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Giuseppe Roberti » 8.Acustica


Onde sonore

Le onde sonore sono onde meccaniche longitudinali che si propagano nei gas, nei liquidi e nei solidi con velocità diverse. Esse possono essere rivelate dall’orecchio umano, e quindi riconosciute come suoni, se la loro frequenza νsuono è tale che

20 Hz < νsuono  < 20 103 Hz

Nelle onde sonore gli elementi di volume del mezzo vengono spostati avanti ed indietro rispetto alla loro posizione di equilibrio, in modo che il loro spostamento medio in un periodo sia nullo.

La lezione è del Prof. G. Roberti

Frequenze di alcuni suoni

Frequenze di alcuni suoni


Onde sonore sinusoidali

Oscillazioni del rebbio di un diapason (suono di frequenza ben definita) (da UniTo)

Oscillazioni del rebbio di un diapason (suono di frequenza ben definita) (da UniTo)


Onde sonore sinusoidali (segue)

Onde sonore sinusoidali in un tubo. Dall’alto verso il basso a) rappresentazione delle onde di rarefazione e compressione, b) e c), grafico della pressione e dello spostamento degli elementi di volume di fluido in funzione della posizione lungo il tubo

Onde sonore sinusoidali in un tubo. Dall'alto verso il basso a) rappresentazione delle onde di rarefazione e compressione, b) e c), grafico della pressione e dello spostamento degli elementi di volume di fluido in funzione della posizione lungo il tubo


Onde sonore sinusoidali (segue)

  • Ampiezza dello spostamento sm: lo spostamento massimo di ogni elemento di volume d’aria dalla posizione a riposo durante la vibrazione ha un valore molto piccolo (dell’ordine di 1 μm) per suoni di intensità normale.
  • Ampiezza della pressione Δpm:  il massimo incremento della pressione dell’aria (rispetto alla pressione atmosferica) nella compressione (o nella rarefazione) ha un valore molto piccolo: da 0,01 N/m2 (10-7 atm) a 1 N/m2 (10-5 atm). In quest’ultimo caso nelle zone in cui c’è compressione p = 1,00001 atm e dove c’è rarefazione p = 0,99999 atm

Onde sonore sinusoidali (segue)

Δpm, detta pressione sonora, è legata allo spostamento massimo dalla posizione d’equilibrio dell’elemento di volume oscillante, sm, dalla relazione

Δpm = d v ω sm                           

in cui:

d = densità del mezzo in cui si propaga l’onda sonora;

v = velocità di propagazione dell’onda sonora;

ω = pulsazione dell’onda sonora.

Poiché p varia con legge sinusoidale, la relazione precedente rappresenta un’espressione che collega le ampiezze dell’oscillazione di pressione con l’ampiezza dell’oscillazione di posizione.

Velocità delle onde sonore nei gas: modello isotermo

Si può dimostrare che  vs = velocità di propagazione delle onde sonore nei fluidi = √B/d, in cui: d = densità del fluido e B = modulo di compressibilità del fluido definito dalla relazione

ΔV/V = – Δp / B          (1)

Supponendo che le variazioni di volume che si accompagnano all’onda acustica avvengano in maniera isoterma,  applicando la legge delle isoterme di un gas perfetto

pV = p0 V0 = cost —-> pV – V0p = p0 V0 – V0 p

 p(V – V0) = V0 (p0– p) —-> p ΔV = – V0 Δp     (2)

Confrontando le equazioni (1) e (2)

  B = p ≈ p0

vs =   Δp0/d

Nell’aria a t = 0 °C, p0 = 1.01 105 N/m2 =====>  d = 1.29 Kg/m3 e quindi  vs =  280 m/s che è diverso dal valore sperimentale!!!!!

Velocità del suono in alcuni gas

Velocità del suono in alcuni gas


Velocità delle onde sonore nei gas: modello adiabatico

Calcolo della velocità di propagazione delle onde acustiche nell’ipotesi che le compressioni e rarefazioni dell’aria che si accompagnano ad esse avvengano  in maniera adiabatica.

Calcolo della velocità di propagazione delle onde acustiche nell'ipotesi che le compressioni e rarefazioni dell'aria che si accompagnano ad esse avvengano in maniera adiabatica.


Velocità delle onde sonore nei liquidi

Velocità delle onde sonore nei liquidi

Velocità delle onde sonore nei liquidi


Velocità delle onde sonore nei solidi

Velocità delle onde sonore nei solidi

Velocità delle onde sonore nei solidi


Elasticità di allungamento e contrazione

Un provino di materiale deformabile sottoposto ad una trazione o compressione uniassiale subisce una deformazione  (allungamento o  contrazione) nella stessa direzione e verso della sollecitazione.

