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Giuseppe Roberti » 7.Fenomeni ondulatori


Onde meccaniche

La lezione è del Prof. G. Roberti

Un’onda su una superficie d’acqua: la perturbazione viene trasmessa  senza spostamento orizzontale dell’acqua. Immagine da Free Vectors

Un'onda su una superficie d'acqua: la perturbazione viene trasmessa senza spostamento orizzontale dell'acqua. Immagine da Free Vectors


Onde meccaniche (segue)

Le onde meccaniche trasferiscono energia propagando una perturbazione in un mezzo.

Le particelle del mezzo comunicano la perturbazione interagendo tra di loro.

E’ necessaria una forza di richiamo gravitazionale o elastica.

Propagazione di un impulso ondulatorio su una corda. (Immagine modificata da Brooks, Cole – Thomson, 2006).

Propagazione di un impulso ondulatorio su una corda. (Immagine modificata da Brooks, Cole - Thomson, 2006).


Onde longitudinali: un esempio

Nelle onde longitudinali l’oscillazione avviene nella direzione di propagazione dell’onda.

Esempi di onde longitudinali meccaniche sono le onde di rarefazione e compressione delle spire di una molla elicoidale (Fig. 1)

Fig. 1 – Onde longitudinali in una molla: le spire della molla si allontanano  o si avvicinano tra di loro oscillando attorno alla loro posizione di equilibrio parallelamente alla direzione di propagazione dellonda. (Immagine modificata da Brooks, Cole – Thomson, 2006)

Fig. 1 - Onde longitudinali in una molla: le spire della molla si allontanano o si avvicinano tra di loro oscillando attorno alla loro posizione di equilibrio parallelamente alla direzione di propagazione dellonda. (Immagine modificata da Brooks, Cole - Thomson, 2006)


Onde longitudinali: un altro esempio

Nelle onde longitudinali l’oscillazione avviene nella direzione di propagazione dell’onda.

Un altro esempio di onde longitudinali meccaniche sono le onde di rarefazione e compressione dell’aria in un cilindro (Fig. 1)

Fig.1 – Un pistone oscillante produce onde longitudinali di rarefazione e di compressione in una colonna d’aria cilindrica (da Liceo scientifico P.M.)

Fig.1 - Un pistone oscillante produce onde longitudinali di rarefazione e di compressione in una colonna d'aria cilindrica (da Liceo scientifico P.M.)


Rappresentazione delle onde

Onde sinusoidali in una direzione: onde che si propagano su una corda

Onde sinusoidali in una direzione: onde che si propagano su una corda


Rappresentazione delle onde: equazione d’onda

In un’onda sinusoidale che si propaga su di una corda (onda unidimensionale)  la perturbazione (spostamento verticale dalla posizione d’equilibrio dell’elemento di corda) dipende dal tempo t e dalla posizione x. La dipendenza dello spostamento verticale y dalla posizione d’equilibrio al variare della posizione x lungo la corda è data dalla funzione sinusoidale:

y(x) = A sin (2π x / λ)

dove λ rappresenta la distanza tra due picchi ad un fissato tempo t ed A il massimo spostamento verticale dalla posizione d’equilibrio (ampiezza). La dipendenza dal tempo t può essere rappresentata dalla funzione sinusoidale:

y(t) = A sin (2π t / T)

dove T (periodo) rappresenta la distanza tra due picchi successivi ad una fissata posizione x. La dipendenza da x e t può essere complessivamente espressa dalle funzioni:

y(x, t) = A sin [2π (x /λ ± t /T )]

+ ====>  Onda regressiva (si propaga nella direzione negativa dell’asse x)

-  ====>  Onda progressiva (si propaga nella direzione positiva dell’asse x)

Rappresentazione delle onde: velocità di propagazione

Riscriviamo l’equazione di un’onda in una dimensione:

y(x, t) = A sin [2π (x / λ ± t /T )]

