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Giuseppe Roberti » 1.Richiami di matematica


Matematica elementare

Argomenti da rivedere

  • Frazioni ed operazioni con le frazioni
  • Percentuali
  • Potenze (con esponente positivo, negativo e frazionario); operazioni con le potenze
  • Radici ed operazioni con le radici
  • Logaritmi
  • Proporzioni
  • Algebra elementare (prodotti notevoli, quadrato dei binomi)
  • Equazioni e sistemi di equazioni di 1° grado
  • Equazioni di 2° grado (facoltativo)
La lezione è del Prof. G. Roberti

Proprietà delle uguaglianze

Sommando o sottraendo una stessa quantità ad ambo i membri di una uguaglianza, l’uguaglianza resta vera.

ax+b=0

Sottraendo ad entrambi i membri la quantità b

ax \   + \not b\    - \not b = -b

Moltiplicando o dividendo per una stessa quantità ambo i membri di una uguaglianza, l’uguaglianza resta vera.

Dividendo ambo i membri per la quantità a

\not a x\  / \not a=-b/a

x=-b/a

Esercizio

Se 5y = (2x/3 + 5/4) / (7/2), quanto vale x?

Cerca di risolvere da solo l’esercizio.

Se non ci riesci o vuoi confrontare il tuo procedimento e la tua soluzione con quella esatta procedi con la lettura.

Soluzione


Esercizio

Un medico investe i 3/5 dei suoi risparmi in azioni di una casa di cura ed i 2/7 del restante per l’acquisto di un arazzo del ‘700. Gli restano 6 104 euro. A quanto ammontavano i risparmi del medico?

Cerca di risolvere da solo l’esercizio.

Se non ci riesci o vuoi confrontare il tuo procedimento e la tua soluzione con quella esatta  procedi con la lettura.

Soluzione


Esercizio

Un esercizio fisico aumenta la frequenza cardiaca di un atleta del 13%, portandola a 90 battiti/min. Quanto vale la frequenza cardiaca dell’atleta in condizioni di riposo?

Cerca di risolvere da solo l’esercizio.

Se non ci riesci o vuoi confrontare il tuo procedimento e la tua soluzione con quella esatta  procedi con la lettura.

Soluzione

Un esercizio fisico aumenta la frequenza cardiaca di un atleta del 13% portandola a 90 battiti/min. Quanto vale la frequenza cardiaca dell’atleta in condizioni di riposo?

F = frequenza durante l’attività fisica in numero di battiti / min

f = frequenza a riposo in numero di battiti / min

F = f + f 13% = f + f 13/100 = f + f 0.13 = f ( 1 + 0.13) = f (1.13)

f = F /1.13

f = F /1.13 = (90 battiti/min) /1.13 = 79.6 battiti / min

Esercizio

Un fascio di raggi X di intensità I0 incide su di uno strato di un certo materiale. Quanto vale lo spessore per cui l’intensità trasmessa attraverso lo strato diventa la quarta parte di quella incidente? Si supponga che la legge di attenuazione di un fascio di raggi X per quel materiale sia la seguente

I(d) = I_0 \times 2^{-d/d_0}

in cui d0 = 1 cm.

Cerca di risolvere da solo l’esercizio.

Se non ci riesci o vuoi confrontare il tuo procedimento e la tua soluzione con quella esatta  procedi con la lettura.

Soluzione


Esercizio

Se Enrico VIII Tudor ebbe sei mogli (Caterina d’Aragona, Anna Bolena, Jane Seymour, Anna di Cleves, Caterina Howard, Caterina Parr), quante mogli ebbe Enrico IV Lancaster?

Questo non è un esercizio: serve solo a farti riflettere che non tutte le grandezze possono mettersi in una relazione di proporzionalità!!!

Esercizio

In una bolletta telefonica, quale relazione esiste tra la cifra da pagare S ed il numero degli scatti N, considerando anche il canone fisso C e supponendo che gli scatti abbiano tutti lo stesso costo s?

Cerca di risolvere da solo l’esercizio.

Se non ci riesci o vuoi confrontare il tuo procedimento e la tua soluzione con quella esatta  procedi con la lettura.

Soluzione

In una bolletta telefonica, quale relazione esiste tra la cifra da pagare S ed il numero degli scatti N, considerando anche il canone fisso C e supponendo che gli scatti abbiano tutti lo stesso costo s?

S = N s + C

La relazione tra S ed N è di tipo lineare, cioè

y = a x + b → ( y=S; x=N; a=s; b=C)

in cui a e b sono costanti. La relazione di proporzionalità diretta è del tipo

y = ax   cioè  y/x = a = costante

La relazione di proporzionalità inversa è del tipo

y = a/x   cioè  y x = a = costante

Sistema Metrico Decimale

Argomenti da rivedere

  • Unità di misura di lunghezza
  • Unità di misura di aree
  • Unità di misura di volume (litro)
  • Unità di misura di masse
  • Cambiamenti di unità di misura (equivalenze)

 Notazione esponenziale dei numeri

Esempio: velocità della luce = 30.000.000.000 cm/s = 3 1010 cm/s

Esercizio

Quale delle seguenti equivalenze non è corretta

a) 625 ml = 625 10-3 dm3

b) 4.243 mm3 = 42.43 10-4 cm3

c) 3.25 10-3 hg = 3.25 102 mg

d) 0.141 m2 = 1.41 10-3 dm2

Cerca di risolvere da solo l’esercizio.

