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Giuseppe Roberti » 9.Ottica geometrica - I parte


Ottica geometrica: ipotesi

Ipotesi: La propagazione luminosa avviene attraverso sottili “pennelli” di luce detti “raggi luminosi”, che si approssimano con una linea retta se il raggio si propaga nello stesso mezzo e a cui è possibile applicare le leggi della geometria euclidea.

Nella figura in basso: Selezionando un fascio sufficientemente stretto con un diaframma posto a grande distanza dalla sorgente (D/d >>1) si ottiene con buona approssimazione un fascio parallelo.

La lezione è del Prof. G. Roberti

Una sorgente puntiforme emette raggi luminosi in tutte le direzioni dello spazio.

Una sorgente puntiforme emette raggi luminosi in tutte le direzioni dello spazio.

Una sorgente puntiforme a grande distanza da un diaframma circolare produce un fascio luminoso approssimativamente parallelo

Una sorgente puntiforme a grande distanza da un diaframma circolare produce un fascio luminoso approssimativamente parallelo


Le leggi della riflessione e della rifrazione

Le leggi della riflessione e della rifrazione

Le leggi della riflessione e della rifrazione


Indice di rifrazione relativo

Indice di rifrazione relativo

Indice di rifrazione relativo


Indice di rifrazione relativo e assoluto

Indice di rifrazione relativo

n12 = indice di rifrazione del mezzo 2 rispetto al mezzo 1 = indice di rifrazione per il passaggio della luce dal mezzo 1 al mezzo 2

n21= indice di rifrazione del mezzo 1 rispetto al mezzo 2 = indice di rifrazione per il passaggio della luce dal mezzo 2 al mezzo 1:

n21 = 1 / n12

Indice di rifrazione assoluto

L’indice di rifrazione assoluto di un mezzo è l’indice di rifrazione relativo per il passaggio della luce dal vuoto al mezzo considerato.

Quindi l’indice di rifrazione assoluto del mezzo 1 è l’indice di rifrazione relativo per il passaggio della luce dal vuoto al mezzo 1:

n1 = nv1

Indice di rifrazione relativo e assoluto

Indice di rifrazione assoluto

L’indice di rifrazione assoluto n1 si può esprimere anche in funzione della velocità di propagazione della luce nel vuoto, c, e della velocità della luce nel mezzo, v1:

n1 = nv1 = c / v1

Poiché la velocità della luce nel vuoto è maggiore della velocità in ogni altro mezzo materiale, l’indice di rifrazione assoluto di qualunque sostanza è sempre maggiore di 1.

Relazione tra indice di rifrazione assoluto e relativo

n12 = n2 /n1 

da cui

 n12 = n2 /n1 = (c/v2) (v1/c) = v1/v2

La 2a legge della rifrazione si può scrivere:

sen (α) / sen (γ) = n12 = n2/n1 = v1/v2

Indice di rifrazione assoluto di alcuni mezzi misurato ad una fissata lunghezza d’onda


Relazione tra intensità incidente, riflessa e rifratta

Intensità di un raggio luminoso =

 = energia trasportata dal raggio / (unità di tempo) (unità di area perpendicolare al fascio) =

 = potenza trasportata dal fascio/ unità di area perpendicolare al fascio.

Unità di misura dell’intensità luminosa =  J/ (s m2) = W/m2

I0 = intensità incidente

IRifl = intensità riflessa

IRifr = intensità rifratta

Per incidenza perpendicolare (α ≈ 0):

IRifl/I0 = (n2 – n1)2/(n2 + n1)2

IRifr/I0 = (I0 – IRifl)/ I0 = 1 – (IRifl/ I0) = 1 – (n2 – n1)2/(n2 + n1)2

Onde elettromagnetiche

Rappresentazione di onde elettromagnetiche monocromatiche piane (da INFN)

Rappresentazione di onde elettromagnetiche monocromatiche piane (da INFN)


Onde (esercizio)

Un’onda sonora in aria ha una frequenza di 300 Hz e viaggia alla velocità di 330 m/s. Quanto vale la sua lunghezza d’onda?

