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Giuseppe Roberti » 18.Elettrodinamica - II parte


Legge di Biot-Savart

Il campo magnetico \overrightarrow{B} generato in un punto P da una corrente\overrightarrow{i} che circola in un un filo rettilineo indefinito  vale

\overrightarrow{B} = (\mu_0 / 2\pi r) \frac {\overrightarrow{r}}r  x \overrightarrow{i}

in cui il simbolo “x” indica l’operazione “prodotto vettoriale tra vettori” , μ0 = permeabilità magnetica del vuoto = 1.26 10-6 Ns2/C2,

il vettore \frac {\overrightarrow{r}}r è il versore della direzione del segmento di perpendicolare dal filo rettilineo al punto P, il vettore \frac {\overrightarrow{r}}r  x \overrightarrow{i}

ha modulo

\Biggl| \frac {\overrightarrow{r}}r x \overrightarrow{i}\Biggr| = \frac r r \cdot i \cdot sin (\pi /2)= i

è perpendicolare  ai vettori \overrightarrow{r} ed \overrightarrow{i} ed il suo verso è dato dalla regola della mano destra.

Visualizzazione del campo magnetico di Biot e Savart

Il campo magnetico generato da una corrente indefinita e rettilinea si può visualizzare facendo psssare un filo percorso da corrente attraverso  il foro di un cartoncino disposto perpendicolarmente al filo e su cui si trovano dei sottili filamenti di ferro. I filamenti di ferro si magnetizzano per effetto del campo magnetico prodotto dal filo, diventando come minuscole calamite dotate di un polo positivo e di un polo negativo. Le piccole calamite si orientano in modo che la direzione polo nord (negativo)  -  polo sud (positivo) si dispone parallelamente al campo magnetico e, poichè le linee di forza del campo magnetiche sono delle circonferenze concentriche con centro nel foro del cartoncino, i filamenti di limatura di ferro si disporrano in direzione tangente a delle circonferenze, permettendo così di visualizzarle (vedi figura).

Un dipolo magnetico si orienta in direzione tangente alle linee di forza del campo magnetico di un filo rettilineo percorso da corrente continua

Un dipolo magnetico si orienta in direzione tangente alle linee di forza del campo magnetico di un filo rettilineo percorso da corrente continua


Legge di Ampère: correnti in fili paralleli indefiniti

Correnti concordi: i fili si attraggono

Correnti discordi: i fili si respingono

F21 = modulo della forza esercitata dal filo 1 su un tratto di lunghezza l2 del filo 2

 F_{21}=l_2 \mu_0 i_1 i_2 / 2 \pi r

Definizione di Ampere

L’Ampere è quella corrente costante che, mantenuta in due conduttori rettilinei di lunghezza infinita e posti ad 1 m distanza, produce su ognuno dei conduttori la forza di 2 10-7 per metro di lunghezza.

Infatti, ponendo l2 =1 m, r = 1 m, i1= i2 = 1 A si ha

F21 = μ0 / 2 π = 1.26 10-6 N / 2 π = 2 10-7 N

Forze tra fili indefiniti paralleli percorsi da correnti

Forze tra fili indefiniti paralleli percorsi da correnti


La legge di Faraday – Henry o dell’induzione elettromagnetica: evidenze sperimentali

Se un magnete è posto vicino a un circuito conduttore chiuso, nel circuito si manifesta una f.e.m. quando il magnete è messo in movimento. Tale f.e.m. è rilevabile sotto forma di corrente, cioè di cariche libere messe in moto nel conduttore, mediante un amperometro.

La legge di Faraday: evidenze sperimentali

Un magnete permanente, se avvicinato o allontanato da un circuito chiuso,  produce correnti indotte di segno opposto (da Politecnico di Torino)

Un magnete permanente, se avvicinato o allontanato da un circuito chiuso, produce correnti indotte di segno opposto (da Politecnico di Torino)


La legge di Faraday: evidenze sperimentali

Se il magnete è fermo rispetto alla bobina, nella bobina non si produce nessuna corrente elettrica, come si vede dall’amperometro in serie alla bobina.

