Si è già introdotto nella lezione 22 il concetto di famiglia parametrica, ovvero insieme di vc descritte dal parametro o da un vettore di parametri che appartiene ad un insieme detto spazio parametrico.
Pertanto, le vc appartenenti alla famiglia parametrica presentano la medesima forma funzionale della funzione di ripartizione e si distinguono per il valore assunto dal parametro (o vettore di parametri) .
Nell’ambito delle famiglie parametriche di particolare rilievo è la famiglia esponenziale poiché, per i suoi membri, talune procedure della inferenza statistica hanno proprietà ottimali.
Formalmente, la vc X appartiene alla famiglia esponenziale ad 1 dimensione se è possibile esprimere la sua funzione di densità o distribuzione di probabilità nella seguente forma:
Siccome nell’argomento dell’esponenziale il termine non dipende da ,
Posto la espressione si può riformulare come:
Se è una collezione di vc indipendenti che appartengono alla famiglia esponenziale, allora anche la vc n-pla appartiene alla famiglia esponenziale.
Infatti, tale vc n-pla per la indipendenza delle vc componenti ha funzione di densità congiunta
pari al prodotto delle funzioni di densità marginali pertanto:
Posto nella espressione precedente:
Si perviene alla seguente espressione delle densità congiunta :
Che rappresenta la funzione di densità di una vc che appartiene alla famiglia esponenziale.
Numerose tra le vc discrete e continue viste nelle lezioni precedenti mediante opportune specificazioni delle
funzioni appartengono alla famiglia esponenziale come mostrato in tabella a lato.
Mostriamo come si perviene al risultato per il caso della vc :
Che rappresenta la funzione di densità di una vc appartenente alla famiglia esponenziale con:
Per vc che dipendono da più parametri come ad esempio al vc Normale che dipende da un parametro di posizone e da uno di scala, occorre una estensione della famiglia esponenziale .
In generale una vc che dipende dal vettore di parametri ) appartiene alla famiglia esponenziale ad m dimensioni se la sua funzione di densità è formulabile come segue:
NB Non bisogna confondere la dimensione dello spazio parametrico che si è indicato con m e che denota il numero di parametri da cui dipende la vc (e quindi l’ordine del vettore con la dimensione dello spazio di probabilità su cui è definita la vc stessa. Ad esempio la vc è univariata e quindi è definita su uno spazio di probabilità ad una dimensione ma lo spazio parametrico ha dimensione due poiché tale è il numero di parametri da cui essa dipende.
Mostriamo che la vc appartiene alla famiglia esponenziale di dimensione 2 dove quindi
Che rappresenta la funzione di densità di una vc appartenente alla famiglia esponenziale con:
1. Introduzione al corso: cenni storici, definizioni alternative, ...
2. Postulati e teoremi del calcolo delle probabilità , probabilitÃ...
3. Esercizi ricapitolativi di calcolo delle probabilitÃ
4. Elementi di calcolo combinatorio
5. Teoria delle variabili casuali
6. Funzione di ripartizione e momenti delle variabili casuali
7. Momenti delle variabili casuali
8. Disuguaglianza di Cebicev, funzione generatrice dei momenti
10. Legami tra variabili casuali
11. Trasformazioni di vc, successioni e criteri di convergenza
12. Modelli per vc discrete: vc uniforme discreta e vc di Bernoulli
13. Modelli per vc discrete: la vc binomiale
14. Modelli per vc discrete: la vc di Poisson
15. Modelli per vc continue: le vc uniforme continua
16. Modelli per vc continue: la vc Beta e la vc Esponenziale Negati...
17. Modelli per vc continue: la vc Esponenziale Negativa e la vc Ga...
18. Modelli per vc continue: la vc Normale
19. La vc Normale Standardizzata
20. Variabili casuali connesse alla Normale
21. Uso delle tavole statistiche relative alle vc connesse alla Nor...