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Carmela Cappelli » 4.Elementi di calcolo combinatorio


Introduzione

In molti esperimenti occorre enumerare gli eventi elementari favorevoli al verificarsi di un evento di interesse E rispetto all’insieme degli eventi dello spazio campione \Omega.
Tale enumerazione spesso non è banale e richiede, al contrario, il ricorso a strumenti mutuati dal calcolo combinatorio i cui elementi fondamentali completano lo studio delle calcolo delle probabilità.

Il problema della enumerazione

Il problema della enumerazione può essere descritto come segue.
Siano dati gli eventi E1, E2, …, Ei, …, EN che compongono lo spazio campione \Omega e si supponga di voler selezionare un sottoinsieme di eventi di dimensione n \leq N.
Ai fini della selezione e della enumerazione dei possibili sottoinsiemi occorre esplicitare:

  1. procedura di scelta degli elementi;
  2. il rilievo attribuito al loro ordinamento.

Modalità di selezione

Per quanto attiene alle modalità di selezione la distinzione fondamentale è tra:

  • estrazioni bernoulliane ovvero con ripetizione (o re-immissione);
  • ed estrazioni non bernoulliane ovvero senza ripetizione (o senza re-immissione).

Estrazioni bernoulliane

Le estrazioni bernoulliane sono assimilabili alla estrazione di n palline da un’urna che ne contiene N rimettendo la pallina estratta nell’urna dopo ciascuna estrazione; pertanto, la composizione dell’urna viene ripristinata ad ogni estrazione.
Si noti che se le palline sono identiche per forma e dimensione ognuna di esse avrà probabilità costante e pari ad 1/N di essere estratta e tale probabilità è la medesima ad ogni estrazione.

Estrazioni non bernoulliane

Le estrazioni non bernuolliane sono assimilabili alla estrazione di n palline da un’urna che ne contiene N senza rimettere la pallina estratta nell’urna dopo ciascuna estrazione; pertanto, la composizione dell’urna ogni estrazione varia.
Si noti che se le palline sono identiche per forma e dimensione, ognuna di esse avrà la medesima di essere estratta ad ogni estrazione, ma tale probabilità varia da estrazione ad estrazione.

Importanza dell’ordinamento

Rispetto al rilievo attribuito all’ordinamento degli oggetti del sottoinsieme si distinguono:

le sequenze ordinate tali che due sequenze differiscono anche solo per l’ordine in cui si presentano gli oggetti che ne fanno parte dalle sequenze non ordinate, in tale caso l’ordine non è un elemento distintivo ma lo sono solo gli oggetti che formano la sequenza.

Schemi alternativi

Rispetto ai due aspetti sopra indicati, modalità di selezione e rilievo dell’ordinamento, si distinguono le seguenti 4 situazioni:

  • Estrazioni con ripetizione
    • Sequenze ordinate – Sequenze non ordinate
  • Estrazioni senza ripetizione
    • Sequenze ordinate – Sequenze non ordinate

L’interesse riguarda la cardinalità dei relativi insiemi.

Disposizioni con ripetizione

La estrazione con ripetizione di sequenze ordinate dà luogo alle cd disposizioni con ripetizione di N oggetti presi ad n ad n:

N^n

Due sequenze sono considerate diverse se differiscono per un elemento o per l’ordine degli elementi.

Combinazioni con ripetizione

La estrazione con ripetizione di sequenze non ordinate dà luogo alle cd combinazioni con ripetizione di N oggetti presi ad n ad n:

\left(\begin{array}{c}N+n-1 \\ n \end{array} \right)

Due sequenze sono considerate diverse se differiscono per almeno un elemento.

Disposizioni senza ripetizione

La estrazione senza ripetizione di sequenze ordinate dà luogo alle cd disposizioni senza ripetizione di N oggetti presi ad n ad n:

\frac{N!}{(N-n)!}

Due sequenze sono considerate diverse se differiscono per almeno un elemento o per l’ordine degli elementi.

Combinazioni senza ripetizione

La estrazione senza ripetizione di sequenze non ordinate dà luogo alle cd combinazioni senza ripetizione di N oggetti presi ad n ad n:

\left(\begin{array}{c}N \\ n \end{array} \right)

Due sequenze sono considerate diverse se differiscono per almeno un elemento.

Esempio

Si consideri il seguente spazio campione  \Omega=\{ 1,2,3,4 \}; si vogliono determinare tutte le sequenze di numerosità pari a 2 secondo le quattro modalità illustrate in precedenza:

disposizioni con ripetizione N^n=4^2=16 # =\{ 11,12,13,14, 21, 22, 23,24,31,32, 33, 34,41,42,43, 44 \}

combinazioni con ripetizione (N+n-1)!/[n! (N-1)!] =10# = \{ 11,12,13,14, 22, 23, 24, 33, 34, 44 \}

disposizioni senza ripetizione N!/(N-n)!=(4*3*2*1)/2*1=12# = \{12,13,14, 21, 23,24,31,32, 34,41,42,43 \}

combinazioni senza ripetizione N!/[n! (N-n)!] =6# = \{12,13,14, 23, 24, 34\}

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