincolata in modo perfetto (vincolo rigido), sia che essa sia vincolata solo parzialmente (vincolo cedevole). Se la travatura reticolare associata è isostatica o iperstatica il telaio è a nodi fissi. Al contrario se la travatura reticolare associata è labile il telaio è a nodi spostabili; il grado di labilità della travatura reticolare associata è uguale al numero di nodi spostabili.

Esempio: telaio a nodi spostabili

La travatura reticolare associata è una volta labile e quindi il telaio è a un nodo spostabili.

OSSERVAZIONE

Il numero di nodi spostabili non corrisponde al numero di nodi che effettivamente si spostano, ma al numero di parametri indipendenti che definiscono la deformata rigida della travatura reticolare associata. Ovvero, il numero di nodi spostabili restituisce il numero di atti di moto rigido della travatura reticolare associata e corrisponde al numero di vincoli semplici che occorre introdurre per rendere a nodi fissi il telaio a nodi spostabili. In generale il numero di nodi che si spostano è maggiore o uguale al numero di nodi spostabili.

Scelta del metodo

La scelta se operare secondo il metodo delle forze o il metodo degli spostamenti dipende da quale sia minore tra i (grado di iperstaticità) e c (grado di indeterminazione cinematica).

Se si opera con un elaboratore conviene comunque il metodo dei cedimenti che po’ essere più facilmente implementato in un programma di calcolo automatico.

Scelta del metodo

Conviene il metodo delle forze.

Scelta del metodo

Conviene il metodo degli spostamenti.

Esempio 1

i=3

Ipotesi: aste rigide assialmente

c=1

L’unica incognita cinematica è la rotazione del nodo B (φ_B), il telaio è a nodi fissi.

Esempio 1: metodo delle forze

Incognite iperstatiche: X₁, X₂, X₃ (componenti di reazione incastro in A)

Si scrivono 3 equazioni di congruenza:

w_A=0; v_A=0; φ_A=0

ovvero gli spostamenti in A lungo le due direzioni orizzontale e verticale e la rotazione in A sono nulli.

Sistema isostatico equivalente

Esempio 1: metodo delle forze

w_A⁰, v_A⁰, φ_A⁰ ⇒ Spostamenti e rotazione dovuti carici esterni essi sono valutati sulla sistema principale.
w_A‘, v_A‘, φ_A‘ ⇒ Spostamenti e rotazione dovuti alla 1a incognita iperstatica X1=1, essi sono valutati sul sistema ausiliario S1.
w_A”, v_A”, φ_A” ⇒ Spostamenti e rotazione dovuti alla 2a incognita iperstatica X2=1, essi sono valutati sul sistema ausiliario S2.
w_A”’, v_A”’, φ_A”’ ⇒ Spostamenti e rotazione dovuti alla 3a incognita iperstatica X3=1, essi sono valutati sul sistema ausiliario S3.

Sistema: 3 equazioni di congruenza

Esempio 1: metodo delle forze

Sistema principale, ovvero il sistema isostatico equivalente con le sole forze esterne applicate.

Esempio 1: metodo delle forze

Sistema ausiliario S1, ovvero il sistema isostatico equivalente con la sola incognita X₁ unitaria.

Esempio 1: metodo delle forze

Sistema ausiliario S2, ovvero il sistema isostatico equivalente con la sola incognita X₂ unitaria.

Esempio 1: metodo delle forze

Sistema ausiliario S3, ovvero il sistema isostatico equivalente con la sola incognita X₃ unitaria.

Esempio 1: metodo delle forze

Esempio 1: metodo degli spostamenti

Alla stessa soluzione si perviene applicando il metodo degli spostamenti.

Avendo ipotizzato aste rigide assialmente l’unica incognita cinematica è la rotazione del nodo B: φ_B

La struttura è resa più volte iperstatica bloccando i possibili cinematismi, ovvero nel caso specifico è bloccata la rotazione del nodo mediante un morsetto.