Sommario:
Per misurare la quantità di informazione di una sorgente abbiamo introdotto il tasso entropico H∞ ed R(D) se accettiamo una distorsione D.
Esiste un parametro per misurare la potenzialità trasmissiva di un canale? Si, la capacità.
Il canale DMC ideale è un canale DMC su cui è assente il rumore:
P(ai|bj) = 0 i≠j; P(ai|bj) = 1; i=j => La matrice di transizione è una matrice identità IK.
Se TX e RX convengono di usare solo i simboli a e c il trasferimento di simboli è privo di errori.
Per un canale BSC possiamo fare ragionamenti simili ma in questo caso dobbiamo considerare blocchi di simboli molto lunghi (n>>1) piuttosto che un singolo simbolo.
C = 1 – Hb(ε) = f(ε)
E’ l’informazione limite che può essere trasmessa su un BSC di parametro ε in maniera affidabile (reliable) cioè P(e) → 0 per n → ∞
Se il canale non è rumoroso (canale ideale) H(Y|X)=0 e H(Y) è massima per simboli di ingresso equiprobabili.
C = log K
In generale la capacità C per un DMC si calcola numericamente (al calcolatore) con algoritmi iterativi.
Caso particolare: Canale simmetrico
Per un canale simmetrico la matrice di canale è costituita da righe che sono permutazioni della prima riga e da colonne che sono permutazioni della prima colonna.
Per un DMC simmetrico la distribuzione di ingresso C che massimizza I(X,Y) è quella uniforme.
N.B.: se l’alfabeto di codice è binario il tasso R<1 perché introduciamo ridondanza (ad esempio, i “bit di parità”). Più in generale n>k/logL con L cardinalità dell’alfabeto codice.
Se il tasso di trasmissione R è minore di C, allora per ogni δ>0 (piccolo a piacere) esiste un codice con lunghezza di blocco n grande sufficientemente per ottenere una P(e) minore di δ.
Teorema inverso
Se R>C allora non esiste alcun codice che consente di avere P(e) piccole a piacere (P(e) → 0 per n → ∞ ).
Per blocchi di lunghezza n di ha: y=x+z
Quanti blocchi x possono essere utilizzati in modo che le ipersfere corrispondenti non si sovrappongano?
Qual’è la capacità in bit/secondo? Poiché si trasmettono 2W campioni/sec, la capacità è Cs (vedi figura 2).
Esempio: Capacità di un canale telefonico di banda W=3000Hz e SNR=39dB
Risorse:
Aumentando la potenza P Cs aumenta ma con il logaritmo!!
Come varia la Cs all’aumentare della banda?
Un impulso spesso utilizzato per le sue proprietà è il coseno rialzato:
Consideriamo una canale telefonico: W=3.500 Hz e SNR=37 dB
Cs = 3.500 log(1+1037/10) = 43.020 bit/sec
La raccomandazione V.34 dell’ITU (Intern. Telecom. Union) definisce uno standard che stabilisce i requisiti di un modem operante alla massima velocità di 33.600bit/sec.
Questa velocità di trasmissione prossima alla capacità (43.020 bit/sec) è conseguibile con tecniche di modulazione con memoria sofisticate quali la Trellis Code Modulation (TCM), egualizzazione adattiva e precodifica.
Riassunto della lezione:
Codifica di Canale a blocchi
1. Schema canonico di un sistema di trasmissione numerico punto-punto
4. Rappresentazione geometrica dei segnali
5. Trasmissione numerica su canale AWGN
6. Prestazioni del ricevitore ottimo su canale AWGN I
7. Prestazioni del ricevitore ottimo su canale AWGN II
8. Demodulazione MV non coerente di segnali FSK
9. Trasmissione su canale AWGN a banda limitata
10. Capacità di canale e codifica
11. Codifica di canale a blocchi
13. Codici ciclici
G.Proakis, M.Salehi, “Communication Systems Engineering”, p. 576-592.