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Luigi Paura » 7.Prestazioni del ricevitore ottimo su canale AWGN II

Prestazioni del ricevitore ottimo su canale AWGN (seconda parte)

Sommario:

Calcolo della probabilità di errore per segnalazioni PSK.
Segnalazione PSK differenziale.
Calcolo della probabilità di errore per segnalazioni QAM.
Maggiorazione dell’unione.
Confronto tra schemi di modulazione senza memoria.

Probabilità di errore per M-PSK

La funzione f_Θr si calcola con una trasformazione di variabili aleatorie: coordinate cartesiane in coordinate polari.

Probabilità di errore

Probabilità di errore per M-PSK

∀ε_s/N₀ fissato, se M aumenta la P_M aumenta => non efficienti in potenza.

Se si adotta una codifica di Gray e ρ_s >> 1 => P_b ≈ P_M/logM

Probabilità di errore

Demodulazione per segnali in banda traslata

La demodulazione per schemi di modulazione in banda traslata richiede che gli oscillatori in TX e RX generino gli stessi segnali => perfetta sincronizzazione.

Demodulatore per QAM e PSK

E’ necessario generare una portante agganciata in frequenza e fase con quella generata in trasmissione.
Il sistema di acquisizione utilizza il segnale r(t) in un intervallo di parecchi periodi di simbolo.

Demodulatore per QAM e PSK

Sincronizzazione

La procedura per la sincronizzazione è visibile in prima immagine.
L’equzione ottenuta all’uscita del divisore di frequenza è ricavata in seconda immagine.

Sincronizzazione

All'uscita del divisore di frequenza

PSK differenziale

Se la fase è:

Φ’ = Φ + π => 2Φ’ = 2Φ + π => 2Φ mod 2π

Questa ambiguità distrugge di fatto l’informazione che è convogliata su una fase di “0″ o “π”.

PSK differenziale

Se convogliamo l’informazione sulla differenza di fase tra due simboli piuttosto che sulla fase del singolo simbolo rimuoviamo l’ambiguità; la procedura è descritta in prima immagine.
Assumiamo che 0 corrisponda a non modificare la fase tra due simboli consecutivi e che 1 imponga una variazione; la procedura è descritta in seconda immagine.

PSK differenziale

Attraverso una codifica differenziale è stato risolto il problema dell’ambiguità.
La codifica e decodifica differenziale è realizzata con semplici circuiti logici che precedono il modulatore e seguono il rivelatore, rispettivamente.

Codifica e decodifica differenziale

Demodulazione non coerente per PSK differenziale

La decisione è presa utilizzando la fase di r_k (r_k-1)*.

Demodulazione non coerente

Demodulazione non coerente per PSK differenziale

N.B. Nel caso in figura l’oscillatore locale non deve essere agganciato in fase.

Demodulazione non coerente

Probabilità di errore per B-PSK differenziale (D-BPSK)

Se si utilizza un RX coerente la P(e) è circa il doppio rispetto al caso di schema PSK non differenziale.
Questo perché un eventuale periodo di simbolo con elevata entità di rumore va a interessare due decisioni consecutive.
Se si utilizza un RX non coerente che basa la decisione su r_n (r_n-1)* si può mostrare che la variabile di decisione può essere approssimata a quella del caso coerente con la differenza che la componente di rumore ha potenza doppia => perdita di 3dB in SNR (OK per M>4).

Probabilità di errore per D-BPSK

Per M=2 otteniamo i valori di P(e) visibili in figura.

Probabilità di errore per D-BPSK

Probabilità di errore per QAM

Se M = 2^k con k pari il QAM è equivalente a due PAM in quadratura indipendenti con M’ = 2^k/2

Esempio: 16 QAM ≡ 2PAM con M’ = 2^4/2 = 4

Probabilità di errore per QAM

Maggiorazione dell’unione

Segnali ortogonali

Maggiorazione dell’unione

Utilizzando una tecnica di maggiorazione più raffinata:

ε_b/N₀ > ln2 (-1.6 db) limite di Shannon per AWGN

Maggiorazione dell'unione

Maggiorazione dell’unione

Segnali M-PSK

Maggiorazione dell’unione

Procedure per la definizione di PM

Confronto tra gli schemi di modulazione senza memoria (SM)

Gli schemi di modulazione SM possono essere confrontati in diversi modi:

Quale è il rapporto ε_b/N₀ richiesto per ottenere una data P_b con una fissata banda 2W di canale (o bit rate R_b).
Quale è la minima banda di canale (o la massima R_b) per ottenere una data Pb con un fissato ε_b/N₀

Confronto tra gli schemi di modulazione senza memoria (SM)

Come valutare la banda di uno schema di modulazione?

La banda di Shannon da una misura dell’occupazione spettrale senza richiedere la conoscenza delle specifiche forme dei segnali.
Dato un insieme di M segnali {s_i(t)}^M_i=1 di durata T e dimensionalità N la banda monolatera W occupata dai segnali verifica: 2WT = N

Confronto tra gli schemi di modulazione senza memoria (SM)

Segnali ortogonali

Confronto tra gli schemi di modulazione senza memoria (SM)

Segnali QAM

Confronto tra gli schemi di modulazione senza memoria (SM)

Segnali PAM

Confronto tra gli schemi di modulazione senza memoria (SM)

Esercizio:

Mostrare che i segnali simplex non sono efficienti in banda.

Segnali biortogonali:

Dato un insieme di M/2 segnali ortogonali, un insieme di M segnali biortogonali è costituito dagli M/2 segnali ortogonali e dai suoi M/2 segnali opposti (in figura).

{s_i(t)}^M/2_i=1 -> {s_i(t), -s_i(t)}^M/2_i=1

Esercizio:

Mostrare che i segnali biortogonali non sono efficienti in banda.

Confronto tra gli schemi di modulazione senza memoria (SM)

Efficienza in potenza

I segnali PAM presentato una Pb che aumenta con l’aumento di M (o di k) per una fissato ε_b/N₀
Per lasciare costante la P_b è necessario incrementare ε_b/N₀ => I segnali PAM non efficienti in potenza.
Analogamente per M-PSK e QAM.
I segnali ortogonali presentano una P_b che diminuisce con M (con k). Analogamente per i segnali simplex e biortogonali.

Confronto tra gli schemi di modulazione senza memoria (SM)

Tabella comparativa tra segnali ed efficienza in potenza e in banda

Trasmissioni codificate

Esistono segnalazioni che siano sia efficienti in potenza che in banda? SI

Esempio: Tecniche di modulazioni codificate.

Tecniche di modulazioni codificate

Trasmissioni codificate

Con che cosa paghiamo il risparmio in banda e in potenza?

Con la maggiore complessità in trasmissione (apparecchiature di codifica) e in ricezione (apparecchiature di decodifica).

Confronto tra gli schemi di modulazione SM

Grafico comparativo tra schemi di modulazione SM

Confronto tra gli schemi di modulazione SM

Un confronto deve tener conto anche della complessità delle apparecchiature in trasmissione e in ricezione.

Esempio:

I segnali PAM richiedono un solo correlatore.
I segnali ortogonali richiedono in generale M correlatori.

Considerazioni conclusive

Riassunto della lezione:

Sono state valutate le prestazioni dello schema di modulazione PSK.
E’ stato introdotto lo schema differenziale PSK.
Sono state valutate le prestazioni dello schema di modulazione QAM.
E’ presentata la tecnica della maggiorazione dell’unione.
Sono state confrontate le modulazioni SM in termini di efficienza in potenza ed in banda.