La lezione è del Prof. G. Roberti
Un'onda su una superficie d'acqua: la perturbazione viene trasmessa senza spostamento orizzontale dell'acqua. Immagine da Free Vectors
Le onde meccaniche trasferiscono energia propagando una perturbazione in un mezzo.
Le particelle del mezzo comunicano la perturbazione interagendo tra di loro.
E’ necessaria una forza di richiamo gravitazionale o elastica.
Nelle onde longitudinali l’oscillazione avviene nella direzione di propagazione dell’onda.
Esempi di onde longitudinali meccaniche sono le onde di rarefazione e compressione delle spire di una molla elicoidale (Fig. 1)
Nelle onde longitudinali l’oscillazione avviene nella direzione di propagazione dell’onda.
Un altro esempio di onde longitudinali meccaniche sono le onde di rarefazione e compressione dell’aria in un cilindro (Fig. 1)
Fig.1 - Un pistone oscillante produce onde longitudinali di rarefazione e di compressione in una colonna d'aria cilindrica (da Liceo scientifico P.M.)
In un’onda sinusoidale che si propaga su di una corda (onda unidimensionale) la perturbazione (spostamento verticale dalla posizione d’equilibrio dell’elemento di corda) dipende dal tempo t e dalla posizione x. La dipendenza dello spostamento verticale y dalla posizione d’equilibrio al variare della posizione x lungo la corda è data dalla funzione sinusoidale:
y(x) = A sin (2π x / λ)
dove λ rappresenta la distanza tra due picchi ad un fissato tempo t ed A il massimo spostamento verticale dalla posizione d’equilibrio (ampiezza). La dipendenza dal tempo t può essere rappresentata dalla funzione sinusoidale:
y(t) = A sin (2π t / T)
dove T (periodo) rappresenta la distanza tra due picchi successivi ad una fissata posizione x. La dipendenza da x e t può essere complessivamente espressa dalle funzioni:
y(x, t) = A sin [2π (x /λ ± t /T )]
+ ====> Onda regressiva (si propaga nella direzione negativa dell’asse x)
- ====> Onda progressiva (si propaga nella direzione positiva dell’asse x)
Riscriviamo l’equazione di un’onda in una dimensione:
y(x, t) = A sin [2π (x / λ ± t /T )]
Si vede che, per un’onda sinusoidale, quando i picchi si spostano di un tratto λ, quindi l’onda si propaga di un tratto λ, ciascun punto compie un’oscillazione temporale di durata T. Per cui la velocità v di propagazione dell’onda sarà
v = λ / T
ν = frequenza = 1 / T = numero di oscillazioni temporali in 1 secondo
Definendo
n = numero d’onda = 1 / λ = numero di oscillazioni spaziali in 1 metro
ω = pulsazione temporale = 2 π / T = 2 π ν
k = 2 π / λ = pulsazione spaziale
La velocità di propagazione potrà scriversi
v = λ / T = λ ν = 2 π / kT = 2 π ν / k = ω / k
L’equazione d’onda in una dimensione potrà scriversi anche :
y(x, t) = A sin [(kx ± ω t)]
y(x, t) = A sin [k (x ± ω t/k )] = A sin [(2 π /λ) (x ± vt)]
Nello spazio a tre dimensioni l’equazione precedente rappresenta un’onda piana che si propaga nella direzione dell’asse x e in cui la perturbazione ha lo stesso valore su tutti i piani perpendicolare all’asse x (piani yz).
Nello spazio a tre dimensioni un’onda che si propaga in tutte e tre le direzioni dello spazio si scrive
y(x,y,z,t) = A(x,y,z) sin [(kxx + ky y + kzz ± ω t)]
in cui il vettore k (kx, ky, kz) ha la direzione ed il verso della velocità di propagazione dell’onda.
Se nell’equazione delle onde scritta precedentemente si pone x = 0; t = 0
y(x, t) = A sin [2π ( 0 / λ ± 0 /T )] = A sin (0) = 0
Questo vuol dire che nell’origine e all’istante t = 0, l’onda ha un nodo. In generale questo non avviene e l’ampiezza dell’onda per x = 0 e t = 0 non è nulla: in questo caso l’equazione dell’onda si scrive:
y(x, t) = A sin [2π (x /λ ± t /T ) + φ]
φ = fase dell’onda
Se in un certo istante due o più onde si incontrano contemporaneamente nello stesso punto, la perturbazione (nel caso delle onde trasversali meccaniche è lo spostamento verticale dalla posizione d’equilibrio) nel punto in cui si incontrano è la somma delle perturbazioni che il punto subirebbe se ciascuna delle onde fosse presente da sola.
Interferenza di due onde su una superficie d'acqua. Immagine da Photobucket
Sovrapposizione di due onde sinusoidali di uguale ampiezza e frequenza, ma con fasi diverse. (Immagine modificata da Brooks, Cole - Thomson, 2006)
Interferenza di due impulsi ondulatori positivi su una corda: dopo aver interferito, sommandosi, i due impulsi continuano a propagarsi con la stessa ampiezza e velocità che avevano prima dell'interferenza. (Immagine modificata da Brooks, Cole - Thomson, 2006).
