Ottica geometrica - II parte, Giuseppe Roberti « Fisica Medica « Medicina e Chirurgia

Diottro sferico

Il diottro sferico è una superficie di separazione sferica tra due mezzi con diverso indice di rifrazione.

In figura:

n₁, n₂ = indice di rifrazione dei mezzi 1 e 2

R, C = raggio e centro della superficie sferica

AQ, QA’ = raggio incidente e raggio rifratto

x, x’ = distanza sorgente-diottro e diottro-immagine

Parametri ottici e geometrici di un diottro sferico (Immagine modificata da Domenico Galli)

Diottro sferico

Per valori piccoli dell’angolo formato tra i raggi luminosi uscenti dalla sorgente puntiforme e l’asse del diottro (angolo θ nella figura precedente) (raggi parassiali) il diottro è un sistema stigmatico: tutti i raggi uscenti dallo stesso punto sorgente si incontrano nello stesso punto immagine.

Equazione del diottro n₁/x +n₂/x’ = (n₂-n₁)/R

Formazione dell'immagine di una sorgente puntiforme da parte di un diottro sferico nell'approsssimazione di raggi parassiali (Immagine modificata da Domenico Galli)

Equazione del diottro sferico: dimostrazione

Immagine tratta da: Galli

Fuochi del diottro sferico

I fuochi sono i punti coniugati dei punti all’infinito, cioè i punti in cui si concentrano i raggi provenienti da un punto dell’asse ottico che si trova all’infinito (quindi paralleli all’asse ottico) dopo la rifrazione sul diottro.

Secondo fuoco : Punto in cui sincontrano i raggi paralleli all’asse del diottro provenienti da sinistra

Calcolo della distanza focale, cioè della distanza F₂O tra il secondo fuoco ed il diottro (figura in alto):

Dall’equazione del diottro :

n₁/x +n₂/x’ = (n₂-n₁)/R

x’ = x R n₂/((n₂-n₁)x – n₁R)

Quando x → ∞ x’ → f₂ = R n₂/(n₂-n₁)

I fuochi di un diottro sferico (Immagine modificata da Domenico Galli)

Fuochi del diottro sferico

Primo fuoco: Punto in cui sincontrano i raggi paralleli all’asse del diottro provenienti da destra
Calcolo della distanza focale, cioè della distanza F₁O tra il primo fuoco ed il diottro (figura in basso nella diapositiva precedente).
Dall’equazione del diottro:

n₁/x +n₂/x’ = (n₂-n₁)/R

x = x’ R n₁/((n₂-n₁) x’- n₂R)

Quando x’ → ∞ x → f₁ = R n₁/(n₂-n₁)

Costruzione grafica dell’immagine di una sorgente estesa da parte del diottro sferico

Per costruire l’immagine di un punto di una sorgente estesa da parte di un diottro bisogna considerare i raggi seguenti (vedi figura):

I) Il raggio passante per il centro di curvatura del diottro che non viene deviato nell’attraversamento del diottro stesso.

II) Il raggio che incide parallelamente all’asse ottico del diottrico, che, dopo la rifrazione sul diottro, passa per uno dei fuochi del diottro.

III) Il raggio che esce da uno dei fuochi, che, dopo l’attraversamento del diottro, viene deviato in modo da risultare parallelo all’asse ottico del diottro.

Costruzione grafica dell'immagine B' del punto sorgente B da parte del diottro

Diottro sferico: ingrandimento lineare

Introducendo le formule delle distanze focali nella formula del diottro, questa diventa:

f₁/x + f₂/x’ = 1

Nell’approssimazione di Gauss:

raggi parassiali
oggetti di piccole dimensioni (l << x+R))

Dalla formula del diottro si ha: x’/x = (n₂/n₁)(x’-R)/(x+R) (1)

Dalla similitudine tra ABC e A’B'C si ha: A’C/AC = l’/l (x’–R)/(x+R) = l’/l (2)

Dalle equazioni (1) e (2) si ricava l’ingrandimento lineare G

G = I’/I = x’ n₁/ x n₂

L'ingrandimento del diottro sferico (Immagine modificata da Domenico Galli)

Lente semplice

Un sistema ottico centrato è un sistema costituito da due o più superfici sferiche di separazione (diottri sferici) aventi i centri sulla stessa retta.

Una lente è il più semplice sistema ottico centrato ed è costituita da due diottri sferici, in cui il primo e terzo indice di rifrazione sono uguali (lente spessa).

Per trovare l’immagine prodotto da questo sistema ottico si applica due volte la legge del diottro: l’immagine formata dal primo diottro fa da sorgente per il secondo diottro (vedi figura).

