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Carmela Cappelli » 23.La Famiglia esponenziale di vc


Introduzione

Si è già introdotto nella lezione 22 il concetto di famiglia parametrica, ovvero insieme di vc X \sim F(x, \theta) descritte dal parametro \theta o da un vettore di parametri \bf \theta che appartiene ad un insieme \Omega (\theta) detto spazio parametrico.
Pertanto, le vc appartenenti alla famiglia parametrica presentano la medesima forma funzionale della funzione di ripartizione e si distinguono per il valore assunto dal parametro (o vettore di parametri) \theta .
Nell’ambito delle famiglie parametriche di particolare rilievo è la famiglia esponenziale poiché, per i suoi membri, talune procedure della inferenza statistica hanno proprietà ottimali.

La famiglia esponenziale ad 1 dimensione

Formalmente, la vc X appartiene alla famiglia esponenziale ad 1 dimensione se è possibile esprimere la sua funzione di densità o distribuzione di probabilità nella seguente forma:

f(x, \theta)= \exp \{ Q(\theta)A(x)+ C(x) -K(\theta) \}
Siccome nell’argomento dell’esponenziale il termine C(x) non dipende da \theta,
Posto \exp \{ C(x) \}= M(x) la espressione si può riformulare come:
f(x, \theta)= M(x) \exp \{ Q(\theta)A(x)- K(\theta) \}

La famiglia esponenziale ad 1 dimensione (segue)

Se X_i i=1,\dots, n è una collezione di vc indipendenti che appartengono alla famiglia esponenziale, allora anche la vc n-pla (X_1, X_2, \dota, X_n ) appartiene alla famiglia esponenziale.
Infatti, tale vc n-pla per la indipendenza delle vc componenti ha funzione di densità congiunta
pari al prodotto delle funzioni di densità marginali pertanto:
f(x_1, x_2, \dots,x_n )= \exp \{ Q(\theta)A(x_1)+ C(x_1)- k(\theta) \}* \dots* \exp \{ Q(\theta)A(x_n)+ C(x_n)- k(\theta) \} = v\exp \{ Q(\theta)\sum_{i=1}^n A(x_i)+ \sum_{i=1}^n C(x_i)-nk(\theta) \}

La famiglia esponenziale ad 1 dimensione (segue)

Posto nella espressione precedente:
\sum_{i=1}^n A(x_i)= A^{\star}

\sum_{i=1}^n C(x_i)= C^{\star}

n k(\theta)= k^{\star}

Si perviene alla seguente espressione delle densità congiunta :
f(x_1,\dots,x_n; \theta)= \exp \{ Q(\theta)A^{\star} (x)+ C^{\star}(x) - K^{\star}(\theta) \}
Che rappresenta la funzione di densità di una vc che appartiene alla famiglia esponenziale.

Vc appartenenti alla famiglia esponenziale

Numerose tra le vc discrete e continue viste nelle lezioni precedenti mediante opportune specificazioni delle
funzioni Q(\theta)  ,  K(\theta)  e  A(x)  e C(x) appartengono alla famiglia esponenziale come mostrato in tabella a lato.


Vc appartenenti alla famiglia esponenziale (segue)

Mostriamo come si perviene al risultato per il caso della vc X \sim N(\theta, 1) :

f(x;\theta)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp \{ - \frac{1}{2}(x-\theta) ^2 \}= (\sqrt{2\pi})^{-1/2}<br />
\exp \{- \frac{x^2}{2}- \frac{\theta^2}{2} +x\theta \}=<br />
\exp \{ -\frac{1}{2} log (2\pi)- \frac{x^2}{2}- \frac{\theta^2}{2} +x\theta<br />
\}=\exp \{ x\theta - \frac{x^2}{2} -\frac{1}{2} (log (2\pi)+\frac{\theta^2}{2})\}
Che rappresenta la funzione di densità di una vc appartenente alla famiglia esponenziale con:

A(x)= x
Q(\theta)= \theta
C(x)= -\frac{x^2}{2}
k(\theta)=\frac{1}{2} log (2\pi)+\frac{\theta^2}{2}

La famiglia esponenziale ad m dimensioni

Per vc che dipendono da più parametri come ad esempio al vc Normale che dipende da un parametro di posizone e da uno di scala, occorre una estensione della famiglia esponenziale .
In generale una vc X \sim F(x, {\mathbf \theta}) che dipende dal vettore di parametri {\mathbf \theta} ) appartiene alla famiglia esponenziale ad m dimensioni se la sua funzione di densità è formulabile come segue:

f(x, {\mathbf \theta})= \exp \{ Q({\mathbf \theta})(A(x)+ C(x) -k{\mathbf \theta} \}

NB Non bisogna confondere la dimensione dello spazio parametrico che si è indicato con m e che denota il numero di parametri da cui dipende la vc (e quindi l’ordine del vettore \mathbf \theta con la dimensione dello spazio di probabilità su cui è definita la vc stessa. Ad esempio la vc X \sim N (\mu, \sigma^2) è univariata e quindi è definita su uno spazio di probabilità ad una dimensione ma lo spazio parametrico ha dimensione due poiché tale è il numero di parametri da cui essa dipende.

La famiglia esponenziale ad m dimensioni (segue)

Mostriamo che la vc X \sim N(\theta, \sigma^2) appartiene alla famiglia esponenziale di dimensione 2 dove quindi {\mathbf \theta}= ( \mu, \sigma^2)^ \prime

f(x, {\mathbf \theta})=( \sqrt{2 \pi \sigma^2})^{-1} \exp \{- \frac{1}{2\sigma^2}(x- \mu)^2 \}=\exp \{- \frac{1}{2\sigma^2}x^2 - \frac{1}{2}\frac{\mu^2}{\sigma^2} +\frac{\mu}{\sigma^2}x -\frac{1}{2} \log (2 \pi \sigma^2)\}=
= \exp \{- \frac{1}{2\sigma^2}x^2 +\frac{\mu}{\sigma^2}x - (\frac{1}{2}\frac{\mu^2}{\sigma^2} +\frac{1}{2} \log (2 \pi \sigma^2)\}
Che rappresenta la funzione di densità di una vc appartenente alla famiglia esponenziale con:

A_1(x)= x
A_2(x)= x^2
Q_1(\theta)= \frac{\mu}{\sigma^2}
Q_2(\theta)=- \frac{1}{2 \sigma^2}

k(\theta)=\frac{1}{2} log (2\pi \sigma^2)+\frac{\sigma^2}{2}

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