 Se non ci riesci o vuoi confrontare il tuo procedimento e la tua soluzione con quella esatta  procedi con la lettura.

Soluzione


Esercizio

Trova il risultato del seguente calcolo

(653.1 ~10^{-2}+1469~10^{-3})^{0.\bar 6}

Cerca di risolvere da solo l’esercizio.

Se non ci riesci o vuoi confrontare il tuo procedimento e la tua soluzione con quella esatta  procedi con la lettura.

Soluzione


Geometria Elementare

       Argomenti da rivedere

  • Criteri di similitudine dei triangoli
  • Perimetri e superfici delle principali figure piane (Quadrato, rettangolo, triangolo, circonferenza, etc.)
  • Superfici e Volumi dei principali solidi (Parallelepipedo, sfera, cilindro, etc.)
  • Legge di scala delle superfici e dei volumi

Esercizio

Quanto vale l’altezza dell’immagine formata sulla retina da una torre alta 60 m e distante 100 metri dall’occhio? Diametro dell’occhio = 2.5 cm.

Cerca di risolvere da solo l’esercizio

Se non ci riesci o vuoi confrontare il tuo procedimento e la tua soluzione con quella esatta  procedi con la lettura.

Soluzione


Esercizio

Quanto vale il volume di un solido sferico cavo di raggio esterno pari a 4 cm e di spessore 1 cm? Quanto vale la sua superficie totale?

Cerca di risolvere da solo l’esercizio

Se non ci riesci o vuoi confrontare il tuo procedimento e la tua soluzione con quella esatta  procedi con la lettura.


Soluzione

Quanto vale il volume di un solido sferico di raggio esterno pari a 4 cm e di spessore 1 cm? Quanto vale la sua superficie totale?

r est = 4 cm ; rint = 3 cm

V = Vest – Vint

Vest = 4 π rest3/3                    Vint = 4  π rint3/3 V

Vest – Vin = (4/3) π (rest3 – rint3)  = [(4 • 3.14)/3] (64 – 27) = 154.9 cm3

S = Sest + Sint

Sest = 4 π rest2

Sint = 4 π rint2

S = Sest + Sint = 4 π (rest2 + rint2) ≈ 12 (16 + 9) = 300 cm2

Dati della sfera cava

Dati della sfera cava


Leggi di scala

Quante caramelle sferiche di raggio 0.5 cm corrispondono ad una caramella sferica di raggio un 1 cm?

Cerca di risolvere da solo l’esercizio.

Se non ci riesci o vuoi confrontare il tuo procedimento e la tua soluzione con quella esatta  procedi con la lettura.

Quante caramelle sferiche di raggio 0.5 cm corrispondono ad una caramella sferica di raggio un 1 cm?

Quante caramelle sferiche di raggio 0.5 cm corrispondono ad una caramella sferica di raggio un 1 cm?


Soluzione

Quante caramelle sferiche di raggio 0.5 cm corrispondono ad una caramella sferica di raggio un 1 cm?

r1 = 1 cm                     r2 = r1/2 =0.5 cm

V1 = 4 π r13 / 3

V2 = 4 π r23 / 3 = 4 π (r1/2)3 / 3 = 4 π (r13 /8) / 3 =  (4 π r13 / 3)/ 8 = V1/ 8

Otto caramelle sferiche di raggio 0.5 cm corrispondono ad una caramella sferica di raggio un 1 cm

Otto caramelle sferiche di raggio 0.5 cm corrispondono ad una caramella sferica di raggio un 1 cm


Trigonometria piana

      Argomenti da rivedere

  • Misura degli angoli in radianti
  • Definizioni delle principali funzioni trigonometriche (seno, coseno, tangente, cotangente)
  • Valori delle principali funzioni trigonometriche per gli angoli notevoli (0, π/2, π, 3π/2, 2π, π/3, π/4, π/6, etc.)
  • Valori delle funzioni trigonometriche per angoli che differiscono di ± π/2, ± π (facoltativo)
  • Risoluzione dei triangoli rettangoli

Esercizio

Sotto quale angolo di osservazione (espresso in radianti) è vista una moneta di 2 euro (diametro = 25 mm) alla distanza di 7 m?

Cerca di risolvere da solo l’esercizio.

Se non ci riesci o vuoi confrontare il tuo procedimento e la tua soluzione con quella esatta  procedi con la lettura.

Angolo sotteso dal diametro di una moneta di due euro

Angolo sotteso dal diametro di una moneta di due euro


Soluzione


Definizione di alcune funzioni trigonometriche


Risoluzione dei triangoli rettangoli


Esercizio

Il sole, formando un angolo di 30° col piano dell’orizzonte, proietta su un piano orizzontale l’ombra di un albero lunga 12 m. Quanto è alto l’albero?

Cerca di risolvere da solo l’esercizio.

Se non ci riesci o vuoi confrontare il tuo procedimento e la tua soluzione con quella esatta  procedi con la lettura.

Un albero e la sua ombra prodotta dal sole

Un albero e la sua ombra prodotta dal sole


Soluzione

Il sole, formando un angolo di 30° col piano dell’orizzonte, proietta su un piano orizzontale l’ombra di un albero lunga 12 m. Quanto è alto l’albero?

h = altezza dell’albero                  l = lunghezza dell’ombra

h = l tg (30°)

sen (30°) = 1/2

cos (30°) = √3/2

tg(30°) = sin (30°) / cos(30°) = 1 / √3 =  √3 /3

h = 12 m √ 3 / 3 = 4 x 1.73 = 6.93 m


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