La relazione tra lunghezza d’onda λ, frequenza ν e velocità di propagazione v (relazione di dispersione) è:

λ ν = v

l = lunghezza d’onda                                                (m)(* ) S.I.

ν = frequenza= 1/T                                           (sec-1 = Hz) S.I.

v = velocità di propagazione                                          (m/s) S.I.

λ = v / ν = 330 m/s   / 300 Hz= 1.1 m

(*) Altre unità di misura della lunghezza d’onda:

  • μm (micron) = 10-6m
  • nm (nanometro) = 10-9m
  • Å = 10-10 m

Spettro delle onde elettromagnetiche

Spettro delle onde lettromagnetiche (da INFN)

Spettro delle onde lettromagnetiche (da INFN)


Dipendenza dell’indice di rifrazione dalla frequenza della radiazione (dispersione normale)


Dispersione normale della luce

La dispersione normale della luce

Tutte le radiazioni di lunghezza d’onda diversa contenute nel raggio di luce bianca incidono con lo stesso angolo d’incidenza.

Per la radiazione rossa la legge della rifrazione dà:

sen (α) = sen (γ)/n12 (γrosso)

dove n12 (γrosso) rappresenta il valore dell’indice di rifrazione alla lunghezza d’onda della radiazione rossa.

Formule simili si possono scrivere per tutte le lunghezze d’onda. Esse mostrano che l’angolo di rifrazione γ è diverso per le diverse componenti monocromatiche contenute nel fascio di luce bianca (dispersione della luce). In particolare nella dispersione normale i raggi luminosi di frequenza maggiore subiscono una rifrazione maggiore di quelli con frequenza minore.

Dispersione normale della luce

Dispersione normale della luce


Dispersione della luce

In figura: Prisma di materiale a dispersione normale: la radiazione rossa ha indice di rifrazione minore e quindi viene deviata di meno.

Nella dispersione anomala l’indice di rifrazione cresce al crescere di λ e quindi  i raggi luminosi di frequenza minore subiscono una rifrazione maggiore di quelli con frequenza maggiore.

Lo stesso materiale può avere dispersione normale in un certo intervallo spettrale e dispersione anomala in un altro intervallo spettrale.

Dispersione della luce bianca in un prisma ottico

Dispersione della luce bianca in un prisma ottico


Riflessione totale

Consideriamo un raggio luminoso monocromatico che passa da un mezzo più rifrangente ad uno meno rifrangente (n1 > n2).

L’angolo di rifrazione, γ, sarà sempre maggiore dell’angolo d’incidenza, α.

Quindi, ad un raggio rifratto con angolo di rifrazione γ = 90 ° (rifrazione radente) corrisponde un angolo d’incidenza αl < 90°.

Un raggio incidente con un angolo α> αl non può essere più rifratto, ma sarà riflesso con le stesse leggi della riflessione normale, ma senza perdite d’intensità (riflessione totale).

Il valore dell’angolo αl (angolo limite) si può ottenere dalla 2a legge della rifrazione applicata all’incidenza con l’angolo limite, come indicato nel procedimento a lato.

Riflessione totale ed angolo limite

Riflessione totale ed angolo limite

Calcolo dell’angolo limite di un materiale ottico

Calcolo dell'angolo limite di un materiale ottico


Prismi a riflessione totale

Nel passaggio della luce dal vetro (n = 1.5 (vetro crown) – 1.65 (vetro flint)) all’aria (n ≈ 1) si può avere il fenomeno della riflessione totale per angoli d’incidenza maggiori dell’angolo limite

αl = arcsen (1/1.5) = 41.8° per il vetro crown

αl = arcsen (1/1.65) = 37.3° per il vetro flint

L’angolo limite per il passaggio della luce dall’acqua (n=1.33) all’aria (n ≈ 1) vale

αl= arcsen (1/1.33) = 48.8°

Riflessione totale in prismi ottici

Riflessione totale in prismi ottici


Fibre ottiche


Specchio piano

L’immagine formata da uno specchio piano è un’immagine virtuale: in essa non c’è effettiva concentrazione di energia luminosa (immagine reale), ma tutto va come se i raggi luminosi provenissero dall’immagine, anche se essi non si incontrano effettivamente in essa.