Si vede che, per un’onda sinusoidale, quando i picchi si spostano di un tratto λ, quindi l’onda si propaga di un tratto λ, ciascun punto compie un’oscillazione temporale di durata T. Per cui la velocità v di propagazione dell’onda sarà

v = λ / T

ν = frequenza = 1 / T = numero di oscillazioni temporali in 1 secondo

Definendo

n = numero d’onda = 1 / λ  = numero di oscillazioni spaziali in 1 metro

ω = pulsazione temporale = 2 π / T = 2  π ν

k = 2 π  / λ = pulsazione spaziale

La velocità di propagazione potrà scriversi

v = λ / T = λ ν = 2 π / kT = 2 π ν / k = ω / k

Rappresentazione delle onde: equazione d’onda

L’equazione d’onda in una dimensione potrà scriversi anche :

 y(x, t) = A sin [(kx  ± ω t)]

y(x, t) = A sin [k (x ± ω t/k )] = A sin [(2 π /λ) (x ± vt)]

Nello spazio a tre dimensioni l’equazione precedente rappresenta un’onda piana che si propaga nella direzione dell’asse x e in cui la perturbazione ha lo stesso valore su tutti i piani perpendicolare all’asse x (piani yz).

Nello spazio a tre dimensioni un’onda che si propaga in tutte e tre le direzioni dello spazio si scrive

y(x,y,z,t) = A(x,y,z) sin [(kxx + ky y + kzz ± ω t)]

in cui il vettore k (kx, ky, kz) ha la direzione ed il verso della velocità di propagazione dell’onda.

Rappresentazione delle onde: fase

Se nell’equazione delle onde scritta precedentemente si pone x = 0; t = 0

y(x, t) = A sin [2π ( 0 / λ ± 0 /T )] = A sin (0) = 0

Questo vuol dire che nell’origine e all’istante t = 0, l’onda ha un nodo. In generale questo non avviene e l’ampiezza dell’onda per x = 0 e t = 0 non è nulla: in questo caso l’equazione dell’onda si scrive:

y(x, t) = A sin [2π (x /λ ± t /T ) + φ]

φ = fase dell’onda

Rappresentazione di un’onda su una corda con fase Φ = 0, -π/2, +π/2 (dall’alto verso il basso)

Rappresentazione di un'onda su una corda con fase Φ = 0, -π/2, +π/2 (dall'alto verso il basso)


Principio di sovrapposizione

Se in un certo istante due o più onde si incontrano contemporaneamente nello stesso punto, la perturbazione (nel caso delle onde trasversali meccaniche è lo spostamento verticale dalla posizione d’equilibrio) nel punto in cui si incontrano è la somma delle perturbazioni che il punto subirebbe se ciascuna delle onde fosse presente da sola.

Interferenza di due onde su una superficie d’acqua. Immagine da Photobucket

Interferenza di due onde su una superficie d'acqua. Immagine da Photobucket


Principio di sovrapposizione (segue)

Sovrapposizione di due onde sinusoidali di uguale ampiezza e frequenza, ma con fasi diverse. (Immagine modificata da Brooks, Cole – Thomson, 2006)

Sovrapposizione di due onde sinusoidali di uguale ampiezza e frequenza, ma con fasi diverse. (Immagine modificata da Brooks, Cole - Thomson, 2006)


Principio di sovrapposizione (segue)

Interferenza di due impulsi ondulatori positivi su una corda: dopo aver interferito, sommandosi,  i due impulsi continuano a propagarsi con la stessa ampiezza e velocità che avevano prima dell’interferenza. (Immagine modificata da Brooks, Cole – Thomson, 2006).

Interferenza di due impulsi ondulatori positivi su una corda: dopo aver interferito, sommandosi, i due impulsi continuano a propagarsi con la stessa ampiezza e velocità che avevano prima dell'interferenza. (Immagine modificata da Brooks, Cole - Thomson, 2006).