Lente sferica spessa costituta da due diottri sferici (immagine modificata da Domenico Galli)

Lenti sottili

Applicando due volte la formula del diottro ad una lente spessa si ha:

1/x₁ + 1 /x₂ = (n-1) ( 1/R’ – 1/R”) – n (1/x’ + 1/( d-x’))

dove (vedi figura della dapositiva precedente)

x₁, x₂= distanza sorgente-lente e lente-immagine

n₂ = indice di rifrazione assoluto del mezzo di cui è fatta la lente

n₁ = indice di rifrazione assoluto del mezzo in cui è immersa la lente

n = n₂ /n₁

R’, R” = raggi di curvatura del primo e secondo diottro sferico

d = spessore della lente

x’ = distanza primo diottro-immagine della sorgente formata dal primo diottro

Nel caso di lente sottile (d«x’) e 1/(d-x’)≈ -1/x’. Quindi

1/x₁ + 1 /x₂ = (n-1) ( 1/R’ – 1/R”)

Lenti sottili

1/x₁ + 1 /x₂ = (n-1) ( 1/R’ – 1/R”) Formula delle lenti sottili o formula dei punti coniugati

La quantità (n-1) ( 1/R’ – 1/R”), che ha le dimensioni del reciproco di una distanza che rappresenta la distanza focale della lente, cioè.

1/f = (n-1) ( 1/R’ – 1/R”) Formula dei costruttori di lenti

Infatti, se la sorgente si pone alla sinistra della lente sull’asse ottico all’infinito (x₁ → ∞) , allora l’immagine si forma nel secondo fuoco (x₂ → f).

Se la sorgente si pone alla destra della lente sull’asse ottico all’infinito (x₂ → ∞) , allora l’immagine si forma nel primo fuoco (x₁ → f).

P = 1/f = potere diottrico o potere convergente della lente

Il potere diottrico di una lente si misura nel S.I. in m^-1= diottria (D)

Esempi:

Una lente di focale 50 cm ha il potere diottrico P = 1/50 cm = 1/0.5 m= 1/(1/2 m) = 2 m^-1 = 2 D

Una lente di focale 20 cm ha il potere diottrico P = 1/20 cm = 1/0.2 m= 1/(1/5 m) = 5 m^-1 = 5 D

Lenti sottili: convenzione dei segni

Nella figura:

C’, C” = centro di curvatura del 1° e 2° diottro (da sinistra verso destra)

R’, R” = raggi di curvatura del 1° e 2° diottro (da sinistra verso destra)

Nella formula dei punti coniugati

1/x₁ + 1 /x₂ = (n-1) ( 1/R’ – 1/R”)

le coordinate x₁ ed x₂ ed i raggi di curvatura R’ ed R” possono assumere segno positivo o negativo in accordo alla seguente convenzione (vedi figura).

Una sorgente ha

coordinata x positiva, se si trova nello spazio-sorgenti S

coordinata x negativa se si trova nello spazio-immagini I.

Una immagine ha

coordinata x positiva, se si trova nello spazio-immagini I

coordinata x negativa se si trova nello spazio-sorgenti S.

R’ > 0 se C’ è nello spazio-immagini I

R’ < 0 se C’ è nello spazio-sorgenti S.

R” > 0 se C” è nello spazio-immagini I

R” < 0 se C” è nello spazio-sorgenti S.

Convenzione dei segni in una lente sottile

Lenti sottili: ingrandimento

Il segno dell'ingrandimento permette di distinguere tra immagini reali e capovolte e immagini diritte e virtuali (Immagine modificata da Domenico Galli)

Lenti sottili: lenti convergenti

Il segno della distanza focale dipende dal segno dei raggi di curvatura (Immagine modificata da Domenico Galli)

Lenti sottili: lenti divergenti

Il segno della distanza focale dipende dal segno dei raggi di curvatura (Immagine modificata da Domenico Galli)

Lenti sottili

In tutte le costruzioni geometriche precedenti, l’immagine ottenuta era stigmatica e non distorta. Questo avviene se sono soddisfatte le seguenti condizioni:

Fasci di raggi parassiali
Oggetti di piccole dimensioni
Radiazioni monocromatiche

Queste condizioni non si verificano in pratica, quando sono necessarie

Grandi aperture di diaframma per avere immagini luminose
Lenti di grande apertura (obiettivi grandangolari) per ottenere immagini di oggetti di grandi dimensioni

Lenti sottili convergenti

Una sorgente posta ad una distanza da una lente convergente maggiore della distanza focale fornisce un’immagine reale e capovolta. Poiché, nel caso del disegno,

x₁ > 2f → G < 1 (vedi diapostiva 17)

Sorgente a distanza dalla lente convergente maggiore della distanza focale: costruzione grafica dell'immagine (Immagine modificata da Domenico Galli)

Lenti sottili convergenti

Una sorgente posta ad una distanza da una lente convergente minore della distanza focale fornisce un’immagine virtuale e dritta. Poiché, in questo caso,

x₁ < 2f → |G| > 1 (vedi diapostiva 17)

Sorgente posta ad una distanza da una lente convergente minore della distanza focale: costruzione grafica dell'immagine (Immagine modificata da Domenico Galli)

Lenti sottili convergenti: ingrandimento

Quando la sorgente si trova ad una distanza dalla lente pari a 2f, allora anche l'immagine si forma al di là della lente ad una distanza da essa pari a 2f. L'immagine è reale e capovolta e l'ingrandimento vale 1.

