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Alfredo Pironti » 4.Regolatori PID industriali: Leggi di controllo e utilizzo


Tecnologie dei Sistemi di Automazione

Regolatori PID industriali: Leggi di controllo e utilizzo

Sommario della lezione

  • Regolatori PID industriali
    • Introduzione
    • Legge di controllo: PID ideale
    • Legge di controllo: PID reale
    • Legge di controll: PID in forma ISA
    • Esempi
  • Esercizi proposti

Introduzione: Regolatori standard

  • In ambito industriale le caratteristiche dinamiche dei sistemi controllati possono variare fortemente in base alla particolare applicazione
  • Risulterebbe economicamente conveniente avere delle strutture standard per gli apparati di controllo da configurare in base all’applicazione
  • In ambito industriale esistono controllori dalla struttura fissata per i quali è bisogna effettuare solo la taratura di alcuni parametri

Introduzione: Regolatori standard

  • Nella categoria dei controllori standard lineari e tempo invarianti la struttura più importante è sicuramente il regolatore PID, cioè il regolatore ad azione proporzionale-integrale-derivativa
  • Nella categoria dei controllori non lineari la tipologia più diffusa è sicuramente il controllore a relé

Introduzione: Controllori a relé

  • Un controllore a relé è un sistema di controllo che nella catena di amplificazione diretta comprende un amplificatore a relé
  • I controllori a relé:
    • sono semplici da realizzare
    • sono affidabili
    • hanno rendimenti elevati
    • hanno costi realizzativi contenuti
Amplificatore a relé

Amplificatore a relé


Controllori a relé

Finestra di simulazione (relè)

Finestra di simulazione (relè)

Diagramma di temperatura

Diagramma di temperatura


Regolatori PID: Ragioni del loro successo

Il successo del regolatori PID in ambito industriale è dovuto essenzialmente ai seguenti motivi:

  • capacità di regolare efficientemente un’ampia gamma di processi industriali di diversa natura (termici, meccanici, ecc.)
  • possibilità di realizzazione con diversi tipi di tecnologia (pneumatica, elettronica, ecc.)
  • convenienza ed economicità di avere una struttura standard (abbattimento dei costi di progetto, conduzione e manutenzione, benefici nella gestione dei magazzini)
  • l’utilizzo dei PID non necessita della conoscenza di un modello dettagliato del processo da controllare

Regolatore PID: Schema di riferimento

Lo schema è visibile in figura:

  • r(t) – riferimento
  • e(t) – errore di controllo
  • u(t) – variabile di controllo
  • y(t) – grandezza da controllare
  • d(t) – disturbo additivo sull’uscita
  • n(t) – rumore di misura

Legge di controllo: PID ideale

In un regolatore PID la variabile di controllo u(t) viene generata come somma di tre contributi:

  • il primo è proporzionale all’integrale dell’errore e(t) tra il riferimento r(t) e l’uscita da controllare y(t)
  • il secondo è proporzionale all’integrale dell’errore e(t) (quindi proporzionale al suo valor medio)
  • il terzo è proporzionale alla derivata di e(t)

Legge di controllo: PID ideale

L’andamento della variabile di controllo u(t) nel dominio del tempo è dato dalla equazione in immagine.

  • KP è il coefficiente dell’azione proporzionale o guadagno proporzionale
  • KI è il coefficiente dell’azione integrale o guadagno integrale
  • KD è il coefficiente dell’azione derivativa o guadagno derivativo
Andamento della variabile di controllo

Andamento della variabile di controllo


PID ideale: Tempo integrale e tempo derivativo

La rappresentazione più utilizzata della legge di controllo di un PID è espressa in figura.

  • TI=KP/KI è detto tempo integrale (o tempo di reset)
  • TD=KD/KP è detto tempo derivativo
Legge di controllo di un PID

Legge di controllo di un PID


PID ideale: Banda Proporzionale PB

  • Nella letteratura tecnica si preferisce specificare l’azione proporzionale in termini di banda proporzionale PB, piuttosto che in termini di KP
  • La banda proporzionale rappresenta l’ampiezza dell’errore e(t) (espressa in percentuale del suo valore di fondo scala) che manda l’uscita del PID a fondo scala
  • La relazione che c’è tra BP e KPè:
    • KP=100/BP

Banda Proporzionale PB

Esempio:

  • BP = 40 %
  • quando l’errore e(t) = 0.4efs, si ha u(t) = ufs
  • KP = 100/40 = 2.5
  • Kp = (u(t)/ufs)/(e(t)/efs)

PID ideale nel dominio di Laplace

  • Trasformando secondo Laplace la legge di controllo del PID ideale si ottiene la formula in figura
  • U(s) e E(s) sono le trasformate di Laplace di u(t) e e(t)
  • La legge di controllo presa in considerazione viene chiamata ideale perché non è fisicamente realizzabile
Legge di controllo del PID ideale