Principio di sovrapposizione (segue)

Interferenza di due impulsi ondulatori di segno opposto su una corda: dopo aver interferito, sottraendosi,  i due impulsi continuano a propagarsi con la stessa ampiezza e velocità che avevano prima dell’interferenza.  (Immagine modificata da Brooks, Cole – Thomson, 2006)

Interferenza di due impulsi ondulatori di segno opposto su una corda: dopo aver interferito, sottraendosi, i due impulsi continuano a propagarsi con la stessa ampiezza e velocità che avevano prima dell'interferenza. (Immagine modificata da Brooks, Cole - Thomson, 2006)


Teorema di Fourier

Una qualsiasi onda periodica di periodo T è la somma di un numero finito (o infinito) di onde sinusoidali di frequenza νn = n/T (multiple della frequenza fondamentale ν0 = 1/T) e di opportuna ampiezza An, e fase φn

Onda periodica non sinusoidale

Onda periodica non sinusoidale


Scomposizione in onde sinusoidali

Onde sinusoidali  (componenti di Fourier) che sommate insieme danno l’onda periodica della diapositiva precedente

Onde sinusoidali (componenti di Fourier) che sommate insieme danno l'onda periodica della diapositiva precedente


Componenti di Fourier

Ampiezza e fase delle componenti di Fourier  dell’onda periodica della diapositiva precedente in funzione della loro frequenza

Ampiezza e fase delle componenti di Fourier dell'onda periodica della diapositiva precedente in funzione della loro frequenza


Sintesi di un’onda quadra come serie di Fourier

Sintesi di un onda quadra come serie di Fourier: man mano che aumenta il numero delle armoniche (tutte dispari) la loro somma approssima meglio l’onda quadra. (Immagine modificata da Brooks, Cole – Thomson, 2006)

Sintesi di un onda quadra come serie di Fourier: man mano che aumenta il numero delle armoniche (tutte dispari) la loro somma approssima meglio l'onda quadra. (Immagine modificata da Brooks, Cole - Thomson, 2006)


Operazioni con la serie di Fourier

  • Sintesi di Fourier: combinazione di onde sinusoidali per formare onde complesse
  • Analisi di Fourier: individuazione delle componenti sinusoidali di una forma d’onda complessa
  • Spettro di Fourier: l’insieme delle ampiezze e delle fasi  delle onde sinusoidali (componenti di Fourier) che formano un’onda complessa

Effetti delle superfici limite sulla propagazione delle onde

Quando un impulso ondulatorio passa da un mezzo ad un  altro (in questo caso da una corda con densità lineare maggiore ad una corda con densità lineare minore) l’impulso trasmesso e riflesso  hanno ampiezza minore ma stesso segno di quello incidente. (Immagine modificata da Brooks, Cole – Thomson, 2006)

Quando un impulso ondulatorio passa da un mezzo ad un altro (in questo caso da una corda con densità lineare maggiore ad una corda con densità lineare minore) l'impulso trasmesso e riflesso hanno ampiezza minore ma stesso segno di quello incidente. (Immagine modificata da Brooks, Cole - Thomson, 2006)


Effetti delle superfici limite sulla propagazione delle onde

Quando un impulso ondulatorio passa da un mezzo ad un  altro ( in questo caso da una corda con densità lineare minore ad una con densità lineare maggiore) l’impulso trasmesso e riflesso  hanno ampiezza minore, ma l’impulso riflesso avrà segno opposto a quello incidente. (Immagine modificata da Brooks, Cole – Thomson, 2006)

Quando un impulso ondulatorio passa da un mezzo ad un altro ( in questo caso da una corda con densità lineare minore ad una con densità lineare maggiore) l'impulso trasmesso e riflesso hanno ampiezza minore, ma l'impulso riflesso avrà segno opposto a quello incidente. (Immagine modificata da Brooks, Cole - Thomson, 2006)


Effetti delle superfici limite sulla propagazione delle onde

Se lestremità della corda è fissa, nella riflessione limpulso cambia segno. (Immagine modificata da Brooks, Cole – Thomson, 2006)

Se lestremità della corda è fissa, nella riflessione limpulso cambia segno. (Immagine modificata da Brooks, Cole - Thomson, 2006)


Effetti delle superfici limite sulla propagazione delle onde

Se l’estremità della corda è libera l’impulso incidente viene riflesso senza essere invertito. (Immagine modificata da Brooks, Cole – Thomson, 2006)