Se il magnete si avvicina od allontana dalla bobina,cioè se si aumenta o diminuisce l’intensità del campo magnetico all’interno della bobina, si producono nella bobina correnti di verso opposto.

Lo stesso accade se il magnete è fermo e la bobina si allontana o si avvicina.

Correnti indotte prodotte dall’avvicinamento o dall’allontanemnto di  un’espansione polare di un magnete permanente (da Politecnico di Torino)

Correnti indotte prodotte dall'avvicinamento o dall'allontanemnto di un'espansione polare di un magnete permanente (da Politecnico di Torino)


La legge di Faraday: evidenze sperimentali

Se si aumentano o diminuiscono le dimensioni del circuito si producono nel circuito correnti di verso opposto.

Se si ruota il circuito in modo che la proiezione dell’area del circuito nella direzione perpendicolare al campo magnetico aumenta o diminuisce, si producono nel circuito correnti di verso opposto.

Correnti indotte prodotte dalla variazione di area di un circuito in direzione perpendicolare alla direzione del campo magnetico (da Politecnico di Torino)

Correnti indotte prodotte dalla variazione di area di un circuito in direzione perpendicolare alla direzione del campo magnetico (da Politecnico di Torino)


La legge di Faraday: evidenze sperimentali

Se un circuito chiuso A si trova vicino ad un circuito B in cui circola una corrente variabile nel tempo (che quindi genera un campo magnetico variabile nel tempo nello spazio intorno ad esso), si generano nel circuito correnti di verso opposto a seconda che la corrente cresce (per es. si chiude il circuito) o decresce (per es., si apre il circuito).

Correnti indotte in un circuito A per variazioni del campo magnetico prodotte da un circuito B ad esso adiacente (da Politecnico di Torino)

Correnti indotte in un circuito A per variazioni del campo magnetico prodotte da un circuito B ad esso adiacente (da Politecnico di Torino)


La legge di Faraday: evidenze sperimentali

Se avviciniamo od allontaniamo da un circuito chiuso A un circuito B in cui circola una corrente continua, varia l’intensità del campo magnetico all’interno di A e si generano nel circuito correnti di verso opposto, a seconda che B si avvicina ad A o si allontana da A.

Corrente indotta in un circuito chiuso A dal moto di avvicinamento o di allontanamento di un circuito chiuso B  in cui circola una corrente continua (da Politecnico di Torino)

Corrente indotta in un circuito chiuso A dal moto di avvicinamento o di allontanamento di un circuito chiuso B in cui circola una corrente continua (da Politecnico di Torino)


Flusso del campo magnetico

Flusso del campo magnetico (da Università di Pavia)

Flusso del campo magnetico (da Università di Pavia)


L’unità di misura del campo magnetico nel S.I: il Tesla

Una particella di carica q, in moto con velocità \bar v in un campo magnetico \bar B, è soggetto ad una forza, detta forza di Lorentz, data da:

 \bar F = q\bar v \wedge \bar B,

dove \bar B è un vettore che prende il nome di campo di induzione magnetica o, semplicemente, di campo magnetico ed il simbolo \wedge indica il prodotto vettoriale.

Se siamo interessati solo al modulo della forza possiamo anche scrivere

F = q v B sinθ         (1)

dove θ è l’angolo formato dai vettori \bar v\bar B.

Dalla relazione (1) si ha                                                             B = F / q v sinθ

che può essere considerata la definizione operativa del campo magnetico e che fornisce la relativa unità di misura nel S. I.