ΔL = allungamento (o contrazione) di un provino di materiale di lunghezza L e di sezione S quando è sottoposto ad una forza F perpendicolare alla sezione S.

Per piccole deformazioni

ΔL/L = (1/E) (F/S)

E = modulo di allungamento (modulo di Young) del solido ( N/m2).

1/E = coefficiente di allungamento

Per l’acciaio E = 2.1 1011 N/m2: questo significa che applicando lo sforzo normale di 1 atm = 105 Pa si ottiene una deformazione relativa di 5 parti su 107.

Per i materiali metallici più comuni: 1010 N/m2 < E < 1011 N/m2

Allungamento di un provino

Allungamento di un provino

Compressione di un provino

Compressione di un provino


Elasticità di scorrimento

La sollecitazione di scorrimento si ottiene applicando una forza F tangenzialmente su una delle facce S di un provino, mentre si mantiene ferma la faccia opposta S’ e costante la distanza L tra queste due facce.

I vari strati di materiale scorrono gli uni sugli altri di modo che il provino da prisma retto si trasforma in prisma obliquo. Per piccole deformazioni (ΔX << L)

ΔX = (1/ G) (L F / S)

ΔX / L = (1/ G) ( F / S)

G = modulo di scorrimento     τ= sforzo tangenziale = F/S

 θ = τ / G  

G = τ / θ   ( N/m2 = Pa)

A parità di materiale G >> E

La velocità delle onde sonore trasversali è maggiore di quella delle onde sonore longitudinali.

Deformazione di scorrimento

Deformazione di scorrimento


Velocità delle onde sonore  longitudinali nei solidi (valori sperimentali)

Velocita delle onde sonore  longitudinali nei solidi (valori sperimentali)

Velocita delle onde sonore longitudinali nei solidi (valori sperimentali)


Potenza media trasferita da un’onda sonora

W = d S vω2 sm2 /2

W = potenza trasportata da un’onda sonora sinusoidale, mediata su un periodo

d = densità del mezzo in cui si propaga l’onda sonora

S = sezione trasversale del volume d’aria in cui si propaga l’onda sonora

v = velocità di propagazione dell’onda sonora

ω = pulsazione dell’onda sonora

sm = ampiezza delle oscillazioni sinusoidali longitudinali

Intensità di un’onda sonora

I = intensità di un onda sonora sinusoidale =

 = potenza media che trasporta l’onda  per unità di superficie perpendicolare alla direzione di propagazione=

 =  W / S = d v ω2 sm2 /2

Poiché l’ampiezza dell’onda di spostamento longitudinale sm è legata all’ampiezza dell’onda di pressione Δpm dalla relazione

 Δpm= d v ω sm

 I = W / S = Δpm2 / 2 d v

 L’intensità di un’onda sinusoidale è proporzionale al quadrato dell’ampiezza dell’onda di spostamento, sm, o di pressione, Δpm.

Ampiezza dell’onda di spostamento e di pressione nelle onde sonore

Ampiezza dell’onda di spostamento e di pressione nelle onde sonore

Ampiezza dell'onda di spostamento e di pressione nelle onde sonore


Scala dei livelli di intensità sonora

La sensazione sonora non è proporzionale all’intensità sonora, ma al logaritmo della stessa. Per questo si introduce, oltre alla scala di misura fisica della intensità (W/m2), una scala di misura psicofisica: la scala del livello di intensità sonora (SIL) con la seguente definizione:

SILdB (I) = 10 log (I/I0)

in cui I0 (punto zero della scala) = 10-12 W/m2.

L’unità di misura del livello sonoro definito dalla formula precedente è il decibel (dB). In questa scala un aumento di I di un fattore 10 corrisponde ad un aumento del SIL di 10 dB:

I’ = 10 I

SILdB (I’) = 10 log (10 I/I0) = 10 log (10) + 10 log(I/I0) = 10 + SILdB (I)

Analogamente un aumento di I di un fattore 100 corrisponde ad un aumento di SIL di 20 dB e così via.

