Tecnologie dei Sistemi di Automazione
Regolatori PID industriali: Leggi di controllo e utilizzo
Sommario della lezione
- Regolatori PID industriali
- Legge di controllo: PID ideale
- Legge di controllo: PID reale
- Legge di controll: PID in forma ISA
- Esercizi proposti
Introduzione: Regolatori standard
- In ambito industriale le caratteristiche dinamiche dei sistemi controllati possono variare fortemente in base alla particolare applicazione
- Risulterebbe economicamente conveniente avere delle strutture standard per gli apparati di controllo da configurare in base all’applicazione
- In ambito industriale esistono controllori dalla struttura fissata per i quali è bisogna effettuare solo la taratura di alcuni parametri
Introduzione: Regolatori standard
- Nella categoria dei controllori standard lineari e tempo invarianti la struttura più importante è sicuramente il regolatore PID, cioè il regolatore ad azione proporzionale-integrale-derivativa
- Nella categoria dei controllori non lineari la tipologia più diffusa è sicuramente il controllore a relé
Introduzione: Controllori a relé
- Un controllore a relé è un sistema di controllo che nella catena di amplificazione diretta comprende un amplificatore a relé
- I controllori a relé:
- sono semplici da realizzare
- hanno costi realizzativi contenuti
Controllori a relé
Finestra di simulazione (relè)
Regolatori PID: Ragioni del loro successo
Il successo del regolatori PID in ambito industriale è dovuto essenzialmente ai seguenti motivi:
- capacità di regolare efficientemente un’ampia gamma di processi industriali di diversa natura (termici, meccanici, ecc.)
- possibilità di realizzazione con diversi tipi di tecnologia (pneumatica, elettronica, ecc.)
- convenienza ed economicità di avere una struttura standard (abbattimento dei costi di progetto, conduzione e manutenzione, benefici nella gestione dei magazzini)
- l’utilizzo dei PID non necessita della conoscenza di un modello dettagliato del processo da controllare
Regolatore PID: Schema di riferimento
Lo schema è visibile in figura:
- r(t) – riferimento
- e(t) – errore di controllo
- u(t) – variabile di controllo
- y(t) – grandezza da controllare
- d(t) – disturbo additivo sull’uscita
- n(t) – rumore di misura
Legge di controllo: PID ideale
In un regolatore PID la variabile di controllo u(t) viene generata come somma di tre contributi:
- il primo è proporzionale all’integrale dell’errore e(t) tra il riferimento r(t) e l’uscita da controllare y(t)
- il secondo è proporzionale all’integrale dell’errore e(t) (quindi proporzionale al suo valor medio)
- il terzo è proporzionale alla derivata di e(t)
Legge di controllo: PID ideale
L’andamento della variabile di controllo u(t) nel dominio del tempo è dato dalla equazione in immagine.
- KP è il coefficiente dell’azione proporzionale o guadagno proporzionale
- KI è il coefficiente dell’azione integrale o guadagno integrale
- KD è il coefficiente dell’azione derivativa o guadagno derivativo
Andamento della variabile di controllo
PID ideale: Tempo integrale e tempo derivativo
La rappresentazione più utilizzata della legge di controllo di un PID è espressa in figura.
