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Carmela Cappelli » 7.Momenti delle variabili casuali


Momenti di ordine rispetto al valor medio

Un secondo tipo di momenti che assume particolare rilievo è costituito dai i cd momenti di ordine r rispetto al valore medio definiti come valore medio della potenza r-esima della vc scarto:
E[(X-\mu)^r]= \int_{- \infty}^{+\infty} (x-\mu)^r f(x)dx se X è continua

.
E[(X-\mu)^r]= \sum_{i=1} (x_{i}-\mu)^rp_i se X è discreta
Essi vengono denotati con \bar \mu_r.

In tale caso  \bar \mu_0=0 e      \bar \mu_1=0, pertanto l’interesse per tali momenti sorge a partire da r=2.

Varianza di vc

Per r=2, si ha il momento secondo rispetto al valore medio:

\bar \mu_2= E[(X-\mu)^2]= \int_{- \infty}^{+\infty}(x-\mu)^2 f(x)dx se X è continua

.
\bar \mu_2= E[(X-\mu)^2]= \sum_i (x_i -\mu)^2p_i se X è discreta
Tale momento prende il nome di varianza, VAR(X) la sua radice quadrata:
\sqrt {VAR(X)}=\sqrt {\sigma^2}=\sigma prende il nome di scarto quadratico medio.

Proprietà della Varianza di una vc

La varianza gode delle seguenti proprietà:

  • VAR(aX+b) =a^2VAR(X);
  • VAR(X) =0 se X è una vc degenere, che assume cioè un valore costante con probabilità pari ad 1 (in tale caso infatti l’unico valore coincide con il valore atteso);
  • VAR(X) =E(X- \mu)^2 \leq E(X- c)^2.

Infine da un punto di vista computazionale è importante il seguente risultato:
VAR(X) =E(X- \mu)^2 = E(x^2)-[E(x)]^2=\mu_2-\mu^2

Ovvero, la varianza può essere decomposta nella somma del momento secondo rispetto all’origine meno il quadrato del momento primo (valore atteso).

Varianza di vc – esempio

Si consideri vc e X discreta “numero di teste in 3 lanci di una moneta“, di cui abbiamo calcolato in precedenza il valore atteso \mu= 1.5.

La varianza invece risulta essere:
VAR(X)= \sum_i (x_i-\mu)^2p_i =(0-1.5)^2*1/8+ (1-1.5)^2* 3/8+(2-1.5)^2*3/8+(3-1.5)^2*1/8=0.75

Con la formula abbreviata:
VAR(X)= \mu_2 -\mu^2 = (0^2*1/8 1*3/8+ 2^2*3/8+3^2*1/8)- 1.5^2=0.75

La vc standardizzata

Data una vc X che possiede valore atteso  \mu e varianza\sigma^2 , ovvero tali che   \mu \leq + \infty\sigma^2 \leq +\infty, è possibile definire la vc standardizzata: Z=\frac{X- \mu}{\sigma}
I momenti di ordine r di tale vc definiti come il valore medio di potenze r-esime della vc standardizzata, prendono il nome di momenti di ordine r standardizzati e completano lo studio sui momenti delle vc.

I momenti di ordine r standardizzati

Formalmente, i momenti di ordine r standardizzati sono definiti come
E[(\frac{X- \mu}{\sigma})^r ]= \int_{- \infty}^{+\infty} (\frac{x-\mu}{\sigma})^r f(x) dx se X è continua
E[( \frac{X- \mu}{\sigma} )^r ]= \sum_i (\frac{x_i- \mu}{\sigma})^r p_i se X è discreta

Per r={0,1,2} tali momenti sono nulli pertanto l’interesse per essi sorge a partire da r=3.

Asimmetria e Kurtosi

Per r=3 si ha il momento terzo standardizzato ASYM(X)=E[( \frac{X- \mu}{\sigma})^3 ] che prende il nome di Asimmetria della vc X .

Per r=4 invece si ha il momento quarto standardizzato Kurt(X)=E[( \frac{X- \mu}{\sigma} )^4 ] Prende il nome di Kurtosi e denota la “pesantezza delle code della distribuzione”.

Momenti – sintesi

I momenti fondamentali ai fini dello studi delle vc sono:

1)  Il momento primo rispetto all’origine  \mu=E(X)= valore atteso
2)  Il momento secondo rispetto al valor medio  VAR(X)=E(X-\mu)^2=\sigma^2varianza
3)  il momento terzo standardizzato   ASYM(X)=E[( \frac{X- \mu}{\sigma )^3} ]= Asimmetria
4)  il momento quarto standardizzato   Krt(X)=E[( \frac{X- \mu}{\sigma )^4 }]= – Kurtosi

Tali momenti vengono detti “momenti caratteristici”.

Condizioni di esistenza dei momenti

Siccome non tutte le vc posseggono i momenti, ovvero non li posseggono finiti, è opportuno interrogarsi sulla condizioni di esistenza dei momenti stessi.
In generale, il valore medio di g(X) esiste se esiste finito il valore medio di |g(X)| (una serie integrale converge se converge in modulo).
Quindi, se la funzione g(.) è la funzione identità, si avrà che la variabile casuale X possiede il valore atteso
ovvero E(X)<+∝ se esiste E|X|<+∝.
Più in generale il momento r-esimo esiste se esiste finito il corrispondente momento assoluto di ordine r.

Condizioni di esistenza dei momenti (segue)

Un risultato molto importante circa le condizioni di esistenza dei momenti è costituito dal seguente teorema:

Se una vc X possiede il momento assoluto di ordine s possiede tutti i momenti di ordine inferiore c

quindi, se una vc possiede  \bar \mu_2=VAR(X) possiede anche il valore atteso \mu .

In generale:

  • Se s≥ 1 esistendo \mu si può definire la vc scarto ed esistono tutti i momenti scarto di ordine r≤s
  • Se s≥ 2 esistendo \mu \ e \ \sigma si può definire la vc standardizzata ed esistono tutti i momenti standardizzati di ordine r≤s
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