Scala dei livelli di intensità sonora

Il livello sonoro in dB corrispondente alla soglia di udibilità I0 è

SILdB (I0) = 10 log (I0/I0) = 10 log 1 = 0  dB

Il livello sonoro in dB corrispondente alla soglia del dolore Imax è

SILdB(Imax) = 10 log (Imax/I0) = 10 log (1 W/m2 / 10-12 W/m2) =

= 10 log (1012) = 120 dB

Per passare da un valore di livello di intensità sonoro SIL (espresso in dB) ad una intensità sonora I (espressa in W/m2) basta ricordare che

I = I0 10 SILdB(I) /10

Funzione logaritmica

La funzione logaritmo permette di calcolare l’intensità sonora nella scala dei dB (da UniTo)

La funzione logaritmo permette di calcolare l'intensità sonora nella scala dei dB (da UniTo)


Scala dei livelli di pressione sonora

Poiché abbiamo visto che

I = Δpm2 / 2 d v

Ponendo Δpm = p = pressione sonora, possiamo definire un livello di pressione sonora (SPL) con la relazione

SILdB (I) = 10 log (I/I0) = 10 log ( p2/p02) = 20 log (p/p0) = SPLdB (p)

 dove p0, la pressione sonora di riferimento, corrispondente alla soglia uditiva a 1000 Hz, vale

P0 = 20 10-6 Pa

Per trovare la pressione corrispondente alla soglia del dolore (120 dB), basta ricordare che, poichè

SPLdB (p) = 20 log (p/p0)

p = p0 10 SPLdB (p) /20  = 20 10-6 Pa 10 6 = 20 Pa

Scala dei livelli di pressione sonora (segue)

Livello di pressione sonora di alcuni fenomeni acustici

Livello di pressione sonora di alcuni fenomeni acustici


Confronto tra segnali acustici e segnali luminosi

Il rapporto tra la soglia del dolore Imax e la soglia di udibilità I0 e per l’intensità sonora vale

Imax /I0 = 1 W/m2 /10-12 W/m2 = 1012

Il rapporto tra la pressione sonora corrispondente alla soglia del dolore pmax e soglia di udibilità p0 vale

pmax /p0 = 20 N/m2 /20 10-6 N/m2 = 106

Per un suono di 90 dB (possibile in performance musicali)

p = p0 10 SPLdB (p) /20 = p0 104.5 N/m2 = 0.63 N/m2

I = I0 10 SILdB (I)/10 = I0 109 W/m2 = 10-3 W/m2

Intensità della luce solare = 1.37 10+3 W/m2

La scala dell’intensità dei segnali luminosi è molto maggiore di quella dei segnali acustici. Questo richiede che la sensibilità del nostro sistema uditivo sia maggiore di quello visivo.

Onde sonore sferiche

Una sorgente sonora puntiforme (di piccole dimensioni) produce onde sferiche, cioè onde in cui lo spostamento ha lo stesso valore su tutti i punti che si trovano alla stessa distanza dalla sorgente, cioè su sfere concentriche centrate sulla posizione della sorgente.

Variazione dell’intensità di un’onda al variare della distanza (segue)

La potenza media sonora W1 che passa attraverso la superficie sferica Σ1 di raggio r1 è

W1 = I1 4 π r12

La potenza media sonora W2 che passa attraverso la superficie sferica Σ2 di raggio r2

W2 = I2 4 π r22

Se nella propagazione dalla distanza r1 alla distanza r2 si può trascurare l’assorbimento di energia sonora da parte dell’aria (con trasformazione in energia termica)

 W1 = W2

I1 4 π r12 = I2 4 π r22

I1 / I2 = r22 / r12

Questa formula esprime la dipendenza dell’intensità di un’onda sferica al variare dalla distanza dalla sorgente da cui è stata emessa.

L’energia sonora trasportata da un’onda sferica che si propaga in un mezzo non assorbente rimane costante su tutti i fronti d’onda sferici

L'energia sonora trasportata da un'onda sferica che si propaga in un mezzo non assorbente rimane costante su tutti i fronti d'onda sferici


Effetto Doppler

Si verifica quando c’è moto relativo tra l’osservatore e la sorgente delle onde: la frequenza registrata dall’osservatore in moto relativo è differente da quella registrata da un osservatore in quiete rispetto alla sorgente.

a) osservatore in quiete rispetto alla sorgente: frequenza osservata = frequenza delle onde

b) osservatore che si avvicina alla sorgente: frequenza osservata maggiore di quella delle onde

c) osservatore che si allontana dalla sorgente: frequenza osservata minore di quella delle onde

La frequenza di un’onda misurata su una barca dipende dal moto relativo della barca rispetto all’onda (da Liceo Scientifico COPM)

La frequenza di un'onda misurata su una barca dipende dal moto relativo della barca rispetto all'onda (da Liceo Scientifico COPM)


Effetto Doppler: la sorgente è ferma rispetto all’aria

Dimostrazione della formula dell’effetto Doppler per un osservatore che si avvicina o si allontana da una sorgente di onde acustiche in quiete rispetto all’aria