Tesla = T = N / C (m/s) = N /A m = kg / A s2 = Kg /C s

Inoltre, poiché N/C = V/m

Tesla = T = N / C (m/s) = V s / m2

La legge di Faraday-Henry

Se, al variare del tempo, varia una o più delle seguenti grandezze

  1. l’intensità di B all’interno del circuito                                            ======>               B = B (t)
  2. la superficie S                                                                                        ======>               S = S (t)
  3. la proiezione di S nel piano perpendicolare al campo B           ======>               θ = θ (t)

 NE CONSEGUE CHE

\Phi_S(\overrightarrow{B})~~ \text {variabile nel tempo}

e che si genera nel circuito indotto una forza elettromotrice indotta, \ V_i, che, secondo la legge di Farady – Neumann, è data da

V_i=- \frac {\Delta \Phi (\overrightarrow{B})}{\Delta t}\ ~~~~~~~~~~~~~ (1)

Legge di Lenz

La f.e.m. indotta produce una corrente tale che il flusso del campo magnetico da essa prodotto si oppone alla variazione di flusso che l’ha generata: ciò è espresso dal segno “-”  a secondo membro dell’eq. 1.

La legge di Faraday-Henry

In conclusione, la legge dell’induzione elettromagnetica (o di Faraday – Henry),

 f.e.m= - \frac d{dt}\Phi_{magn}

può essere impiegata per calcolare la f.e.m indotta, quando la variazione del flusso magnetico è dovuta ad una variazione temporale del campo magnetico o ad un moto o una deformazione rispetto al campo magnetico del circuito ai cui capi è calcolata la f.e.m., o a tutti questi processi.

Legge di Faraday-Henry per una bobina

Se la variazione di flusso del campo magnetico si verifica in una bobina, allora, per ottenere la forza elettromotrice indotta nella bobina si ha che

   f.e.m.= -N \frac {d\Phi (\bar B)}{dt}

in cui la variazione di flusso del campo magnetico in una spira  \Phi (\bar B)   deve essere moltiplicata per il numero N delle spire.

Il risultato vale qualunque sia la geometria del circuito.

In una bobina il flusso del campo magnetico avviene attraverso tutte le spire della bobina (da INFN)

In una bobina il flusso del campo magnetico avviene attraverso tutte le spire della bobina (da INFN)


Il fenomeno dell’autoinduzione nei circuiti

Se consideriamo un circuito percorso dalla corrente I, tale corrente crea nello spazio circostante ad esso un campo magnetico \bar B.

Quindi il circuito si trova immerso nel campo magnetico da esso stesso generato, che, perciò, si dice “autoconcatenato al circuito“.

Il flusso autoconcatenato risulta proporzionale all’intensità della corrente che circola nel circuito, cioè

 \Phi_{autoconc.}=\int_S \overrightarrow{B} \cdot d \overrightarrow{S} = LI

in cui L è un parametro, detto “coefficiente di autoinduzione” o  “induttanza”, che dipende dalla forma del circuito e dal materiale in cui esso si trova immerso.

L’induttanza di un circuito non è concentrata in un punto particolare ma è una proprietà del suo insieme.

Il componente elettrico dotato di induttanza si definisce induttore (anche se spesso l’induttore viene indicato col nome della grandezza fisica corrispondente, “induttanza”  )  e si indica graficamente nei circuiti col simbolo di una bobina.

La sua unità di misura nel S.I. è

Wb A-1 = H (Henry)

Il risultato vale qualunque sia la geometria del circuito.

Induttanza di un solenoide

Induttanza di un solenoide (da INFN)

Induttanza di un solenoide (da INFN)


Forza elettromotrice autoindotta

Se la corrente I nel circuito varia nel tempo, anche il flusso magnetico autoconcatenato con esso varia col tempo e si viene a creare, per la legge di Faraday-Henry, una f.e.m. autoindotta

 V_L=-\frac d{dt}\Phi=-L\frac{dI}{dt}

La f.e.m. autoindotta agisce in modo da opporsi al cambiamento della corrente nel circuito.

Nel caso in cui in un circuito la corrente  cresca (dI/dt > 0), si genera una f.e.m. autoindotta che si oppone alla sua crescita e che, quindi, ne rallenta la crescita. In particolare questo avviene quando un circuito contenente un generatore di tensione viene chiuso: in questo caso la f.e.m. autoindotta dà luogo alla cosiddetta “extracorrente di chiusura”.