- TI=KP/KI è detto tempo integrale (o tempo di reset)
- TD=KD/KP è detto tempo derivativo
Legge di controllo di un PID
PID ideale: Banda Proporzionale PB
- Nella letteratura tecnica si preferisce specificare l’azione proporzionale in termini di banda proporzionale PB, piuttosto che in termini di KP
- La banda proporzionale rappresenta l’ampiezza dell’errore e(t) (espressa in percentuale del suo valore di fondo scala) che manda l’uscita del PID a fondo scala
- La relazione che c’è tra BP e KPè:
Banda Proporzionale PB
Esempio:
- BP = 40 %
- quando l’errore e(t) = 0.4efs, si ha u(t) = ufs
- KP = 100/40 = 2.5
- Kp = (u(t)/ufs)/(e(t)/efs)
PID ideale nel dominio di Laplace
- Trasformando secondo Laplace la legge di controllo del PID ideale si ottiene la formula in figura
- U(s) e E(s) sono le trasformate di Laplace di u(t) e e(t)
- La legge di controllo presa in considerazione viene chiamata ideale perché non è fisicamente realizzabile
Legge di controllo del PID ideale
Legge di controllo: PID ideale
- La legge di controllo del PID reale si ottiene filtrando l’azione derivativa
- In questo modo si rende l’azione derivativa fisicamente realizzabile
Legge di controllo del PID reale
PID ideale: Schema a blocchi
In figura si mostrano la formula del PID ideale e il relativo Schema a blocchi
Azione proporzionale
UP(s) = KPE(s)
- non introduce sfasamento
- non garantisce errore nullo a regime per riferimenti r(t) e disturbi additivi d(t) costanti
- per ottenere errori a regime piccoli sono necessari valori di KP elevati che possono compromettere la stabilità del sistema e rendere il sistema troppo sensibile rumore di misura n(t)
- è possibile annullare l’errore a regime per un dato riferimento sommando un valore costante al termine proporzionale, quindi si ha UP(s) = KPE(s)+U
Errore a regime
- Nello schema riportato in precedenza la relazione tra l’errore e(t) e il riferimento r(t), nel dominio di Laplace è E(s) nell’ipotesi che venga utilizzata la sola azione proporzionale (KI = 0 e KD = 0)
- Se r(t) = R0 è costante, applicando il teorema del valore finale, l’errore a regime è dato dal limite in figura
Relazione tra l'errore e(t) e il riferimento r(t)
Azione integrale
UI(s) (immagine)
- assicura che l’errore a regime vada a zero per riferimenti r(t) e disturbi additivi d(t) costanti (astatismo)
- introduce uno sfasamento di 90° in ritardo (può creare problemi per la stabilità del sistema)
- può causare la saturazione dell’attuatore (problema del wind-up integrale)
Azione derivativa
UD(s) (immagine)
- amplifica il rumore n(t) ad alta frequenza, quindi potrebbe danneggiare gli attuatori con valori elevati di u(t). Per attenuare questa amplificazione si utilizza il filtraggio e si sceglie N in maniera tale che il polo in –N/TD sia fuori dalla banda del sistema a ciclo chiuso (i valori tipici di N sono compresi tra 1 e 5)
- introduce uno sfasamento di 90° in anticipo
Regolatori P, PI, PD e PID
In un regolatore industriale non è necessario che siano presenti tutte le azioni contemporaneamente. In particolare è possibile avere:
- regolatori P
- regolatori I
- regolatori PI
- regolatori PD
- regolatori PID
PID in forma ISA
- Le implementazioni commerciali del PID realizzano diverse variazioni della legge di controllo vista fino ad ora
- L’implementazione più diffusa e quella del PID ISA, la cui legge di controllo è U(s) con b e c compresi tra 0 e 1
Legge di controllo del PID ISA
PID forma ISA: azione in feedforward e azione in feedback
Attraverso semplici conti è possibile scomporre la f.d.t. di un PID ISA nel contributo di due termini: uno in feedback ed uno in feedforward
Esercizi proposti
1) Dato lo schema di riferimento, determinare la f.d.t. tra l’errore e(t) e il disturbi additivo sull’uscita d(t)
2) Data la legge di controllo di un PID ISA, si facciano tutti i passaggi per ricavare Kff(s) e Kfb(s)
3) Si realizzi un regolatore PID con Simulink
4) Dato il processo G(s) si utilizzi un regolatore PID per controllarne l’uscita ad un valore costante
Esercizi proposti
5) Per lo schema dell’esercizio 4:
- si utilizzi un regolatore P e si determini come varia l’errore a regime al variare di KP
- si utilizzi un regolatore P con termine di feedforward mandare a zero l’errore a regime
- si utilizzi un regolatore I e si verifichi che l’errore a regime va a zero. Cosa succede al variare di KI?
- si utilizzi un regolatore D. Cosa succede all’errore e(t)? E alla variabile di controllo u(t) ?
6) Si realizzi un regolatore PID ISA con Simulink e si facciano varie prove variando b e c tra 0 e 1
Prossima lezione
Regolatori PID industriali: Taratura dei guadagni e problemi implementativi
- I regolatori PID industriali
- Taratura dei guadagni
- Problemi di implementazione