Interferenza di due impulsi ondulatori di segno opposto su una corda: dopo aver interferito, sottraendosi, i due impulsi continuano a propagarsi con la stessa ampiezza e velocità che avevano prima dell'interferenza. (Immagine modificata da Brooks, Cole - Thomson, 2006)
Una qualsiasi onda periodica di periodo T è la somma di un numero finito (o infinito) di onde sinusoidali di frequenza νn = n/T (multiple della frequenza fondamentale ν0 = 1/T) e di opportuna ampiezza An, e fase φn
Onde sinusoidali (componenti di Fourier) che sommate insieme danno l'onda periodica della diapositiva precedente
Ampiezza e fase delle componenti di Fourier dell'onda periodica della diapositiva precedente in funzione della loro frequenza
Sintesi di un onda quadra come serie di Fourier: man mano che aumenta il numero delle armoniche (tutte dispari) la loro somma approssima meglio l'onda quadra. (Immagine modificata da Brooks, Cole - Thomson, 2006)
Quando un impulso ondulatorio passa da un mezzo ad un altro (in questo caso da una corda con densità lineare maggiore ad una corda con densità lineare minore) l'impulso trasmesso e riflesso hanno ampiezza minore ma stesso segno di quello incidente. (Immagine modificata da Brooks, Cole - Thomson, 2006)
Quando un impulso ondulatorio passa da un mezzo ad un altro ( in questo caso da una corda con densità lineare minore ad una con densità lineare maggiore) l'impulso trasmesso e riflesso hanno ampiezza minore, ma l'impulso riflesso avrà segno opposto a quello incidente. (Immagine modificata da Brooks, Cole - Thomson, 2006)
Se lestremità della corda è fissa, nella riflessione limpulso cambia segno. (Immagine modificata da Brooks, Cole - Thomson, 2006)
Se l'estremità della corda è libera l'impulso incidente viene riflesso senza essere invertito. (Immagine modificata da Brooks, Cole - Thomson, 2006)
Un impulso ondulatorio al suo passaggio è in grado di compiere lavoro: quindi un'onda trasmette energia. (Immagine modificata da Brooks, Cole - Thomson, 2006)
Consideriamo una corda che compie oscillazioni sinusoidali e calcoliamo l’energia totale che possiede in un certo istante un tratto di corda di massa Δm in una posizione x, che si muove ad una velocità di modulo v e che si trova spostato dalla posizione di equilibrio di un tratto y.
y(x, t) = A sin [(kx - ω t)] (1)
Il modulo della velocità v della massa Δm è
v(x, t) = – Aω cos [(kx - ω t)] (2)
Il modulo dell’accelerazione della massa Δm è
a(x, t) = – Aω2 sin [(kx - ω t)] (3)
Dalle eq. (1) e (3) si ha a(x, t) = – ω2y( x,t).
Poiché F = Δm a(x,t)
F = – ωm ω2 y(x,t)
La forza che si esercita su Δm è quindi una forza elastica di richiamo con costante elastica K = Δm ω2.
L’energia potenziale elastica Eel della massa Δm è
Eel = K y(x,t)2 /2 = Δm ω2 y(x,t)2 /2 = Δm ω2 A2 sin2 [(kx - ωt)] /2
La sua energia cinetica Ecin è , per la (2),
Ecin = Δm v(x,t)2 /2 = Δm A2 ω2 cos2 [(kx - ω t)] /2
L’energia totale Etot = Eel + Ecin della massa oscillante Δm è
Etot = Eel + Ecin = Δm ω2 A2 /2 (4)
L’energia totale non dipende né da x né da t. Ciò significa che tutti i tratti elementari della corda in tutti gli istanti hanno la stessa energia totale (trascurando gli effetti dissipativi). Per esempio, nei ventri dell’onda l’energia è tutta potenziale, mentre nei nodi è tutta cinetica.
Dividendo e moltiplicando il secondo membro della formula precedente per la lunghezza Δx dell’elemento di corda
Etot = (Δm/Δx) Δx ω2 A2 /2
Per calcolare l’energia che passa attraverso una superficie perpendicolare alla direzione di propagazione dell’onda in un periodo scriviamo la (4) nella forma
ΔEtot = (Δm/Δx) Δx ω2 A2 /2 = μ Δx ω2 A2 /2
in cui Δm/Δx = μ rappresenta la densità lineare di massa della corda supposta omogenea. Per ottenere la potenza media W, che, in un periodo, passa attraverso una superficie perpendicolare alla direzione di propagazione dell’onda basta dividere per il periodo e considerare che in un periodo Δx = λ, cioè
W = ΔEtot/ T = μ λ ω2 A2/22 T = μ ν ω2 A2 /2
In cui λ/T = v = velocità di propagazione dell’onda e μ dipendono dalle caratteristiche del mezzo in cui si propaga l’onda e ω e A dal tipo di sollecitazione che produce l’onda.
2. Termologia e Termodinamica - I
3. Termologia e Termodinamica - II
4. Termologia e Termodinamica - III
5. Termologia e Termodinamica - IV
8. Acustica
9. Ottica geometrica - I parte
10. Ottica geometrica - II parte
11. L'occhio umano
12. Tensione superficiale - I parte
13. Tensione superficiale - II parte
15. Emodinamica
16. Elettrostatica
18. Elettrodinamica - II parte
19. Modello atomico
20. Radiazioni elettromagnetiche
21. Radioattività