Al contrario, nel caso in cui in un circuito la corrente  decresca (dI/dt < 0) , si genera una f.e.m. autoindotta che si oppone alla sua diminuzione e che, quindi, ne rallenta la diminuzione. Quando un circuito in cui circola corrente viene aperto, la f.e.m. autoindotta dà luogo alla cosiddetta “extracorrente di apertura”.

Circuito RC di carica di un condensatore

Circuito di carica del condensatore (vedi Fig. 1)

R = resistenza elettrica

C = capacità elettrica

G = generatore di corrente continua

I = interruttore

Il processo di carica avviene in questo modo:

1) Inizialmente la capacità è scarica e l’interruttore I è aperto.

1) Si chiude l’interruttore I. (In quest’istante si fissa l’origine dei tempi: t =0)

2) Sotto l’azione della differenza di potenziale del generatore, cariche negative vengono portate via dall’armatura A1 e depositate  sull’armatura A2.

Fig. 1 – Circuito di carica di un condensatore

Fig. 1 - Circuito di carica di un condensatore

Fig. 2 – Andamento del potenziale elettrico nel circuito in alto, partendo dal polo positivo del generatore fino al polo negativo

Fig. 2 - Andamento del potenziale elettrico nel circuito in alto, partendo dal polo positivo del generatore fino al polo negativo


Circuito RC di carica di un condensatore

3) L’armatura A1 si carica positivamente e l’armatura A2 si carica negativamente

4) Il moto degli elettroni cessa quando forza elettromotrice del generatore è uguale alla  differenza di potenziale ai capi della capacità

Indicando con

ε = forza elettromotrice del generatore G

q(t) = carica presente sul condensatore al tempo t

i(t) = corrente che circola nel circuito al tempo t

VC (t) =  differenza di potenziali ai capi di C al tempo t

VR(t) =  differenza di potenziali ai capi di R al tempo t

Dalla Fig.2 della diapositiva precedente si vede che

ε = VR (t) + VC (t) = i(t) R + q(t)/C           

Circuito RC di carica di un condensatore

Paragone tra equazione differenziale ed equazione algebrica

Paragone tra equazione differenziale ed equazione algebrica


Circuito RC di carica di un condensatore


Circuito RC di carica di un condensatore

Andamento temporale dei paramatri elettrici nel circuito di carica di un condensatore

Andamento temporale dei paramatri elettrici nel circuito di carica di un condensatore


Circuito RC di scarica di un condensatore

Circuito di scarica del condensatore

Il circuito non contiene il generatore (Fig. 1).

La scarica di un condensatore avviene nel modo seguente:

1) Sul condensatore è presente la carica q0 al tempo t = 0 e l’interruttore I è aperto.

2) Si chiude l’interruttore I.

3) Sotto l’azione della differenza di potenziale ai capi del condensatore, gli elettroni si spostano dall’armatura A2 all’armatura A1.

4) La corrente cessa quando il condensatore si è completamente scaricato.

L’equazione differenziale che descrive il comportamento del circuito insieme alle condizioni al contorno, alla soluzione e all’andamento temporale dei parametri elettrici del circuito sono mostrati in Fig. 2.

Fig. 1 – Circuito RC di scarica di un condensatore

Fig. 1 - Circuito RC di scarica di un condensatore

Fig. 2 – Andamento temporale dei parametri elettrici nel circuito di scarica di un condensatore

Fig. 2 - Andamento temporale dei parametri elettrici nel circuito di scarica di un condensatore


Stimolatore cardiaco

Lo stimolatore cardiaco utlizza un circuito RC per fornire uno stimolo elettrico al cuore ad intervalli di tempo ben precisi

Lo stimolatore cardiaco utlizza un circuito RC per fornire uno stimolo elettrico al cuore ad intervalli di tempo ben precisi


Corrente elettrica alternata

Corrente elettrica sinusoidale

Corrente elettrica sinusoidale


Corrente elettrica alternata (segue)

Circuito resistivo alimentato da una corrente elettrica alternata

Circuito resistivo alimentato da una corrente elettrica alternata


Corrente elettrica alternata (segue)

Circuito induttivo e circuito capacitivo  alimentati da una corrente elettrica alternata

Circuito induttivo e circuito capacitivo alimentati da una corrente elettrica alternata


Circuito RLC

Circuito RLC in ca: impedenza, potenza media dissipata

Circuito RLC in ca: impedenza, potenza media dissipata


Circuito RLC (segue)

Potenza dissipata in un circuito RLC in ca: casi particolari

Potenza dissipata in un circuito RLC in ca: casi particolari


Defibrillatore cardiaco

Fornisce un impulso di corrente (tipicamente 20 A per 5 ms) al cuore per “mettere in fase” la contrazione delle fibre muscolari cardiache.