Se l'estremità della corda è libera l'impulso incidente viene riflesso senza essere invertito. (Immagine modificata da Brooks, Cole - Thomson, 2006)


Le onde trasmettono energia

Un impulso ondulatorio  al suo passaggio è in grado di compiere lavoro: quindi un’onda trasmette energia. (Immagine modificata da Brooks, Cole – Thomson, 2006)

Un impulso ondulatorio al suo passaggio è in grado di compiere lavoro: quindi un'onda trasmette energia. (Immagine modificata da Brooks, Cole - Thomson, 2006)


Energia e potenza trasportata da un’onda

Consideriamo una corda che compie oscillazioni sinusoidali e calcoliamo l’energia totale che possiede in un certo istante un tratto di corda di massa Δm in una posizione x, che si muove ad una velocità di modulo v e che si trova spostato dalla posizione di equilibrio di un tratto y.

y(x, t) = A sin [(kx - ω t)]     (1)

Il modulo della velocità v della massa Δm è

v(x, t) = – Aω cos [(kx - ω t)]    (2)

Il modulo dell’accelerazione della massa Δm è

a(x, t) = – Aω2 sin [(kx - ω t)]     (3)

Posizione, velocità e forza agente su un elemento di corda che compie un’oscillazione sinusoidale. (Immagine modificata da Brooks, Cole – Thomson, 2006)

Posizione, velocità e forza agente su un elemento di corda che compie un'oscillazione sinusoidale. (Immagine modificata da Brooks, Cole - Thomson, 2006)


Energia e potenza trasportata da un’onda (segue)

Dalle eq. (1) e (3) si ha   a(x, t) = – ω2y( x,t).

Poiché F = Δm a(x,t)

F = – ωm ω2 y(x,t)

La forza che si esercita su Δm è quindi una forza elastica di richiamo con costante elastica K = Δm ω2.

L’energia potenziale elastica Eel della massa Δm è

Eel = K y(x,t)2 /2 = Δm ω2 y(x,t)2 /2 = Δm ω2 A2 sin2 [(kx - ωt)] /2

La sua energia cinetica Ecin è , per la (2),

Ecin = Δm v(x,t)2 /2 = Δm A2 ω2 cos2 [(kx - ω t)] /2

L’energia totale Etot = Eel + Ecin della massa oscillante Δm è

Etot = Eel + Ecin = Δm ω2 A2 /2   (4)

L’energia totale non dipende né da x né da t. Ciò significa che tutti i tratti elementari  della corda in tutti gli istanti hanno la stessa energia totale (trascurando gli effetti dissipativi). Per esempio, nei ventri dell’onda l’energia è tutta potenziale, mentre nei nodi è tutta cinetica.

Energia e potenza trasportata da un’onda (segue)

Dividendo e moltiplicando il secondo membro della formula precedente per la lunghezza Δx dell’elemento di corda

Etot = (Δm/Δx) Δx ω2 A2 /2

Per calcolare l’energia che passa attraverso una superficie perpendicolare alla direzione di propagazione dell’onda in un periodo scriviamo la (4) nella forma

ΔEtot = (Δm/Δx) Δx ω2 A2 /2 = μ Δx ω2 A2 /2

in cui Δm/Δx = μ rappresenta la densità lineare di massa della corda supposta omogenea. Per ottenere la potenza media W, che, in un periodo, passa attraverso una superficie perpendicolare alla direzione di propagazione dell’onda basta dividere per il periodo e considerare che in un periodo Δx =   λ, cioè

W = ΔEtot/ T =  μ λ ω2 A2/22 T = μ ν ω2 A2 /2

In cui λ/T = v = velocità di propagazione dell’onda e μ dipendono dalle caratteristiche del mezzo in cui si propaga l’onda e ω e A dal tipo di sollecitazione che produce l’onda.

Potenza trasferita di un’onda (corda)

In conclusione, la potenza trasferita da un’onda è proporzionale al quadrato dell’ampiezza e al quadrato della pulsazione (cioè della frequenza)

Formula della potenza trasportata da un’onda

Formula della potenza trasportata da un'onda


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