Lenti sottili divergenti

Una sorgente posta nello spazio sorgenti di una lente divergente fornisce un’immagine virtuale, dritta e rimpicciolita (vedi diapostiva 17).

Sorgente posta nello spazio sorgenti di una lente divergente: costruzione grafica dell'immagine (Immagine modificata da Domenico Galli)

Lenti sottili divergenti: ingrandimento lineare

Quando la sorgente si trova nello spazio sorgenti x₁ > 0

Poiché la lente è divergente f < 0

In questo caso x₁ > f → 1/ x₁ > 1/f

Poiché 1/x₂ = 1/f – 1/x₁ < 0 → x₂ < 0

Essendo sia 1/f che -1/x₁ due quantità negative 1/x₂ = 1/f – 1/x₁ < 1/f

1/x₂ = 1/f – 1/x₁< -1/x₁

Dalla prima delle due equazioni si ha che x₂ > f

cioè che la posizione dell’immagine è sempre tra il vertice della lente ed il fuoco.

Dalla seconda delle equazioni si ha che x₂ > – x₁ → - x₂ < x₁

Ricordando che |x₂| = – x₂ |x₁| = x₁

I = | x₂ | / | x₁ | < 1

Lenti sottili: altre due formule per l’ingrandimento

Dalla formula dei punti coniugati

1/x₁ + 1 /x₂ = 1/f

1/x₁ = 1/f – 1 /x₂ → 1/x₁ = (x₂ – f) /x₂f

Quindi l’ingrandimento G può scriversi

G = l₂/l₁ = x₂/x₁ = x₂ (1/x₁) = (x₂ –f)/f

Analogamente

1/x₂ = 1/f – 1 /x₁ → 1/x₂ = (x₁ – f) /x₁f

G = l₂/l₁ = x₂/x₁ = (1/x₁)/(1/x₂) = (1/x₁) x₁f /(x₁–f) = f /(x₁–f)

In definitiva

G = (x₂ – f) / f

G = f / (x₁ – f)

Sistemi a più lenti sottili

Se consideriamo un sistema costituito da due o più lenti sottili i cui assi ottici coincidano, per trovare l’immagine di una sorgente

1) Si determina la posizione e l’ingrandimento dell’immagine formata dalla lente più vicina alla sorgente attraverso la formula dei punti coniugati;

2) Si considera l’immagine così ottenuta come sorgente per la seconda lente e si determina la posizione e l’ingrandimento della seconda immagine;

3) Si ripete il punto 2) fino ad esaurire tutte le lenti del sistema.

Se le lenti sottili sono accostate, il potere diottrico D del sistema è la somma dei poteri diottrici delle singole lenti:

D = D₁ + D₂ + D₃ +……. = 1/f₁+ 1/f₂ + 1/f₃ + …..

e l’ingrandimento I del sistema è il prodotto degli ingrandimenti:

I = I₁ · I₂ ·I₃ …..

Aberrazioni assiali

Le aberrazioni assiali sono deformazioni delle immagini che si verificano quando il punto sorgente si trova sull’asse della lente.

Aberrazioni assiali

Aberrazione di sfericità

Si verifica quando per il sistema sorgente-lente non è verificata l’approssimazione di Gauss.

Ad un punto sorgente all’infinito sull’asse della lente non corrisponde più un punto immagine: i raggi che incidono più lontano dall’asse ottico (raggi marginali) dopo la rifrazione si incontreranno in un fuoco marginale, mentre quelli che incidono più vicino all’asse ottico (raggi parassiali) convergeranno nel fuoco parassiale. L’inviluppo di tutti i raggi rifratti formerà la superficie caustica, che ha un’asse, ma non un centro di simmetria.

Il punto centrale dell’immagine nel fuoco parassiale rappresenta l’mmagine parassiale del punto sorgente.

Aberrazione di sfericità: fuoco marginale e fuoco parassiale (Immagine modificata da Domenico Galli)

Correzione dell’aberrazione di sfericità

Per correggere l’aberrazione sferica si può ricorrere al sistema tradizionale della combinazione di una lente positiva con una negativa più debole, affetta da aberrazione sferica uguale ma di segno opposto (la focale parassiale è minore di quella marginale).

Quest’ultimo metodo può essere applicato in modo più preciso che in passato, in quanto i vetri ottici oggi disponibili permettono ampie possibilità di scelta in termini di rifrazione e dispersione. Alcuni moderni vetri al boro, al lantanio e al torio, avendo un alto indice di rifrazione e proprietà medie di dispersione, provocano la necessaria deviazione dei raggi di luce con elementi di minore spessore e con curvature poco accentuate delle superfici ottiche, condizione essenziale per impedire l’insorgere di questo tipo di aberrazione.

Un sistema corretto per l’aberrazione di sfericità si dice aplanatico.