Nello schema 1 la corrente di picco è troppo elevata data la bassa resistenza del cuore.

Nello schema 2 si inserisce una resistenza ed una conduttanza nel circuito di scarica del condensatore per abbassare il valore della corrente e farla crescere più lentamente (circuito RCL).

Un ulteriore  miglioramento si ottiene  se si aumenta il valore della capacità per allungare il tempo di scarica e si inserisce un interruttore per interrompere la scarica, prima che il condensatori si scarichi completamente.

Schema elettrico di un defibrillatore cardiaco

Schema elettrico di un defibrillatore cardiaco

Schema elettrico modificato di un defibrillatore cardiaco

Schema elettrico modificato di un defibrillatore cardiaco


Oscilloscopio

Serve per visualizzare l’andamento di un segnale elettrico in funzione del tempo o di altre variabili.

Il segnale elettrico può essere prodotto dall’attività elettrico del corpo: ECG, EEG, EMG, EOG, etc.

Il segnale elettrico può essere prodotto da opportuni trasduttori che trasformano altre grandezze fisiologiche in segnali elettrici: segnale sonoro cardiaco, pressione, temperatura, etc.

Il moto di una massa lanciata in un campo gravitazionale uniforme con velocità che forma un angolo di 90° con la direzione del campo (vedi figura) fornisce una similitudine molto forte col moto di una carica elettrica che, con le stesse condizioni iniziali, viene lanciata in un campo elettrico uniforme.

Moto di una massa lanciata con velocità con direzione perpendicolare alle linee di forze di un campo gravitazionale uniforme

Moto di una massa lanciata con velocità con direzione perpendicolare alle linee di forze di un campo gravitazionale uniforme


Moto di una carica in un campo elettrico uniforme

Una carica viene lanciata con velocità perpendicolare alle linee di forza di un campo elettrico uniforme

Una carica viene lanciata con velocità perpendicolare alle linee di forza di un campo elettrico uniforme


Schema di oscilloscopio analogico

Schema di oscilloscopio analogico (da Giorgio Bonazzi)

Schema di oscilloscopio analogico (da Giorgio Bonazzi)


Oscilloscopio analogico: cannone elettronico

Cannone elettronico  (da Giorgio Bonazzi)

Cannone elettronico (da Giorgio Bonazzi)


Oscilloscopio analogico: accelerazione e focalizzazione

Accelerazione e focalizzazione  (da Giorgio Bonazzi)

Accelerazione e focalizzazione (da Giorgio Bonazzi)


Oscilloscopio analogico: placche di deflessione

Placche di deflessione  (da Giorgio Bonazzi)

Placche di deflessione (da Giorgio Bonazzi)


Oscilloscopio analogico: schermo fluorescente

Schermo fluorescente  (da Giorgio Bonazzi)

Schermo fluorescente (da Giorgio Bonazzi)


Oscilloscopio analogico: raccolta elettroni secondari

Raccolta elettroni secondari  (da Giorgio Bonazzi)

Raccolta elettroni secondari (da Giorgio Bonazzi)


Oscilloscopio analogico: raccolta elettroni secondari

Raccolta elettroni secondari  (da Giorgio Bonazzi)

Raccolta elettroni secondari (da Giorgio Bonazzi)


Oscilloscopio analogico: alimentazione elettrodi

Alimentazione elettrodi  (da Giorgio Bonazzi)

Alimentazione elettrodi (da Giorgio Bonazzi)


Funzionamento di un oscilloscopio con segnali semplici

Visualizzazione sullo schermo di un oscilloscopio di segnali semplici sulle placche di deflessione.