Legge di controllo del PID ideale


Legge di controllo: PID ideale

  • La legge di controllo del PID reale si ottiene filtrando l’azione derivativa
  • In questo modo si rende l’azione derivativa fisicamente realizzabile
Legge di controllo del PID reale

Legge di controllo del PID reale


PID ideale: Schema a blocchi

In figura si mostrano la formula del PID ideale e il relativo Schema a blocchi

PID ideale

PID ideale

Schema a blocchi

Schema a blocchi


Azione proporzionale

UP(s) = KPE(s)

  • non introduce sfasamento
  • non garantisce errore nullo a regime per riferimenti r(t) e disturbi additivi d(t) costanti
  • per ottenere errori a regime piccoli sono necessari valori di KP elevati che possono compromettere la stabilità del sistema e rendere il sistema troppo sensibile rumore di misura n(t)
  • è possibile annullare l’errore a regime per un dato riferimento sommando un valore costante al termine proporzionale, quindi si ha UP(s) = KPE(s)+U

Errore a regime

  • Nello schema riportato in precedenza la relazione tra l’errore e(t) e il riferimento r(t), nel dominio di Laplace è E(s) nell’ipotesi che venga utilizzata la sola azione proporzionale (KI = 0 e KD = 0)
  • Se r(t) = R0 è costante, applicando il teorema del valore finale, l’errore a regime è dato dal limite in figura
Relazione tra l’errore e(t) e il riferimento r(t)

Relazione tra l'errore e(t) e il riferimento r(t)

Errore a regime

Errore a regime


Azione integrale

UI(s) (immagine)

  • assicura che l’errore a regime vada a zero per riferimenti r(t) e disturbi additivi d(t) costanti (astatismo)
  • introduce uno sfasamento di 90° in ritardo (può creare problemi per la stabilità del sistema)
  • può causare la saturazione dell’attuatore (problema del wind-up integrale)
Azione integrale

Azione integrale


Azione derivativa

UD(s) (immagine)

  • amplifica il rumore n(t) ad alta frequenza, quindi potrebbe danneggiare gli attuatori con valori elevati di u(t). Per attenuare questa amplificazione si utilizza il filtraggio e si sceglie N in maniera tale che il polo in –N/TD sia fuori dalla banda del sistema a ciclo chiuso (i valori tipici di N sono compresi tra 1 e 5)
  • introduce uno sfasamento di 90° in anticipo
Azione derivativa

Azione derivativa


Regolatori P, PI, PD e PID

In un regolatore industriale non è necessario che siano presenti tutte le azioni contemporaneamente. In particolare è possibile avere:

  • regolatori P
  • regolatori I
  • regolatori PI
  • regolatori PD
  • regolatori PID

PID in forma ISA

  • Le implementazioni commerciali del PID realizzano diverse variazioni della legge di controllo vista fino ad ora
  • L’implementazione più diffusa e quella del PID ISA, la cui legge di controllo è U(s) con b e c compresi tra 0 e 1
Legge di controllo del PID ISA

Legge di controllo del PID ISA


PID forma ISA: azione in feedforward e azione in feedback

Attraverso semplici conti è possibile scomporre la f.d.t. di un PID ISA nel contributo di due termini: uno in feedback ed uno in feedforward

F.d.t. di un PID ISA

F.d.t. di un PID ISA


Esercizi proposti

1) Dato lo schema di riferimento, determinare la f.d.t. tra l’errore e(t) e il disturbi additivo sull’uscita d(t)
2) Data la legge di controllo di un PID ISA, si facciano tutti i passaggi per ricavare Kff(s) e Kfb(s)
3) Si realizzi un regolatore PID con Simulink
4) Dato il processo G(s) si utilizzi un regolatore PID per controllarne l’uscita ad un valore costante

Processo G(s)

Processo G(s)


Esercizi proposti

5) Per lo schema dell’esercizio 4:

  • si utilizzi un regolatore P e si determini come varia l’errore a regime al variare di KP
  • si utilizzi un regolatore P con termine di feedforward mandare a zero l’errore a regime
  • si utilizzi un regolatore I e si verifichi che l’errore a regime va a zero. Cosa succede al variare di KI?
  • si utilizzi un regolatore D. Cosa succede all’errore e(t)? E alla variabile di controllo u(t) ?

6) Si realizzi un regolatore PID ISA con Simulink e si facciano varie prove variando b e c tra 0 e 1

Prossima lezione

Regolatori PID industriali: Taratura dei guadagni e problemi implementativi

  • I regolatori PID industriali
  • Taratura dei guadagni
  • Problemi di implementazione

I materiali di supporto della lezione

G. Magnani, G. Ferretti, P. Rocco, Cap. 7 fino al par.7.2 (incluso)

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