Sommario:
Il modello di canale AWGN così come quello AWGN a banda limitata ottenuto via un sistema LTI non sono adeguati per modellare meccanismi di propagazione di tipo wireless:
In un meccanismo di propagazione radio possiamo distinguere tre tipologie di perdite di potenza nel trasferimento del segnale dal TX all’RX.
Perdita da percorso:
Pr = PtGtGr (λ/4πd)2
Più in generale:
Pr = PtGtGr (λ/4πd)α 2≤α≤6
Perdita dovuta al fading a lungo raggio: scala delle distanze dell’ordine di 50-100 di metri – shadow fading
Perdita dovuta al fading a corto raggio: la scala delle distanze è dell’ordine di λ/2 (< 10m)
Il fading a corto raggio è dovuto al verificarsi di due fenomeni quali:
h(t,τ) ↔ h˜(t,τ) inviluppo complesso
s(t) = Re{u(t)ej2πfct}
s(t): segnale trasmesso con u(t) equivalente passabasso di banda Bu
Il segnale ricevuto a meno del rumore additivo sarà r(t).
n = 0 – LOS
n ≠ 0 – NLOS
L(t) – numero dei percorsi risolvibili
αn(t) – ampiezza dell’n-simo percorso
τn(t) – ritardo associato all’n-simo percorso
ΦDn – shift di fase dovuto al doppler
L’n-simo percorso risolvibile può essere generato da un singolo scatterer o da un cluster di scatterer non risolvibili.
Se i ritardi τi e τj e di due componenti sono molto diversi:
τi , τj : |τi – τj| >> 1/Bu ≈ T
(Bu ≡ banda di u(t)) ⇒ le componenti i e j sono risolvibili (fading a banda larga)
se τ1 ≈ τ2 ≈ τ ⇒ u(t-τ1) ≈ u(t-τ2)
Le repliche i-sima e j-sima si sovrappongono allora il multipath è non risolvibile.
Se i ritardi τi e τj di due componenti sono simili, allora i percorsi non sono risolvibili ed i contributi si combinano in un unico percorso (cluster di scatterers non risolvibili).
Canali a banda larga (Bu>>1) hanno percorsi risolvibili ogni termine della somma corrisponde ad una riflessione oppure a cluster di percorsi non risolvibili.
Se ogni termine è dovuto ad un cluster di scatterer, αn(t) varia molto più sensibilmente con la distanza a causa delle variazioni di fase dei singoli contributi non risolvibili.
Se i parametri sono tempo invarianti (stazionari): h(t,τ) = h(τ)
Il canale introduce una dispersione temporale la cui entità, se i τi sono deterministici, può essere misurata come il massimo ritardo rispetto al contributo LOS oppure al ritardo medio.
In seguito si daranno definizioni del delay spread che utilizzano funzioni statistiche della risposta impulsiva del canale.
Fading a banda stretta: TM<<1/Bu ≈ T ⇒ percorsi non risolvibili
Quindi un fasore in ingresso non corrisponde in uscita ad un fasore perchè z(t) non è costante ⇒ Dispersione spettrale
Generalmente cn(t) è modellato con un processo gaussiano complesso; Tm è detto multipath spread
Tm = L × 1/Bu dove L è il numero dei percorsi, 1/Bu è la risoluzione temporale cioè la durata del segnale trasmesso.
Le fasi Φn(t) possono dare luogo a contributi costruttivi o contributi distruttivi, determinando un affievolimento o rafforzamento dell’ampiezza del segnale trasmesso cioè presenza di fading.
|z(t)| modella la legge di variazione dell’attenuazione.
La misura della variabilità di z(t) consente di valutare l’entità della dispersione spettrale.
Ma z(t) è un segnale aleatorio quindi consideriamo il valore quadratico medio della banda di z(t) cioè Bd.
Bd=Banda doppler
Indichiamo con Bu la banda del segnale trasmesso: se Bd<<Bu, il canale èuò essere assunto stazionario in quanto la dispersione spettrale è trascurabile rispetto alla banda Bu del segnale.
Nel dominio del tempo si ha:
Bd << Bu → 1/Bd >
Ovvero il fading è piatto nel tempo.
La durata del segnale è molto minore rispetto alla scala dei tempi TC su cui varia il segnale.
La dinamica degli αn(t) è generalmente grande.
Poiché fc >> 1 ⇒ Φn(t) = 2πfcτ(t) mod2π∈(0,2π) può essere modellata come una variabile aleatoria uniforme U(0,2π).
z(t) grazie al Teorema Centrale del Limite essendo una somma di contributi indipendenti, di entità comparabile, può essere modellato come un processo gaussiano complesso.
|z(t)| può essere modellata (per ogni fissato istante t) come una variabile Rayleigh se le componenti zc(t) e zs(t) sono a media nulla, indipendenti e con la stessa varianza σ2
θ(t)≡U(0,2π)
Se zc(t) e zs(t) sono a media non nulla, allora |z(t)| è una variabile aleatoria di tipo Rice.
h(t,τ) è un processo aleatorio (τ è un parametro).
La caratterizzazione statistica in senso lato si ottiene calcolando la media e la correlazione di h(t,τ). Possiamo anche analizzare l’inviluppo complesso.
Avendo assunto il processo h˜(t,τ) stazionario e gli scatterer incorrelati
Rh˜(τ,Δt)| Δt=0 = Rh˜(τ) = potenza media associata allo scatterer che introduce il ritardo τ
TM = tempo di multipath ovvero la dispersione temporale introdotta dal canale
Bc=1/Tm banda di coerenza del canale
Se Bu<<Bc il canale è non selettivo in frequenza cioè piatto in frequenza.