Visualizzazione sullo schermo di un oscilloscopio di segnali semplici sulle placche di deflessione.


Funzionamento di un oscilloscopio con segnali semplici

Se si applica solo una ΔVor di tipo sinusoidale, il punto luminoso si sposta alternativamente a destra e a sinistra rispetto al centro dello schermo. Il fenomeno della persistenza retinica delle immagini ( f > 10 Hz) e della persistenza dei fosfori dello schermo permette di vedere un segmento (Fig. 1).

Se si applica una ΔVor e una ΔVver di tipo sinusoidale di uguale ampiezza ed in fase tra di loro, il punto luminoso si sposta alternativamente a destra e a sinistra e contemporaneamente  in basso e in alto rispetto al centro dello schermo. Perciò si vede un segmento inclinato di 45° (Fig. 2).

Fig. 1 – Visualizzazione sullo schermo di un oscilloscopio di un segnale sinusoidale sulle placche di deflessione orizzontale

Fig. 1 - Visualizzazione sullo schermo di un oscilloscopio di un segnale sinusoidale sulle placche di deflessione orizzontale

Fig. 2 – Visualizzazione sullo schermo di un oscilloscopio  di due segnali sinusoidali in fase su entrambe le placche di deflessione

Fig. 2 - Visualizzazione sullo schermo di un oscilloscopio di due segnali sinusoidali in fase su entrambe le placche di deflessione


Funzionamento di un oscilloscopio: visualizzazione di un segnale

Se si invia alle placche di deflessione orizzontale il segnale in figura (“dente di sega”), il punto luminoso si sposta lungo un segmento orizzontale in cui il percorso A → B è descritto lentamente, mentre il percorso B → A è descritto velocemente (Fig. 1).

Si invia alle placche di deflessione orizzontale il segnale a “dente di sega” ed alle placche di deflessione verticale il segnale da visualizzare (nel nostro caso sinusoidale). Se il periodo del primo segnale è uguale al semiperiodo della sinusoide, allora si visualizzerà un semiperiodo del segnale sinusoidale (Fig. 2).

Nell’oscilloscopio opportuni circuiti sincronizzano il segnale a “dente di sega” con il segnale da visualizzare.

Fig. 1 – Visualizzazione sullo schermo di un oscilloscopio di un segnale “a dente di sega” sulle placche di deflessione orizzontale

Fig. 1 - Visualizzazione sullo schermo di un oscilloscopio di un segnale "a dente di sega" sulle placche di deflessione orizzontale

Fig. 2- Visualizzazione sullo schermo di un oscilloscopio di un segnale “a dente di sega” sulle placche di deflessione orizzontale ed il segnale da visualizzare sull placche di deflessione verticale

Fig. 2- Visualizzazione sullo schermo di un oscilloscopio di un segnale "a dente di sega" sulle placche di deflessione orizzontale ed il segnale da visualizzare sull placche di deflessione verticale


Caratteristiche di un oscilloscopio

Scala orizzontale (temporale)

Dipende dalla frequenza del segnale a “dente di sega”: quanto più alta è questa frequenza, tanto minore il suo periodo e, quindi, tanto minore il tempo per una “spazzolata” orizzontale.

Scale temporali piccole permettono di visualizzare segnali di breve durata.

Scala temporale minima = 10 – 100 fs/div (1 fs = 10-15 s)

Scala temporale necessaria per i segnali biologici = 0.1 ms/div

Scala verticale

Dipende dai moduli di amplificazione attraverso cui passa il segnale che va alle placche di deflessione verticale.

Scala verticale minima = 0.1 mV/div

Scala verticale necessaria per i segnali biologici = 20 mV/div

Banda passante La banda passante di un oscilloscopio determina la massima frequenza che può essere visualizzata. Le componenti del segnale a frequenze maggiori della banda passante vengono cancellate.

Esempi di visualizzazione di segnali biologici

Visualizzione di un potenziale d’azione e di un ECG

Visualizzione di un potenziale d'azione e di un ECG


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