Dimostrazione della formula dell'effetto Doppler per un osservatore che si avvicina o si allontana da una sorgente di onde acustiche in quiete rispetto all'aria


Effetto Doppler: la sorgente è ferma rispetto all’aria

L’osservatore si avvicina alla sorgente che è ferma mentre essa emette onde sonore sferiche (da Liceo Scientifico COPM)

L'osservatore si avvicina alla sorgente che è ferma mentre essa emette onde sonore sferiche (da Liceo Scientifico COPM)


Effetto Doppler: la sorgente è in moto rispetto all’aria


Effetto Doppler: la sorgente è in movimento rispetto all’aria

La sorgente si allontana dall’osservatore A e si avvicina all’osservatore B (da Liceo Scientifico COPM)

La sorgente si allontana dall'osservatore A e si avvicina all'osservatore B (da Liceo Scientifico COPM)


Onde stazionarie: considerazioni matematiche

Un’onda stazionaria nasce dalla sovrapposizione di due onde identiche che viaggiano in direzioni opposte:

y1 = A sin (kx – ωt)

y2 = A sin (kx + ωt)

Dalla trigonometria

 y = y1+y2 = 2A sin kx cos ωt

Nell’onda risultante, y, la dipendenza dal tempo è fattorizzata con la dipendenza dallo spazio: l’onda risultante NON si propaga, è stazionaria.

Infatti, fissato il valore di k = 2 π / λ, i nodi dell’onda stazionaria sono in posizione fissa e sono i punti per cui:

sin 2 π / λ = 0

cioè

x = n π/2     con    n=0,1,2,…..

Nei punti diversi dai nodi l’ampiezza dell’onda varia con legge cosinusoidale di periodo T = 2π/ω tra il valore -2A sinkx e +2A sinkx.

Per esempio nei punti in cui sinkx = ±1, cioè x = nπ /4  con n=1, 2, 3,…. l’onda stazionaria oscillerà tra i valori – 2A e + 2A.

Onde stazionarie: rappresentazione grafica

Rappresentazione di un’onda stazionaria: i nodi sono in posizione fissa; negli altri punti l’onda oscilla nel tempo con ampiezza diversa a seconda della posizione (da Liceo Scientifico COPM)

Rappresentazione di un'onda stazionaria: i nodi sono in posizione fissa; negli altri punti l'onda oscilla nel tempo con ampiezza diversa a seconda della posizione (da Liceo Scientifico COPM)


Un’ onda stazionaria è la sovrapposizione di un onda progressiva e una regressiva

Un’onda stazionario si può ottenere dalla sovrapposizione di due onde uguali ma propagantesi in direzioni opposte.

Un'onda stazionario si può ottenere dalla sovrapposizione di due onde uguali ma propagantesi in direzioni opposte.


Onde stazionarie su una corda con estremità fisse

In una corda di lunghezza L, le cui le estremità sono fisse, (fig. a) si possono avere onde stazionarie che rispettino i vincoli, cioè che abbiamo alle estremità della corda dei nodi.

L’onda di lunghezza d’onda maggiore che si può avere è quella per cui L = λ/2 (fig. b)

L’onda di lunghezza d’onda immediatamente minore della precedente è quella per cui L = λ (fig. c)

L’onda successiva è quella per cui L = 3λ / 2 (fig. d)

In generale                                  L = n λ/2 , n = 1, 2, 3…

e quindi

λ = 2 L / n         (1)

Le onde stazionarie permesse su una corda, le cui estremità sono fisse, sono solo quelle la cui lunghezza d’onda soddisfa la (1).

Onde stazionarie su una corda con estremità fisse (da Liceo Scientifico COPM)

Onde stazionarie su una corda con estremità fisse (da Liceo Scientifico COPM)


Armoniche

Le onde stazionarie che si possono generare su una corda con estremità fisse si dicono armoniche ( o ” modi normali di oscillazione”).

L’ onde stazionaria con n = 1 si dice “prima armonica ” o “armonica fondamentale”.

Un’ onda stazionaria con n > 2  si dice “ennesima armonica”.

Una corda di lunghezza L vibra secondo  modi normali con lunghezza d’onda λ =  2L/n  e, quindi, con frequenza fn = n v/ 2L.

La frequenza dei modi normali è pertanto quella in figura a lato, in cui v rappresenta la velocità di propagazione di un’onda su una corda di densità lineare μ e sottoposta alla tensione T.

La frequenza di oscillazione dell’armonica ennesima è n volte maggiore della frequenza fondamentale.