Tc=1/Bd tempo di coerenza del canale
Se Ts<<Tc il canale non è selettivo nel tempo cioè è piatto nel tempo.
Se entrambe le condizioni sono verificate allora non c’è Doppler (tempo varianza) né multipath (dispersione temporale).
La funzione di scattering descrive la distribuzione delle componenti spettrali associata ad ogni percorso di ritardo τ.
Canale ionosferico con due percorsi:
TM=1 msec
Bu=10 KHz
1/Bu=0.1 msec 1/Bu<<TM L=1 msec/0.1msec = 10 ritardi
BDTM > 1 ⇒ canale overspread → TM >> TC → la stima della fase della portante è molto difficile.
BDTM > 1 ⇒ canale underspread → TM << TC → la stima della fase della portante è possibile.
Propagazione ionosferica ad onde corte:
TM=10-3-10-2 ; BD=10-1 ; SF=10-4-10-3
Telefonia mobile:
TM=10-5 ; BD=100 ; SF=10-3
Come contrastare gli effetti del fading ?
Introducendo ridondanza:
Tipologie di diversità:
Determinare per un canale con doppler spread BD=80 Hz la minima separazione temporale per avere campioni del segnale ricevuto approssimativamente indipendenti.
Il tempo di coerenza è pari a 1/BD=1/80 =12,5 msec.
Se il processo ricevuto è gaussiano , i campioni separati da almeno 12,5 msec sono approssimativamente indipendenti.
Un canale HF con banda nominale di 3200 Hz è utilizzato per trasmettere informazione digitale con bit rate di (1) 4800 bps oppure (2) 20 bps. Nell’ipotesi che TM=5 msec, individuare una tecnica di modulazione per i desiderati bit rate indicando se è necessaria una equalizzazione per contrastare l’ISI.
Escludiamo in presenza di fading le segnalazioni PAM e QAM che trasportano informazione anche sull’ampiezza.
Se consideriamo la tecnica MPSK si hanno le scritture in figura.
Un filtro in trasmissione con caratteristiche spettrali a coseno rialzato può essere utilizzato per ottenere la desiderata forma.
1/2400 = T = 0.41msec << 5msec ⇒ necessità di un equalizzatore
Se si trasmette a 20 bps, utilizzando ancora un 4PSK 1/T=20/2 ⇒ T= 100 msec >> 5 msec ⇒ ISI trascurabile.
Se si vuole utilizzare tutta la banda disponibile si può ricorrere ad una tecnica Spread Spectrum.
Consideriamo un canale HF con banda nominale 3200 Hz e TM=1ms. Determinare il minimo numero N di sottoportanti che opera a 4800 bps e verifica la condizione: TSC>>TM dove Tsc è la durata di simbolo per ogni sottoportante.
Poiché TM=1 ms scegliamo Tsc=100 TM=100ms Tsc>>TM ovvero:
Bsc = 1/Tsc = 10Hz ⇒ Bsc << Bc = 1000Hz
Se utilizziamo ancora un 4PSK su ogni sottoportante Rb=2/100 ms=20bps ⇒ N=4800/20=240 portanti.
Se si utilizza un 16PSK ⇒ 40 bps per portante N=120.
Determinare la P(e) per una segnalazione BPSK operante su un canale con fading flat-flat e ampiezza Rayleigh. Si assume che in demodulazione la fase del segnale ricevuto è stimata e il RX ottimo è utilizzato.
All’uscita del demodulatore si ha: r = α√Eb cosmπ+n ; m=0,1
Per un fissato valore di α si hanno le scritture in figura.
Una segnalazione antipodale ±s(t) è utilizzata su un canale con fading di sola ampiezza:
r(t) = ±αs(t)+n(t) ; 0≤t≤T
con n(t) rumore gaussiano bianco e
f(α) = 0.1 δ(α)+0.9 δ(α-2)
Determinare la P(e) per il demodulatore che utilizza il filtro adattato a s(t) e valutare il limite di a cui tende P(e) quando E/N0 tende a infinito.
Si supponga che il segnale è trasmesso su due canali statisticamente indipendenti con:
f(αk) = 0.1 δ(αk)+0.9 δ(αk-2) ; k=1,2
E rumori statisticamente indipendenti. Il demodulatore impiega due filtri adattati e somma le due uscite per costruire la variabile di decisione. Calcolare la P(e).
Un sistema di comunicazione binaria trasmette la stessa informazione su due canali utilizzando una segnalazione antipodale. I segnali ricevuti sono:
r1=±√Eb+n1
r2=±√Eb+n2
Con n1 e n2 statisticamente indipendenti, a media nulla e varianze σ12 e σ22.
Il rivelatore basa la decisione su r.
Determinare il valore di k che minimizza la P(e).
Riassunto della lezione
1. Schema canonico di un sistema di trasmissione numerico punto-punto
4. Rappresentazione geometrica dei segnali
5. Trasmissione numerica su canale AWGN
6. Prestazioni del ricevitore ottimo su canale AWGN I
7. Prestazioni del ricevitore ottimo su canale AWGN II
8. Demodulazione MV non coerente di segnali FSK
9. Trasmissione su canale AWGN a banda limitata
10. Capacità di canale e codifica
11. Codifica di canale a blocchi
13. Codici ciclici
G.Proakis, M.Salehi, “Communication Systems Engineering”, p. 674-694