In figura:

O = sorgente puntiforme

I = immagine

I è l’immagine del punto O e si forma in posizione simmetrica alla sorgente rispetto al piano dello specchio (p =q).

I raggi riflessi divergono, mentre i loro prolungamenti si incontrano nel punto I.

Uno specchio piano  forma un’immagine virtuale I di una sorgente puntifome O

Uno specchio piano forma un'immagine virtuale I di una sorgente puntifome O


Specchio piano: ingrandimento

M= ingrandimento lineare =

 = dimensione lineare immagine / corrispondente dimensione lineare oggetto

Gli specchi piani hanno ingrandimento = 1 (vedi formula nella figura in basso).

  • La distanza immagine-specchio è uguale alla distanza oggetto-specchio.
  • L’immagine non è ingrandita nè rimpicciolita, è virtuale e non capovolta.
Formazione dell’immagine prodotta da uno specchio piano

Formazione dell'immagine prodotta da uno specchio piano

Ingrandimento lineare di uno specchio paiano

Ingrandimento lineare di uno specchio paiano


Specchio piano (esercizio)

Una persona di altezza 160 cm è in piedi di fronte ad uno specchio piano verticale. Quale deve essere l’altezza minima dello specchio affinché la persona si possa specchiare completamente?

h1 = altezza base piedi – occhi

h2= altezza occhi – sommità della testa

h1 + h2 = h = altezza dell’uomo

Poiché i due triangoli ABC e CDE sono isosceli (vedi figura), il tratto di specchio BD necessario a formare l’immagine sarà

BD = BE + ED = h2/2 + h1/2 = (h1 + h2)/2 = h/2 = 80 cm

Porzione  di specchio necessaria per formare l’immagine di una persona (Immagine tratta da: The Physics Classroom)

Porzione di specchio necessaria per formare l'immagine di una persona (Immagine tratta da: The Physics Classroom)


Specchio piano (esercizio)

In riferimento all’esercizio precedente, la porzione di specchio necessaria a formare l’immagine cambia al variare della distanza uomo-specchio?

Disegnando i raggi luminosi virtuali che partono dall’immagine al variare della distanza sorgente-specchio mostra che la porzione di specchio necessaria a formare l’immagine non cambia al variare della distanza uomo-specchio, se si suppone che l’angolo di accettazione dei raggi luminosi da parte dell’occhio è di 180°.

Poiché l’angolo di accettazione dell’occhio (considerato fisso) è di 140° (2.44 rad), questo pone un limite alla minima distanza a cui, usando uno specchio di altezza h/2, si può vedere l’intera immagine della persona di altezza h.

Porzione di specchio necessaria a formare l’immagine di una persona

Porzione di specchio necessaria a formare l'immagine di una persona


Specchio piano (esercizio)

Una sorgente puntiforme si trova tra due specchi piani che formano un angolo di 90°. Quante sono le immagini che si formano?

S = sorgente puntiforme.

I = immagine della sorgente S prodotta dallo specchio S1 (raggi che si riflettono solo su S1).

I’ = immagine della sorgente S prodotta dallo specchio S2 (raggi che si riflettono solo su S2).

I” = immagine prodotta dallo specchio S2 usando come sorgente l’immagine I (raggi che si riflettono prima su S1 e poi su S2).

I” = immagine prodotta dallo specchio S1 usando come sorgente l’immagine I’ (raggi che si riflettono prima su S2 e poi su S1) .

Immagini di una sorgente puntiforme, formata da due specchi piani perpendicolari

Immagini di una sorgente puntiforme, formata da due specchi piani perpendicolari


Specchio piano (osservazione)

Come si fa a capire, osservando l’immagine di un oggetto, se una macchiolina si trova sull’oggetto e sullo specchio?

Se la macchiolina si trova sull’oggetto la sua posizione rispetto all’oggetto non cambia (vedi Fig. 1).

Se la macchiolina si trova sullo specchio la sua posizione rispetto all’oggetto cambia (vedi Fig. 2).

Fig. 1 – La macchiolina si trova sull’oggetto

Fig. 1 - La macchiolina si trova sull'oggetto

Fig. 2 – La macchiolina si trova sullo specchio

Fig. 2 - La macchiolina si trova sullo specchio


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