Formula per le armoniche su di una corda fissa alle estremità

Formula per le armoniche su di una corda fissa alle estremità


Onde stazionarie nelle colonne d’aria

Per le onde stazionarie in colonne d’aria (o tubi) valgono le stesse considerazioni usate per le corde, cioè:

sull’estremità chiusa si trova un nodo, su quella aperta un antinodo (o ventre).

Le onde stazionarie che si possono generare in una colonna d’aria (tubo) aperta (o) solo ad una delle estremità devono avere frequenze che soddisfano la relazione

 ƒn = nƒ1 = n (v/2L)  n = 1, 2, 3, …

con v velocità del suono nell’aria.

Onde stazionarie nelle colonne d’aria

In una colonna d’aria (o tubo) di lunghezza L, aperta (o) da entrambi i lati le onde stazionarie permesse sono solo quelle che presentano dei ventri sulle estremità aperte, cioè per cui

L = n λ/2                     n=1, 2, 3,….

cioè che hanno lunghezza d’onda

λ = 2 L / n                    n=1, 2, 3,….

o frequenza

ν = v/λ = n v / 2 L         n=1, 2, 3,….

in cui v è la velocità del suono nell’aria.

Onde stazionarie in tubo aperto ad entrambe le estremità (da Liceo Scientifico COPM)

Onde stazionarie in tubo aperto ad entrambe le estremità (da Liceo Scientifico COPM)


Onde stazionarie nelle colonne d’aria

In una colonna d’aria (o tubo) di lunghezza L, aperta (o) ad una estremità e chiusa (o) all’altra estremità  le onde stazionarie permesse sono solo quelle che presentano un ventre sull’estremità aperta ed un nodo sull’estremità chiusa, cioè per cui

L = (2n+1) λ / 4                n = 0, 1, 2, 3,….

cioè lunghezza d’onda

λ = 4 L / (2n+1)                  n = 0, 1, 2, 3,….

o frequenza

ν = v / λ = (2n+1) v / 4 L     n = 0, 1, 2, 3,….

in cui v è la velocità del suono nell’aria.

Onde stazionarie in un tubo aperto ad un’estremità e chiuso all’altra (da Liceo Scientifico COPM)

Onde stazionarie in un tubo aperto ad un'estremità e chiuso all'altra (da Liceo Scientifico COPM)


Caratteristiche di un suono: altezza, intensità, timbro

Caratteristiche di un suono in relazione ai parametri che definiscono l’onda (da Liceo Scientifico COPM)

Caratteristiche di un suono in relazione ai parametri che definiscono l'onda (da Liceo Scientifico COPM)


Impedenza acustica

Quando un’onda sonora passa attraverso un mezzo materiale la pressione delle onde produce un movimento delle particelle della sostanza. L’impedenza acustica Z della sostanza è data da:

Z = p / S v

in cui: p = ampiezza dell’onda di pressione sonora; v = velocità delle particelle del mezzo e S = superficie S attraverso cui passa l’onda.

L’impedenza acustica quantifica la risposta che un materiale dà al passaggio al suo interno di onde acustiche, dipende dalla frequenza dell’onda e si misura in  Pa s /m3 (S.I.).

 

Impedenza acustica

L’impedenza caratteristica Z0 di un materiale è l’impedenza che mostra quando è attraversato da un’onda piana a singola frequenza ed è data da

 Z0 = p / v 

in cui: p = pressione sonora; v = velocità delle particelle del materiale. Poichè si può dimostrare che la velocità delle particelle del fluido varia secondo un’onda armonica in fase con quella della pressione sonora e che   le due grandezze v e p sono legate da un fattore dal proporzionalità secondo la relazione

v = p / d c

in cui d = densità del materiale; c = velocità delle onde sonore longitudinali, si ha che  Z0 = p / v = d c

Z0 si misura in Rayleigh (Rayl)  = Pa s /m.

 

Valori dell’impedenza caratteristica dell’aria e di alcuni tessuti umani

Valori dell'impedenza caratteristica dell'aria e di alcuni tessuti umani


Riflessione e rifrazione di onde sonore su tessuti

I tessuti biologici hanno impedenze caratteristiche non molto diverse tra loro.

R = riflettanza = rapporto tra ampiezza dell’onda riflessa e quella dell’onda incidente  =

 = (Z2 – Z1) / (Z1 + Z2)

T= trasmittanza = rapporto tra ampiezza dell’onda trasmessa e quella dell’onda incidente =

 = 2 Z1 / (Z1 + Z2)

R  e T possono essere calcolati per le superfici di separazione tra tessuti biologici diversi.

Riflettanza e trasmittanza sulla superficie di separazione tra due mezzi diversi

Riflettanza e trasmittanza sulla superficie di separazione tra due mezzi diversi


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